线性判别分析
LDA线性判别分析
LDA线性判别分析LDA（Linear Discriminant Analysis），也被称为Fisher线性判别分析，是一种经典的统计模型和机器学习算法，常用于降维和模式识别任务。
LDA的目标是寻找一个线性变换，将高维数据投影到一个低维子空间上，使得在该子空间上的投影具有最优的数据分离性能。
换句话说，LDA希望找到投影方式，使得不同类别的数据在低维子空间上的投影显著分离，并且同一类别内部的数据尽可能地紧密聚集。
LDA的基本思想是通过计算类间离散度矩阵和类内离散度矩阵来得到最佳的投影方向。
类间离散度矩阵度量的是不同类别数据分布之间的差异，而类内离散度矩阵度量的是同一类别内部数据之间的差异。
LDA目标函数可以表示为J(w)=w^T*Sw*w/(w^T*Sb*w)，其中w是投影方向，Sw为类内离散度矩阵，Sb为类间离散度矩阵。
在实际应用中，我们需要先计算类内离散度矩阵Sw和类间离散度矩阵Sb，然后通过求解J(w)的最大值来得到最佳的投影方向w。
通常情况下，可以通过特征值分解或者广义特征值分解来求解最优的投影方向。
LDA的应用非常广泛，特别是在模式识别和计算机视觉领域。
它可以用于人脸识别、手写数字识别、垃圾邮件过滤等任务。
LDA的优点是在高维数据集中可以找到最优的投影方向，具有很好的数据分离性能。
而且LDA不需要事先假设数据分布的形式，适用于各种分布情况。
然而，LDA也存在一些限制。
首先，LDA假设数据满足多元正态分布，如果数据违反了该假设，那么LDA的判别性能可能会下降。
其次，LDA投影到的低维子空间的维度最多等于类别数减一，这可能导致信息丢失。
此外，当类别样本数量不平衡时，LDA的效果可能会受到影响。
为了克服LDA的局限性，人们提出了一些改进的方法。
例如，局部判别分析（Local Discriminant Analysis）可以在局部区域内构建LDA模型，适用于非线性可分的数据。
深度学习的发展也为LDA的改进提供了新的思路和方法，如稀疏表示LDA和核LDA等。
linear discriminate analysis
linear discriminate analysis【实用版】目录1.线性判别分析的定义和基本概念2.线性判别分析的应用场景和问题解决能力3.线性判别分析的具体方法和步骤4.线性判别分析的优缺点和局限性5.线性判别分析的实际应用案例正文线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称 LDA）是一种常用的监督学习方法，主要用于解决分类问题。
它是一种线性分类方法，通过找到一个最佳的线性分类器，将数据分为不同的类别。
LDA 基于数据分布的假设，即不同类别的数据具有不同的分布，通过最大化类内差异和最小化类间差异来实现分类。
LDA 的应用场景非常广泛，可以用于文本分类、图像分类、生物信息学、社会科学等领域。
在这些领域中，LDA 能够有效地解决分类问题，提高分类准确率。
例如，在文本分类中，LDA 可以通过分析词汇分布，将文本分为不同的主题或类别。
线性判别分析的具体方法和步骤如下：1.收集数据并计算数据矩阵。
2.计算数据矩阵的协方差矩阵和矩阵的特征值和特征向量。
3.根据特征值和特征向量构建线性分类器。
4.使用分类器对数据进行分类。
尽管 LDA 在分类问题上表现良好，但它也存在一些优缺点和局限性。
首先，LDA 要求数据矩阵的列向量是线性无关的，这可能会限制其在某些数据集上的表现。
其次，LDA 对数据中的噪声非常敏感，噪声的存在可能会对分类结果产生不良影响。
此外，LDA 是一种基于线性分类的方法，对于非线性分类问题可能无法有效解决。
尽管如此，LDA 在实际应用中仍然具有很高的价值。
例如，在文本分类中，LDA 可以有效地识别不同主题的文本，并为用户提供个性化的推荐。
在生物信息学中，LDA 可以用于基因表达数据的分类，以识别不同类型的细胞或疾病。
在社会科学中，LDA 可以用于对调查数据进行分类，以便更好地理解受访者的需求和偏好。
总之，线性判别分析是一种强大的分类方法，可以应用于各种领域。
线性判别分析
线性判别分析
线性判别分析(linear discriminant analysis，LDA)是对费舍尔的线性鉴别方法的归纳，这种方法使用统计学，模式识别和机器学习方法，试图找到两类物体或事件的特征的一个线性组合，以能够特征化或区分它们。
所得的组合可用来作为一个线性分类器，或者，更常见的是，为后续的分类做降维处理。
之前我们讨论的PCA、ICA也好，对样本数据来言，可以是没有类别标签y的。
回想我们做回归时，如果特征太多，那么会产生不相关特征引入、过度拟合等问题。
我们可以使用PCA来降维，但PCA没有将类别标签考虑进去，属于无监督的。
比如回到上次提出的文档中含有“learn”和“study”的问题，使用PCA后，也许可以将这两个特征合并为一个，降了维度。
但假设我们的类别标签y是判断这篇文章的topic是不是有关学习方面的。
那么这两个特征对y几乎没什么影响，完全可以去除。
Fisher提出LDA距今已近七十年，仍然是降维和模式分类领域应用中最为广泛采用而且极为有效的方法之一，其典型应用包括人脸检测、人脸识别、基于视觉飞行的地平线检测、目标跟踪和检测、信用卡欺诈检测和图像检索、语音识别等。
线性判别分析
介绍
线性判别分析(Linear Discriminant Analysis, LDA)，也 叫做Fisher线性判别(Fisher Linear Discriminant ,FLD)， 是模式识别的经典算法，1936年由Ronald Fisher首次提出， 并在1996年由Belhumeur引入模式识别和人工智能领域。
LDA
对于N(N>2)分类的问题，就可以直接写出以下的结论：
这同样是一个求特征值的问题，求出的第i大的特征向量，即为 对应的Wi。
LDA在人脸识别中的应用
要应用方法
K-L变换 奇异值分解 基于主成分分析 Fisher线性判别方法
主要应用方法
K-L变换
为了得到彩色人脸图像的主分量特征灰度图像,可以采用Ohta[3]等人提 出的最优基来模拟K-L变换方法,从而得到新的包含了彩色图像的绝大多 数特征信息的主分量特征图像.
LDA
LDA与PCA(主成分分析)都是常用的降维技术。PCA主要是从 特征的协方差角度，去找到比较好的投影方式。LDA更多的是 考虑了标注，即希望投影后不同类别之间数据点的距离更大， 同一类别的数据点更紧凑。
下面给出一个例子，说明LDA的目标：
可以看到两个类别，一个绿色类别，一个红色类别。左图是两个 类别的原始数据，现在要求将数据从二维降维到一维。直接投影 到x1轴或者x2轴，不同类别之间 会有重复，导致分类效果下降。 右图映射到的直线就是用LDA方法计算得到的，可以看到，红色 类别和绿色类别在映射之后之间的距离是最大的，而且每个类别 内 部点的离散程度是最小的（或者说聚集程度是最大的）。
LDA
假设用来区分二分类的直线（投影函数)为： LDA分类的一个目标是使得不同类别之间的距离越远越好，同 一类别之中的距离越近越好，所以我们需要定义几个关键的值:
线性判别分析（LinearDiscriminantAnalysis，LDA）
线性判别分析（LinearDiscriminantAnalysis，LDA）⼀、LDA的基本思想线性判别式分析(Linear Discriminant Analysis, LDA)，也叫做Fisher线性判别(Fisher Linear Discriminant ,FLD)，是模式识别的经典算法，它是在1996年由Belhumeur引⼊模式识别和⼈⼯智能领域的。
线性鉴别分析的基本思想是将⾼维的模式样本投影到最佳鉴别⽮量空间，以达到抽取分类信息和压缩特征空间维数的效果，投影后保证模式样本在新的⼦空间有最⼤的类间距离和最⼩的类内距离，即模式在该空间中有最佳的可分离性。
如下图所⽰，根据肤⾊和⿐⼦⾼低将⼈分为⽩⼈和⿊⼈，样本中⽩⼈的⿐⼦⾼低和⽪肤颜⾊主要集中A组区域，⿊⼈的⿐⼦⾼低和⽪肤颜⾊主要集中在B组区域，很显然A组合B组在空间上明显分离的，将A组和B组上的点都投影到直线L上，分别落在直线L的不同区域，这样就线性的将⿊⼈和⽩⼈分开了。
⼀旦有未知样本需要区分，只需将⽪肤颜⾊和⿐⼦⾼低代⼊直线L的⽅程，即可判断出未知样本的所属的分类。
因此，LDA的关键步骤是选择合适的投影⽅向，即建⽴合适的线性判别函数（⾮线性不是本⽂的重点）。
⼆、LDA的计算过程1、代数表⽰的计算过程设已知两个总体A和B，在A、B两总体分别提出m个特征，然后从A、B两总体中分别抽取出、个样本，得到A、B两总体的样本数据如下：和假设存在这样的线性函数（投影平⾯），可以将A、B两类样本投影到该平⾯上，使得A、B两样本在该直线上的投影满⾜以下两点：（1）两类样本的中⼼距离最远；（2）同⼀样本内的所有投影距离最近。
我们将该线性函数表达如下：将A总体的第个样本点投影到平⾯上得到投影点，即A总体的样本在平⾯投影的重⼼为其中同理可以得到B在平⾯上的投影点以及B总体样本在平⾯投影的重⼼为其中按照Fisher的思想，不同总体A、B的投影点应尽量分开，⽤数学表达式表⽰为，⽽同⼀总体的投影点的距离应尽可能的⼩，⽤数学表达式表⽰为，，合并得到求从⽽使得得到最⼤值，分别对进⾏求导即可，详细步骤不表。
线性判别分析（LDA）
线性判别分析（LDA）说明：本⽂为个⼈随笔记录，⽬的在于简单了解LDA的原理，为后⾯详细分析打下基础。
⼀、LDA的原理LDA的全称是Linear Discriminant Analysis（线性判别分析），是⼀种supervised learning。
LDA的原理：将带上标签的数据（点），通过投影的⽅法，投影到维度更低的空间中，使得投影后的点，会形成按类别区分，⼀簇⼀簇的情况，相同类别的点，将会在投影后的空间中更接近。
因为LDA是⼀种线性分类器。
对于K-分类的⼀个分类问题，会有K个线性函数：当满⾜条件：对于所有的j，都有Yk > Yj,的时候，我们就说x属于类别k。
上式实际上就是⼀种投影，是将⼀个⾼维的点投影到⼀条⾼维的直线上，LDA最求的⽬标是，给出⼀个标注了类别的数据集，投影到了⼀条直线之后，能够使得点尽量的按类别区分开，当k=2即⼆分类问题的时候，如下图所⽰：上图提供了两种⽅式，哪⼀种投影⽅式更好呢？从图上可以直观的看出右边的⽐左边的投影后分类的效果好，因此右边的投影⽅式是⼀种更好地降维⽅式。
LDA分类的⼀个⽬标是使得不同类别之间的距离越远越好，同⼀类别之中的距离越近越好。
⼆、LDA算法流程输⼊：数据集 D = {(x1, y1), (x1, y1), ... ,(x m, y m)}，任意样本x i为n维向量，y i∈{C1, C2, ... , Ck}，共k个类别。
现在要将其降维到d维；输出：降维后的数据集D'。
（1）计算类内散度矩阵 S B;（2）计算类间散度矩阵 S W;（3）将 S B和 S W代⼊上⾯公式计算得到特征值λ和特征向量 w，取前⾯⼏个最⼤的特征值向量λ'与特征向量相乘得到降维转换矩阵λ'w;（4）将原来的数据与转换矩阵相乘得到降维后的数据 (λ'w)T x ;三、LDA优缺点分析LDA算法既可以⽤来降维，⼜可以⽤来分类，但是⽬前来说，主要还是⽤于降维。
数据挖掘中的线性判别分析方法原理解析
数据挖掘中的线性判别分析方法原理解析数据挖掘是一门利用计算机技术从大量数据中挖掘出有用信息的学科。
在这个信息爆炸的时代，人们面临着海量的数据，如何从中提取出有价值的信息成为了一项重要的任务。
线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是数据挖掘中一种常用的分类方法，它能够在高维数据中找到最佳的投影方向，从而实现数据的降维和分类。
LDA方法的基本思想是在保持不同类别之间的区分能力最大化的同时，最大化同一类别内部的相似性。
具体而言，LDA通过计算类别之间的散度和类别内部的散度来确定最佳的投影方向。
散度可以理解为数据的离散程度，散度越大表示数据之间的差异越大，散度越小表示数据之间的差异越小。
在进行LDA之前，首先需要对数据进行预处理。
通常情况下，我们会对数据进行标准化处理，使得数据的均值为0，方差为1。
这样可以避免某些特征对于分类结果的影响过大。
接下来，我们需要计算类别之间的散度和类别内部的散度。
类别之间的散度可以通过计算不同类别之间的均值差异来得到。
而类别内部的散度可以通过计算每个类别内部的协方差矩阵来得到。
协方差矩阵描述了数据之间的相关性，可以用来衡量数据的离散程度。
在计算完散度之后，我们需要求解一个优化问题，即最大化类别之间的散度和最小化类别内部的散度。
这个优化问题可以通过求解广义瑞利商的最大特征值和对应的特征向量来实现。
最大特征值对应的特征向量就是最佳的投影方向，它能够将数据从高维空间映射到一维空间。
通过LDA方法，我们可以将高维数据映射到低维空间，并且保持了数据的分类信息。
这样不仅可以减少数据的维度，降低计算复杂度，还可以提高分类的准确性。
除了在数据挖掘中的应用，LDA方法还被广泛应用于模式识别、人脸识别、图像处理等领域。
在人脸识别中，LDA可以提取出最具有判别性的特征，从而提高识别的准确性。
在图像处理中，LDA可以将图像从高维空间映射到低维空间，从而实现图像的降噪和压缩。
判别分析公式Fisher线性判别二次判别
判别分析公式Fisher线性判别二次判别判别分析是一种常用的数据分析方法，用于根据已知的类别信息，将样本数据划分到不同的类别中。
Fisher线性判别和二次判别是两种常见的判别分析方法，在实际应用中具有广泛的应用价值。
一、Fisher线性判别Fisher线性判别是一种基于线性变换的判别分析方法，该方法通过寻找一个合适的投影方向，将样本数据投影到一条直线上，在保持类别间离散度最大和类别内离散度最小的原则下实现判别。
其判别函数的计算公式如下：Fisher(x) = W^T * x其中，Fisher(x)表示Fisher判别函数，W表示投影方向的权重向量，x表示样本数据。
具体来说，Fisher线性判别的步骤如下：1. 计算类别内离散度矩阵Sw和类别间离散度矩阵Sb；2. 计算Fisher准则函数J(W)，即J(W) = W^T * Sb * W / (W^T * Sw * W)；3. 求解Fisher准则函数的最大值对应的投影方向W；4. 将样本数据投影到求得的最优投影方向上。
二、二次判别二次判别是基于高斯分布的判别分析方法，将样本数据当作高斯分布的观测值，通过估计每个类别的均值向量和协方差矩阵，计算样本数据属于每个类别的概率，并根据概率大小进行判别。
二次判别的判别函数的计算公式如下：Quadratic(x) = log(P(Ck)) - 0.5 * (x - μk)^T * Σk^-1 * (x - μk)其中，Quadratic(x)表示二次判别函数，P(Ck)表示类别Ck的先验概率，x表示样本数据，μk表示类别Ck的均值向量，Σk表示类别Ck的协方差矩阵。
具体来说，二次判别的步骤如下：1. 估计每个类别的均值向量μk和协方差矩阵Σk；2. 计算每个类别的先验概率P(Ck)；3. 计算判别函数Quadratic(x)；4. 将样本数据划分到概率最大的类别中。
判别分析公式Fisher线性判别和二次判别是常见的判别分析方法，它们通过对样本数据的投影或概率计算，实现对样本数据的判别。
LDA线性判别分析
多类的线性判别问题
最后还归结到了求矩阵的特征值上来了。首先求出 的特征值，然后 取前K个特征向量组成W矩阵即可。 注意：由于 中的 秩为1，因此 的秩至多为C（矩阵的秩小于 等于各个相加矩阵的秩的和）。由于知道了前C-1个 后，最后一个 可以 有前面的 来线性表示，因此 的秩至多为C-1。那么K最大为C-1，即特 征向量最多有C-1个。
借鉴 Ｆｉｓｈｅｒ准则思想
缺点：在识别率方面与PCA+LDA方法相比要低一些，算法稳定 性受参数 的影响较大。
参考文献
1. A., F.R., The use of multiple measurements in taxonomic problems. Annals of eugenics, 1936. 7(2): p. 179-188. 2. Belhumeur, P.N., J.P. Hespanha, and D.J. Kriegman, Eigenfaces vs. Fisherfaces: Recognition Using Class Specific Linear ProjRN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, 1997. 19(7): p. 711-720. 3. Yu, H. and J. Yang, A direct LDA algorithm for high-dimensional data with application to face recognition. Pattern Recognition, 2000. 32(2001): p. 2067-2070. 4. Du, Q., Modified Fisher’s Linear Discriminant Analysis for Hyperspectral Imagery. GEOSCIENCE AND REMOTE SENSING LET TERS, 2007. 4: p. 503-507. 5. 刘忠宝 and 王士同, 一种改进的线性判别分析算法MLDA. 计算机科学, 2010. 37(11): p. 239-242. 6. Shu, X., Y. Gao, and H. Lu, Efficient linear discriminant analysis with locality preserving for face recognition. Pattern Recogn ition, 2012. 45(5): p. 1892-1898.
线性判别分析
用线性判别分析（Linear Discriminant Analysis ）对Wine 数据集进行分类 1. 线性判别分析（LDA ）原理LDA 是统计学上一种经典的分析方法，在医学中的患者疾病分级、经济学的市场定位、产品管理、市场研究、人脸识别和机器学习等领域有广泛的应用。
LDA 可以用于对数据进行分类，首先，我们要用事先分好类的数据对LDA 进行训练，建立判别模型，所以LDA 属于监督学习的算法。
LDA 的基本思想是投影，将n 维数据投影到低维空间，使得投影后组与组之间尽可能分开，即在该空间中有最佳的可分离性，而衡量标准是新的子空间有最大的类间距离和最小的类内距离。
LDA 的目标是求出使新的子空间有最大的类间距离和最小的类内距离的向量a ，构造出判别模型。
形象地理解，如图1，红色点和蓝色点分别代表两个类别的数据，他们是二维的，取二维空间中的任一个向量，作各点到该向量的投影，可以看到，右图比左图投影后的分类效果好。
再如图2，是三维空间的各点作投影到二维空间，可以看到左图比右图分类效果好。
有时需要根据实际选择投影到几维才能实现最好的分类效果。
构造判别模型的过程： （1） 作投影设n 维数据样本集X={x i |i=1,2,3…j}，这j 个样本可以分为k 个类别X 1，X 2，…，X k . 令w 为n 维空间中任一向量，则样本x i 在w 上的投影为w T x i ，得到的是一维数据. （2） 计算投影后的类内距离与类间距离其中利用了方差分析的思想：类内距离：E 0= ∑∑(w T x −w T X t ̅̅̅)2x∈X t k t=1X t ̅̅̅表示 X t 中的样本未投影前的平均.整理得 E 0=w T E w 其中矩阵E=∑∑(x −X t ̅̅̅)(x −X t ̅̅̅)T x∈X tk t=1类间距离：B 0= ∑n t (w T X t ̅̅̅−w T X ̅)2k t=1X̅表示所有样本未投影前的平均，n t 表示X t 中样本数 整理得 B 0=w T Bw 其中矩阵B= ∑n t (X t ̅̅̅−X ̅)(X t ̅̅̅−X ̅)T k t=1（3） 构造目标函数为了得到最佳的w ，我们希望E 0尽量小，B 0尽量大，因此构造J(w)= B0E 0问题转化为求w 使J(w)达到极大值，但使J(w)达到最大值的w 不唯一，于是我们加上一个约束条件E 0=1即求w ，使J(w)在约束条件E 0=1下达到极大值（4） 拉格朗日乘数法求w利用拉格朗日乘数法我们可以得到以下等式(E −1B)w =λw λ为拉格朗日乘子即λ为E −1B 的特征值，w 为对应的特征矩阵 由特征方程|E −1B −λI |= 0 可解除 特征值λ 和特征向量 w（5） 导出线性判别函数把特征值由大到小排列，取最大的特征值，所求w 就是对应的特征向量w 导出线性判别函数为u(x)=wx若用一个线性判别函数不能很好区别各个总体，可用第二大特征根，第三大特征根……对应的特征向量构造线性判别函数进行判别（即上面所说根据实际选择降维到几维空间），线性判别函数个数不超过k-1个。
线性判别分析LDA
线性判别分析LDA⾸先搞清楚什么叫判别分析？Discriminant Analysis 就是根据研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的⼀种多变量统计分析⽅法。
根据判别标准不同，可以分为距离判别、Fisher 判别、Bayes 判别法等。
⽐如在KNN 中⽤的就是距离判别，当然这⾥的“距离”⼜有好⼏种：欧⽒距离、街区距离、甚⾄可以⽤等。
⽤的就是Bayes 判别法。
本⽂要讲的线性判别分析就是⽤是Fisher 判别式。
根据判别函数的形式，可以分为线性判别和⾮线性判别。
LDA 和PCA ⽐较两者都是为了在对原始数据降维之后进⾏分类。
是⽆监督的⽅式，它没有分类标签，降维之后需要采⽤K-Means 或⾃组织映射⽹络等⽆监督的算法进⾏分类。
LDA 是有监督的⽅式，它先对训练数据进⾏降维，然后找出⼀个线性判别函数。
两类线性判别分析给定N 个特征为d 维的样例x (i ){x (i )1,x (i )2,...,x(i )d }，其中有N 1个样例属于类别w 1，另外N 2个样例属于类别w 2。
现在我们要将原始数据降低到只有⼀维，降维函数（或者叫投影函数）是：y =w T x ，最后我们就依靠每个样例对应的y 值来判别它属于哪⼀类。
形象的图求如下我们就是要找到这个最佳的w ，使得样例映射到y 后最易于区分。
定义每类样例的均值点：u i =1N i ∑x ∈w i x 样例投影到y 后有均值点为：~u i =1N i ∑x ∈w iw T x =w T u i 我们希望投影后两类样例中⼼尽量地分离，即|~u 1−~u 2|=|w T (u 1−u 2)|越⼤越好。
同时我们希望投影之后类内部的⽅差~s i 2=∑y ∈w i(y −~u i )2越⼩越好。
由于得到我们的⽬标函数：maxJ (w )=|~u 1−~u 2|2~s 12+~s 22(1)⼜是个最优化问题。
最终解得w =(s 1+s 2)−1(u 1−u 2)，s 1和s 2分别中原始样例的⽅差。
线性判别分析
线性判别分析（Linear DiscriminantAnalysis，LDA）是模式识别中较常用的一种算法，主要思想是最小化类内距离的同时最大化类间距离，得到最优的投影方向以产生最好的分类结果。
线性判别分析算法由于其简单有效性在多个领域都得到了广泛地应用，但是算法本身仍然存在一些局限性需要进行研究改进。
小样本问题由于样本库中的样本数量远小于样本的特征维数，样本与样本之间的距离变大使得距离度量失效，使LDA算法中的类内、类间离散度矩阵奇异，不能得到最优的投影方向，在人脸识别领域中表现得尤为突出。
目前影响线性判别分析算法在人脸识别领域中的识别结果的主要问题是光照、表情等外部条件变化引起的面部大变化带来的识别问题。
光照、表情等变化问题会使图像像素值发生大变化，引起人脸图像呈非凸复杂分布。
使用线性特征的基于外观的识别算法（如LDA）在光照、表情等变化下的识别性能下降，这是人脸识别中目前普遍存在的难题。
线性判别分析模型在多分类问题中的应用
线性判别分析模型在多分类问题中的应用线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种经典的统计学习方法，被广泛应用于多分类问题的解决中。
在这篇文章中，我们将探讨LDA在多分类问题中的应用，并对其原理进行解析。
一、LDA的原理LDA是一种监督学习方法，主要用于降低数据维度并提取特征，其基本思想是通过对数据进行线性变换，将原始特征空间投影到一个新的低维空间，使得不同类别的数据尽可能地分开，同一类别的数据尽可能地接近。
LDA通过以下步骤实现特征提取：1. 计算各类别的均值向量；2. 计算类内离散度矩阵，即各类别内部的数据离散程度；3. 计算类间离散度矩阵，即各类别之间的数据离散程度；4. 计算广义瑞利商，并求解特征值和特征向量；5. 选择最大的k个特征值对应的特征向量，构成变换矩阵；6. 对原始数据进行线性变换，得到新的特征空间。
在LDA中，我们希望最大程度地保留类间距离和最小化类内距离。
通过求解最大化目标函数，可以得到最佳的投影方向，进而有效地进行特征提取，以便对新的样本进行分类。
二、LDA在多分类问题中的应用LDA广泛应用于多分类问题的解决中，其主要侧重于提取数据的重要特征，并通过线性变换将数据投影到低维空间，以便进行分类。
下面以一个实际例子说明LDA在多分类问题中的应用。
假设我们要解决一个手写数字识别的问题，数据集包含0-9共10个类别的数字图像。
我们希望通过LDA来提取图像的重要特征，并构建一个分类模型。
首先，我们将数字图像进行预处理，提取出重要的特征。
通过LDA方法，我们得到了一组最佳的投影方向，这些方向可以最大程度地区分不同的数字类别。
然后，我们对新的数字图像进行特征提取和投影，将其映射到低维空间。
最后，我们使用一种分类算法（如k近邻算法）对这些映射后的图像进行分类。
在实际应用中，我们需要使用训练集对模型进行训练，并使用测试集对其进行验证。
通过评估模型在测试集上的性能，我们可以了解到LDA在多分类问题中的效果。
线性判别分析LDA
线性判别分析LDA点x 0到决策⾯g (x )=w T x +w 0的距离：r =g (x )‖⼴义线性判别函数因任何⾮线性函数都可以通过级数展开转化为多项式函数（逼近），所以任何⾮线性判别函数都可以转化为⼴义线性判别函数。
Fisher LDA(线性判别分析)Fisher准则的基本原理找到⼀个最合适的投影轴，使两类样本在该轴上投影之间的距离尽可能远，⽽每⼀类样本的投影尽可能紧凑，从⽽使两类分类效果为最佳。
分类：将 d 维分类问题转化为⼀维分类问题后，只需要确定⼀个阈值点，将投影点与阈值点⽐较，就可以做出决策。
未知样本x的投影点 y= w ^{* T} x .1. 计算各类样本均值向量:m_i={1\over N_i}\sum_{X\in w_i}X,\quad i=1,22. 计算样本类内离散度矩阵S_i 和总类内离散度矩阵S_w .(w ithin scatter matrix)S_i=\sum_{X\in w_i}(X-m_i)(X-m_i)^T,\quad i=1,2 \\ S_w=S_1+S_23. 计算样本类间离散度矩阵S_b=(m_1-m_2)(m_1-m_2)^T .(b etween scatter matrix)4. 求向量w^*.定义Fisher准则函数：J_F(w)={w^TS_bw\over w^TS_ww}J_F 取最⼤值时w^*=S_w^{-1}(m_1-m_2)Fisher准则函数推导:投影之后点y= w ^{T} x ,y对应的离散度矩阵为\tilde S_w,\tilde S_b ,则⽤以评价投影⽅向w的函数为J_F(w)={\tilde S_b\over \tilde S_w}={w^TS_b\ w\over w^TS_w\ w}5. 将训练集内所有样本进⾏投影：y=(w^*)^TX6. 计算在投影空间上的分割阈值，较常⽤的⼀种⽅式为：y_0={N_1\widetilde {m_1}+N_2\widetilde{m_2}\over N_1+N_2}7. 对于给定的测试X，计算它在w^*上的投影点y=(w^*)^TX 。
判别分析方法汇总
判别分析方法汇总判别分析（Discriminant Analysis）是一种常用的统计分析方法，用于解决分类问题。
它是一种监督学习的方法，通过构建一个或多个线性或非线性函数来将待分类样本划分到已知类别的情况下。
判别分析方法广泛应用于模式识别、图像处理、数据挖掘、医学诊断等领域。
判别分析方法可以分为线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）和非线性判别分析（Nonlinear Discriminant Analysis, NDA）两大类。
下面我们将介绍一些常见的判别分析方法。
1. 线性判别分析（LDA）：LDA是判别分析方法中最常见的一种。
LDA假设每个类别的样本来自于多元正态分布，通过计算两个类别之间的Fisher判别值，构建一个线性函数，将待分类样本进行分类。
LDA的优点是计算简单、可解释性强，但它的缺点是对于非线性问题无法处理。
2. 二次判别分析（Quadratic Discriminant Analysis, QDA）：QDA是LDA的一种扩展，它通过假设每个类别的样本来自于多元正态分布，但允许不同类别之间的协方差矩阵是不一样的。
这样，QDA可以处理协方差矩阵不同的情况，相比于LDA更加灵活，但计算复杂度较高。
3. 朴素贝叶斯分类器（Naive Bayes Classifier）：朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类方法。
它假设每个类别的样本属性之间是相互独立的，通过计算后验概率，选择具有最大概率的类别作为待分类样本的类别。
朴素贝叶斯分类器计算简单、速度快，但它对于属性之间有依赖关系的问题效果较差。
4. 支持向量机（Support Vector Machine, SVM）：SVM是一种常用的判别分析方法，通过构建一个超平面，将不同类别的样本进行分类。
SVM的优点是能够处理非线性问题，且能够得到全局最优解。
但SVM计算复杂度较高，对于数据量较大的情况会有一定的挑战。
判别分析四种方法
判别分析四种方法判别分析(Discriminant Analysis)是一种用于分类问题的统计方法, 它通过分析已知分类的样本数据，构造出一个判别函数，然后将未知类别的样本数据带入判别函数进行分类。
判别分析可以用于研究变量之间的关系以及确定分类模型等方面。
在判别分析中，有四种主要的方法，包括线性判别分析(Linear Discriminant Analysis, LDA)、二次判别分析(Quadratic Discriminant Analysis, QDA)、多重判别分析(Multiple Discriminant Analysis, MDA)和正则化判别分析(Regularized Discriminant Analysis, RDA)。
1.线性判别分析(LDA):线性判别分析是最常用的判别分析方法之一、它假设每个类别的样本数据都服从多元正态分布，并且各个类别具有相同的协方差矩阵。
基于这些假设，LDA通过计算类别间离散度矩阵(Sb)和类别内离散度矩阵(Sw)，然后求解广义瑞利商的最大化问题，得到最佳的线性判别函数。
线性判别分析适用于样本类别数量较少或样本维度较高的情况。
2.二次判别分析(QDA):二次判别分析是基于类别的样本数据服从多元正态分布的假设构建的。
与LDA不同的是，QDA没有假设各个类别具有相同的协方差矩阵。
相反，QDA为每个类别计算一个特定的协方差矩阵，并将其带入到判别函数中进行分类。
由于QDA考虑了类内协方差矩阵的差异，因此在一些情况下可以提供比LDA更好的分类效果。
3.多重判别分析(MDA):4.正则化判别分析(RDA):正则化判别分析是近年来提出的一种改进的判别分析方法。
与LDA和QDA不同的是，RDA通过添加正则化项来解决维度灾难问题，以及对输入数据中的噪声进行抑制，从而提高分类的准确性。
正则化项的引入使得RDA可以在高维数据集上进行有效的特征选择，并获得更鲁棒的判别结果。
数据分析知识：数据分析中的线性判别分析
数据分析知识：数据分析中的线性判别分析数据分析中，线性判别分析是一种常见的分类方法。
它的主要目的是通过在不同类别间寻找最大化变量方差的线性组合来提取有意义的特征，并对数据进行分类。
线性判别分析在实际应用中非常有用，例如在医学诊断、金融风险评估和生物计量学等领域。
一、简要介绍线性判别分析线性判别分析是一种有监督的数据挖掘技术，在分类问题中常用。
整个过程包括两个主要的部分：特征提取和分类器。
特征提取的任务是从原始数据中提取有意义的特征，用以区分不同类别的样本。
而分类器则是将已知类别的样本分成预先定义的类别。
在实际应用中，线性判别分析通常用于二分类问题。
其基本思想是，在不同类别（即两个不同样本）之间寻找一个最优的超平面，使得在该平面上不同类别的样本能够被清晰地分开。
也就是说，在分类平面上，同类样本尽可能地被压缩到一起，而不同类别的样本尽可能地被分开。
二、分类器在线性判别分析中的应用在进行线性判别分析时，一般都会用到一个分类器。
分类器可以对已知类别的样本进行分类，并对新的未知样本进行预测。
常用的分类器有：最近邻分类器、支持向量机、朴素贝叶斯分类器和决策树等。
其中，最近邻分类器是一种较为简单的分类器，其原理是对未知样本进行分类时，找到离该样本最近的一个或几个已知样本，并将该样本划归到该已知样本所属的类别。
而支持向量机则是一种复杂且有效的分类器。
它采用最大间隔的思想，在将不同类别分开的同时，尽可能地避免分类器过拟合的情况。
朴素贝叶斯分类器则是一种基于贝叶斯定理的分类器，它假设不同变量之间相互独立，并通过给定类别的样本来估算样本中各个特征的概率分布。
最后，决策树则是一种可视化的分类器，它通过一系列的条件分支，将样本划分为不同的类别。
三、特征提取在线性判别分析中的应用特征提取是在原始数据基础上提取可识别和易于分类的特征过程。
在线性判别分析中，常用到的特征提取方法有：主成分分析、线性判别分析和奇异值分解等。
其中，主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常见的数据降维方法。
线性判别分析LDA
LDA
我们分类的目标是找到一个最优化的W，使得类别内的点距离 越近越好（集中），类别间的点越远越好。
分母表示每一个类别内的方差之和，方差越大表示一个类别内 的点越分散，分子为两个类别各自的中心点的距离的平方，我 们最大化J(w)就可以求出最优的w
LDA
定义：
（1）样本类内离散度矩阵Si和总类内离散度矩阵 S
70.4
8.25
69.1
9.03
71.9
8.48
70.5
9.42
73.5
8.85
72.2
经典Fisher线性判别分析方法
LDA
LDA
LDA
Sw奇异问题的解决方法： ● R-LDA ● PCA+LDA ● N-LDA ● D-LDA
R-LDA
由于Sw总是半正定的，为了使之正定，可以将另外一个正 定的对角矩阵与之相加，以两者之和代替Sw，即是：
线性判别分析（LDA）
基本思想
线性判别分析的基本思想是将高维的模式样本投影到最佳鉴 别矢量空间，即把高维空间中的数据点投影到一条直线上去，将 多维降为一维。并且要求投影后各样本的类间散布距离最大，同 时类内散布距离最小。
LDA 二分类问题公式推导
假设A和B为分类明确的两类症状。在总体A中观察了P例， 在总体B中观察了q例，每一例记录了n个指标，分别记为 x1,x2,…,xn。令y是n个指标的一个线性函数，即
D-LDA
D-LDA的基本思想从某种意义上来说和上述N-LDA思想相同，DLDA将SB的零空间null(SB )剔除，从剩余的非零空间range(SB )内寻找 使得此空间内数据集类内散布矩阵Sw′达到最小值得投影方向，选择此 投影方向为D-LDA所要寻求的最优投影方向。
线性判别分析（LinearDiscriminantAnalysis,LDA）
线性判别分析（LinearDiscriminantAnalysis,LDA）⼀、线性判别器的问题分析线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）是⼀种经典的线性学习⽅法，在⼆分类问题上亦称为 "Fisher" 判别分析。
与感知机不同，线性判别分析的原理是降维，即：给定⼀组训练样本，设法将样本投影到某⼀条直线上，使相同分类的点尽可能地接近⽽不同分类的点尽可能地远，因此可以利⽤样本点在该投影直线上的投影位置来确定样本类型。
⼆、线性判别器的模型还是假定在p维空间有m组训练样本对，构成训练集T=(x1,y1),(x2,y2),...,(x n,y n)，其中x i∈R1×p，y i∈{−1,+1}，以⼆维空间为例，在线性可分的情况下，所有样本在空间可以描述为：我们的⽬的就是找到⼀个超平⾯Φ:b+w1x1+w2x2+..+w n x n=0，使得所有的样本点满⾜ “类内尽可能接近，类外尽可能遥远"。
那么我们⽤类内的投影⽅差来衡量类内的接近程度，⽤类间的投影均值来表⽰类间的距离。
这⾥，我们另w代表投影⽅向，如下图所⽰，在这⾥，x,w均为p×1 的列向量，那么根据投影定理，x在w上的投影p既有⽅向⼜有距离，那么：p与w同⽅向，表⽰为：w||w||；p的长度为：||x||cosθ=||x||x⋅w||w||||x||=x⋅w||w||由于w的长度不影响投影结果，因此我们为了简化计算，设置 ||w||=1，只保留待求w的⽅向：||p||=x⋅w=w T x 2.1 类间投影均值我们假设⽤u0，u1分别表⽰第1，2类的均值，那么：u0=1mm∑i=1x i,u1=1nn∑i=1x i所以，第⼀，⼆类均值在w⽅向上的投影长度分别表⽰为：w T u0，w T u1 2.2 类内投影⽅差根据⽅差的计算公式，第⼀类的类内投影⽅差可以表⽰为：z0=1nn∑i=1(w T x i−w T u0)2=1nn∑i=1(w T x i−w T u0)(w T x i−w T u0)T即：z0=1nn∑i=1w T(x i−u0)(x i−u0)T w=w T[1nn∑i=1(x i−u0)(x i−u0)T]w如下图所⽰：当x i,u0都是⼀维时，式⼦1n∑ni=1(x i−u0)(x i−u0)T就表⽰所有输⼊x i的⽅差；当x i,u0都是⼆维时，式⼦1n∑ni=1(x i−u0)(x i−u0)T就表⽰：1nn∑i=1x11−u01x12−u02x11−u01x12−u02=1nn∑i=1(x11−u01)2(x11−u01)(x12−u02)(x12−u02)(x11−u01)(x12−u02)2其中：u01表⽰第⼀类集合中在第⼀个维度上的均值，u01表⽰第⼀类集合中在第⼆个维度上的均值，x11表⽰第⼀类集合中第⼀个维度的坐标值，x12表⽰第⼀类集合中第⼆个维度的坐标值[][][]综上：当x i,u0都是p维时，式⼦1n∑ni=1(x i−u0)(x i−u0)T表⽰p个维度之间的协⽅差矩阵，我们⽤符号M0表⽰。
机器学习技术中的线性判别分析方法
机器学习技术中的线性判别分析方法机器学习是一种通过计算机算法自动识别模式并从数据中学习的方法。
随着数据规模的快速增长和计算能力的提高，机器学习在各个领域都有着广泛的应用。
线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种常用的机器学习技术，用于将数据分为不同的类别。
LDA是一种监督学习方法，利用已知类别的样本数据进行训练，然后通过学习到的模型对新的样本进行分类。
与其他的机器学习技术相比，LDA在数据特征提取和分类之间建立了有机的联系，因此在维数较高的数据集中表现出色。
LDA的基本思想是将高维的数据投影到低维空间中，使得在低维空间中不同类别的样本能够被更好地分开。
这个过程涉及两个步骤：特征提取和分类。
特征提取是指将原始的高维数据转换为低维表示，以便更好地区分不同的类别。
LDA通过计算数据之间的类别差异和内部类别相似性来找到最佳的投影方向。
具体来说，它首先计算各个类别的均值向量，然后计算类别内部散布矩阵和类别间散布矩阵。
类别内部散布矩阵表示每个类别内部样本点的离散程度，而类别间散布矩阵则表示不同类别之间的差异程度。
通过最大化类别间散布矩阵和最小化类别内部散布矩阵的比值来选择最佳的投影方向，从而使得样本在投影后更加分散。
分类是指根据学习到的投影方向将新的样本点分配到不同的类别中。
在分类过程中，我们需要计算待分类样本在投影方向上的投影值，并通过设定一个合适的分类阈值来决定其所属类别。
一般而言，对于新的样本点，我们可以计算它到每个类别均值向量的距离来进行分类决策，距离较小的类别即为其所属类别。
LDA方法在模式识别、面部识别、文本分类等诸多领域都有广泛的应用。
与其他的机器学习方法相比，LDA具有以下几个优势：1. 数据降维：LDA通过将高维数据投影到低维空间中，能够在保持较高分类精度的同时降低计算复杂度。
2. 特征提取：LDA通过计算类别内部散布矩阵和类别间散布矩阵，能够找到最佳的投影方向，从而提取出最能区分不同类别的特征。
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最大本征值对应的本征向量
• S为实对称矩阵，所以e1,e2, ed 相互正交 • e1,e2, ed 可被视为特征空间的一个子空间的单位向量基
• aki 为 xk 对应于基 ei 的系数，或在 ei 上的投影 • aki 称为主成分（principal component）
k 1
k 1
k 1
n
n
[et (xk m)]2 xk m 2
k 1
k 1
n
n
et (xk m)(xk m)t e xk m 2
k 1
k 1
n
etSe xk m 2 k 1
•
用
yk
ak
2
来表示
xk
akd
d
xˆ k m akiei i 1
• 最小化平方误差
n
Jd (e)
m
d
akiei
xk
2
k 1
i 1
主成分分析（PCA）
• 将一维的 ak扩展到 d(d d) 维空间
• 结论：
主成分分析（PCA）
• 用一维向量表示d维样本
e
xk
ak
m
主成分分析（PCA）
• 寻找e的最优方向
ak et (xk m)
n
n
n
J1(a1, , an , e) ak2 e 2 2 aket (xk m) xk m 2
k 1
k 1
k 1
n
n
n
J1(e) ak2 2 ak2 xk m 2
e
Se e
etSe ete
是S的本征值（eigenvalue）
e是S的本征向量（eigenvector）
最大本征值 对应 etSe 的最大值
• 结论：e为散布矩阵最大的本征值对应的本征向量
主成分分析（PCA）
• 将一维的 ak扩展到 d(d d) 维空间
ak1
2. 计算S的本征值和本证向量
Se e
3. 将本征向量按相应的本征值从大到小排序 4. 选择最大的d’个本征向量作为投影向量 e1,e2, ed， 构成
投影d d ' 矩阵W，其中第i列为ei 5. 对任意d维样本x，其用PCA降维后的d’维向量为
y Wtx
主成分分析（PCA）
• 通常，最大的几个本征值占据了所有本征值之和 的绝大部分
k 1
k 1
n
n
n
ak2 e 2 2 aket (xk m) xk m 2
k 1
k 1
k 1
J1(a1, , an , e) ak
2ak
2et
(xk
m)
0
ak et (xk m例子
p(x | j ) N (μi , Σ), j 1, 2 P(1) P(2 )
• 贝叶斯误差概率
P(e)
1
eu 2 / 2 du
r/2
μ1到μ2 的马氏距离
r 2 (μ1 μ2 )t Σ1(μ1 μ2 )
• r增加，误差概率 P(e) 减小 • r ， P(e) 0
引入新的特征可使r增大， 进而降低误差概率 P(e)
• 假设各特征独立：
Σ diag(1,2, ,d )
r 2
d i1
i1 i
i
2
2
维度灾难
• 在实际应用中
• 当特征个数增加到某一个临界点后，继续增加反而会导 致分类器的性能变差——“维度灾难”（curse of dimensionality）
• 原因？
• 假设的概率模型与真实模型不匹配 • 训练样本个数有限，导致概率分布的估计不准 • ……
• 对于高维数据，“维度灾难”使解决模式识别问 题非常困难，此时，往往要求首先降低特征向量 的维度
降维
• 降低特征向量维度的可行性
特征向量往往是包含冗余信息的！
• 有些特征可能与分类问题无关 • 特征之间存在着很强的相关性
• 少数几个最大本征 值对应的本征向量 即可表示原数据中 的绝大部分信息， 而剩下的小部分（ 即对应较小的本征 值的本征向量所表 示的信息），通常 可以认为是数据噪 声而丢掉
主成分分析（PCA）
主成分分析（PCA）
n
S (xk m)(xk m)t (n 1)C k 1
散布矩阵（scatter matrix）
主成分分析（PCA）
• 使 J1(e)最小的e最大化 etSe
• 拉格朗日乘子法（约束条件 ete 1）
u etSe (ete 1)
u 2Se 2e 0
• 降低维度的方法
• 特征组合
把几个特征组合在一起，形成新的特征
• 特征选择
选择现有特征集的一个子集
降维
• 降维问题
• 线性变换 vs. 非线性变换 • 利用类别标记（有监督） vs. 不用类别标记（无监督） • 不同的训练目标
• 最小化重构误差（主成分分析，PCA） • 最大化类别可分性（线性判别分析，LDA） • 最小化分类误差（判别训练，discriminative training） • 保留最多细节的投影（投影寻踪，projection pursuit） • 最大限度的使各特征之间独立（独立成分分析，ICA）
• 几何意义 e1,e2 , ed 为沿数据云团方差最大的方向的直线
• 利用PCA，可以将d维数据降维到 d(d d) 维，同时使得降维后
的数据与源数据的平方误差最小
主成分分析（PCA）
• 主成分分析步骤（d维降为 d(d d)维）
1. 计算散布矩阵S n S (xk m)(xk m)t k 1
主成分分析（PCA）
• 用一维向量表示d维样本
• 用通过样本均值m的直线（单位向量为e）上的点表示
样本
xˆ k m ake
ak 唯一决定了xˆ k
xk
• 最小化平方重构误差
n
n
J1(a1, , an ,e) (m ake xk ) 2 (ake (xk m)) 2