矩形薄板地几种解法
矩形薄板的几种解法
（范文素材和资料部分来自网络，供参考。
可复制、编制, 期待你的好评与关注）弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法•:纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为O二 0_ay 厂O二 0-0.纳维把挠度'的表达式取为如下的重三角级数:为了求出系数A mn ，须将式b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即q"4D 芸M C mn sin ^sin 也。
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矩形薄板简支弯曲经验公式
矩形薄板简支弯曲经验公式摘要：1.矩形薄板简支弯曲的基本概念2.矩形薄板简支弯曲的经验公式3.经验公式的应用和实用性4.公式中的参数解释5.总结与展望正文：矩形薄板简支弯曲经验公式在工程领域具有广泛的应用，尤其在结构分析和设计中。
本文将详细介绍矩形薄板简支弯曲的基本概念、经验公式及其应用，以期为相关领域的研究和工程实践提供参考。
一、矩形薄板简支弯曲的基本概念矩形薄板是指四边形截面的薄板，其边界条件为两对边固定（简支），另外两对边自由。
简支弯曲是指在横向力作用下，板的两个简支边产生位移，而另外两个自由边保持固定。
矩形薄板简支弯曲问题的求解，通常采用经验公式或数值方法。
二、矩形薄板简支弯曲的经验公式针对矩形薄板简支弯曲问题，研究者们通过实验和理论分析，总结出了一系列经验公式。
其中，较为著名的是施密特（Schmidt）公式和修正的施密特（Modified Schmidt）公式。
1.施密特公式：施密特公式为：M = E*I/r，其中M为弯矩，E为材料弹性模量，I为矩形薄板的惯性矩，r为距离板中心轴线的半径。
2.修正的施密特公式：针对施密特公式在某些情况下的误差，研究者们提出了修正的施密特公式。
修正的施密特公式为：M = E*I/(r+0.5*h)，其中M、E、I的含义与施密特公式相同，h为矩形薄板的高度。
三、经验公式的应用和实用性矩形薄板简支弯曲经验公式在实际工程中具有很高的实用性。
通过应用经验公式，工程师可以快速、准确地估算矩形薄板在简支弯曲条件下的弯矩、挠度等参数，为结构设计和分析提供依据。
同时，经验公式也可用于验证和改进数值方法的准确性，为更深入的研究提供参考。
四、公式中的参数解释1.E：材料弹性模量，反映材料的弹性特性；2.I：矩形薄板的惯性矩，与板的长宽比有关；3.r：距离板中心轴线的半径；4.h：矩形薄板的高度。
五、总结与展望矩形薄板简支弯曲经验公式在工程领域具有重要应用价值。
通过对经验公式的学习和掌握，工程师可以更好地进行结构设计和分析。
悬臂矩形薄板自由振动分析的有限积分变换法
悬臂矩形薄板自由振动分析的有限积分变换法钟阳;高嫄嫄;田斌;李锐【摘要】The double finite integral transform method was used to obtain accurate vibration theoretical solution of rectangular thin cantilever plate. Compared with the superposition method and the Fourier series method, the approach used in this paper is concise in form and calculation. It is not need prior to select the deformation function arbitrarily due to the basic elasticity equations of the thin Cantilever plate were only used, therefore, the solution method is reasonable, and theoretical and the numerical solution is accurate. In order to prove the correction of formulation, the numerical results are compared with that in the other references.%为了求解悬臂矩形薄板振动问题的精确解,利用二维有限积分变换的方法将高阶偏微分方程问题转化为易于求解的线性代数问题,推导出了悬臂矩形薄板固有频率和振型的精确解,该方法不仅概念清晰、计算简便,而且较传统叠加法、傅立叶级数法等解析方法计算量有了明显减少.由于在求解过程中不需要预先人为选取挠度函数,而是直接从弹性薄板的基本方程出发,仅利用有限域积分变换的数学方法推导出完全满足边界条件的精确解,使得问题的求解更加直接、简便,所得到的解析解更加合理、数值解更加精确.最后,通过计算实例验证了本文所采用方法合理性和公式推导的正确性.【期刊名称】《土木工程与管理学报》【年(卷),期】2012(029)004【总页数】5页(P6-10)【关键词】悬臂矩形薄板;固有频率;振动分析;有限积分变换【作者】钟阳;高嫄嫄;田斌;李锐【作者单位】大连理工大学建设工程学部,辽宁大连116024;大连理工大学建设工程学部,辽宁大连116024;中国路桥工程有限责任公司科技部,北京100011;大连理工大学建设工程学部,辽宁大连116024【正文语种】中文【中图分类】TU33+9;TU311桥梁工程中的桥面板、高速公路中的水泥混凝土路面、机场跑道以及各种房屋建筑中的楼板等，都是以弹性薄板为力学模型进行计算的。
根据矩形面积公式的三种推导方法
根据矩形面积公式的三种推导方法
一、推导方法一：基于边长的直接乘法
矩形的面积可以通过将矩形划分成单位正方形来计算。
假设矩
形的长为a，宽为b，那么矩形可以划分成a个单位正方形的行和b
个单位正方形的列。
因此，矩形的面积等于a乘以b，即S = a * b。
二、推导方法二：基于对角线的关系
矩形的对角线可以将矩形划分成两个直角三角形。
假设矩形的
对角线长为d，那么矩形的面积等于两个直角三角形的面积之和。
由直角三角形的面积公式可知，直角三角形的面积等于直角边长的
一半乘以另一条边长。
因此，矩形的面积等于 (d/2) * a + (d/2) * b，即S = (d/2)(a + b)。
三、推导方法三：基于高度和底边的关系
矩形的面积可以通过将矩形划分成若干个高度为h的平行四边形来计算。
假设矩形的高度为h，那么矩形的面积等于高度h乘以底边的长度，即S = h * b。
注意：以上三种推导方法的前提都是矩形的边长、对角线或底边是已知的。
总结
通过以上三种推导方法，我们可以得出矩形面积公式为：
- 基于边长的直接乘法：S = a * b
- 基于对角线的关系：S = (d/2)(a + b)
- 基于高度和底边的关系：S = h * b
根据具体情况，我们可以选择合适的方法来计算矩形的面积。
计算力学4---加权残值法解矩形薄板的弹塑性问题
4．加权残值法解矩形薄板的弹塑性问题薄板理论的克希霍夫假设在板的弹塑性分析中仍可应用。
采用增量形式表示，板的本构方程的矩阵形式为：{}([][]{})e p e D D σβ∆=-∆ （4-7-1）式中{}[,,]{}[,,]T x y xy Tx y xy e σσστεεγ⎫∆=∆∆∆⎪⎬∆=∆∆∆⎪⎭（a ） 分别为应力增量分量和应变分量增量。
而弹性矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=210001011][2μμμμE D e （b ） 塑性矩阵[][][][]Te e e T ef f D D D f f H D σσσσ∂∂⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭=∂∂⎧⎫⎧⎫'+⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭（4-7-2） 这里/s p H d de σ'=为硬化参数；f 为屈服函数，对于密赛斯屈服条件0s f σσ=-= （4-7-3）式中2221/2(3)x y x y xy σσσστ=+-+ （c ）式（4-7-1）中的β叫做塑性修正系数，在弹性区内β=0；在塑性区β=1；在弹塑性过渡区，取ba sa σσσσβ--= （d ） 上标b,a 分别表示加上载荷增量前后的值。
板的应力偏量)(31)(31y x y y y x x x S S σσσσσσ+-=+-= （4-7-4）将有关公式代入式（4-7-2）中，则得塑性矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-++++-+++-=xy xy x y xy y x xy x y x y x y y x xy y x x y y x y x p S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Q E D 2222)1())(1())(1())(1()())(())(1())(()()1(][τμτμμτμμτμμμμμτμμμμμμ（4-7-5）其中EH S S S S Q xyy x y x 9)1(4)1(222222--'+-+++=σμτμμ （e ）分开应力增量{△σ}的弹性部分和塑性部分，沿板厚积分，即有}{}{}{P e M M M ∆+∆=∆ （f ）式中T xy y x M M M M ],,[}{∆∆∆=∆ (g)弹性弯矩增量和挠度增量的关系⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∆∂∂∂--=∆∆∂∂+∆∂∂-=∆∆∂∂+∆∂∂-=∆)()1()]()([)]()([222222222w y x D M w x w y D M w y w x D M exy ey exμμμ （4-7-6）式中，)1(1223μ-=Eh D 为板的抗弯刚度。
机械工程用有限元法学习笔记(四)
薄板弯曲问题的有限元法一、 薄板弯曲问题的基本方程什么是薄板？薄板就是指厚度t 远小于其长度、宽度的板。
1. 三个基本假设（克希霍夫假设）： (1) 法线假设，εz =0,γyz =γzx =0 (2) 正应力假设，σz <<σx ,σy ,τxy (3) 小挠度假设，w<t/4根据假设，可以得到位移分量()()()()()(),,,,,,,,,,, x y z u x y z z x x y z v x y z z y x y z x y ωωωω∂⎧=-⎪∂⎪∂⎪=-⎨∂⎪⎪=⎪⎩式4-1图 1 薄板弯曲后某点B 的位移2. 应变分量{}222222x y z x z y x y ωεωεεεω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-23. 曲率{}222222x y z x y x y ωχωχχχω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-3 22=x x ωχ∂-∂——薄板弹性曲面在x 方向的曲率22=y yωχ∂-∂——薄板弹性曲面在y 方向的曲率2=z x yωχ∂-∂∂——薄板弹性曲面在x 方向和y 方向的扭率4. 应力分量与应变分量间的关系：{}[]{}2222222222221 11D Ez xy Ez x y Ez x y σεωωμμωωμμωμ=⎧⎫⎛⎫∂∂-+⎪⎪ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫∂∂⎪⎪=-+⎨⎬ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪--∂∂⎪⎪⎩⎭式4-4 5. 线力矩{}()2222222101012110022x y z x M Et M M y M x y ωμωμμμω⎧⎫∂-⎪⎪⎡⎤∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂-⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂⎣⎦-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-5a广义应力与广义应变之间的关系式{}[]{}D M χ= 式4-5b式中：[D]—薄板弯曲问题的弹性矩阵6. 薄板弯曲问题的基本方程（双调和方程）()32222222121Et p xx y y ωωωμ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂-⎝⎭ 式4-6()32121Et μ-——薄板弯曲刚度 二、 矩形薄板单元分析 1、矩形薄板单元图 2 矩形薄板单元2、位移函数22123456322333789101112 a a x a y a x a xy a y a x a x y a xy a y a x y a xy ω=+++++++++++ 式4-73、形状函数[]{}k i i xi xi yi yi j j xj xj yj yj k kxk xk yk y l l xl xl yl yl N N N N N N N N N N N N N q ωωθθωθθωθθωθθ=+++++++++++= 式4-8式中：i,j,k,l ——节点号N i ，N xi ，N yi ，……，N yl ——形状函数()()()()()()()()()()2211128N 111 ,,,8111 8y i i i i i xi i i iyi i i i b N i i j h l N a x a b ξξηηξξηηξηηξξηηηξξξηηξξη⎧⎫++++--⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-++-=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪++-⎪⎪⎩⎭==， 式4-94、单元刚阵[][][][]S K TB D B dxdy =⎰ 式4-10式中：[]22222222222222222222 2222yi yl i xiyi yl ixi yi yl i xi N N N N x x x x N N NN B y y y y N N N N x yx yx yx y ⎡⎤∂∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦式4-11 5、节点力与节点位移的关系式{}[]{}F K q = 式4-12三、 三角形薄板单元分析1、三角形薄板单元当薄板具有斜交边界或曲线边界时，可采用三角形单元较好地反映边界形状。
第9章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法ppt课件
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
x y
xy
1 E 1 E
(
( 2 (1
x
y
E
)
y x xy
) )
（9-2）
即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同。
， （3）薄板中面内各点都没有平行于中面的位移
(u)z0 0 (v)z0 0
（9-3）
x
u x
、y
v y
D4w q
D Ed 3 12(1 2 )
（9-8） （9-9）
称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2
方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本 微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。
§9-3 薄板横截面上的内力及应力
一般情况下，很难使应力分量精确满足边界条件，应用圣维南原 理，应使应力组成的内力整体地满足边界条件。
1. 夹支椭圆板
设有椭圆形薄板，图9-6，其边界 方程是
x2 a2
y2 b2
1 0
试取挠度的表达式为
（a）
wmax22
y2 b2
2
1
（b）
图9-6
由式（b）及式（a）可见，在薄板的边界上有w = 0 ，同时也有
w x4am2 xax22
y2 b2
10
w y4am2 yax22
y2
b2
10
为了式（b）能满足边界条件，薄板的边界必须是夹支边。 将式（b）代入弹性曲面微分方程（9-8），得
d M x 1 E 2 x 2 w 2 y 2 w 2 d 2 d 2 z 2 d z 1 ( 1 E 2 32 ) x 2 w 2 y 2 w 2
矩形薄板地几种解法
弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为()00x ω==, 2200x x ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()00y ω==， 2200y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑， （a ）其中m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（a ）代入弹性曲面微分方程D∇4w =q ，得到系数mn A ，为了求出须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。
（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。
将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意sinsin am x i ydx a aππ=⎰{0 ， (m ≠ i)a/2 ， ( m = i) 就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。
()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n y D q a b a bπππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。
（）y再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意sin sin bon y j y dy b b ππ=⎰{0 ， (n ≠j )b /2 ， ( n = j )就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。
矩形薄板简支弯曲经验公式
矩形薄板简支弯曲经验公式【实用版】目录1.矩形薄板简支弯曲经验公式的概述2.矩形薄板简支弯曲的经验公式推导3.矩形薄板简支弯曲的经验公式应用实例4.矩形薄板简支弯曲的经验公式的优缺点分析正文一、矩形薄板简支弯曲经验公式的概述矩形薄板简支弯曲经验公式，是一种描述矩形薄板在简支条件下弯曲变形的数学公式。
矩形薄板在工程中有着广泛的应用，如建筑物的梁、板等结构件，了解和掌握这种经验公式对于工程设计和计算具有重要意义。
二、矩形薄板简支弯曲的经验公式推导设矩形薄板的长为 a，宽为 b，厚度为 t，材料弹性模量为 E，泊松比为μ，简支在 x、y 两个方向上，且在 x 方向上的长度为 l。
假设在y 方向上有一个集中力 F 作用在距离 x 边缘的距离为 c 处，那么根据力学原理，可以推导出矩形薄板简支弯曲的经验公式如下：δ=F*l/(2*E*I)其中，δ表示弯曲变形，I 为面积惯性矩，根据矩形薄板的几何参数，可得：I=ab*t^3/12将 I 代入上述公式，得到：δ=F*l/(2*E*ab*t^3/12)三、矩形薄板简支弯曲的经验公式应用实例假设有一矩形薄板，长 a=2m，宽 b=1m，厚 t=0.1m，材料弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3，简支在 x、y 两个方向上，且在 x 方向上的长度为 l=1m。
现在在 y 方向上有一个集中力 F=10kN 作用在距离 x 边缘的距离为 c=0.5m 处，求弯曲变形δ。
根据上述公式，代入已知参数，可得：δ=10kN*1m/(2*200GPa*2m*0.1m^3/12)=318.18mm所以，在给定条件下，矩形薄板的弯曲变形δ约为 318.18mm。
四、矩形薄板简支弯曲的经验公式的优缺点分析优点：1.该经验公式简单易懂，便于工程技术人员应用和计算；2.可以描述矩形薄板在简支条件下的弯曲变形，适用于多种工程场景。
缺点：1.经验公式的推导过程中做了一些简化和假设，可能导致计算结果与实际有一定误差；2.适用范围有限，对于非简支条件或者其他特殊情况下的矩形薄板，该公式可能不再适用。
板壳理论chapter 弹性薄板弯曲的基本理论ppt课件
(1.3.1) (1.3.2)
(1.3.3)
3
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
固支边界
ww0 (y0) y
(1.3.4)
自由边界
边界上没有外载荷作用
M y M yx Q y 0(y b )
(1.3.5)
4
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
在薄板弯曲的近似理论中，可以将(1.3.5)中的 后两个条件合并为一个。
0
w y
4m b2
y
x2 a2
y2 b2
1
0
wwxwy n xn y n
(1.4.3) (1.4.4)
可见挠曲函数同样满足了在边界上 w 0的条件。 14
n
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
（4）确定挠度函数 将式(1.4.2)代入薄板的微分方程中，得
微分方程的解还需要满足角点条件,即在x=a, y=b
处 2w 0 xy
(1.3.12)
如果在B点处有支座可以对薄板施加反力，则有 下述角点条件,即在x=a, y=b处
w0
(1.3.13)
此时反力大小由(1.3.11)式给出。
9
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
边界条件
固支边界
ww0 (y0) y
a
x
b
y
图1.6 周边固支的椭圆板
12
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
解：（1）薄板的微分方程
D 2 2wD 4 x w 42x 2 4 w y2 4 yw 4 q
（2）边界条件 w w 0
n
（3）取满足边界条件挠度函数
其边界方程可以表示为
矩形薄板的几种解法
弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为()00x ω==, 2200x x ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0y ω==， 2200y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑， （a ）其中m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（a ）代入弹性曲面微分方程 ，得到为了求出系数mn A ，须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。
（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。
将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意sinsin am x i y dx a aππ=⎰，， 就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。
()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n y D q a b a bπππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。
（）y再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意sin sin bon y j y dy b b ππ=⎰，jb ， j就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。
（13-25）与式（b ）对比，即得当薄板受均布荷载时，q 成为常量0q ，式（d ）积分式成为()()000000002sinsin =q sin sin 1cos 1cos a ba b m x n y q dxdya bm x n yq dx dya b q ab m n mnπππππππ=--⎰⎰⎰⎰于是由式（d ）得到()()022262241cos 1cos mn mnq m n A m n D ab πππ--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()222622161,3,5,;1,3,5,mn mnq A m n m n D ab π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
矩形薄板的几种解法
（范文素材和资料部分来自网络，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为()00x ω==, 2200x x ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0y ω==，220y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑，（a ）其中m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（a ）代入弹性曲面微分方程，得到为了求出系数mn A ，须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。
（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。
将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n yD q ab a b πππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。
（）ysinsin am x i ydx a aππ=⎰就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。
再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意s i n s i n bon y j y dy b bππ=⎰就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。
（13-25）与式（b ）对比，即得当薄板受均布荷载时，q 成为常量0q ，式（d ）积分式成为()()00000002sinsin =q sin sin 1cos 1cos a ba b m x n y q dxdy a bm x n yq dx dya b q ab m n mnπππππππ=--⎰⎰⎰⎰于是由式（d ）得到()()022262241cos 1cos mn mn q m n A m n D ab πππ--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()222622161,3,5,;1,3,5,mn mnq A m n m n D ab π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
板壳理论ppt课件
26
§1.3 薄板的内力和应力
各应力分量与薄板内力及横向载荷的关系：
x
12M x t3
z
y
12M y t3
z
xy
yx
12M xy t3
z
xz
6Qx t3
t2 4
z2
yz
6Qy t3
t2 4
M
xy
M xy x
dx
dx
变换为一个力偶，力为
F点合M成xy为 向Mx下xy 的dx 合力
u z w v z w 由几何方程得应x变分量：y
x
u x
z
2w x2
y
v y
z
2w y2
xy
v x
u y
2z
2w yx
11
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由于是小挠度，所以弹性曲面的曲率和扭率用
w表示为：
x
2w x2
y
2w y2
xy
2
2w yx
应变分量用曲率和扭率表示为：
x zx y z y xy zxy x , y , xy 为板的广义应变。
12
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由物理方程得应力分量为：
x
E
1 2
x y
17
§1.2 薄板弯曲的基本方程
《高等有限元方法-张年梅》3.2矩形薄板单元
114第二节 矩形薄板单元矩形单元是薄板单元中比较简单的一种，因此首先加以介绍。
如图2.1所示，单元的4条边分别平行于x 和y 轴，平面尺寸为2a ×2b 。
(a)(b)图2.1 矩形单元的节点位移和节点力一、位移函数如上节所述，薄板的形变和内力完全决定于中面的挠度w 。
一个矩形薄板单元共有4×3＝12个自由度，因此挠度w 的表达式必须包含12个参数，现试取如下的四次多项式：22321234567823339101112w x y x xy y x x yxy y x y xyββββββββββββ=+++++++++++ （a ）如图2.1所示，单元的结点位移为{}{}{}{}{}TTeTTTi jmlTi xi yij xj yj m xm yml xl yl w w w w δδδδδθθθθθθθθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎣⎦（2.1）以结点i 的坐标x ＝－a ，y ＝－b 代入式（a ）及其导数，可得223223123456789103311122232356891*********245789111222332323i xi i yi i w a b a ab b a a b ab b a b ab w a b a ab b a ab y w a b a ab b a b b x ββββββββββββθββββββββθββββββββ⎫=--+++----⎪++⎪⎪⎪⎛⎫∂==--+++--⎬ ⎪∂⎝⎭⎪⎪∂⎛⎫⎪-==--+++-- ⎪⎪∂⎝⎭⎭（b ）在结点j 、m 、l ，也各有与式（b ）类似的3个方程。
由这 12 个方程联立求解，得到112ββ，再代入式（a ），整理后得到i i xi xi yi yi j j xj xj yj yjw N w N N N w N N θθθθ=+++++m m xm xm ym ym l l xl xl yl yl N w N N N w N N θθθθ++++++ （2.2）115其中的形函数,,,,i xi yi yl N N N N 等都是x 和y 的四次多项式，即[][][]11112212121212212112121212122222111212121212122112112222161222216122221612216i xi yi j xj yj m xm ym lxlyl N N N X Y X Y X Y X X YY bYY aX X N N N X Y X Y X Y X X YY bYY aX X N N N X Y X Y X Y X X YY bYY aX X N N N X Y X Y X Y X X Y ⎡⎤=-++-⎣⎦⎡⎤=-++⎣⎦⎡⎤=-++-⎣⎦⎡⎤=-++⎣⎦[]2121222Y bYY aX X ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪--⎭（2.3）其中 11x X a =-，21x X a =+，11y Y b =-，21yY b=+ 若采用局部坐标x a ξ=和ybη=，则形函数,,,,i xi yi yl N N N N 可表示为()()()2200001128i N ξηξηξη++++--=()()()2001118i xi b N ηξηη++-=-()()()2001118i yi a N ξξηξ++-=不难验证，上述形函数具有下列特性：在结点i ，1yi xii N N N y x∂∂==-=∂∂，0i ixi yi N N N N x y∂∂====∂∂；在其他各点，,,i xi yi N N N 及其一阶导数都等于零。
矩形薄板弯曲的近似解法——康托洛维奇-伽辽金法
矩形薄板弯曲的近似解法——康托洛维奇-伽辽金法
本文从广义梁微分方程出发,推导出三次样条梁函数。
由于采用了广义函数,在集中荷载,集中弯矩等得到截断多项式的解。
弹性薄板偏微分方程荷载项采用了广义函数(δ函数及σ函数),无论是集中荷载、集中弯矩、均布荷载,小方块荷载都可表示成为x、y两个方向的截断多项式变形曲线。
利用康托洛维奇法将偏微分方程转换成为常微分方程,再用伽辽金法可得良好的近似解。
文内算例较为丰富,包括各种边界弹性薄板,各种荷载、变截面薄板以及悬臂板等。
弹性地基矩形薄板弯曲问题的新解析法
ｅ ｔ ｇ ｌｒｔ ｎｐａｅｏ ｌｓ ｃｆｕ ｄ ｔ ｎ ｒｃ ｎｕ ａ ｉ ｌｔ ｎ ｅａｔ ｏ ｎ ａ ｏ ．ｓｌｃｓｄｓ ｌｃｍｅ ｔｆ ｃｉｎｂ ｔｅａ ａｙｉ ｓ ｌｔ ｎｏ ｅｓｍｅｏｄ ｒ ａ ｈ ｉ ｉ ｅｅｔ ｉｐａ ｅ ｎ ｔ ｙ ｈ ｌｔ ｃ ｏｕｉ ｆ ａ ｒｅ ｎ ｕ ｏ ｎ ｏ ｈ ｔ
ａ＝
８
， ＝ ｌ２３ ； ｍ ’ … Ｊ 肝 ， ＇ ９＝Ｚ－ ｎ＝ ｌ２ ３… ＇， ２
。 ０
而现在 由于 （ Ｙ 未 求出，ｑ ， ） ， ） （ Ｙ 为未 知函数 ， 但
我 们 同样 可 以将 特解 选 定 为式 （ ），只不 过 此 时 的 Ａ 已 ５
不再是 已知常数 ，而是待定参数 ，我们改用 Ｑ 表示。 则
采 用了新的方法选择位移函数 ， 将其应 用范围推广到 了非均 匀弹性地基矩形薄板 弯曲问题。以四边 固定正方形薄板为例进 行 了计算。其理论 简单 ， 计算容 易， 并适合于实际工程 。
【 关键词 ］ 弹性地基 ； 弯曲 ； 挠度函数； 薄板
【 中图分 类号 ］Ｕ ７ ． 【 Ｔ ４ １２ 文献标 识码 ］ 【 Ａ 文章 编 号 ］０５ ２０２０ ）２ ０４—０ １０ —６７（０７０ —０５ ２
ｄｆｅ ｎ ｉ ｅ ａｉｎ ｏｒ ｅ ｅ ｔｏ ｆｎ ｔ ｎ ｙ ｏ ｉ ｉｇ ｓ ｌ ｔ ｎ． Ｔ ｅ ａ ｅ ｓ ｌｃ ｄ ｆｅ ｔ ｎ ｕｎ ｔ ｎ ｙ ｅ ｉ ｒ ｔ ｅ ａ ｑ ｔ ｆ ｄ ｆ ｃｉｎ ｕ ｃｉ ｂ ｃ ｍｂ ｎｎ ｏｕｉ ｌ ｕ ｏ ｌ ｏ ｏ ｈ ｐ ｐ ｒ ｅｅ ｔ ｅ ｃｉ ｆ ｃｉ ｂ ｎ ｗ ｓ ｌ ｏ ｏ ｍｅ ｏ ｎ ｄ ｃ ｌ ｓ ｌｅ ｅ ｐ ｂ ｅ ｏ ｅ ｅ ｔ ｎ ｆ ｃｉｎ ｉ ｎ ｉｇ ｐ ｂ ｅ ｏ ｅ ｔｎｇ ｌ ｉ ｌｔ ｎ ｎ ｖ ｎ ｈ ｔ ｄ．ａ ａｌ ｏｖ ｓｔ ｒ ｌｍ ｆｄ ｆ ｃｉ ｕ ｔ ｎ ｂ ｄｎ ｒ ｌｍ ｆｒ ｃａ ｕ ａ ｔ ｎ ｐａｅ ｏ ｏ ｅ ｅ ｈ ｏ ｌ ｏ ｎ ｏ ｅ ｏ ｒ ｈ
双参数弹性地基上自由矩形薄板解析
双参数弹性地基上自由矩形薄板解析
竹学叶;寿楠椿
【期刊名称】《华北水利水电学院学报》
【年(卷),期】1995(016)002
【摘要】本文在文［１］工作的基础上求得了双参数弹性地基上自由矩形薄板在任意荷载作用下的解析解，纠正了以前双参数弹性地基上自由矩形薄板研究中所存在的错误，为进行更深入的研究奠定了良好的基础。
实例分析与有限元－无限元分析的结果吻合良好。
【总页数】5页(P45-49)
【作者】竹学叶;寿楠椿
【作者单位】郑州工学院;郑州工学院
【正文语种】中文
【中图分类】TU470.1
【相关文献】
1.双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板自由振动的精确解 [J], 邢誉峰;徐腾飞
2.双参数弹性地基上四边自由矩形薄板精确解 [J], 钟阳;田斌;李锐
3.双参数弹性地基上对边滑支正交各向异性矩形薄板弯曲问题的辛本征函数展开定理 [J], 高立梅;额布日力吐;阿拉坦仓
4.双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板自由振动问题的Hamilton方法 [J], 赵琴;额布日力吐
5.弹性地基上四边自由矩形薄板的解析解 [J], 钟阳;张永山
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矩形面积的两种算法
矩形面积的两种算法矩形是我们生活中经常遇到的一种形状，它具有简单明了的定义——四个角都是直角的四边形。
计算矩形的面积是一项基本的数学运算，本文将介绍两种常见的算法来计算矩形的面积。
1. 直接计算法直接计算法是最简单的一种算法，它利用矩形的长度和宽度直接相乘来得到面积。
下面是该算法的伪代码：输入：矩形的长度（length）和宽度（width）输出：矩形的面积（area）area = length * width返回 area直接计算法的优点是简单直接，适用于任意大小的矩形。
然而，它的局限性在于需要提前知道矩形的长度和宽度，并且无法处理复杂的矩形形状。
2. 分割法分割法是一种更加灵活的算法，它将矩形划分成多个小矩形，计算每个小矩形的面积，然后将它们相加得到整个矩形的面积。
下面是该算法的伪代码：输入：矩形的长度（length）和宽度（width）输出：矩形的面积（area）area = 0for i = 0 to lengthfor j = 0 to widtharea = area + 1返回 area分割法的优点是可以处理任意形状的矩形，因为它将矩形划分成了无数个小矩形。
然而，该算法的缺点是计算量较大，特别是对于较大的矩形来说，效率较低。
3. 算法比较与选择直接计算法和分割法是两种常见的计算矩形面积的算法，它们各有优缺点。
选择使用哪种算法取决于具体的应用场景和需求。
如果已知矩形的长度和宽度，并且矩形形状较为简单，那么直接计算法是最简单和高效的选择。
它的计算复杂度为O(1)，即不受矩形大小的影响。
如果需要处理复杂形状的矩形，或者无法提前知道矩形的长度和宽度，那么分割法是更为灵活的选择。
虽然它的计算复杂度较高，但可以应对各种形状的矩形。
需要注意的是，以上介绍的两种算法仅仅是计算矩形面积的基本方法，实际应用中可能会有更加高效和精确的算法。
在实际问题中，可以根据具体需求来选择合适的算法或进行算法优化，以提高计算效率和准确性。
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弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为()00x ω==, 2200x x ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()00y ω==， 2200y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑， （a ）其中m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（a ）代入弹性曲面微分方程D∇4w =q ，得到系数mn A ，为了求出须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。
（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。
将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意sinsin am x i ydx a aππ=⎰{0 ， (m ≠ i)a/2 ， ( m = i) 就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。
()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n y D q a b a bπππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。
（）y再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意sin sin bon y j y dy b b ππ=⎰{0 ， (n ≠j )b /2 ， ( n = j )就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。
（13-25）与式（b ）对比，即得当薄板受均布荷载时，q 成为常量0q ，式（d ）积分式成为()()00000002sinsin =q sin sin 1cos 1cos a ba b m x n yq dxdy a bm x n yq dx dya b q ab m n mnπππππππ=--⎰⎰⎰⎰于是由式（d ）得到()()022262241cos 1cos mn mnq m n A m n D ab πππ--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()222622161,3,5,;1,3,5, mn mnq A m n m n D ab π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭L L 。
代入式（a ），即得挠度的表达式00sin sin 4a b iji x j y ab q dxdy C a b ππ=⎰⎰0011sin sin sin sin 4a b m n ab m x n y m x n y q q dxdy a b a b ππππ∞∞==⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰02224224sin sin =abmnm x n y q dxdy a b A m n abD ab πππ⎛⎫+⎪⎝⎭⎰⎰0026221,3,5,1,3,5,22sinsin 16m n n x m yq q a bDm n mn ab ππωπ∞∞===⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑LL由此可以用公式()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫∇∂∂-=∇∂∂-=∂∂∂--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-=,,,1,`,22222222222w x D F w x D F y x wD M M x w y w D M y w x w D M Sx Sx yz xy y x μμμ求得内力。
当薄板在任意一点（ξη，）受集中荷载F 时，可以用微分面积dxdy 上的均布荷载Fdxdy来代替分布荷载q 。
于是，式（d ）中的q 除了在（ξη，）处的微分面积上等于Fdxdy以外其余各处都等于零。
因此，式（d ）成为2224222224224sin sin 4sinsin mn F m n A dxdydxdy a b m n abD a b Fm n a bm n abD ab πξπηππξπηπ=⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫+⎪⎝⎭。
代入式（a ），即得挠度的表达式24221122sinsin 4sin sin m n m n Fm x n y a b abDa b m n a b πξπηππωπ∞∞===⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑，值得指出：当x 及y 分别等于ξ及η时，各个内力的级数表达式都不收敛（这是可以预见的，因为在集中荷载作用处，应力是无限大的，从而内力也是无限大），但挠度的级数表达式（e ）仍然收敛于有限打的确定值。
显然，如果在式（e ）中命x 和y 等于常量而把ξ和η当做变量，并取1F =，则该式的将成为（,x y ）点的挠度的影响函数，它表明单位横向荷载在薄板上移动时，该点的挠度变化率。
同样。
在由式（e ）对x 及y 求导而得到的内力表达式中，命x 和y 等于常量并取1F =，则各该表达式将成为在（,x y ）点的各该内力的影响函数。
本节中所述的解法，它的优点是：不论荷载如何，级数的运算都比较简单。
它的缺点是只适用于四边简支的矩形薄板，而且简支边不能受力矩荷载，也不能有沉陷引起的挠度。
它的另一个缺点是级数解答收敛很慢，在计算内力时，有时要计算很多项，才能达到工程上所需的精度。
二：莱维解法对于有两个对边被简支的矩形薄板，可以直接应用下面所述的莱维解法。
设图13-18所示的矩形薄板具有两个简支边0x =及x a =，其余两边/2y b =±式任意边，承受任意横向荷载q 。
莱维把挠度ω的表达式取为如下的单三角级数：1sinmm m x Yaπω∞==∑其中m Y 是的任意函数，而m 为任意正整数。
极易看出，级数（a ）能满足0x =及x a =两边的边界条件。
因此，只需选择函数m Y ，使式（a ）能满足弹性曲面的微分方程，即：4/q D ω∇= （b ） 图13-8并在/2y b =±的两边上满足边界条件。
将式（a ）代入（b ），得24424212sin m m m d Y d Y m m m x q dy a dy a a D πππ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑。
（c ）现在须将式（c ）右边的/q D 展为sin m x aπ的级数。
按照傅里叶级数展开式的法则，得12sin sin am q q m x m x dx D aD a a ππ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰。
与式（c ）对比，可见244242022sin a m m m dY d Y m m m x Y q dx dy a dy a aD a πππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ （d ）这一常微分方程的解答可以写成cosh sinhmmmm y m y m yY A B a a aπππ=++()sinhcoshm mmm y m y m yC D f y aaaπππ++其中()m f y 是任意一个特解，可以按照式（d ）右边积分以后的结果来选择；m A 、m B 、m C 、m D 是任意常数，决定于/2y b =±两边的边界条件。
将上式代入式（a ），即得挠度w 的表达式D mmyπacoshmyπa+f m (y)]sinmxπa(e)作为例题，设图13 —8中的矩形薄板是四边简支的，受有均布荷载q=q o 。
这时，微分方程（d ）的右边成为于是微分方程（d)的特解可以取为.带入式（e ），并注意薄板的挠度w 应当是y 的偶函数，因而有C m =0，D m =0，得。
（f ）应用边界条件，由式（f)得出决定A m 及B m 的联立方程+++⎢⎣⎡=∑∞=a y m C a y m a y m B a y m A m m m ππππsinh sinh cosh w 1m ()πππm Dm q dx a xm aDacos 12sinq 200-=⎰()()()πππππm Dm a q m Dm q m a y f m cos 12cos 12554004-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=++⎢⎣⎡=1m sinh cosh w a y m a y m B a y m A m m πππ()]a x m m Dm πππsin cos 1a q 25540-()0w 2=±=b y 0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂±=b y y w ()()...5,3,1,0sinh 2cos ,04sin cos 5540=⎪⎭⎪⎬⎫=++=++m B a a B A ha D a q B ha a A ha m m m mm m m m m m m ππ或者,（m=2,4,6.。
） 其中。
求得 A m 及B m ，得出， ；（m=1,3,5.。
）或者得出（2,4,6.。
） 将求出的系数带入式（f ），得挠度w 的最后表达式（g ）并可以从而求得内力的表达式。
最大挠度的、发生在薄板的中心。
将及代入公式（g ），即得 这个表达式中的级数收敛很快，例如，对于正方形薄板，，，得出在级数中仅取两项，就得到很精确的解答。
但是，在其他各点的挠度表达式 中，级数收敛就没有这样快。
在内力的表达式中，级数收敛得还要慢一些。
应用上面所述的莱维解法，可以求得四边简支的矩形薄板在受各种横向荷载时的解答，以及它在某一边界上受分布弯矩或发生沉陷时的解答。
三：一般解法此外在§13-5中已经给出这种薄板在某角点发生沉陷时的解答。
于是可得矩形薄板的一个一般解法，说明如下。
()⎭⎬⎫=++=+0sinh 2cos 0sinh cos m m m m m m m m m B a B A ha B a A ha a bm m 2a π=()m m m m a Dm a q a a A cosh tanh 225540π+-=m a Dm a q B cosh 25540m π=00m ==m B A ，2ax =0=y a b =2a πm m = ⎝ ⎛ +a m 2sin ha m 2y b sin h 2ya m b )sin mxπa + - ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ =∑ ∞ = b y a a a a m D a q m mm m m 2 cosh cosh 2 tanh 2 1 1 4 w .. 5 , 3 , 1 5 5 4 0 π ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=∑∞=-m m m m m aa a mDa q w cosh 2tanh 2114...5,3,1521540maxπD a q o Da q w 40540max 00406.0)004.314.0(4=-=π采用结构力学中的力法。