正弦、余弦函数的图象

1.3.2 三角函数的图象与性质 第1课时 正弦、余弦函数的图象
正弦曲线、余弦曲线 (1)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线(如图)．
(2)“五点法”画图
画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，1，(π，
0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，－1，(2π，0)．
画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，0，(π，
－1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，0，(2π，1)．
(3)正弦、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的
图象向左平移π
2个单位长度即可．
思考：作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度 制吗？
[提示] 作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．
1．思考辨析
(1)正弦曲线的图象向左右无限延展．( )
(2)y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同．( ) (3)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．
[答案] 0，π4，π2，3π
4，π
3．不等式cos x ＜0，x ∈[0,2π]的解集为________． [答案] ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，3π2
利用“五点法”作简图
【例1】 用“五点法”作出下列函数的图象． (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]； (3)y ＝－1－cos x ，x ∈[0,2π]．
思路点拨：先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．
[解](1)列表如下：
描点连线，如图①所示．
①(2)列表如下：
描点连线，如图②所示．
②(3)列表：
③
用五点法画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)或y ＝A cos x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下
(1)列表：
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y )，⎝ ⎛⎭⎪π2，y ，(π，y )，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，y ，(2π，y )，这里的y 是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连结起来，不要用线段进行连结． 提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
1．用“五点法”作出函数y ＝3＋2cos x 在一个周期内的图象． [解] 按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连结起来．
利用正、余弦曲线解三角不等式
【例2】 利用正弦曲线，求满足12＜sin x ≤3
2的x 的集合．
思路点拨：作出正弦函数y ＝sin x 在一个周期内的图象，然后借助图象求解． [解] 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，
作直线y ＝1
2，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝3
2，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3，或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤3
2成立，
所以12＜sin x ≤3
2的解集为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
π6
＋2k π＜x ≤
π3＋2k π或2π3＋2k π≤x ＜5π
6＋2k π，k ∈Z .
利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤：
(1)画出正弦函数y ＝sin x 或余弦函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式的在区间[0，2π]上的解集； (3)把此解集推广到整个定义域上去.
2．求下列函数的定义域：
(1)y ＝2sin x ＋1；(2)y ＝sin x －cos x . [解] (1)要使y ＝
2sin x ＋1有意义，则必须满足2sin x ＋1≥0，即sin x ≥
－12.
结合正弦曲线或三角函数线， 如图所示，知函数y ＝
2sin x ＋1的定义域为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
2k π－π6≤x ≤2k π＋7π
6，k ∈Z
.
(2)要使函数有意义，必须满足sin x －cos x ≥0.
在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π
4，再结合正弦、余弦函数的图象，知所求定义域为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
π4
＋2k π≤x ≤5π
4＋2k π，k ∈Z
正、余弦函数图象的应用
[探究问题]
1．你能借助图象的变换作出y ＝|sin x |的图象吗？试画出其图象． 提示：先画出y ＝sin x 的图象，然后将其x 轴下方的对称到x 轴的上方(x 轴上方的保持不变)即可得到y ＝|sin x |的图象，如图．
2．方程|sin x |＝a ，a ∈R 在[0,2π]上有几解？ 提示：当a ＜0时，方程|sin x |＝a 无解； 当a ＝0时，方程|sin x |＝a 有三解； 当0＜a ＜1时，方程|sin x |＝a 有四解； 当a ＝1时，方程|sin x |＝a 有两解； 当a ＞1时，方程|sin x |＝a 无解．
【例3】 在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数．
思路点拨：作图―→看图―→交点个数 ―→sin x ＝lg x 解的个数
[解] 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．
描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫
110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连结得到y ＝lg x 的图象，如
图所示．
由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．
利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求参数的范围问题.
3．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．
[解] f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3sin x ，0≤x ≤π，
－sin x ，π＜x ≤2π的图象如图所示，故由图象知1＜k ＜3.
教师独具
1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用．
2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题 (1)正、余弦函数图象的画法．
(2)利用正、余弦函数的图象解不等式． (3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题． 3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定
y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x 轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与x 轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，1，一个
最低点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1；y ＝cos x ，x ∈[0,2π]与x 轴有两个交点：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π2，0，图
象上有两个最高点：(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．
1．用“五点法”作出函数y ＝3－cos x 的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________(填序号)．
①(π，－1)；②(0,2)；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3；④(π，4)；⑤⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，1. ①⑤ [由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3，(π，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π2，3，
(2π，2)，故①⑤不是关键点．]
2．函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 的图象关于________对称．
x 轴 [在同一坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 的图象(略)，可
知它们关于x轴对称．]
3．sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是________．
(0，π)[如图所示是y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，
由图可知满足sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是(0，π)．]
4．用“五点法”作出y＝1－sin2x(0≤x≤2π)的简图．[解]y＝1－sin2x＝|cos x|(x∈[0,2π])．
列表：
描点作图，如图．。