2019学年浙江省名校协作体高三(下)联考数学试卷

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2019届浙江省名校协作体高三下学期考试数学试卷【含答案及解析】

2019届浙江省名校协作体⾼三下学期考试数学试卷【含答案及解析】2019届浙江省名校协作体⾼三下学期考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________⼀、选择题1. 已知集合则为（）A. B. C. D.2. 已知（为虚数单位），则“ ” 是“为纯虚数” 的（）A. 充分不必要条件________B. 必要不充分条件C. 充分必要条件________D. 既不充分也不必要条件3. 已知直线、与平⾯下列命题正确的是（）A. 且________B. 且C. 且________D. 且4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度________B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度________D. 向右平移个单位长度5. 已知点满⾜，⽬标函数仅在点（ 1,0 ）处取得最⼩值，则的范围为（）A. B. C. D.6. 直线与圆交于两点，则的⾯积为（）A. B. C. D.7. 设函数，若不等式对任意实数恒成⽴，则的取值集合是（）A. B. C. D.8. 已知平⾯平⾯，，且 .是正⽅形，在正⽅形内部有⼀点，满⾜与平⾯所成的⾓相等，则点的轨迹长度为 ( )A. B. C. D.9. 在平⾯内，，若则的取值范围是（）A. B. C. D.10. 若集合，则集合中的元素个数是（）A. 2016B. 2017C. 2018D. 2019⼆、填空题11. 已知，，则的最⼤值是 _______ .12. 某⼏何体的三视图如图所⽰，且该⼏何体的体积是，则正视图中的的值是 _______ ，该⼏何体的表⾯积是 _______ .13. 设等⽐数列的前项和为，满⾜对任意的正整数，均有，则 _______ ，公⽐ _______ .14. 在中，⾓分别对应边，为的⾯积 . 已知，，，则 _______ ， _______ .15. ⼀个⼝袋⾥装有⼤⼩相同的 6 个⼩球，其中红⾊、黄⾊、绿⾊的球各 2 个，现从中任意取出 3 个⼩球，其中恰有 2 个⼩球同颜⾊的概率是 _______ . 若取到红球得 1 分，取到黄球得 2 分，取到绿球得 3 分，记变量为取出的三个⼩球得分之和，则的期望为 _____ .16. 设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第⼀象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离⼼率的值是 _______ .17. 设函数的两个零点分别为，且在区间上恰好有两个正整数，则实数的取值范围 _______ .三、解答题18. 已知，函数．（Ⅰ）若，求的单调递增区间；（Ⅱ）若的最⼤值是，求的值．19. 如图，在四棱锥中，底⾯为梯形，，，，平⾯，分别是的中点 . （Ⅰ）求证：平⾯；（Ⅱ）若与平⾯所成的⾓为，求线段的长 .20. 已知，函数 .（Ⅰ）若函数在上递减 , 求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求的最⼩值的最⼤值；（Ⅲ）设，求证： .21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离⼼率为，直线与的两个交点间的距离为 .（Ⅰ）求椭圆的⽅程；（Ⅱ）分别过作满⾜，设与的上半部分分别交于两点，求四边形⾯积的最⼤值 .22. 已知函数 .（Ⅰ）求⽅程的实数解；（Ⅱ）如果数列满⾜，（），是否存在实数，使得对所有的都成⽴？证明你的结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列的前项的和为，证明：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

2019届浙江省十校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学试题(解析版)

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先化简函数解析式,再根据函数的图象变换规律,可得所求函数的解析式为 ,再由正弦函数的对称性得解.
【详解】
,
将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为
,
再向右平移个单位长度,所得函数的解析式为
,
，
可得函数图象的一个对称中心为，故选D.
【点睛】
画出的图象，
由图象可得：
对于①，在上单调递减，所以①正确；
对于②，函数与的图象没有交点，即没有零点，所以②错误；
对于③，由函数图象的对称性可知③错误；
对于④，函数和图象关于原点对称，则中用代替，用代替，可得，所以④正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.
【答案】 52
【解析】设从第2天开始,每天比前一天多织尺布,由等差数列前项和公式求出 ,由此利用等差数列通项公式能求出 .
【详解】
设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,
则 ,
解得 ,即每天增加的数量为，
，故答案为，52.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由递推公式求出 .
【详解】
由得，
即，
，当且仅当时取得最小值，
此时 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.

2019学年第二学期浙江省五校联考高三数学试卷(定稿)

且此展开式中含 x 项的系数是
12．已知复数 z x yi(x, y R) ，若| z 2i | 1，则| z |max
； x 2 y 的取值
范围是
13．两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 2 和 1 ，两个零件是否加工 32
为一等品相互独立，设两人加工的零件中为一等品的个数为，则 E
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集 U R ，集合 A {x | | x | 1, x R} ，集合 B {x | 2x 1, x R} ，
则集合 A B 是（）
A． (,1]
18.（本小题满分 14 分）
已知函数 f (x) 23Leabharlann sinxcos
x
3
2 cos2
x
5 2
(
0) ，且
f
(x)
图像上
相邻两个最低点的距离为 .
（Ⅰ）求的值以及 f (x) 的单调递减区间；
（Ⅱ）若
f
( )
5 13
，且
0，2
，求
cos 2
的值.
19. （本小题满分 15 分）
在三棱锥 P ABC 中， PC BC 2, AC 3, AP 7, ACB 90 ，点 D 在线段 AB 上，且满足 DB DP . （Ⅰ）求证： PB CD ；（Ⅱ）当面PDC 面ABC 时，求直线CD 与平面 PAC 所成角的
最大值为 0；③设二面角 A BE C 的平面角为 B
B C
，则 ABA 。其中正确命题的个数是（）

2019届浙江省名校协作体高三下学期2月联考数学试题(解析版)

2019届浙江省名校协作体高三下学期2月联考数学试题一、单选题1．设集合{}23A x x =-≤<，N 是自然数集，则A N ⋂=（） A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}0,1,2,3 C ．{}0,1,2 D ．{}1,2【答案】C【解析】由自然数的涵义即可求出交集. 【详解】由题意得{}0,1,2A N =I ，故选:C ．【点睛】本题考查集合的运算，熟记集合的交集运算法则是解题的关键． 2．二项式的展开式中常数项为（）A ．－15B ．15C ．－20D ．20【答案】B【解析】试题分析：二项式展开式的通项公式：.要使其为常数，则,即，常数项为.【考点】二项式定理.3．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A ．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥B ．若αβ⊥，m α⊥，则//m βC ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m βD ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥【答案】C【解析】对于A ，可以翻译为：垂直于同一个平面的两个平面垂直，显然容易判断；对于B ，由线面平行的定义即可判断；对于C ，利用线面平行的判定及性质可判断；对于D ，由空间两直线的位置关系来判断. 【详解】对A ：垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故平面α与平面γ平行或相交，故错误；对B ：直线m 可能在平面β内，也可能与平面β平行，故错误；对C ：由//m α得存在m α'⊂使得//m m '，又因为//αβ，所以存在m β''⊂，使得//m m '''，则//m m ''，又因为m β⊄，所以//m β，故正确；对D ：直线m 与直线n 可能相交、平行或异面，故错误. 故选：C. 【点睛】本题考查线线关系、线面关系中的平行的判定、面面关系中垂直的判定，要注意判定定理与性质定理的综合运用，是基础题.4．将函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 【答案】A【解析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+，此时与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则232k πϕπ=+，即6k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为6π=ϕ，故选：A ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移变换求出解析式是解决本题的关键．5．函数()2()2ln ||f x x x =-的图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据函数解析式，先判断函数()f x 奇偶性，再结合01x <<的函数值，即可排除错误选项. 【详解】函数()2()2ln ||f x x x =-⋅的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，()22()()2ln ||2ln ||()f x x x x x f x ⎡⎤-=---=-=⎣⎦，所以函数()2()2ln ||f x x x =-为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，D ；当01x <<时，()()22()2ln ||2ln 0f x x x x x =-=->，排除C ；故选：B. 【点睛】本题考查函数的图象与性质，由函数解析式判断函数图象的应用，属于基础题. 6．非零实数x ，y 满足||||||x y xy x y xy ++=+-的充要条件是（）A ．0x y +=B ．0xy <C ．()0x y xy +>D ．()0x y xy +≤【答案】D【解析】利用绝对值不等式的性质，即可得到答案. 【详解】由绝对值不等式的性质，可得||||||x y xy x y xy ++≥+-，当且仅当()0x y xy +≤时，等号成立，所以“||||||x y xy x y xy ++=+-”的充要条件为“()0x y xy +≤”．故选：D 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的性质、充要条件，属于基题．|||||()()|a b c d a b c d +++≥+±+是绝对值不等式中常用的性质．7．不等式组0,40,(0)x y x y m x m +⎧⎪-+>⎨⎪⎩……„表示的平面区域的面积是9，则m 的值是（） A ．8 B ．6C ．4D ．1【答案】D【解析】画出不等式组所表示的平面区域，求得顶点的坐标，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】画出不等式组0,40,(0)x y x y m x m +≥⎧⎪-+≥>⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示，得到平面区域是以(2,2),(,),(,4)m m m m --+为顶点的三角形区域（包含边界），则该区域的面积为1[(2)][4()]92m m m --+--=，解得1m =（舍负）. 故选：D .【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域，以及三角形面积公式的应用，其中解答中准确作出不等式组所表示的平面区域是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力.8．连续掷一枚质地均匀的骰子3次，各次互不影响，记ξ为出现6点的次数，则()D ξ=（） A ．16B ．12C ．156D ．512【答案】D【解析】根据连续掷一枚质地均匀的骰子3次，各次互不影响，是一个独立重复试验，服从二项分布，得到成功概率，然后代入()D ξ公式求解，【详解】由题意得每次掷骰子的概率都为16，且每次的结果互不影响，则1~3,6B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以115()316612D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查二项分布的方差的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．若平面向量a →，b →，e →满足||2a →=，||3b →=，||1e →=，且()10a b e a b →→→→→⋅-⋅++=，则||a b →→-的最小值是（）A ．1BC D【答案】B【解析】由题目条件可先求出||a b e →→→+-，再根据向量模的不等式求出||a b →→+的值域，由2226||||a b a b →→→→++=-即可求出min ||a b →→-.【详解】由题意得||a b e →→→+-===又因为||||||||||a b e a b e a b e →→→→→→→→→+-+-++剟，所以1||1a b →→+剟，当a b →→+与e →同向时，1=||a b →→+，a b →→+与e →反向时，1=||a b →→+，又因为2222||||2||||26a b a b a b →→→→→→⎛⎫++-=+= ⎪⎝⎭，所以min||a b →→-===故选：B 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，平面向量模的不等式，根据题目中的条件以||a b e →→→+-为中间量是解题的关键.10．在三棱锥S ABC -中，SCA θ∠=，ACB πθ∠=-，SB 与AC 所成的角为α，下列判断一定正确的是（）A ．θα…B ．θα„C ．2πθα+…D ．2a πθ+„【答案】A【解析】先分析出三棱锥S ABC -可以看成是在ABS V 的边BS 上取一点C ，将ACS V 沿AC 折叠而成，分别分析C 点趋近于,B S 的结论，再对SCA ∠与2π的大小关系分析. 【详解】因为SCA θ∠=，ACB πθ∠=-，所以三棱锥S ABC -可以看成是在ABS V 的边BS 上取一点C ，将ACS V 沿AC 折叠而成，则易得当点C 趋近于点B 时，2πθα+„，当点C 趋近于点S 时，2πθα+…，C ，D 错误；若2SCA πθ∠==，易得AC ⊥平面BCS ，有AC SB ⊥，则θα=；若2SCA πθ∠=>，因为异面直线的夹角不大于2π，所以此时a θ>；若2SCA πθ∠=<，易得SA 是在以AC 为轴的圆锥上运动，由图易得当点S 运动到点2S 的位置时，直线SB 与AC 的夹角最大，为SCA θ∠=，所以θα>故选：A . 【点睛】本题考查空间异面直线的夹角,三棱锥的性质，考查了空间想象能力.二、双空题 11．若复数121i z i i -=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为________，z =________. 【答案】-3 3【解析】化简可得3z i =-即可求虚部与模长. 【详解】由题得()21222322i iz i i i --=-=-=-,z ∴的虚部为3-,()2033z =+-=. 故答案为：3-,3 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算与虚部的定义和模长的计算等.属于基础题型.12．已知直线l 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，点1F 关于直线l 的对称点在双曲线C 的另一条渐近线上，则双曲线C 的渐近线的斜率为________，离心率为________【答案】3± 2【解析】设点1F关于直线l的对称点()00,F x y'，可得0022y ax c by x cab⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⋅⎪⎩，解得求出点()00,F x y'，再根据点F'在双曲线C的另一条渐近线上，化简整理即可求出．【详解】双曲线22221()0,0x ya ba b-=>>的渐近线方程为by xa=±，设直线l为by xa=-，则另一条渐近线为by xa=，()1,0F c-Q，设点1F关于直线l的对称点()00,F x y'，∴0022y ax c by x cab⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⋅⎪⎩，解得20022,b abx c yc c=-=，∴222ab b bcc a c⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，即22222a b c=-，∴22222222222,22a c a c ab a b=--=--，即2 3c a a b==，∴双曲线C的渐近线的斜率为32cea==.故答案为：32．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了点的对称，双曲线的渐近线方程，属于中档题．13．某几何体的三视图如图所示（数量单位是cm），则它的体积是________3cm，表面积是________2cm.【答案】931863+ 【解析】根据三视图还原几何体，根据锥体的体积公式和表面积计算，即可求得结果. 【详解】.由三视图得该几何体底面是一个以上底为2，下底为4，高为3的直角梯形，高为33的四棱锥，则其体积为1332493332+⨯⨯⨯=，表面积为1332411133333234518632222222+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：93；1863+.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及求锥体的体积和表面积，根据三视图正确还原几何体是解题的关键，属于中档题.14．四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，H 是SBC V 的垂心，且AH ⊥平面SBC ，则三对对棱SA 与BC ，SB 与AC ，SC 与AB 中互相垂直的有________对，若H 也是SBC V 的重心，则二面角S BC A --的正弦值为________.【答案】363【解析】利用垂直射影则垂直斜线，易证对棱垂直；先确定二面角的平面角，再结合垂心定理设值计算即可. 【详解】解：因为SA ⊥平面ABC ，所以SA BC ⊥.连接BH 并延长交SC 于点D ，因为点H 是SBC V 的垂心，所以BD SC ⊥，又因为AH ⊥平面SBC ，所以BD 为AB 在平面SBC 内的投影，则AB SC ⊥，同理可得SB AC ⊥，所以SA 与BC ，SB 与AC ，SC 与AB 中相互垂直的有3对. 当点H 也是SBC V 的重心时易得三棱锥A SBC -为底面为等边三角形，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥，则各个侧面与底面所成的二面角相等， ∴二面角S BC A --的大小与二面角B SC A --的大小相等，设底面SBC V 的边长为a ，则易得3HD a =，12AD a =，则6AH a =，所以二面角S BC A --的正弦值等于6sin AH ADH AD ∠==.故答案为：3；6本题考查空间直线垂直的判定、二面角、三棱锥的性质，根据三棱锥的性质确定直线间的位置关系是解题的关键，属于中档题.三、填空题15．某校高一（16）班有5位同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，若每位同学只能参加一科兴趣小组，且每科兴趣小组都有人参加，则共有________种不同的报名方法（用数字作答）. 【答案】150【解析】根据5位同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，将5位同学分为三组，由2，2，1和1，1，3两种分组方式，分别求得报名方法，然后再利用分类计数原理求解. 【详解】由题意得：将5位同学分为三组，由2，2，1和1，1，3两种分组方式，当分组为2，2，1时，有22353322C C A A 种报名方法，当分组方式为1，1，3时，有31352322C C A A 种报名方法，综上:不同的报名方法共有2233135335232222C C A C C A 150A A +=种. 故答案为：150 【点睛】本题主要考查分类计数原理，排列组合应用题，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.16．若正数a ，b ，c 满足2221a b c ab bc ++--=，则c 的最大值是________.【答案】2【解析】将2221a b c ab bc ++--=看成关于a 的方程，则问题等价于关于a 的方程22210a b c ab bc ++---=有解，则()222()410b b c bc ∆=--+--…，再将问题转化为关于b 的不等式2234440b c bc --++…有解，从而()22(4)4(3)440c c -⨯--+…，进而得到结果.解：把式子2221a b c ab bc ++--=看作是关于a 的方程，则问题等价于关于a 的方程22210a b c ab bc ++---=有解，则()222()410b b c bc ∆=--+--…，即2234440b c bc --++…，则问题转化为关于b 的不等式2234440b c bc --++…有解，则()22(4)4(3)440c c -⨯--+…，化简得232c ≤，所以max 6c =，此时6a =，6b =，符合条件. 故答案为：62【点睛】本题考查函数与方程，注意转化思想在解题中的应用，属于中档题.四、解答题17．若()00,P x y 是抛物线21:4C y x =上的点，过点P 作射线PAB ，交圆222:(4)1C x y ++=于A ，B 两点，且||2||PA AB =，则0x 的取值范围是________.【答案】[0,356]【解析】由已知长度转化到弦AB 的长，由弦AB 不超过直径长得范围要求，连接PC 交圆于点M ，延长PC 交圆于点N ，将||||PM PN ⋅将转为切线长，进而由切割线定理近一步转化并由点P 在抛物线上且由两点间的距离公式表示不等式组，最后求得答案. 【详解】由题意得2||||2||3||6||PA PB AB AB AB ⋅=⋅=，因为A ，B 是圆上两点，所以||[0,2]AB ∈，则2||||6||[0,24]PA PB AB ⋅=∈，连接PC 交圆于点M ，延长PC 交圆于点N ，则易得2||||(||1)(||1)||1PM PN PC PC PC ⋅=-+=-，且2||1PC -等于过点P 向圆C 引切线所得切线长，由切割线定理得2||1||||PC PA PB -=⋅，则2||1[0,24]PC -∈，设点P 的坐标为()()000,,0x y x ≥，即()()()222200000414416[0,22]14x y x x x ++-=++-=+∈-，所以()()202062106662124x x x ⎧+-≥⎪⇒-≤≤⎨+-≤⎪⎩066x ≤≤，所以06]x ∈-.故答案为：6]- 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切割线定理，根据切割线定理得到点P 的坐标满足的不等式是解题的关键，属于较难题.18．三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且222sin sin sin sin B C B C A +-=.（1）求角A 的大小；（2）若ABC V 的面积1S =，求a 的最小值. 【答案】（1）4π；（2）【解析】（1）利用正弦定理将题中的等量关系转化为边的关系，进而利用余弦定理求解角的大小；（2）根据（1）中的结论及三角形的面积公式得到边长的乘积，进而利用余弦定理结合基本不等式求解边长的最值. 【详解】解：（1）由正弦定理得222b c a +-=，∴222cos 22b c a A bc +-==，从而4A π=. （2）1sin 12S bc A ==，从而bc =∴222222cos 4244a b c bc A b c bc =+-=+--=….故min a =.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题.19．四棱锥P ABCD -的底面为菱形，4AB =，60ABC ∠=︒，M 为PB 的中点，N 为BD 上一点，且13BN ND =，若5PA PC ==，21PB =.（1）求证：//MN 平面PAC ；（2）求证：PN ^平面ABCD ；（3）求直线PN 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3311【解析】（1）通过证明直线与平面内的一条直线平行证明直线与平面平行；（2）通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直证明直线与平面垂直；（3）利用等体积法求解三棱锥的高，进而求解线面角的正弦值或通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角公式求解. 【详解】解：（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ，则12BM BNBP BO==， ∴//MN PO ，又PO ⊂平面PAC ，MN ⊄平面PAC ，从而//MN 平面PAC . （2）证明：连接PN ， ∵PA PC =，O 是AC 中点， ∴PO AC ⊥，又5PA PC ==，2AO =， ∴21PO PB ==，又N 是BO 中点，∴PN BD ⊥，且易求32PN =7NC =∴222PN NC PC +=，从而PN NC ⊥，又BD NC N ⋂=， ∴PN ^平面ABCD .（3）解法一：设N 到平面PCD 的距离为h ，PN 与平面PCD 所成角为θ，则sin h PNθ=∵N PCD P NCD V V --=， ∴PCD NCD S h S PN ⋅=⋅V V ，计算可得33NCD S =V ，35PD =， ∴311PCD S =V ，又∵32PN =， ∴3611h =，从而33sin 11θ=. 解法二：作OE ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OC ，OD ，OE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,23,0)B -，(2,0,0)C ，(0,23,0)D ，(0,3,0)N -，设()000,,P x y z ，由5PA PC ==，21PB =，得()()()222000222000222000225,225,2321,x y z x y z x y z ⎧+++=⎪⎪-++=⎨⎪+++=⎪⎩解得0000,3,32,x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴(0,3,32)P -.设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r，(2,23,0)CD =-u u u r ，3,32)PC =-u u u r ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，2230,23320,x y x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令1y =，得x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴2n =⎭r ，记直线PN 与平面PCD 所成角为θ，则||sin 11||||||n PN n PN θ⋅==r u u u r r u u ur . 【点睛】本题考查空间直线与平面平行以及垂直的判定、线面角、空间向量的应用，考查考生的空间想象能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.20．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，0n a >且21122n n n S a S ++-=-，其中*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足23n n b a =，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：54nT <. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析【解析】（1）利用作差法求解数列的通项公式，注意对1n =的情况进行讨论；（2）利用裂项相消法求数列的和从而证明结论. 【详解】（1）由题意得2112122,(2)22nn nnn n a S S n a S S ++-⎧=+⎨=+⎩… ∴作差有()()()221111220n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+⇒--+=，∵0n a >，∴12(2)n n a a n +-=…，令1n =时，则求得()2211122222822224a S S a a a a a =+++=⇒=+=或2-（舍），∴212a a -=，∴数列{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，故2n a n =.（2）证明：由（1）知234n b n =，113544T b ==<；当2n …时，22333311441(21)(21)22121n b n n n n n n ⎛⎫=<==- ⎪-+--+⎝⎭， ∴2333311111144235572121n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 531542214n =-⋅<+，即54n T <. 【点睛】本题考查等差数列的概念、数列的通项与裂项相消法求和，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率3e =，焦距为2，直线l 与椭圆C交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且||2||AF FB =，求直线l 方程；（3）设O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，若1223k k =-，求AOB V 面积S 的值.【答案】（1）22132x y +=；（2220x y ±-=；（3）62【解析】（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程；（2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解；（3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到三角形的面积的表达式，化简得到结论，注意对直线的斜率情况分类讨论. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则由221c c =⇒=，则22:132c x ya b Ca=⇒=⇒=+=.（2）若直线l斜率为0，则||1,||1,||2||AF BF AF BF==-≠，不合题意，所以l斜率不为0，设其方程为1x ty=+，联立()2222123440236x tyt y tyx y=+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设()11,A x y，()22,B x y，则122423ty yt-+=+，122423y yt-⋅=+，又()2121122211251222y yy y yy y y y y+=-⇒+=-⇒=-2224112322tt tt=⇒=⇒=±+故直线:0l y±-=.（3）当直线l的斜率为0时，则12k k=-，不妨设1k>，由1223k k=-，得1k=，直线OA方程y x=与椭圆方程联立，223132y xx y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得221,132x x y==±=±，所以,A B坐标分别为,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2⎛⎫-⎪⎝⎭或1⎫-⎪⎪⎝⎭，12⎛⎫--⎪⎝⎭，此时2AOBS=V；当直线l的斜率不为0时，设直线1:l x t y m=+，联立()1222122234260236x t y mt y t my mx y=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩，则1122423t m y y t -+=+，21222623m y y t -⋅=+，∵12121223203k k y y x x =-⇒+=，又()2212112112x x t y y m t m y y =+++， ∴()()2211211223220t y y t m y y m ++++=，化简得221232t m +=，从而()()22222111642326240t m t m m ∆=-+-=>，∴1211||||22AOBS m y y m =-===V .综上，AOB V 的面积2S =. 【点睛】本题考查椭圆的概念与性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想．设而不求思想在此类问题中常常用到． 22．已知函数()ln af x x x=+. （1）若函数()f x 有极值，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，若()f x 在1x x =，()212x x x ≠处导数相等，证明：()()1212ln2f x f x +>+；（3）若函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点1x ，()212x x x ≠，证明：122x x e+>. 【答案】（1）0a >；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）对函数求导，根据导函数存在穿过型零点求解；（2）由12()()f x f x ''=得出1212x x x x +=，利用基本不等式得出12124x x x x +=>，然后计算12()()f x f x +可得证；（3）()0f x =转化为ln a x x -=，通过研究()ln g x x x =的单调性、极值得出()f x 的两个零点的范围，不妨设不妨设1210x x e <<<，然后分类讨论，若22x e…，则结论成立；若22x e <，即212,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，构造新函数2()()h x g x g x e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，10,e x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，通过导数（需两次求导）得出()h x 的单调性，由12,x x 的关系：2112()()()g x g x g x e=>-．可证得结论，【详解】解：（1）由题意知2()(0)x af x x x-'=>，因为()f x 有极值，所以当0x >，0x a -=有解，所以0a >. （2）证明：21()x f x x-'=，由()()12f x f x ''=，得12221211x x x x --=，即1212x x x x +=，因为12,0x x >，且12x x ≠，所以1212x x x x =+>124x x >，则()()1212121211ln ln ln 1ln 412ln 21f x f x x x x x x x +=+++=+>+=+. （3）证明：()ln 0af x x x=+=，即ln a x x -=，令()ln g x x x =，则()ln 1g x x '=+，则函数()ln g x x x =在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令t x e -=，其中0t >，则()ln ttttg x e ee --==-，当t →+∞时，0t t e +→，故0t t e--→，从而当1,0a e⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭时有两个零点，不妨设1210x x e<<<，若22x e…，则结论成立；若22x e <，即212,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令222()()ln ln h x g x g x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2()ln ln 2h x x x e '⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()u x h x '=，则1211()022x e u x x x x x e e '⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=>⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴()h x '在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则1()0e h x h ''⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴1()0h x h e ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即2()g x g x e ⎛⎫>- ⎪⎝⎭在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， ∴()()2112g x g x g x e ⎛⎫=>-⎪⎝⎭， ∵212,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1212,x e e e ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而()g x 在12,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴212x x e >-，即122x x e+>．【点睛】本题考查导数在函数中的应用、函数的性质、不等式的证明，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，体现了分类讨论思想和函数与方程思想.。

2019-2020学年浙江省十校联盟高三(下)开学数学试卷附答案解析

2019-2020学年浙江省十校联盟高三（下）开学数学试卷一、选择题1．（4分）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．R B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，3]D．[﹣2，4]2．（4分）已知双曲线的上、下焦点分别为F1（0，﹣3），F2（0，3），P是双曲线上一点且||PF1|﹣|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．3．（4分）已知两非零复数z1，z2，若z1•z2∈R，则一定成立的是（）A．z1+z2∈R B．C．D．4．（4分）已知a，b∈R，则“|a|≤1”是“|a﹣b|+|b|≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．4B．C．2D．6．（4分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．（4分）设，相互独立的两个随机变量ξ，η的分布列如表：ξ﹣11Pη﹣11P1﹣p p则当p在内增大时（）A．E（ξ+η）减小，D（ξ+η）增大B．E（ξ+η）减小，D（ξ+η）减小C．E（ξ+η）增大，D（ξ+η）增大D．E（ξ+η）增大，D（ξ+η）减小8．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为CD的中点，△ADE沿着AE向上翻折，使点D到D'．若D'在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE内部（不含边界），设二面角D'﹣BC﹣E的大小为α，直线D'C，D'B与平面ABC所成角分别为β，γ，则（）A．α＜β＜γB．β＜α＜γC．β＜γ＜αD．γ＜β＜α9．（4分）已知a＞b＞0，给出下列命题：①若，则a﹣b＜1；②若a3﹣b3＝1，则a﹣b＜1；③若e a﹣e b＝1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb＝1，则a﹣b＜1．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（4分）已知数列{a n}的各项都是正数且满足2a n2﹣3a n＝a n﹣1（n∈N*，n≥2），S n是数列{a n}的前n项和，则下列选项中错误的一项是（）A．若{a n}单调递增，则0＜a1＜2B．若a1＝1，则C．若a1≠2，则D．若a1＝3，则．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11．（6分）我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为α，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则sinα＝，＝．12．（6分）已知直线l：y＝kx被圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝4截得的弦长为，则k＝，圆C上到直线l的的距离为1的点有个．13．（6分）（1）若二项式的展开式中存在常数项，则n的最小值为；（2）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为．（用数字作答）14．（6分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，c＝5，B＝2C，则cos C＝，点D为边BC上一点，且BD＝6，则△ADC的面积为．15．（4分）已知F是椭圆C：的左焦点，A，B是椭圆C上的两个相异动点，若AB中点的横坐标为1，则F到直线AB距离的最小值为．16．（4分）已知向量满足，且，则的取值范围为．17．（4分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2+ax（a＜0，a∈R），若函数f（x）有三个互不相同的零点0，t1，t2，其中t1＜t2，若对任意的x∈[t1，t2]，都有f（x）≤a+14成立，则实数a 的最小值为．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数的图。

2019届浙江省名校联盟高三第四次联考数学试题(解析版)

9．已知函数则方程（为常数且）的不同的实数根的个数为（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】先由得，再在同一平面直角坐标系内作出函数和的图象，根据函数图象的交点个数来确定方程的根的个数．
【详解】
由，得．∵ ，
∴ ．
作出函数和的图象如图所示，
易知它们的图象共有4个不同的交点，
【详解】
如图，分别取的中点，连接，
则．
因为，所以，
又，所以，
所以平面平面，
所以，，所以平面．
易知为二面角的平面角，为二面角的平面角，
即，则．因为，所以，所以，所以
故选：B
【点睛】
1.本题主要考查空间线面位置关系的判断、二面角的求解等，考查考生的空间想象能力、推理论证能力．
即方程（为常数且）有4个不同的实数根．
故选：B
【点睛】
1.本题考查分段函数的图象与性质、方程的根的个数问题，考查数形结合、化归与转化、函数与方程等数学思想方法．
2.试题以分段函数为载体，引导考生将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，需要运用数形结合思想分析函数的图象与性质，体现的数学核心素养是直观想象．
【详解】
由已知得，
所以，
所以．
因为，
所以．
故答案为：，0
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算以及向量的数量积等知识，考查学生对向量数量积知识的灵活应用能力以及化归与转化思想．
三、填空题
15．已知函数，若的最小值为，且，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】先由条件和推得，再将函数变形，利用基本不等式即可求解．

2019届浙江省联盟校高三下学期第二次联考数学试题(解析版)

2019届浙江省联盟校高三下学期第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6}N =，则M N =I （）．A ．{2,4,6}B ．{2,4}C ．{1,2,3,4,5,6}D ．{3,5,6} 【答案】B【解析】根据交集的定义求解.【详解】因为{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6}N =，所以{2,4}M N ⋂=.故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2．已知21i z i =+（其中z 为z 的共轭复数，i 为虚数单位），则复数z =（）． A ．1i -B ．1i --C ．1i +D ．1i -+ 【答案】A【解析】先根据复数代数形式的四则运算将z 化简为a bi +（其中a ，b 为实数）的形式，然后根据共轭复数的概念求复数z 即可．【详解】由题意得，22(1)(1)11(1)(1)i i i z i i i i i i -===-=+++-，故1z i =-.故选：A ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算、共轭复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题. 3．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为（）． A ．14y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．4y x =±【答案】B【解析】先根据双曲线的实轴长为4求得a 的值，再求双曲线的近线方程即可．【详解】因为双曲线的实轴长为4，所以24a =，2a =，所以双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．函数||2x y x e =-的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】用特殊值法取4x =，排除A ，B ，再用导数法研究当0x >时的单调性，再用特殊值进一步确定.【详解】取4x =，则2422440y ee =-=->，排除A ，B ；当0x >时，22x y x e x '=-⨯∴1214111e e012222xy==-⨯=-<⨯'，因此在原点右侧附近，2xy x e=-应该为减函数.故选：C．【点睛】本题主要考查函数图象的判断，对函数性质的理解、求导运算、数值估算，还考查了运算求解辨析的能力，属于基础题.5．已知,a b∈R，则“||||a ba b>”是“a b>”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由||||a ba b>可得0a>，0b<，判断充分性，用特殊值法取2a=，1b=，判断必要性．【详解】由||||a ba b>可得0a>，0b<，故a b>，故充分；取2a=，1b=，则a b>，此时||||=a ba b，故不必要．故选：A．【点睛】本题考查充要关系的判断及不等式的有关知识，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A．6 B．62C．14 D．2【解析】由三视图可知该几何体是从长、宽、高分别为4，4，3的长方体截取而来，其中高为4，底面是一个等腰梯形.【详解】将几何体放入长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可知该几何体的直观图如图中四棱锥A BCDE -所示，故S 四边形114422622BCDE =⨯⨯-⨯⨯=，四棱锥A BCDE -的高3h =，故该几何体的体积13V S =四边形16363BCDE h =⨯⨯=，故选：A ．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图及体积的计算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．已知随机变量ξ的分布列为 ξ0 1 2 Px y 2y x -则当102x <<时，随着x 的增大，（）． A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小再增大D ．()D ξ先增大再减小【答案】D【解析】先根据分布列的性质求得y 的值，进而可求出随机变量ξ的数学期望和方差的表达式，然后根据二次函数的图象与性质即可判断()D ξ的变化趋势．因为21x y y x ++-=，所以13y =，所以5()2(2)23E y y x x ξ=+-=-，所以()D x ξ=⨯2225550212(2)22333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⨯-++-⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x y x y x x ， 282439=-++x x ， 212433⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭x ，因为102x <<，所以由二次函数的图象和性质知，随着x 的增大，()D ξ先增大再减小.故选：D ．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，二次函数的图象与性质，还考查了运算求解能力及分析问题、解决问题的能力，属于中档题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知AC 与BD 交于点O ，E 是1DD 的中点，F 为棱11A B 上的任意一点（不与端点重合），则平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小为（）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】D【解析】先根据线线垂直证得AE ⊥平面1OFB ，然后根据面面垂直的判定定理证平面ABE ⊥平面1OFB ，即可得到平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小．【详解】如图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，过点O 作OP AD ⊥于点P ，则P 为AD 的中点，因为11A B ⊥平面11ADD A ，AE ⊂平面11ADD A ，所以11AE A B ⊥．在正方形11ADD A 中，连接1A P ，易知1AE A P ⊥，又1111A B A P A ⋂=，所以AE ⊥平面11OB A P ，所以AE ⊥平面1OFB ，又AE ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面1OFB ，因此平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小为90︒.故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系、二面角的求法，还考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题.9．已知函数(1)ln ,1(),1f x x x f x ex +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数(())1y f f x =-的零点个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先将函数的零点个数问题等价转化为方程根的个数问题，再分情况讨论方程的根的个数，即可得到函数(())1y f f x =-的零点个数．【详解】函数(())1y f f x =-的零点个数即方程(())1f f x =的根的个数．令()f x t =，则原问题转化为()1(0)f t t =≥的根的个数问题．当1t ≥时，由ln 1t =，解得t e =，所以()f x e =，则当1x ≥时，ln x e =，解得e e x =；当1x <时，(||1)f x e e +=，得(||1)1f x +=，又||11x +≥，所以ln(||1)1x +=，解得1x e =-或1x e =-，又1x <，所以1x e =-．当01t ≤<时，由(||1)1f t e +=，得(||1)0f t +=，所以ln(||1)0t +=，解得0t =，所以()0f x =，所以ln 0x =，解得1x =．综上，函数(())1y f f x =-有e e ，1e -，1这3个零点．故选：C ．【点睛】本题主要考查分段函数、函数的零点等，还考查了转化化归的思想好运算求解能力，属于难题.10．已知数列{}n a 满足112a =，211n n n a a a +=++，若12111n n S a a a =++⋯+，对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，则M 的最小值为（）．A ．83B ．269C ．2627D ．3【答案】D【解析】先根据已知的递推关系式得到0n a >，然后结合基本不等式得到1103n n a a +<<，进而得到*11111(2,3)n n n n N a a -<⋅≥∈，最后利用此不等式对n S 放缩，并利用等比数列的前n 项和公式求解即可．【详解】由211n n n a a a +=++，得2111n n n a a a +-=+>，又112a =，所以0n a >．由211n n n a a a +=++，可得1113n n n na a a a +=++≥，当且仅当21n a =时等号成立，因为112a =，11n n a a +->，所以21n a ≠，所以1103n n a a +<<，所以111103n na a +<<⋅，所以()*2112111111112,333n n n n n n N a a a a ---<⋅<⋅<<⋅≥∈…，所以2111211111111111111111111313333333n n n n n S a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=++++⋅+⋅++⋅=+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………．又对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，所以3M ≥，故M 的最小值为3．故选：D【点睛】本题主要考查数列的递推关系式、放缩法的应用、基本不等式、等比数列的前n 项和公式、不等式恒成立问题等，还考查了运算求解和逻辑推理能力．属于难题.二、双空题11．我国唐代天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题编写了如下一道题：“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗（计量单位），三遇店和花，喝光壶中酒．”问最后一次遇花时有酒________斗，原有酒________斗．【答案】1 78【解析】用倒推的方法，根据最后一次喝光酒，且见花喝一斗，可知最后一次遇花时有酒1斗，然后设原有酒x 斗，根据他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗，递推可得第三次见店又见花后酒有()222111x ---⎡⎤⎣⎦斗，再根据最后一次喝光酒，令()2221110x ⎡⎤⎣⎦---=求解即可.【详解】因为最后一次喝光酒，且见花喝一斗，所以最后一次遇花时有酒1斗，设原有酒x 斗，由他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗得：第一次见店又见花后酒有21x -斗，第二次见店又见花后酒有()2211x --斗，第三次见店又见花后酒有()222111x ---⎡⎤⎣⎦斗，因为最后一次喝光酒，所以()2221110x ⎡⎤⎣⎦---=，解得78x =. 故答案为：(1). 1 (2).78 【点睛】本题主要考查合情推理，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.12．已知实数x ，y 满足约束条件0,02020x y x y x y ≥≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2x y +的最小值为________，最大值为________．【答案】0 10【解析】先根据约束条件作出可行域，然后数形结合求最值即可．【详解】作出可行域如图中阴影部分所示：阴影三角形区域的三个顶点坐标分别为(0,0)，(2,0)，(4,2)，作出直线20x y +=并平移，当平移后的直线经过点(0,0)时，2x y +取得最小值，且最小值为0；当平移后的直线经过点(4,2)时，2x y +取得最大值，且最大值为10．故答案为：(1). 0 (2). 10【点睛】本题主要考查线性规划问题，还考查作图能力和运算求解能力，属于基础题.13．若1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则n =________，二项展开式中的常数项为________．【答案】6 20【解析】先根据二项式系数之和为64求得n 的值，然后根据二项式定理写出二项展开式的通项，令x 的次数为0，求得r 的值，即可求得二项展开式中的常数项．【详解】由二项式系数之和为64，得264n =，故6n =，所以二项展开式的通项6161r r r r T C xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭626r r C x -=，令620r -=，得3r =，则项展开式中的常数项为34620T C ==．故答案为： (1). 6 (2). 20【点睛】本题主要考查二项式系数之和及二项展开式中的常数项的求解，还考查了运算求解能力，属于基础题.14．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，则角B 的大小为________，若b =AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为________．【答案】3π6+ 【解析】先根据正弦定理将已知等式转化为a ，b ，c 之间的关系，然后利用余弦定理即可求出角B 的大小，最后利用正弦定理及向量数量积的几何意义求AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值．【详解】因为222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，所以222a c ac b +-=，即222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==．又(0,)B π∈，所以3B π=．设ABC V 的外接圆半径为r ，则2sin b r B=42==，即2r =．cos AB AC bc A ⋅=u u u r u u u r ，且cos c A 为AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影，而max (cos )c A 2b r =+，故max ()62b AB AC b r ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v故答案为：(1). 3π(2). 6+ 【点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题15．某人将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球随机放入编号分别为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子中放一个小球若球的编号与盒子的编号相同，则视为“放对”，否则视为“放错”，则全部“放错”的情况有________种．【答案】44【解析】可以利用计数原理从正面求解问题，先算出所有情况的种数，然后分别计算有1，2，3，4，5个小球“放对”的情况，最后相减即可得到结果．【详解】解法一第一步，若1号盒子“放错”，则1号盒子有14C 4=种不同的情况；第二步，考虑与1号盒子中所放小球的编号相同的盒子中的情况，若该盒子中的小球编号恰好为1，则5个小球全部“放错”的情况有122C =（种），若该盒子中的小球编号不是1，则5个小球全部“放错”的情况有()113219C C +=（种）．由计数原理可知，5个小球全部“放错”的情况有4(29)44⨯+=（种）．解法二将5个小球放入5个盒子中，共有55120A =种不同的放法，其中恰有1个小球“放对”的情况有()111532145C C C +=（种），恰有2个小球“放对”的情况有215220C C =（种），恰有3个小球“放对”的情况有3510C =（种），恰有4个小球“放对”的情况有0种，恰有5个小球“放对”的情况有1种，故全部“放错”的情况有120452010144----=（种）．故答案为：44 【点睛】本题主要考查排列组合的有关知识，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.16．在四边形ABCD 中，3AB BC ==，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅=u u u r u u u r________．【答案】92【解析】先根据平面向量的线性运算将AC BD ⋅u u u v u u u v转化为AC AD AC AB ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，然后根据平面向量的数量积和余定理求解即可．【详解】因为()AC BD AC AD AB AC AD AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，||||cos ,AC AB AB AC AB AC ⋅=⋅〈〉u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，222||||||||||2||||+-=⋅⋅⋅AB AC BC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， 222||||||2+-=AB AC BC u u u r u u u r u u u r ， ||||cos AC AD AD AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,〈〉AD AC u u u r u u u r ，222||||||||||2||||+-=⋅⋅⋅AD AC CD AD AC AD AC u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 222||||||2+-=AD AC CD u u u r u u u r u u u r 因为3AB BC ==，4CD =，5DA =，所以BD A A C AD B C AC A ⋅=⋅-⋅uu u u u u u r u u u r u u u r u u u r r u ur ，222||||||2AD AC CD +-=-u u u r u u u r u u u r 222||||||922AB AC BC +-=u u u r u u u r u u u r ．故答案为：92【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、数量积，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力和化归与转化思想，属于中档题.17．已知圆()()2200:8M x x y y -+-=，点(2,4)T -，从坐标原点O 向圆M 作两条切线OP ，OQ ，切点分别为P ，Q ，若切线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，121k k =-，则||TM 的取值范围为________．【答案】4]-+【解析】先根据题意得到直线OP ，OQ 的方程，再根据直线与圆的位置关系得到12k k ，结合121k k =-，即可求得圆心M 的轨迹方程，最后数形结合可得||TM 的取值范围．【详解】由题意可知，直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =，因为直线OP ，OQ 与圆M 相切，==两边同时平方整理可得()2221010008280k x k x y y -++-=，()2222020008280k x k x y y -++-=，所以1k ，2k 是方程()2220008280(0)kx kx yy k -++-=≠的两个不相等的实数根，所以212288y k k x -=-．又121k k =-，所以202818y x -=--，即220016x y +=．又||TO ==，所以||4||||4TO TM TO -≤≤+，即4||4TM ≤≤．故答案为：4] 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，还考查了数形结合思想和运算求解能力，属于中档题.四、解答题18．已知向量(cos ,1)(0)m a x a =-≠r，cos ,)n x x b =-r，函数()f x m n =⋅r r．（1）求函数()f x 的最小正周期与()f x 图象的对称轴方程；（2）若0a >，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的最小值是1-，最大值是2，求实数a ，b 的值．【答案】（1）22T ππ==；（2）实数a ，b 的值分别为2，1-．【解析】（1）先由向量的数量积及三角恒等变换求出函数()f x 的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出函数()f x 的最小正周期与()f x 图象的对称轴方程即可；（2）先根据x 的取值范围求出26x π-的取值范围，然后根据正弦函数的图象和性质求出函数()f x 的最值，最后根据已知条件列出方程组，解之即可得实数a ，b 的值．【详解】（1）由题意得()cos cos )=⋅=--f x m n a x x x b r r31cos 2sin 22⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭x a x b， sin =a 262ax b π⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==．令262x k πππ-=+，k Z ∈，解得32k x ππ=+，k Z ∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为32k x ππ=+，k Z ∈．（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为0a >，所以当266x ππ-=-，即0x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为22a ab ---，即a b --，当226x ππ-=，即3x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为2a ab --，即2ab -，所以122a b a b --=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩．故实数a ，b 的值分别为2，1-．【点睛】本题主要考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数的图象与性质，还考查了运算求解能力与分析问题、解决问题的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知四边形ABCD 是菱形，60BAD ︒∠=，PD AD =，PB AB =，二面角A DB P --的大小为120︒，E 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）21313. 【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，根据三角形的中位线定理证得//OE AP ，然后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）先根据（1）得到直线AP 与平面PBC 所成的角，即直线OE 与平面PBC 所成的角，然后过点O 作OF BE ⊥，利用面面垂直的性质定理得到OF ⊥平面PBC ，进而得OEB ∠为直线OE 与平面PBC 所成的角，最后求OEB ∠的正弦值即可．【详解】（1）如图所示：连接AC 交BD 于点O ，则O 是AC 的中点，连接OE ．又E 是PC 的中点，所以//OE AP ，因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE ．（2）过点O 作OF BE ⊥，垂足为F ，连接OP ．由（1）知//OE AP ，所以直线AP 与平面PBC 所成的角，即直线OE 与平面PBC 所成的角．易知BP BC =，又E 是PC 的中点，所以BE PC ⊥．同理DE PC ⊥，又DE BE E ⋂=，所以PC ⊥平面BDE ，因为PC ⊂平面PBC ，所以平面BDE ⊥平面PBC ．因为平面BDE ⋂平面PBC BE =，OF ⊂平面BDE ，OF BE ⊥，所以OF ⊥平面PBC ，所以OEB ∠为直线OE 与平面PBC 所成的角．因为PD PB =，所以EO DB ⊥，又AC DB ⊥，EO AC O =I ，所以DB ⊥平面ACP ，所以AOP ∠为二面角A DB P --的平面角，所以120AOP ∠=o ，设菱形ABCD 的边长2AB =，又60BAD ︒∠=，所以AO OP ===由余弦定理得：2222cos1209AP AO OP AO OP =+-⋅=o ，所以3AP =，在Rt EOB V 中，1322OE AP ==，1OB =，BE ==所以sin OB OEB BE ∠==，所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为13．【点睛】本题主要考查线面平行的证明、线面角的寻找与求解，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.20．已知数列{}n a 满足132a =，111,213,2n n n a n n k a a n k--+-=+⎧=⎨=⎩，其中*k N ∈．记2112n n b a n -=++，*n N ∈．（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）记212212n n n S a a a a -=++++…，试比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）2(1)213333n n n nS S ++++>理由见解析. 【解析】（1）根据题意求1n nb b +及1b ，即可得到数列{}n b 是等比数列；（2）根据（1）得到数列{}n b 的通项公式及前n 项和，然后根据题意将2n S 和数列{}n b 的前n 项和联系起来，得到2n S ，进而得22n S +，最后利用作差法比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小即可．【详解】（1）由题意得21221121212113312332223111222n n n n nn n n a n a n n a n b b a n a n a n +-+---++++++++====++++++，且11332b a =+=，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）知，3nn b =，所以()11231333132n n n b b b +--+++==-…．因为2112n n b a n -=++，*n ∈N ，所以123112n n b a n --=+-+，……23122b a =++， 11112b a =++，所以()121321(1)22n n n n nb b b a a a -++++=+++++……．而212212n n n S a a a a -=++++…，11212133…--=++++n n a a a a ，()13214…-=+++n a a a .所以1212233242324622n n n n n S n n ++⎛⎫-+=-=⨯--- ⎪⎝⎭，故222222232(1)4(1)6232812n n n S n n n n +++=⨯-+-+-=⨯---，而()2(1)2(1)22111333333333+++++++++-=-n n n n n n n n S S S S ， ()221211232893232433+++⎡⎤=⨯----⨯---⎣⎦n n n n n n n ， ()2114403n n n +=+>，故2(1)213333n n n nS S ++++>．【点睛】本题主要考查等比数列的证明、通项公式，数列求和，作差法比较大小等，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．21．已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率e =且经过点(1,0)，P 是抛物线22:2(0)C x py p =>上一点，过点P 作抛物线2C 的切线l ，与椭圆1C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线14x =-平分弦AB ，求p 的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）0p <<【解析】（1）易得1b =，结合椭圆的离心率及222a b c =+即可求出a ，c 的值，进而可得椭圆1C 的方程；（2）先根据题意得出切线l 的方程，然后将切线方程代入椭圆方程，最后利用根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性求解即可．【详解】（1）由题意可知，c e a ==，1b =，又222a b c =+，所以2a =，c =，所以椭圆1C 的方程是2214y x +=．（2）由题意可设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22x py =，即22x y p=，所以x y p '=，所以切线l 的方程是()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p=-，将其代入椭圆方程得23420002224404x x x x x p p p ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，故62400042244404x x x p p p ⎛⎫⎛⎫∆=-+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即422004160x x p --<．① 设()11,A x y ，()22,B x y ，则312224x x x p x +=+，又直线14x =-平分弦AB ，所以1212x x +=-，所以30220142x p x =-+，即2320042p x x =--，② 将②代入①得430080x x +<，③由②③得0182x -<<-．设32()2f x x x =--，则21()62603⎛⎫'=--=-+< ⎪⎝⎭f x x x x x ，18,2⎛⎫∈--⎪⎝⎭x 恒成立，所以()f x 在18,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以320()288960f x <<⨯-=，所以294006<<p ，解得0p << 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系、抛物线方程等，还考查了直观想象、逻辑推理、运算求解的能力，属于难题． 22．已知函数()322133222f x ax x a x =-+，其中a R ∈．（1）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值（2）函数()()()232g x f x f x a x '=+-，当[]0,2x ∈时，()g x 在0x =处取得最大值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2a =-；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）由题意得出()10f '=，可求得实数a 的值，然后将实数a 的值代入导数，就函数()y f x =是否在1x =处极大值进行检验，由此可得出实数a 的值；（2）求得()()32213313222g x ax a x x a =+--+以及()()232122g x ax a x '⎡⎤=+--⎣⎦，对实数a 分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =在区间[]0,2的单调性，结合函数()y g x =在0x =处取得最值进行验证或得出不等式，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()322133222f x ax x a x =-+Q ，()2233322f x ax x a '∴=-+，由题意可得()23313022f a a '=-+=，整理得220a a +-=，解得1a =或2a =-. 当1a =时，()()22333310222f x x x x '=-+=-≥恒成立，此时，函数()y f x =在R 上单调递增，无极值；当2a =-时，()()()()2233632312f x x x x x x x '=--+=-+-=--+. 令()0f x '>，得21x -<<；令()0f x '<，得2x <-或1x >.此时，函数()y f x =在1x =处取得极大值，合乎题意.综上所述，2a =-；（2）()()()()23223133132222g x f x f x a x ax a x x a '=+-=+--+， ()()()223331321222g x ax a x ax a x '⎡⎤∴=+--=+--⎣⎦. ①当0a =时，()330g x x '=--<对任意的[]0,2x ∈恒成立，此时，函数()y g x =单调递减，()()max 0g x g =，合乎题意；②当0a >时，对于函数()y g x '=，()2910a ∆=+>恒成立，设方程()0g x '=的两根分别为1x 、2x ，则1220x x a=-<，设12x x <，则120x x <<. （i ）若202x <<，则当20x x <<时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减；当22x x <≤时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增.所以，()()(){}()max max 0,20g x g g g ==，则()()20g g ≤，即10120a -≤，解得65a ≤，此时()()23430g a '=->，解得34a >，则3645a <≤；（ii ）当22x ≥时，即()()23430g a '=-≤，得304a <≤，则()0g x '≤对任意的[]0,2x ∈恒成立，此时，函数()y g x =在区间[]0,2上单调递减，则()()max 0g x g =，合乎题意；③当0a <时，对任意的[]0,2x ∈，()0g x '<，此时，函数()y g x =在区间[]0,2上单调递减，则()()max 0g x g =，合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数的极值点和最值点求参数，解题时要注意对参数的取值范围进行分类讨论，并学会利用导数分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。

【高三数学试题精选】浙江名校协作体2019届高三数学9月联考试卷(有答案)

浙江名校协作体2019届高三数学9月联考试卷（有答案）
5 浙江省名校协作体10 cADcc
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）
11．，． 12．，
13．， 14．，．
15． 16．----------------2分
--------------------------------------------5分
由，得；-----------------------------------------7分（Ⅱ），
因为，所以，------------------------------10分
所
以．------------------------------------------------------------14分
19．解（Ⅰ）⊥ 不成立，证明如下-------------2分
假设⊥ ，因为，
且，所以面，---------5分
所以，这与已知矛盾，------7分
所以⊥ 不成立．
（Ⅱ）解法1取中点，中点，连，
由已知计算得，------------9分
由已知得 ,且，
所以平面，所以平面平面，--------------12分
取中点，连，
则平面，从而，就是直线与平面所成的角，
因为，，所以 ----------------------15分
解法2如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，。

2019届浙江省杭州七校高三下学期第三次联考数学试题(解析版)

2019届浙江省杭州七校高三下学期第三次联考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足1zi i -=，其中i 为虚数单位，则||z =（）．A ．12B ．1CD ．2【答案】C【解析】先利用复数的四则运算求出复数z ，再根据复数的模的定义求||z ；也可以直接利用复数的模的性质进行求解．【详解】解法1、由题意知，复数21(1)1i i i z i i i--===--，所以||z ==解法2、因为1zi i -=，所以1i z i -=，所以|1|||||1i z i -===．故选：C ．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算、复数的模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算法则是解答的关键，着重考查数学运算能力．2．已知集合{}2|430A x x x =-+<，{}|2,1xB y y x ==>，则()A B =R（）．A ．(1,2]B ．[2,3)C ．(1,3)D ．(0,2]【答案】A【解析】先解一元二次不等式得到集合A ，再根据指数函数的单调性求得集合B ，最后根据集合的交、补运算求()RA B ，即可求解．【详解】由不等式2430x x -+<，可得13x <<，所以(1,3)A =，又由函数2xy =在(1,)+∞上单调递增，且12x y ==，所以(2,)B =+∞，所以(,2]RB =-∞，所以()(1,2]R A B ⋂=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，集合的交、补运算，着重考查了推理与计算能力．3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转4π后，终边经过点1)P ，则cos2=α（）A ．3B ．3C ．3-D ．3-【答案】B【解析】先建立角α和旋转之后得所到的角之间的联系，再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得．【详解】设旋转之后的角为β，由题得4παβ+=，sin 3β=，cos 3β=，又因为222παβ=-，所以得cos 2cos(2)sin 22sin cos 22333παββββ=-===⨯=，故选B ．【点睛】本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质，是基础题．4．已知a ，b ，c 为实数，则“0.10.1a b <”是“3232a c b c >”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】结合指数函数的性质，得到“0.10.1a b <”的充要条件是“a b >”，再结合幂函数的性质，得到“33a b >”是“a b >”的充要条件，最后利用充分、必要条件的判定方法，即可求解．【详解】由函数0.1xy =在R 上单调递减，所以“0.10.1a b <”的充要条件是“a b >”．又因为函数3y x =在R 上单调递增，所以“33a b >”是“a b >”的充要条件，又由“33a b >”是“3232a c b c >”的必要不充分条件，所以“0.10.1a b <”是“3232a c b c >”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查了充要关系的判断以及指数函数的性质等，着重考查逻辑思維能力与运算能力．．5．已知某三棱锥的三视图如图所示，其中每个小正方形的边长都为1．三棱锥上的点M 在俯视图上的对应点为A ，点N 在左视图上的对应点为B ，则线段MN 的长度的最大值为（）．A ．33B ．32C ．9D ．6【答案】A【解析】在棱长为3的方体中还原该几何体的直观图，得到三棱锥P CNE -，再结合M 在PC 上，得到在线段MN 长度的最大值即PN 的长，即可求解．【详解】根据题意及三视图，在棱长为3的正方体中还原该几何体的直观图，得到如图所示的三棱锥P CNE -，由题意知M 在PC 上，在线段MN 长度的最大值即PN 的长，故线段MN 长度的最大值为33．故选：A ．【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体的直观图、计算动点到定点距离的最大值，其中三视图是考查空间想象能力重要载体，常结合面积、体积等进行命题，求解此类问题的关键是根据三视图还原直观图，还原直观图时常需要在长方体或正方体中还原．6．已知(,)P x y 是不等式组21011x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域内的任意一点，Q 是圆22:(2)(2)4C x y -+-=上的动点，则||PQ 的最大值为（）．A ．52-B ．52+C ．6523- D ．6523+ 【答案】D【解析】先作出不等式组所表示的平面区域，并求出平面区域的，再分别求出三个顶点到圆心C 的距离，并比较大小得到||PQ 的最大值．【详解】作出不等式组21011x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域如图中阴影部分，如图所示，可得(0,1)A ，21,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭，(1,0)D ，圆22:(2)(2)4C x y -+-=的圆心为(2,2)C ，又由点A ，B ，D 到圆心C 的距离分别为5，653，5，所以易知||PQ 的最大值为6523+．故选：D ．【点睛】查线性规划的知识、两点间的距离公式、圆的标准方程，其中解答中作出图形，将问题转化为不等式组表示的平面区域内的点到圆心的距离的最大值问题，然后结合图形解题是解答的关键，着重考查了作图能力、数形结合思想及化归与转化思想．7．已知直线2y x b =+与函数2,0()ln ,0x x f x x a x ⎧-≤=⎨+>⎩的图象相切，且有两个不同的切点，则实数a 的值为（）． A ．ln 2 B ．2C ．2ln 2-D ．2ln2+【答案】D【解析】先由题意得出直线与分段函数的两部分图象均相切，再利用方程根的判别式及导数的几何意义求解．【详解】由題意，知直线2y x b =+与函数()f x 在(,0]-∞，(0,)+∞上的图象均相切，由直线2y x b =+与2y x =-的图象相切得，联立方程组22y x y x b⎧=-⎨=+⎩，整理得220x x b ++=，由440b ∆=-=，解得1b =，此时切点为(1,1)A --，直线方程为21y x =+，设直线21y x =+与ln y x a =+的图象切于点()00,B x y ，由函数ln y x a =+，则1y x '=，所以012x =，所以012x =，所以点B 的坐标为1,ln 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为点B 在直线21y x =+上，所以1ln 2212a -=⨯+，解得2ln2a =+．故选：D ．【点睛】本题主要考查了分段函数与导数的几何意义，考查考生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力，运算求解能力．8．某部门在一周的7天内给3名实习生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名实习生，且这3名实习生不能安排在连续的3天，则不同的安排方案的种数为（）． A ．30 B ．120C ．180D ．210【答案】C【解析】先求出将3名实习生随机安排在一周的7天内的安排方案种数，再求出将3名实习生安排在连续的3天的安排方案种数，最后相减即可得到结果．【详解】由题意，将3名实习生随机安排在一周的7天内，共有37A 种安排方案，将3名实习生安排在连续的3天的安排方案有335A 种，所以满足题意的不同安排方案有33735180A A -=（种）．故选：C ．【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，其中解答此类问题时，若直接从正面求解，则较为复杂，还容易出错；若从反面求解则较容易得到答案，着重考查了逻辑推理能力．9．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 两点在抛物线的准线上的射影分别为M ，N ，若||MF =，||4NF =，则p =（）．A B ．2C ．D ．4【答案】C【解析】首先设出P ，Q 两点的坐标并表示出2||MF 与2||NF ，然后利用直线PQ 过焦点建立P ，Q 两点的纵坐标之间的关系，最后建立关于p 的方程求解即可．【详解】由题意，抛物线22(0)y px p =>，可得准线方程为2p x =-，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则由题意可得1,2p M y ⎛⎫-⎪⎝⎭，2,2p N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()2222211||022p p MF y p y ⎛⎫=--+-=+ ⎪⎝⎭，所以2221p y =+，即22148y p =-，()2222222||022p p NF y p y ⎛⎫=--+-=+ ⎪⎝⎭，所以22224p y =+，即22216y p =-，又直线PQ 过焦点F ，所以212y y p =-，所以()()222412y y pp =-=4，即()()22224124816y y pp p =--=，整理得212p=，又因为0p >，所以p = 故选：C ．【点睛】本题主要考查了拋物线的几何性质、两点间的距离公式以及直线与抛物线的位置关系等，考查逻辑推理能力和运算求解能力．10．数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（*n N ∈且2n ≥），数列{}21n a -为递增数列，数列{}2n a 为递减数列，且12a a >，则99a =（）． A ．4950- B ．4851-C ．4851D ．4950【答案】D【解析】由数列{}21n a -为递增数列，得到()()2122210n n n n a a a a +--+->，进而得出2120n n a a +->，又由数列{}2n a 为递减数列，得到()()22212120n n n n a a a a ++++-<-，得到22210n n a a ++-<，得出当n 为奇数且3n ≥时，21n n a a n --=，当n 为偶数时，21n n a a n --=-，即可求解．【详解】因为数列{}21n a -为递增数列，所以2121n n a a -+<，即21210n n a a +-->，则()()2122210n n n n a a a a +--+->，由题意22212221(21)(2)n n n n a a n n a a +--=+>=-，则由()()2122212122210n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-⎧-+->⎪⎨->-⎪⎩得2120n n a a +->，*n N ∈，因为数列{}2n a 为递减数列，所以222n n a a +>，即2220n n a a +-<，则()()22212120n n n n a a a a ++++-<-，由题意得，222221(22)(21)n n a a n n ++-=+>+212n n a a +=-，由()()222121222213120n n n n n n n na a a a a a a a ++++++⎧-+-<⎪⎨->-⎪⎩，可得22210n n a a ++-<，*n N ∈，又12a a >，即210a a -<，所以当n 为奇数且3n ≥时，21n n a a n --=；当n 为偶数时，21n n a a n --=-．所以99a =()()()()999898979796211a a a a a a a a a -+-+-++-+…2222229998979632199=-+-++-+=+ (9897963214950)++++++=…．故选：D ．【点睛】本题主要考查了以递推数列为载体考查逻辑思维能力，在解题过程中需结合数列的増减性和含绝对值符号的式子所藴含的信息进行适当推理与分析，着重考查了逻辑思维能力，以及推理与计算能力．二、填空题11．函数()sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是________，()f x 在[0,1]上的最小值为________．【答案】2. 12-. 【解析】根据三角函数最小正周期的计算公式得出()f x 的最小正周期是2，再根据正弦函数的图象求得函数()f x 在[0,1]上的最小值．【详解】由题意，函数()sin 6f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得函数()f x 的最小正周期22T ππ==，当[0,1]x ∈时，7,666x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图象可知，当766x πππ+=，即1x =时，函数()f x 在[0,1]上取得最小值，且min 71()(1)sin 62f x f π===-．故答案为：2，12-. 【点睛】本题主要考查了三角函数的最小正周期，三角函数的最值问题，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的渐近线交于A ，B 两点，若AOB ，则双曲线C 的标准方程为________，离心率为________．【答案】22143x y -=. 2. 【解析】根据双曲线的方程得到渐近线方程，再由1y =确定点A ，B 的横坐标，然后根据三角形的面积得到b 的值，即可得到双曲线的标准方程和高心率．【详解】由题意，双曲线222:14x y C b-=的渐近线方程为2b y x =±，令1y =，可得2x b =±，则4A B x x b-=，由AOB 的面积为112A B x x -⨯=b =所以双曲线C 的标准方程为22143x y -=，离心率c e a===．故答案为：22143x y -=， 2.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程、渐近线方程、离心率等知识点的综合应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了运算求解能力． 13．28(1)(1)x x x ++-的展开式中5x 项的系数为________．【答案】42-.【解析】先求出8(1)x -的展开式的通项，再分别求出展开式中5x 项、4x 项、3x 项的系数，即可求得28(1)(1)x x x ++-的展开式中5x 项的系数．【详解】由题意，二项式8(1)x -的展开式的通项81881()(1)r r r r r r r T C x C x -+=-=-，其中5x 项的系数为558(1)56C -=-，4x 项的系数为448(1)70C -=， 3x 项的系数为338(1)56C -=-，所以28(1)(1)x x x ++-的展开式中5x 项的系数为56705642-+-=-．故答案：42-．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14．在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，E ，F ，G 分别是棱B C ''，C D ''，DD '的中点，则过点E ，F ，G 的平面与底面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．【答案】33. 【解析】设正方体上、下底面的中心分别为O '，O ，连接A C ''，与EF 交于点P ，连接AC ，与HM 交于点Q ，连接PQ ，得到PQC ∠为平面EFGHMN 与底面ABCD 所成二面角的平面角，即可求解．【详解】过E ，F ，G 的平面与AD ，AB ，BB '分别交于点H ，M ，N ，且H ，M ，N 分别为所在棱的中点，如图所示，则平面EFGHMN 与底面ABCD 所成角的余弦值，即所求角的余弦值，设正方体ABCD A B C D ''''-上、下底面的中心分别为O '，O ，连接A C ''，与EF 交于点P ，连接AC ，与HM 交于点Q ，连接PQ ，则PQC ∠为平面EFGHMN 与底面ABCD 所成二面角的平面角，连接O A '，易知O A PQ '//，所以O AO PQC '∠=∠，故23cos cos 36OA PQC O AO O A '∠=∠==='，故所求锐二面角的余弦值为33．故答案为：33．【点睛】本题主要考查了二面角的余弦值，考查考生的空间想象能力、推理论证能力，着重考查了二面角的求解与垂直问题． 15．若实数x ，y满足(4x y ++=，则22x y +的最小值为________．【答案】1-. 【解析】由(4x y ++=，得出(x y +构成成等比数列，求得y x =-，进而结合二次函数的性质，即可求解．【详解】由题意，实数x ，y满足(4x y =，可得(x y 构成成等比数列，设公比为q，则22x q y q ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得2222244(2)x x q y q y ⎧⎛⎫+=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=-⎩，解得11x q q y q q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得y x =-，所以22x y +=222(1)11x x x -=--≥-，故22x y +的最小值为1-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了最值问题的求解，其中解答中根据题设条件，合理转化为等比数列，利用等比数列的性质求解是解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及分析问题和解决问题的能力．三、双空题16．袋子中有3个红球、5个白球，从袋子中随机摸出3个球，若随机变量ζ表示摸到白球的个数，则(1)P ζ==________，()E ζ=________．【答案】1556. 158. 【解析】由从袋子中摸出的3个球为1个白球、2个红球的概率，求得(1)P ζ=，进而得到随机变量ζ的所有可能取值为0,1,2,3，求得相应的概率，列出分布列，利用公式求得期望．【详解】由题意，从袋子中摸出的3个球为1个白球、2个红球的概率，故21353815(1)56C C P C ζ===．又由随机变量ζ的所有可能取值为0,1,2,3，则33381(0)56C P C ζ===，1235383015(2)5628C C P C ζ====，3538(3)C P C ζ==1055628==，所以随机变量ζ的分布列为所以11515515()0123565628288E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=．故答案为：1556，158. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望计算，考查考生分析问题、解决问题的能力．17．若向量a ，b 满足2||3||6a b ==，则|23||23|a b a b ++-的最小值为________，最大值为________．【答案】12【解析】设a ，b 的夹角为θ，根据向量的运算，得到所以y=．【详解】由题意，设|23||23|y a b a b =++-，a ，b 的夹角为θ，则22|23|(2)(3)12a b a b a b +=++⋅=，22|23|(2)(3)127272cos a b a b a b -=+-⋅=-所以|23|a y b =+|23|7272cos a b +-=+所以27272cos 7272cos 2y θθ=++-+⨯144=+因为201cos 1θ≤-≤，所以2144288y ≤≤，所以12y ≤≤故|23||23|a b a b ++-的最小值为12，最大值为．故答案为：12，【点睛】本题主要考查了平面向量的模、基本不等式的应用，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理、数学运算能力．四、解答题18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC 的周长为3，sin sin sin sin A B C b A +-=．（1）求角C 的大小；（2）若12ABCS=，求sin sin A B +的值．【答案】（1）3C π=；（2）8. 【解析】（1）利用正弦定理将sin sin sin sin A B C b A +-=转化为边的关系，再结合三角形的周长及余弦定理，即可求得角C ；（2）利用方程思想解得c 及+a b 的值，再根据正弦定理将sin A ，sin B 表示出来，即可求解．【详解】（1）因为sin sin sin sin A B C b A +-=，由正弦定理可得a b c ab +-=，又由3a b c ++=，可得()()3a b c a b c ab +-++=，整理得222a b c ab +-=，所以222cos 122a b c C ab +-==，又因为(0,)C π∈，所以3C π=．（2）因为1sin 23ABCSab π==，解得13ab =，所以13a b c ab +-==，又由3a b c ++=，可得53a b +=，43c =，由正弦定理得sin sin a C A c =，sin sin b CB c=，所以sin 53353sin sin ()388C A B a b c +=+⨯=⨯=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AC ==，E ，F 分别是棱PB ，CD 的中点．（1）求证：//CE 平面PAF ；（2）求直线EC 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）2114. 【解析】（1）可先证线线平行，然后根据线面平行的判定定理证明线面平行，也可先根据线线平行证明面面平行，再根据面面平行证明线面平行；（2）可利用传统法，先找到线在直角三角形求线面角的正弦值，也可根据题中的线面位置关系建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解．【详解】（1）如图所示，取AB 的中点H ，连接CH ，EH ，因为E 是棱PB 的中点，所以EH 是PAB △的中位线，所以//EH PA ，又因为PA ⊂平面PAF ，EH ⊄平面PAF ，所以//EH 平面PAF ，又由F 是棱CD 的中点，H 为AB 的中点，可得CH AF //，又因为AF ⊂平面PAF ，CH ⊄平面PAF ，所以//CH 平面PAF ，又由EH CH H ⋂=，且,EH CH ⊂平面EHC ，所以平面EHC //平面PAF ，又因为EC ⊂平面EHC ，所以CE平面PAF ．（2）取BC 的中点N ，连接AN ，由ABC 是等边三角形，所以AN BC ⊥，又//BC AD ，所以AN AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，,AN AD ⊂平面ABCD ，所以PA AN ⊥，PA AD ⊥，所以PA ，AN ，AD 两两垂直，故以A 为坐标原点，AN ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,2)P ，(3,1,0)C ，(0,2,0)D ，31,,122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故(3,1,2)=-PC ，(0,2,2)PD =-，33,,122CE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即320220x y z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则3y z ==，故(1,3,3)n =为平面PCD 的一个法向量，设直线EC 与平面PCD 所成的角为θ，则||321sin |cos ,|14||||72n CE n CE n CE θ⋅=〈〉===⋅⨯，所以直线EC 与平面PCD 所成角的正弦值为2114．【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足2101n nn a S S +++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11b =，1(2)2n n nnb b n a +-=-⋅，求证：1223n n T n n+-≤-．【答案】（1）1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩；（2）见解析. 【解析】（1）先利用11n n n a S S ++=-将题中的等式化简、整理，即可得到数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，进而求得n S ，最后根据数列的通项和前n 项和之间的关系即可求得n a ；（2）先根据题意求出1n n b b +-，然后利用累加法求得n b ，最后利用放缩法证明不等式．【详解】（1）因为2101n n n a S S +++=，所以2101nn n n S S S S +-+=+，即()()2110n n n n S S S S +-++=，化简、整理得110n n n n S S S S +++-=，等式两边同除以1n n S S +，得11110n n S S ++-=，即1111n n S S +-=．因为11a =，所以11111S a ==，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列，所以111n n n S =+-=，所以1n S n=，所以当2n ≥时，11111(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---，所以数列{}n a 的通项公式为1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩．（2）因为1(2)2n n nnb b n a +-=-⋅，所以当1n =时，1211(12)22b b a -=-⋅=-，即212b b -=-，当2n ≥时，111(2)2(1)2222(1)(1)1n n n n n n n n n n b b n n n n n n+++-⋅-⋅-⋅-=-=-=----，所以当2n ≥时，11232211n n n n n b b b b b b b b b b ---=-+-++-+-+…12122222132n n n n n n n n ---=-+-+----23222222(2)1132122111n nn n +-+-+=--=-----，所以1,123,21nn n b n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩．又2n ≥时，22331n n n b n n =-<--，且112131b ==-，所以当*n N ∈时，23nn b n≤-．所以12121222222233331212n n n n T b b b n n n ⎛⎫=+++-+-++-=-+++≤ ⎪⎝⎭……122223n n n n n ⎛⎫≤-+++ ⎪⎝⎭ (122)3n n n +-=-，故1223n n T n n+-≤-，当且仅当1n =时等号成立．【点睛】本题主要考查了数列的通项和前n 项和之间的关系，等差数列的定义、通项公式，累加法、放缩法的综合应用，其中解答中注意1n n n a S S -=-成立的前提条件2n ≥是本题的一个易错点，着重考查化归与转化思想、分析问题和解决问题的能力，体现逻辑推理、数学运算等核心素养．21．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与椭圆C相交于M ，N 两点．（1）当直线l的斜率12k =时，求1F MN △的面积；（2）当11435F M F N -<⋅≤时，求||MN 的取值范围．【答案】（1；（2）16,45⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）先根据椭圆的几何性质求出1F ，2F 的坐标，进而可求出直线l 的方程，然后联立方程，结合根与系数的关系即可求得1F MN △的面积；（2）先由题意得到直线l 的斜率不存在时不满足题意，再设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，根据条件求出2k 的取值范围，最后利用换元法求出||MN 的取值范围即可．【详解】（1）由椭圆22:143x y C +=，可得左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，因为直线l 的斜率12k =，所以直线l 的方程为10(1)2y x -=-，即210x y --=，联立方程，得2214321x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简、整理得2161290y y +-=，设()33,M x y ，()44,N x y ，则3434y y +=-，34916y y ⋅=-，所以11234124F MNSF F y y =⋅-=，即1F MN △（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，所以不妨设31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1133972,2,42244F M F N ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足11435F M F N -<⋅≤，所以直线l 的斜率存在，设直线:(1)l y k x =-，联立方程，得22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=， ()()()()22222843441214410k k k k ∆=--+-=+>．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以()()1111221,1,FM F N x y x y ⋅=+⋅+()()121211x x y y =+⋅++ ()()()2121212111x x x x k x x =++++--()()()()221212111k x x k x x =+++-+()()2222222412348113434k k k k k k k -++=+⨯+-⨯++227934k k-=+．又由227943345k k --<≤+，解得203k <≤．可得12||MN x =-=()2212134k k +=+，令21t k =+，则(1,4]t ∈，可得1212||1414t MN t t==--，因为115344t <-≤，所以16||45MN ≤<，即||MN 的取值范围是16,45⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查了椭圆的几直线与椭圆的位置关系、三角形的面积公式、向量的数量积、弦长公式，其中解答中第（2）问有部分考生会直接设直线l 的方程为(1)y k x =-，忽略直线l 的斜率不存在这种情况，从而得到错误的结论，着重考查转化思想，以及运算求解能力及分析问题、解决问题的能力． 22．已知函数ln ()1xf x x=+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()xy f x ae =-（e 是自然对数的底数）恰有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间是(0,e)，单调递减区间是(,)e +∞；（2）1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）先根据题意求得函数()f x 的定义域，再对函数()f x 求导，利用导数求函数的单调区间即可；（2）先将函数()xy f x ae =-恰有一个零点等价转化为方程ln ln 0x x x x ae ++-=在(0,)+∞上恰有一解，然后换元，构造函数，利用分类讨论思想进行求解，也可分离参数，构造新函数，利用导数研究新函数的图象，数形结合即可求解．【详解】（1）由题意知，函数ln ()1x f x x=+的定义域为(0,)+∞，则21ln ()xf x x -'=，当0x e <<时，21ln ()0xf x x-'=>，函数()f x 单调递增；当x e >时，21ln ()0xf x x-'=<，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)e ，单调递减区间是(,)e +∞．（2）解法1、由函数()xy f x ae =-恰有一个零点，等价于方程ln 10x xae x+-=在(0,)+∞上恰有一解，即方程ln ln 0x x x x ae ++-=在(0,)+∞上恰有一解，令ln t x x =+，易知ln t x x =+在(0,)+∞上单调递增，且当0x +→时，t →-∞，当x →+∞时，t →+∞，所以(,)t ∈-∞+∞，所以方程0t t ae -=在(,)t ∈-∞+∞上恰有一解，记()tg t t ae =-，则()1tg t ae '=-．①当0a <时，()10tg t ae '=->，所以函数()g t 单调递增，又当t →-∞时，()g t →-∞，且(1)1e 0g a =->，所以当0a <时，方程0t t ae -=在(,)t ∈-∞+∞上恰有一解，满足题意． ②当0a =时，方程0t t ae -=在(,)t ∈-∞+∞上恰有一解，满足题意． ③当0a >时，由()10t g t ae '=-=，得ln t a =-，当ln t a <-时，()10t g t ae '=->，()g t 单调递增，当ln t a >-时，()10t g t ae '=-<，()g t 单调递减．又当t →-∞时，()g t →-∞，当t →+∞时，()g t →-∞，所以当(ln )0g a -=，即1ea =时，方程0t t ae -=在(,)t ∈-∞+∞上恰有一解．综上所述，实数a 的取值范围为1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭．解法2、函数()xy f x ae =-恰有一个零点，等价于方程ln 10x xae x+-=在(0,)+∞上恰有一解，即方程ln ln 0x x x x ae ++-=在(0,)+∞上恰有一解．令ln t x x =+，易知ln t x x =+在(0,)+∞上单调递增，且当0x +→时，t →-∞，当x →+∞时，t →+∞，所以(,)t ∈-∞+∞，所以方程0t t ae -=在(,)t ∈-∞+∞上恰有一解，第 21 页共 21 页即方程t t a e =在(,)t ∈-∞+∞上恰有一解．令()x x h x e =，则()21()x x x x e xe x h x e e --'==，所以函数()h x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．又当x →-∞时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x →，且当0x >时，()0h x >，1(1)h e=，所以作出函数()xx h x e =的大致图象，如图所示，数形结合可知，0a ≤或1a e =．故实数a 的取值范围为1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中求解第（1）问时忽略函数()f x 的定义域而失分；第（2）问的关键是将()xy f x ae =-恰有一解等价转化为方程ln ln 0x x x x ae ++-=在(0,)+∞上恰有一解，然后换元，转代为方程0t t ae -=在(,)t ∈-∞+∞上恰有一解，着重考查运用函数与导数知识解决问题的能力，以及运算求解能力及逻辑推理能力．。

2019届浙江省高三三校联考数学试题

2019届浙江省高三三校联考数学试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合{}210A x x =-≥，{}04B x x =<<，则AB =A ．(,1)-∞-B. [)0,4C. [)1,4D. (4,)+∞2．已知i 为虚数单位，2iiz +=，则z 的虚部为 A ．1B. 2-C. 2D. 2i -3．已知双曲线22221-=y x a b的渐近线方程为12=±y x ，则该双曲线的离心率为C. 3D. 24．函数1()||=-f x xx的图象是A. B. C. D. 5．已知随机变量ξ满足(0)ξ==P x，(1)1P xξ==-，若12<<x，则A．()Eξ随着x的增大而增大，()Dξ随着x的增大而增大B．()Eξ随着x的增大而减小，()Dξ随着x的增大而增大C．()Eξ随着x的增大而减小，()Dξ随着x的增大而减小D．()Eξ随着x的增大而增大，()Dξ随着x的增大而减小6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.23B.43C.83D.1637．“21-<x y”是“ln0<xy”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．如图，圆O是半径为1的圆，12OA=，设,B C为圆上的任意2个点，则AC BC⋅的取值范围是A．1[,3]8-B．[1,3]-C．[1,1]-D．1[,1]8-9．在棱长为D ABC-中，过点D的平面Γ与底面ABC所成锐二面角的(第6题图)正视图侧视图俯视图（第8题图）Γ与底面ABC 的交线为l ，当平面Γ运动时，直线l 在ABC ∆内的部分形成的区域的面积为 A．6π B．12π C．6πD．6π10．已知二次函数2()f x ax bx c =++有零点，且1a b c ++=，则max{min{,,}}a b c = A ．12B ．13C ．14D ．16第II 卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”-P ABCD ，⊥PA 底面ABCD ，21PA AB AD ===，，则该“阳马” 的最长棱长等于 ▲ ；外接球表面积等于 ▲ ．12．设,x y 满足约束条件210201x y x y x ì-+?ïï-?íï£ïî，则23z x y =+的最大值为 ▲ ；满足条件的,x y 构成的平面区域的面积是 ▲ ．13．已知56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，则0a = ▲ ；5a = ▲ ． 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若6π=A，(4cos =+b a B ，且1=b ，则B = ▲ ；△ABC 的面积为 ▲ ．15．从0,1,2,3,4,5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件a b c d e <<>>“”的五位数的个数有 ▲ ．16．已知函数220()1(2)042-≤<+≤⎧⎪=⎨-≤⎪⎩x x f x f x x ，，，．若函数()log ()y f x a x =--恰有两个零点，则实数a的取值范围为 ▲ ．17．如图，椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22182yx +=．点P 为椭圆C 2上一点，直线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，则||=||PA PB ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)（第17题）18．(本小题满分14分)已知函数2()6cos 32xf x x ωω=+-(0)ω>的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()5f x =且0214(,)33∈x ，求0(1)+f x 的值．19． (本小题满分15分)如图，已知四棱锥A BCDE -中，2A B B C==，120ABC AE ︒∠==，，//CD BE ，24BE CD ==，60EBC ︒∠=.（Ⅰ）求证：⊥EC 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值.20．(本小题满分15分)已知数列{}n a 中，1212(13)323(3)n n n a a a a a a a a n --=≠≠-==+≥且，，. （I ）求{}1n n a a ++和{}13n n a a +-的通项公式；（II ）若数列{}n a 单调递增，求a 的取值范围.21. （本小题满分15分）如图，已知抛物线21:4C x y =与椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>交于点A ，B ，DCAE且抛物线1C 在点A 处的切线1l 与椭圆2C 在点A 处的切线2l 互相垂直. （I ）求椭圆2C 的离心率；（II ）设1l 与2C 交于点P ，2l 与1C 交于点Q ，求APQ ∆面积的最小值.22．(本小题满分15分) 已知函数()()221ln 12ln f x x ax x x=--+-．（Ⅰ）当0a =时，求证：()0f x >；（Ⅱ）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围；（Ⅲ）求证：()()()()222ln 1213112ln 232*n n n n N⎡⎤++⋅⋅⋅+<+⨯⋅⋅⋅≥∈⎣⎦，且．参考答案一、选择题C B AD B C D A D C二、填空题11. 3, 9π 12. 11,2512 13. 160-, 15 14. 512π, 1415. 2116. (1,3] 17. 3-18.解：（1）()3cos ωω=f x x x )3πω=+x …………………3分由条件8=T ，所以284ππω== …………………4分所以()sin()43ππ=+x f x 令22,2432ππππππ+≤+≤+∈x k k k Z ，得10288,33-+≤≤+∈k x k k Z 所以增区间为102[8,8],33-++∈k k k Z …………………7分（2）因为0()5=f x 由（1）知00()sin()435ππ=+=-x f x 即03sin()435ππ+=x ， …………………8分因为0214(,)33∈x ，所以032432ππππ<+<x所以04cos()435ππ+=-x …………………10分所以00(1)sin()443πππ+=++x f x003[sin()cos cos()sin ]434434ππππππ=+++x x343(52525=⨯-=- …………………14分19解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得AC =在EBC ∆中，由余弦定理得EC =由222222,CE CA EA CE CB EB +=+=得， ,EC CA EC CB ⊥⊥,所以EC CAB ⊥面 ……………………7分(2)如图,建立空间直角坐标系-C xyz ，则()0,0,0,C E A B所以(3,1,0),(23,0,,23),(3,1=-=-=--AB AE BE 11(22==--CD BE 所以1(22--D ，1(22=--AD ……………………11分所以(,,)n x y z =是面ABE 的一个法向量，则0⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩y取(1,3,1)=n ……………………13分记直线AD 与平面ABE 所成角为α，则330sin AD n AD nα⋅==……………………15分20.解：（I ）21213333a a a a a a +=+-=-， ……………………2分由1223n n n a a a --=+得1123()n n n n a a a a ---+=+1123(3)n n n n a a a a ----=-- ……………………4分所以11+1123()(3)3n n n n a a a a a --+=+=+113(1)(33)n n n a a a -+-=-- ……………………7分（II ）由以上两式得111[(3)3(1)(33)]4--=+---n n n a a a ……………………8分 1111[(3)3(1)(33)]2n n n n a a a a --+-=++-- ……………………10分当n 为奇数时111(3)3(1)(33)(33)33n n n n a a a ---++--=-++ 所以110(33)330n n n n a a a -+->⇒-++>当13=<n a 时，当113312333333n n n n a --+≥>-=----时关于n 递增所以33a -≤< . ……………………12分当n 为偶数时111(3)3(1)(33)(33)33---++--=++-n n n n a a a所以111331203(33)33+---->⇒>-=-++n n n n n a a a 关于n 递减，所以1>-a ……………………14分综上 (1,1)(1,3)a ∈- ……………………15分21.解：（I ）设点00(,)A x y ，00(,)B x y -，其中00x >，00y >.则抛物线1C 在点A 处的切线方程为100:2()l x x y y =+， .…………………2分椭圆2C 在点A 处的切线方程为00222:1x x y yl a b+= ..…………………4分由题意可知，12l l ⊥，则有20020()12x b x a y ⋅-=-，且2004x y =.所以：222a b =，从而椭圆2C的离心率为2e =.…………………6分（II222212+=x y b b .…………………7分设2(2,)A t t ，设21:=-l y tx t ,由222222⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y tx t x y b得22342(12)4220+-+-=t x t x t b所以22|||2|12=-=++P A tAP x x t t .…………………9分设221:2=-++l y x t t，同理可得4|||22|Q A AQ x x t t t=-=++ .…………………11分所以1||||2APQS AP AQ ∆=323222144(1)2()812(12)++=+⋅=++t t t t t t t t.…………………12分令232(1)(),0(12)+=>+t f t t t t ，则2222222(1)(21)(31)'()(12)+-+=+t t t f t t t令'()0=f t得2=t (0,)2上单调递减，在(,)2+∞上单调递增.所以()()2≥=f t f所以∆≥APQ S .…………………15分法二：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2004x y =及2220022x y b +=可知：22002b y y =+.由10022222:2(),:12l x x y y x y C b b ì=+ïïïíï+=ïïïî消去x 得222220000(24)8420x y y y y b x +++-=，由题意可知：2222220000000120004248(2)248421y b x y b y y b y y y x y y ---===+++，则220001002322121y b y y y y y ---==++，01004(21)y x x y -=+ .……………………9分由0022221:1,2:4x x y yl b b C x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得2200240y x x x b +-=，由题意可知：0020028x x x y x +=-=-，则2008x x x =--，222200000020002842(2)84422x b y y y y y y y y y +++++++===，…11分所以323000120200008(1)(4)122(21)2(2)∆++=-⋅==++APQx y x S y y x y y x x ， ……………………13分记232(4)()(2)x f x x x +=+，其中0x >，则22422222222222(4)(328)(4)(34)(2)()(2)(2)x x x x x x f x x x x x +--++-'==++，由()0f x '=，得x =所以()f x在上递减，在)+∞上递增.所以3min()f x f===所以∆≥APQS………………15分22．解：（Ⅰ）当0a=时，()()22112f x xln x ln x=-+-因为()1ln x x+≤，当1x=时等号成立，所以222222221111111xln,ln,x,xx x x xlnx+⎛⎫+<<>⎪+⎝⎭即即所以()22112xln x ln x->+-，即()0f x>．……………………4分（Ⅱ）法一：显然0a≤成立，当0a>时，因为11ln xx≥-，当1x=时等号成立，所以22222111111xlnxx xx⎛⎫+>-=⎪++⎝⎭，即222111xxlnx<+⎛⎫+⎪⎝⎭，要()0f x>即22211x axxlnx+<⎛⎫+⎪⎝⎭，所以221x ax x+<+对一切0x>成立，显然0a>不符合，综上所述()0f x>时a的取值范围为0a≤．……………………9分法二：因为2a b a bln a lnb-+<-，所以()2222221211212211x x,,xln x ln xlnx++<<⎛⎫++-⎪⎝⎭即要()0f x>即22211x axxlnx+<⎛⎫+⎪⎝⎭，所以22212xx ax++<对一切0x>成立，显然0a>不符合，综上所述()0f x >时a 的取值范围为0a ≤． ……………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知()221ln 12ln x ax,x x>++- 取1a =-，2n ≥，则有()2210lnn 12ln n n ,x n >->+- 所以()221ln 12ln n n n n +-<-111n n=-- 所以()211ln 212ln212+-<- ()211ln 312ln323+-<- ……()211ln 12ln 1n n n n+-<-- 把以上不等式相加得： ()()()()()()22221ln 121314112ln 23412ln 234n n n n ⎡⎤++++<-+⨯⨯<+⨯⨯⎣⎦……… ……………………15分。

2019-2020学年浙江省十校联盟高三(下)开学数学试卷

2019-2020学年浙江省十校联盟高三（下）开学数学试卷一、选择题1. 设集合A＝{x|x2−3x−4>0}，B＝{x|−2≤x≤3}，则(∁R A)∩B＝（）A.RB.[−2, −1]C.[−1, 3]D.[−2, 4]【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】化简集合A＝{x|x>4或x<−1}，从而求∁R A＝{x|−1≤x≤4}再求(∁R A)∩B＝{x|−1≤x≤3}．【解答】A＝{x|x2−3x−4>0}＝{x|x>4或x<−1}，B＝{x|−2≤x≤3}，∁R A＝{x|−1≤x≤4}，则(∁R A)∩B＝{x|−1≤x≤3}，2. 已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0, −3)，F2(0, 3)，P是双曲线上一点且||PF1|−|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为（）A.x24−y25=1 B.x25−y24=1 C.y24−x25=1 D.y25−x24=1【答案】C【考点】双曲线的标准方程【解析】由双曲线的定义可得实轴长及半个焦距，再由a，b，c之间的关系求出b，进而求出双曲线的方程．【解答】由双曲线的定义可得c＝3，2a＝4，即a＝2，b2＝c2−a2＝9−4＝5，且焦点在y轴上，所以双曲线的方程为：y 24−x25=1，3. 已知两非零复数z1，z2，若z1⋅z2∈R，则一定成立的是（）A.z1+z2∈RB.z1⋅z2¯∈RC.z1z2∈R D.z1z2¯∈R【答案】D【考点】复数的运算【解析】设z1＝a+bi，z2＝c+di，(a, b, c, d∈R)，然后逐个计算判断A、B、C，结合z1z2∈R判断D正确．【解答】设z1＝a+bi，z2＝c+di，(a, b, c, d∈R)，z1+z2＝a+bi+c+di＝a+c+(b+d)i，∴z1+z2∈R不一定成立，故A不正确；则z1⋅z2¯=(a+bi)(c−di)＝ac+bd+(bc−ad)i，∴z1⋅z2¯∈R不一定成立，故B不正确；z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bd+(bc−ad)ic2+d2，∴z1z2∈R不一定成立，故C不正确；∵z1z2¯=z1⋅z2z2¯⋅z2=z1⋅z2|z2|2，且z1z2∈R，∴z1z2¯∈R正确，故D成立．4. 已知a，b∈R，则“|a|≤1”是“|a−b|+|b|≤1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据绝对值不等式的性质和特殊值法，判断即可．【解答】|a−b|+|b≥|a−b+b|＝|a|，因为|a−b|+|b|≤1，所以|a||≤1，故后者能推出前者，反之，比如a＝1，b＝3，推不出后者，故为必要不充分条件，5. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A.4√3B.103√3 C.2√3 D.83√3【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H−EFG，然后由柱体体积减去三棱锥体积求解．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H−EFG，三角形ABC的面积S=12×2×√22−12=√3．∴几何体的体积V=√3×4−13×√3×2=10√33．6. 函数y=2x sin(π2+6x)4x−1的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【考点】诱导公式奇函数函数的图象【解析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【解答】解：∵ 函数f(x)=2x sin (π2+6x)4x −1=2x cos 6x 4x −1，∴ f(−x)=2−x cos (−6x)4−x −1=−2x cos 6x 4x −1=−f(x)，∴ f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A ，∵ 当x 从右趋向于0时，f(x)趋向于+∞，当x 趋向于+∞时，f(x)趋向于0，故排除BC . 故选D .7. 设12<p <1，相互独立的两个随机变量ξ，η的分布列如表：则当p 在(12,1)内增大时（） A.E(ξ+η)减小，D(ξ+η)增大 B.E(ξ+η)减小，D(ξ+η)减小 C.E(ξ+η)增大，D(ξ+η)增大 D.E(ξ+η)增大，D(ξ+η)减小【答案】 D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】求出E(ξ)=−13，E(η)＝2p −1，从而E(ξ+η)＝2p −43，D(ξ)=89，D(η)＝4p −4p 2，从而D(ξ+η)＝4p −4p 2+89=−4(p −12)2+179，由此得到当p 在(12,1)内增大时，E(ξ+η)增大，D(ξ+η)减小．【解答】12<p <1，E(ξ)=−23+13=−13，E(η)＝p −1+p ＝2p −1， E(ξ+η)＝2p −43，D(ξ)＝(−1+13)2×23+(1+13)2×13=89， D(η)＝(−2p)2(1−p)+(2−2p)2p ＝4p −4p 2， D(ξ+η)＝4p −4p 2+89=−4(p −12)2+179，∴当p在(12,1)内增大时，E(ξ+η)增大，D(ξ+η)减小，8. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为CD的中点，△ADE沿着AE向上翻折，使点D到D′．若D′在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE内部（不含边界），设二面角D′−BC−E的大小为α，直线D′C，D′B与平面ABC所成角分别为β，γ，则（）A.α<β<γB.β<α<γC.β<γ<αD.γ<β<α【答案】C【考点】二面角的平面角及求法直线与平面所成的角【解析】作出图象，根据空间角定义可得tanα=D ′HHM ，tanβ=D′HHC，tanγ=D′HHB，结合HM<HB<HC，即可得出结论．【解答】由AB＝2AD＝4可知，DE＝DA，作AB中点P，则DP⊥AE，故H在线段DP上，作D′M⊥BC交BC于M，连接HM，HB，HC，如图，易知，tanα=D ′HHM ，tanβ=D′HHC，tanγ=D′HHB，又HM<HB<HC，∴β<γ<α．9. 已知a>b>0，给出下列命题：①若√a−√b=1，则a−b<1；②若a3−b3＝1，则a−b<1；③若e a−e b＝1，则a−b<1；④若ln a−ln b＝1，则a−b<1．其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】①若√a−√b=1，则√a=√b+1，然后两边平方，再通过作差法即可得解；②若a3−b3＝1，则a3−1＝b3，然后利用立方差公式可知(a−1)(a2+a+1)＝b3，再结合a>b>0以及不等式的性质即可判断；③若e a−e b＝1，则e a−b=e ae b =e b+1e b=1e b+1，再利用b>0，得出e b>1，从而求得e a−b的范围，进而判断；④取特殊值，a＝e，b＝1即可判断．【解答】①若√a−√b=1，则√a=√b+1，所以a=b+1+2√b，所以a−b＝1+2√b>1，即①错误；②若a3−b3＝1，则a3−1＝b3，即(a−1)(a2+a+1)＝b3，因为a>b>0，所以a2>b2，所以a2+a+1>b2，所以a−1<b，即a−b<1，所以②正确；③若e a−e b＝1，则e a−b=e ae b =e b+1e b=1e b+1，因为b>0，所以1<e a−b<2<e，所以a−b<1，即③正确；④取a＝e，b＝1，满足ln a−ln b＝1，但a−b>1，所以④错误；所以真命题有②③，10. 已知数列{a n}的各项都是正数且满足2a n2−3a n＝a n−1(n∈N∗, n≥2)，S n是数列{a n}的前n项和，则下列选项中错误的一项是（）A.若{a n}单调递增，则0<a1<2B.若a1＝1，则234<a3<2C.若a1≠2，则(2a2+1)(2a3+1)⋯(2a n+1)=a1−2a n−2(n≥2)D.若a1＝3，则S n≥3(3n+1)4．【答案】D【考点】命题的真假判断与应用数列递推式【解析】由数列递增可得a n>a n−1，结合数列的递推式，解不等式可判断A；分别求得a2，a3，比较可判断B；由数列的递推式可得2a n+1=a n−1−2a n−2，由累差法可判断C；求得a2，S2，可判断D．【解答】数列{a n}的各项都是正数且满足2a n2−3a n＝a n−1(n∈N∗, n≥2)，若{a n}单调递增，可得a n>a n−1，即为a n−a n−1＝4a n−2a n2>0，可得0<a n<2，(n≥2且n∈N∗)，由a1<a2，可得0<a1<2，故A正确；若a1＝1，可得2a22−3a2＝a1＝1，解得a2=3+√174（负值已舍去），由2a32−3a3＝a2=3+√174，(∗)，3+√174∈(1.75, 1.8)，而2a 32−3a 3＝2(a 3−34)2−98在(234, 2)的范围是(4√2−3×234, 2)，而√2<234<2，则4√2−3×234∈(4√2−6, √2)，故方程(∗)的解在(234, 2)内，故B 正确；由2a n 2−3a n ＝a n−1，可得2a n 2−3a n −2＝a n−1−2，即(2a n +1)(a n −2)＝a n−1−2，即2a n +1=a n−1−2a n −2，可得(2a 2+1)(2a 3+1)…(2a n +1)=a 1−2a 2−2⋅a 2−2a 3−2⋯a n−1−2a n −2=a 1−2a n −2(a 1≠2)，故C 正确；若a 1＝3，可得2a 22−3a 2＝a 1＝3，解得a 2=3+√334，S 2＝3+3+√334，由3×(3×2+1)4=214，3+3+√334−214=√33−64<0，可得S 2<3×(3×2+1)4，故D 错误．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为α，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则sin α＝________，sin α2+cos α2=________．【答案】35,2√105【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】直接利用三角形的全等，整理出关于一元二次方程，进一步利用关系式的应用求出三角函数的值．【解答】根据已知条件四个直角三角形全等，所以设直角三角形的短的直角边长为x ，则较长的直角边长为x +1，所以x 2+(x +1)2＝52，整理得x 2+x −12＝0，解得：x ＝3或−4（负值舍去），所以sin α=35．sin α2+cos α2=√(sin α2+cos α2)2=√1+sin α=√1+35=2√105．已知直线l:y =kx 被圆C ：(x −1)2+(y +2)2=4截得的弦长为2√3，则k =________，圆C 上到直线l 的距离为1的点有________个．【答案】−34,3【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l1的距离d，再根据弦长公式求出d，解方程求得k值，【解答】解：由题得圆心C(1, −2)，则圆心到直线l的距离d=√k2+1=√4−(√3)2=1，解得k=−34；因为d=1，r=2，则圆C上到直线l的距离为1的点应有3个.故答案为：−34；3.（1）若二项式(x√x)n(n∈N∗)的展开式中存在常数项，则n的最小值为________；（2）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为________．（用数字作答）【答案】3700【考点】二项式定理及相关概念排列、组合及简单计数问题【解析】（1）根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出n、r的关系，即可求出n 的最小值；（2）根据题意，分2步进行分析：①，从6名志愿者中选出4人，②，将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，由分步计数原理计算可得答案【解答】(x√x)n(n∈N∗)的展开式中通项公式为T r+1=∁n r x n−r⋅√x)r=∁n r⋅(−2)r⋅x n−32r，令n−32r＝0，解得n=32r，其中r＝0，1，2，…，n；当r＝2时，n＝3；所以n的最小值为3．根据题意，分2步进行分析：①，从6名志愿者中选出4人，有C64＝15种选法，②，将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，有24−2＝14种情况，则有15×14＝700种不同的安排方案，故答案为：3，700．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4√5，c＝5，B＝2C，则cos C＝________，点D为边BC上一点，且BD＝6，则△ADC的面积为________．【答案】2√55,10【考点】余弦定理【解析】由已知结合正弦定理可求cos C，然后结合二倍角关系可求sin B，结合三角形的面积公式及等高三角形的面积比可转化为底的比可求．【解答】因为b=4√5，c＝5，B＝2C，由正弦定理可得，bsin B =csin C，所以4√5sin2C =5sin C=4√52sin C cos C，则cos C=2√55；sin B＝2sin C cos C＝2×2√55×√55=45，∴S△ABD=12×5×6×45=12，由余弦定理可得，cos C=2√55=28√5a，解可得a＝5（舍）或a＝11，所以S△ABDS△ADC =BDCD=65，∴S△ADC=56×12=10．已知F是椭圆C:x24+y23=1的左焦点，A，B是椭圆C上的两个相异动点，若AB中点的横坐标为1，则F到直线AB距离的最小值为________．【答案】√152【考点】椭圆的离心率【解析】分直线AB的斜率存在和不存在两种情况讨论，由于同一点对称性设斜率大于0，与椭圆联立求出两根之和，再由AB的中点的横坐标求出参数之间的关系，由点到直线的距离公式求出F到直线AB距离．令参数部分为函数，求导，由函数的单调性求出函数的最大值，进而求出F到直线AB的最小值．【解答】由题意的方程可得：F(−1, 0)，若直线AB 的斜率不存在时，则由题意可得AB 的方程为：x ＝1，这时F 到直线AB 的距离为2，当直线AB 的斜率存在且不会为0时，由题意的对称性设k >0，设方程为y ＝kx +b ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线与椭圆的方程可得：{y =kx +b3x 2+4y 2−12=0 ，整理可得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−12＝0，△＝64k 2b 2−4⋅(3+4k 2)(4b 2−12)>0，即b 2<3+3k 2，x 1+x 2=−8kb 3+4k 2，x 1x 2=4b 2−123+4k 2，因为AB 中点的横坐标为1，所以−8kb 3+4k 2=2，即b =−3+4k 24k所以F 到直线AB 的距离d =√1+k2=|−3+4k 24k −k|√1+k 2=24√k 4+k2=14⋅√64k 4+48k 2+9k 4+k 2=14⋅√64(k 4+k 2)−16k 2+9k 4+k 2=14⋅√64−16k 2−9k 4+k 2，令g(k)=16k 2−9k 4+k 2，k >0，g ′(k)=16k(k 4+k 2)−(16k 2−9)(4k 3+2k)(k 4+k 2)2=−2k(2k 2−3)(8k 2+3)(k 4+k 2)2，当0<k <√62，g ′(k)>0，g(k)单调递增，当k >√62，g ′(k)<0，g(k)单调递减，所以∈(0, +∞)时g(√62)最大，且g(√62)=16⋅32−994+32=4，所以d =14√64−4=√152<2，已知向量a →,b →满足|2a →+b →|=1，且a →⋅(a →−b →)=1，则|a →−b →|的取值范围为________．【答案】[√13−12, √13+12] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由|2a →+b →|=1和a →⋅(a →−b →)=1，求得a →2和a →⋅b →的值，以及b →2的取值范围，再求(a →−b →)2的取值范围，即可得出|a →−b →|的取值范围．【解答】由|2a →+b →|=1得4a →2+4a →⋅b →+b →2=1，① 又a →⋅(a →−b →)=1得a →2−a →⋅b →=1，②由①②得a →2=18(5−b →2)，a →⋅b →=18(−3−b →2)，且|a →⋅b →|≤|a →||b →|，即18(3+b →2)≤√18(5−b →2)×|b →|，9b →4−34b →2+9≤0，17−4√139≤b →2≤17+4√139；所以(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=18(5−b →2)−14(−3−b →2)+b →2=98b →2+118，所以14−2√134≤98b →2+118≤14+2√134，所以|a →−b →|的取值范围是[√13−12, √13+12]．已知函数f(x)＝x 3−3x 2+ax(a <0, a ∈R)，若函数f(x)有三个互不相同的零点0，t 1，t 2，其中t 1<t 2，若对任意的x ∈[t 1, t 2]，都有f(x)≤a +14成立，则实数a 的最小值为________．【答案】 −9【考点】利用导数研究函数的极值【解析】由题意由题意可知，t 1，t 2是x 2−3x +a ＝0的根，且t 1+t 2＝3，t 1⋅t 2＝a <0，从而可知a <0，t 1<0<t 2，然后结合导数可求f(x)max ，而原题可转化为f(x)max ≤a +14，代入解不等式可求．【解答】因为f(x)＝x 3−3x 2+ax ＝x(x 2−3x +a)，由题意可知，t 1，t 2是x 2−3x +a ＝0的根，则t 1+t 2＝3，t 1⋅t 2＝a <0，△＝9−4a >0，∴ a <0，t 1<0<t 2，当t 1<0<t 2时，f′(x)＝3x 2−6x +a ，则存在f(x)的极大值点x 1∈(t 1, 0)，且−a =3x 12−6x 1，由题意，f(x)max ＝f(x 1)＝x 13−3x 12+ax 1≤a +14，将−a =3x 12−6x 1，代入得(x 1−3)3≥−8，解可得−1≤x 1<0．又因为−a =3x 12−6x 1，结合二次函数的性质可知，0<−a ≤9，得−9≤a <0即a 的最小值−9．三、解答题（共5小题，满分74分）已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示； (Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)的单调递增区间．【答案】（1）由图知，A＝2．T＝π，ω=2πT =2ππ=2，由2sin(2×0+φ)＝1，即sinφ=12，又φ∈(0, π2)，所以φ=π6故f(x)＝2sin(2x+π6)．（2）g(x)＝f(x−π12)−f(x+π12)＝2sin[2(x−π12)+π6]−2sin[2(x+π12)+π6]＝2sin2x−2sin(2x+π3)＝2sin2x−2×( 12sin2x+√32cos2x)＝sin2x−√3cos2x＝2sin(2x−π3)，由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间是[kπ−π12, kπ+5π12]，k∈Z．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）由图知，A＝2，由T＝π，可求得ω，由2sin(2×0+φ)＝1可求得φ；（2）先化简g(x)，然后利用三角函数的单调性即可得到结论．【解答】（1）由图知，A＝2．T＝π，ω=2πT =2ππ=2，由2sin(2×0+φ)＝1，即sinφ=12，又φ∈(0, π2)，所以φ=π6故f(x)＝2sin(2x+π6)．（2）g(x)＝f(x−π12)−f(x+π12)＝2sin[2(x−π12)+π6]−2sin[2(x+π12)+π6]＝2sin2x−2sin(2x+π3)＝2sin2x−2×( 12sin2x+√32cos2x)＝sin2x−√3cos2x＝2sin(2x−π3)，由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间是[kπ−π12, kπ+5π12]，k∈Z．如图，四棱锥P−ABCD中，△PAB是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，AB // CD，AB⊥AD，AB＝BC＝2，∠ABC=π3，F，G分别是PC，AD的中点．（1）①求证：FG // 平面PAB；②求线段FG的长度；（2）若PC＝3，求直线FG与平面PBC所成角的正弦值．【答案】①证明：取BC中点I，则GI // AB，FI // PB，∵GI∩FI＝I，AB∩BP＝B，∴平面GFI // 平面PAB，∴FG // 平面PAB；②由①可知，FI=1,IG=32,∠FIG=∠PBA=60，由余弦定理有，FG=√1+94−2×1×32×cos60=√72；∵PO=OC=√3,PC=3，∴∠POC＝120∘，又EO⊥AB，OC⊥AB，∴AB⊥平面POC，∴平面POC⊥平面ABC，延长CO到H，使得PH⊥OH，则PH⊥平面ABC，PH=32，∵PB＝BC＝2，PC＝3，∴S△GBC=3√74，设G到平面PBC的距离设为ℎ，则ℎ×3√74=32×3√34，∴ℎ=3√2114，∴直线FG与平面PBC所成角的正弦值为ℎFG =3√37．【考点】直线与平面所成的角直线与平面平行【解析】（1）①通过证明面GFI // 面PAB，再利用面面平行的性质得证；②由余弦定理求解即可；（2）作出图象，设G到平面PBC的距离设为ℎ，利用等体积法求出ℎ，进而可得直线FG与平面PBC所成角的正弦值为ℎFG =3√37．【解答】①证明：取BC中点I，则GI // AB，FI // PB，∵GI∩FI＝I，AB∩BP＝B，∴平面GFI // 平面PAB，∴FG // 平面PAB；②由①可知，FI=1,IG=32,∠FIG=∠PBA=60，由余弦定理有，FG=√1+94−2×1×32×cos60=√72；∵PO=OC=√3,PC=3，∴∠POC＝120∘，又EO⊥AB，OC⊥AB，∴AB⊥平面POC，∴平面POC⊥平面ABC，延长CO到H，使得PH⊥OH，则PH⊥平面ABC，PH=32，∵PB＝BC＝2，PC＝3，∴S△GBC=3√74，设G到平面PBC的距离设为ℎ，则ℎ×3√74=32×3√34，∴ℎ=3√2114，∴直线FG与平面PBC所成角的正弦值为ℎFG =3√37．设S n是数列{a n}的前n项和，且a n是S n和2的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b k＝a k⋅(a k+a k+1+...+a n)(1≤k≤n)，①求数列{b k}(1≤k≤n)的前n项和T n；②设M=2T1+22T2+⋯+2nT n(n∈N∗)，求证：12≤M<34．【答案】∵a n是S n和2的等差中项，∴S n+2＝2a n①，当n＝1时，S1+2＝2a1，∴a1＝2，当n≥2时，S n−1+2＝2a n−1②，①-②得：a n＝2a n−2a n−1，∴a n＝2a n−1，∴a na n−1=2，∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n=2n (n∈N∗)．①b k＝a k⋅(a k+a k+1+...+a n)＝2k(2k+2k+1+……+2n)＝2k⋅2k(2n−k+1−1)2−1= 2n+k+1−4k．(1≤k≤n)，∴T n＝2n(22+……+2n+2n+1)−(4+42+……+4n)＝2n×4(2n−1)2−1−4(4n−1)4−1=43(2n+1−1)(2n−1)．②由①可得：2nT n =34(12n−1−12n+1−1)．∴M=34(12−1−122−1+122−1−123−1+⋯⋯+12n−1−12n+1−1)=34(1−12n+1−1)＝f(n)．由于f(n)单调递增，可得：f(1)≤M<34，即12≤M<34．【考点】数列的求和等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】（1）由a n是S n和2的等差中项，可得S n+2＝2a n，当n≥2时，S n−1+2＝2a n−1，相减可得：a n＝2a n−1，n＝1时，可得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）①利用等比数列的求和公式可得：b k＝a k⋅(a k+a k+1+...+a n)＝2k(2k+2k+1+……+2n)＝2n+k+1−4k．(1≤k≤n)，进而得出T n．②由①可得：2nT n =34(12n−1−12n+1−1)．利用裂项求和可得M，再利用数列的单调性即可证明结论．【解答】∵a n是S n和2的等差中项，∴S n+2＝2a n①，当n＝1时，S1+2＝2a1，∴a1＝2，当n≥2时，S n−1+2＝2a n−1②，①-②得：a n＝2a n−2a n−1，∴a n＝2a n−1，∴a na n−1=2，∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n=2n (n∈N∗)．①b k＝a k⋅(a k+a k+1+...+a n)＝2k(2k+2k+1+……+2n)＝2k⋅2k(2n−k+1−1)2−1= 2n+k+1−4k．(1≤k≤n)，∴T n＝2n(22+……+2n+2n+1)−(4+42+……+4n)＝2n×4(2n−1)2−1−4(4n−1)4−1=43(2n+1−1)(2n−1)．②由①可得：2nT n =34(12n−1−12n+1−1)．∴M=34(12−1−122−1+122−1−123−1+⋯⋯+12n−1−12n+1−1)=34(1−12n+1−1)＝f(n)．由于f(n)单调递增，可得：f(1)≤M<34，即12≤M<34．如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是抛物线上一点，且AC⊥EF．（1）证明：直线BE经过AC的中点M；（2）求△ABC面积的最小值及此时直线AC的方程．【答案】由题意可得抛物线的焦F坐标(1, 0)，准线方程为：x＝−1，显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my+1，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线与抛物线的方程：{y2=4xx=my+1，整理可得y2−4my−4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝−4，由题意可得E(−1, y2)，所以k EF=y2−2，所以直线AC 的方程为：y −y 1=2y 2(x −x 1)，所以x =yy 2−y 1y 22+x 1，代入抛物线的方程：y 2−2y 2y +2y 1y 2−4x 1＝0，可得AC 的中点的纵坐标为y 2，而直线BE 为y ＝y 2，所以可证直线BE 经过AC 的中点M ；设C(x 0, y 0)，B(t 24, t)，则E(−1, t)，由（1）得y 1y 2＝−4，所以A(4t2, −4t)，因为k EF =−t 2，因为AC ⊥EF ，所以k AC =2t，所以直线AC 的方程为：y +4t =2t (x −4t 2)，由{y 2=4x2x −ty −4−8t 2=0 整理可得：y 2−2ty −8−16t 2=0，所以y 1+y 0＝2t ，y 1y 0＝−8−16t 2，所以|AC|=√1+t 24|y 1−y 0|=√1+t 24√(y 1+y 0)2−4y 1y 0=√4+t 2√t 2+16t 2+8，B 到直线AC 的距离为d =|t 22−t 2−4−8t2|√4+t 2=|t 2+16t2+8|2√4+t 2，所以S △ABC =12|AC|⋅d =14√(t 2+16t 2+8)3≥14√(2√16+8)3=16，当且仅当t 4＝16时，面积取到最小值16，即t ＝±2， t ＝2时，直线AC 为y +2＝x −1，即x −y −3＝0， t ＝−2时，直线AC 为y −2＝−(x −1)即x +y −3＝0．综上所述△ABC 面积的最小值为16，且此时直线AC 的方程：x −y −3＝0或x +y −3＝0．【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】（1）又抛物线的方程可得F 的坐标及准线方程，设A ，B 的坐标，由题意可得E 的坐标，可得EF 的斜率，再由椭圆可得直线AC 的斜率，进而可得直线AC 的方程，与抛物线联立可得两根之和，可得AC 中点M 的纵坐标与B 的相同，所以可证直线BE 经过AC 的中点M ；（2）设B 的坐标，由（1）可得AB 的纵坐标之积为−4可得A 的坐标（用B 的坐标表示），进而可得E 的坐标，求出直线EF 的斜率，由题意可得直线AC 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AC 的值，再求B 到直线AC 的距离，代入面积公式可得，由均值不等式可得面积的最小值，并且求出此时的直线方程．【解答】由题意可得抛物线的焦F 坐标(1, 0)，准线方程为：x ＝−1，显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线与抛物线的方程：{y 2=4xx =my +1 ，整理可得y 2−4my −4＝0，y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝−4，由题意可得E(−1, y 2)，所以k EF =y2−2，所以直线AC 的方程为：y −y 1=2y 2(x −x 1)，所以x =yy 2−y 1y 22+x 1，代入抛物线的方程：y 2−2y 2y +2y 1y 2−4x 1＝0，可得AC 的中点的纵坐标为y 2，而直线BE 为y ＝y 2，所以可证直线BE 经过AC 的中点M ；设C(x 0, y 0)，B(t 24, t)，则E(−1, t)，由（1）得y 1y 2＝−4，所以A(4t2, −4t)，因为k EF =−t 2，因为AC ⊥EF ，所以k AC =2t，所以直线AC 的方程为：y +4t =2t (x −4t 2)，由{y 2=4x2x −ty −4−8t 2=0 整理可得：y 2−2ty −8−16t 2=0，所以y 1+y 0＝2t ，y 1y 0＝−8−16t 2，所以|AC|=√1+t 24|y 1−y 0|=√1+t 24√(y 1+y 0)2−4y 1y 0=√4+t 2√t 2+16t 2+8，B 到直线AC 的距离为d =|t 22−t 2−4−8t2|√4+t 2=|t 2+16t2+8|2√4+t 2，所以S △ABC =12|AC|⋅d =14√(t 2+16t 2+8)3≥14√(2√16+8)3=16，当且仅当t 4＝16时，面积取到最小值16，即t ＝±2， t ＝2时，直线AC 为y +2＝x −1，即x −y −3＝0， t ＝−2时，直线AC 为y −2＝−(x −1)即x +y −3＝0．综上所述△ABC 面积的最小值为16，且此时直线AC 的方程：x −y −3＝0或x +y −3＝0．已知函数f(x)=x −12sin x −m 2ln x +1，f ′(x)是f(x)的导函数．（1）证明：当m ＝2时，f ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点；（2）若存在x 1，x 2∈(0, +∞)，且x 1≠x 2时，f(x 1)＝f(x 2)，证明：x 1x 2<m 2．【答案】当m ＝2时，f(x)=x −12sin x −ln x +1，f ′(x)=1−12cos x −1x，当x ∈(0, π)时，f ′(x)为增函数，且f ′(π3)=1−14−3π=34−3π<0，f ′(π)=32−1π>0，∴ f ′(x)在(0, π)上有唯一零点，当x ∈[π, +∞)时，f ′(x)=1−12cos x −1x ≥1−12−1x ≥12−1π>0， ∴ f ′(x)在[π, +∞)上没有零点，综上知，f ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点；不妨设0<x 1<x 2，由f(x 1)＝f(x 2)得x 1−12sin x 1−m2ln x 1+1=x 2−12sin x 2−m2ln x2+1，∴m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)，设g(x)＝x−sin x，则g′(x)＝1−cos x≥0，故g(x)在(0, +∞)为增函数，∴x2−sin x2>x1−sin x1，从而x2−x1>sin x2−sin x1，∴m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)>12(x2−x1)，∴m>x2−x1ln x2−ln x1，下面证明：x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2，令t=x2x1，则t>1，即证明t−1ln t>√t，只要证明ln t−√t<0，(∗)设ℎ(t)=ln t√t ，则ℎ(t)=√t−1)22t√t<0，∴ℎ(t)在(1, +∞)单调递减，当t>1时，ℎ(t)<ℎ(1)＝0，从而(∗)得证，即x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2，∴m>√x1x2，即x1x2<m2．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求出f′(x)，分析出当x∈(0, π)时，f′(x)为增函数，且f′(π3)=1−14−3π=34−3π<0，f′(π)=32−1π>0，得到f′(x)在(0, π)上有唯一零点，又因为当x∈[π, +∞)时，f′(x)=1−12cos x−1x≥1−12−1x≥12−1π>0，所以f′(x)在[π, +∞)上没有零点，从而得出f′(x)在(0, +∞)上有唯一零点；（2）不妨设0<x1<x2，由f(x1)＝f(x2)得x1−12sin x1−m2ln x1+1=x2−12sin x2−m 2ln x2+1，即m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)．设g(x)＝x−sin x，利用导数得到g(x)在(0, +∞)为增函数，从而m>x2−x1ln x2−ln x1，再证明：x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2．从而得出m>√x1x2，即x1x2<m2．【解答】当m＝2时，f(x)=x−12sin x−ln x+1，f′(x)=1−12cos x−1x，当x∈(0, π)时，f′(x)为增函数，且f′(π3)=1−14−3π=34−3π<0，f′(π)=32−1π>0，∴f′(x)在(0, π)上有唯一零点，当x∈[π, +∞)时，f′(x)=1−12cos x−1x≥1−12−1x≥12−1π>0，∴f′(x)在[π, +∞)上没有零点，综上知，f′(x)在(0, +∞)上有唯一零点；不妨设0<x1<x2，由f(x1)＝f(x2)得x1−12sin x1−m2ln x1+1=x2−12sin x2−m2ln x2+1，∴m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)，设g(x)＝x−sin x，则g′(x)＝1−cos x≥0，故g(x)在(0, +∞)为增函数，∴x2−sin x2>x1−sin x1，从而x2−x1>sin x2−sin x1，∴m2(ln x2−ln x1)=x2−x1−12(sin x2−sin x1)>12(x2−x1)，∴m>x2−x1ln x2−ln x1，下面证明：x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2，令t=x2x1，则t>1，即证明t−1ln t>√t，只要证明ln t−√t<0，(∗)设ℎ(t)=ln t√t ，则ℎ(t)=√t−1)22t√t<0，∴ℎ(t)在(1, +∞)单调递减，当t>1时，ℎ(t)<ℎ(1)＝0，从而(∗)得证，即x2−x1ln x2−ln x1>√x1x2，∴m>√x1x2，即x1x2<m2．。

浙江省2019届高三下学期数学五校联考试卷

浙江省2019届高三下学期数学五校联考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） (共10题；共40分)1．（4分）已知集合U={-1，1，3，5，7，9}，A={1，5}，B={-1，5，7}，则∁U（AUB)=（）A．{3，9}B．{1，5，7}C．{-1，1，3，9）D．{-1，1，3，7，9}2．（4分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何图的表面积为（）A．4+2 √6B．4+ √6C．4+2 √2D．4+ √23．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1=3a n，且a2a4a6=9，则log3a5+log3a7+log3a9=（）A．5B．6C．8D．114．（4分）已知x+y>0，则“x>0”是“2|x|+x2>2|y|+y2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件−x的大致图象为()5．（4分）函数y= 1−x1+x eA．B．C．D．6．（4分）已知实数x，y满足{y≥1y−2x+1≤0x+y−m≤0，如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m等于（）A．7B．5C．4D．37．（4分）已知M=tan a2-sina+cosa，N=tan π8（tan π8+2)，则M和N的关系是（）A．M＞N B．M<N C．M=N D．M和N无关8．（4分）已知函数f(x）= {|log2x|,x>01−x,x≤0，函数g（x）=|2f(x）-m|-1，且m∈Z，若函数g（x）存在5个零点，则m的值为(）A．5B．3C．2D．19．（4分）设a→，b→，c→为平面向量，|a→|=|b→|=2，若（2c→-a→)·（c→-b→)=0，则c→·b→的最大值为（）A．2B．94C．174D．510．（4分）如图，在三棱锥S-ABC中，SC=AC，∠SCB=θ，∠ACB=π-θ，二面角S-BC-A的平面角为a，则（）A．a≥θB．∠SCA≥αC．∠SBA≤αD．∠SBA≥α二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）(共7题；共36分)11．（6分）已知复数z满足（1+2i）z=2+i，则z= ，|z|=．12．（6分）f(x)=(x2+x+1)(2x- 1x)5的展开式中各项系数的和为，该展开式中的常数项为．13．（6分）已知函数f(x)=cos（ϖx+φ)（ϖ>0，| φ|< π2）图象中两相邻的最高点和最低点分别为（π12，1），（7π12，1)，则函数f(x)的单调递增区间为，将函数f(x）的图象至少平移个单位长度后关于直线x=- π4对称．14．（6分）一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为，这两个数字和的数学期望为．15．（4分）已知双曲线 x 2a 2−y 2b2 =1（a>0，b>0）中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i=1，2），使得 P i A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·P i A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线离心率的取值．16．（4分）从0，1，2…，8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二位…)，有个不同的数．（用数字作答）17．（4分）已知实数x ，y ∈[-1，1]，max{a ，b}= {a ，a ≥bb ，a <b，则max{x 2-y 2+1，|x-2y|}的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分） (共5题；共74分)18．（14分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A 2 -sin A 2 = √22（Ⅰ）求角A 的大小．（Ⅱ）当a= √7 ，sin(A+C)= √2114，求c 的值．19．（15分）如图，已知△ABC 中，AB-BC= √7 ，AC= √10 ，点A ∈平面α，点B ，C 在平面V的同侧，且B ，C 在平面α上的射影分别为E ，D ，BE=2CD=2．（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）若M 是AD 中点，求平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值．20．（15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n+1=2a n2+a n(n∈N*)．（Ⅰ）（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）已知对于任意的n∈N*，不等式1S1+1S2+1S3+....+1S n<M恒成立，求实数M的最小值．（Ⅱ）数列{b n}的前n项和为T n，满足42an-1=λT n-2(n∈N*)，是否存在非零实数λ，使得数列{b n}为等比数列？并说明理由．21．（15分）已知椭圆x24+y=1，抛物线x2=2y的准线与椭圆交于A，B两点，过线段AB上的动点P作斜率为正的直线l与抛物线相切，且交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求线段AB的长及直线l斜率的取值范围．（Ⅱ)已知点Q（0，14），求△MNQ面积的最大值．22．（15分）已知函数f(x）=e x-ax-b(a，b∈R其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若f(x）≥0恒成立，求ab的最大值．（Ⅱ)设F(x)=lnx+1-f(x)，若函数y=F(x)存在唯一零点，且对满足条件的a，b，不等式m(a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵A={1，5}，B={−1,5,7}∴A∪B={−1，1,5,7}又∵U={−1,1,3,5,7,9}∴C U(A∪B)={3,9}故答案为：A【分析】利用集合并集运算及补集的运算即可。

2019年5月浙江省三校2019届高三毕业班第二次联考测试数学试题(解析版)

绝密★启用前浙江省三校2019届高三毕业班下学期第二次联考测试数学试题(解析版)2019年5月一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}0,1U x x A x x =≥=≥，则U C A ＝( )A. ∅B. {}1x x <C. {}01x x ≤<D. {}0x x ≥【答案】C【解析】【分析】由补集的定义计算即可.【详解】由{}|0U x x =≥,{|1}A x x =≥,可得{}|01U C A x x =≤<.故选C.【点睛】本题主要考查补集的计算.2.双曲线2214y x -=的焦距是（）B. D. 【答案】D【解析】【分析】该双曲线的焦点在y 轴,利用222c a b =+可求得双曲线的焦距.【详解】双曲线22221y x a b-=的焦距为2c ===故选D.【点睛】双曲线中222c a b =+,椭圆中222c a b =-,要注意区别并判断焦点在x 轴上还是在y 轴上.3.已知i 是虚数单位,则复数2i i +的共轭复数对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】将i 2+i的分子分母同乘以2i -,化成()i ,a b a b R +∈的形式,其共轭复数i a b -对应的点为(),a b -. 【详解】()()()i 2-i i 12==+i 2+i 2+i 2-i 55,其共轭复数为12i 55-,对应的点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,在第四象限.故选D.【点睛】将分式形式复数的分子分母同乘以分母的共轭复数,可以化得()i ,a b a b R +∈的形式.4.已知实数,x y 满足()()201x y x y x ⎧-+≥⎨≥⎩,则2x y -（） A. 有最小值,无最大值B. 有最大值,无最小值C. 有最小值,也有最大值D. 无最小值,也无最大值【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域,设2x y z -=,则2y x z =-,平移直线2y x z =-可得z 是否能取得最大值和最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.设2x y z -=,则2y x z =-,z 表示。

2019届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三下学期第三次联考数学试题(解析版)

2019届浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）高三下学期第三次联考数学试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}12B x x =-<<，则A B =I （）A ．()1,1-B ．(]1,1-C ．[)1,2D ．()1,2【答案】C【解析】集合A 和集合B 的公共元素构成集合A B I ，由此利用集合A={}1x x ≥ ,{}12B x x =-<<，即可求出A B I 。

【详解】因为{A x y ==={}10x x -≥={}1x x ≥。

集合{}12B x x =-<<，所以A B =I {}12x x ≤<=[)1,2。

【点睛】本题考查交集及其运算，是基础题，解题时要认真审题。

2．()12z i i +=（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】通过21iz i=+ 求出z ，然后得到复数z 对应的点的坐标．【详解】由()12z i i +=得22(1)1.1(1)(1)i i i z i i i i -===+++- 所以复数z 在复平面对应的点在第一象限．【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点为（）A ．()±B ．()±C ．()±D ．()±【解析】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到 2.ba= 然后利用222,c a b =+ 即可得到焦点坐标．【详解】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到2.ba=即 4.b = 所以22220.c a b =+= 又双曲线顶点在x 轴上，所以焦点坐标为()±．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题．4．“3a =”是“圆O ：222x y +=与圆C ：()()228x a y a -+-=外切”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件【答案】B【解析】由圆O ：222x y +=与圆C ：()()228x a y a -+-=外切可得，圆心(0,0)O到圆心(,)C a a 的距离是求出a 的值，然后判断两个命题之间的关系。

浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2019届第二次联考(高三返校联考)数学答案

2)( x2

2)

16
，
即 x1x2 2(x1 x2 ) 20 ．
直线 AB 方程：
y
x12 4

x12 4 x1
x22 4
x2
(x x1) ，
即 y x1 x2 x x1x2 x1 x2 x 2(x1 x2 ) 20 x1 x2 (x 2) 5 ．
x12 ) ， 4
B(x2 ,
x22 4
)
，Q
AP

BP k AP
kBP

1
,
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2019 届第二次联考数学参考答案第 2 页共 4 页

x12 1 4 x1 2

x22 1 4 x2 2

1 ，
x1
4
2

x2
4
2

1 ， ( x1
\ AP//NM ．\ PM = 1
MC
……………7 分
F
D
E
N
P
O
M
C
（Ⅱ）连结 PN ，过 P 作 MN 的垂线，垂足为 O ，连结 DO .
PB PD ， CD = BC \VPCD @VPCB ， MD = MB . A
B
\MN ^ DB Q CN ^ DB MNC 为二面角 M DB C 的平面角.

f
(x)
的单调递增区间为

12

k , 5 12

k

，k
Z
…………………6 分
（Ⅱ） f (C) 0sin(2C ) 0 ,C 或 C 2 （舍去）；