矩形薄板地几种解法
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弹力小结
矩形薄板的几种解法
矩形薄板的几种解法
一：纳维解法
四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为
()0
0x ω==, 220
0x x ω=⎛⎫
∂= ⎪
∂⎝⎭。
()0x a
ω==， 220x a
x ω=⎛⎫
∂= ⎪
∂⎝⎭。
()0
0y ω==， 220
0y y ω=⎛⎫
∂= ⎪
∂⎝⎭。
纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级
数：
11sin
sin n
mn m n m x n y
A a b
ππω∞
===∑∑， （a ）
其中m 和n 都是任意正整数。显然，上列的边界条件都能满足。将式（a ）代入弹
性曲面微分方程D∇4w =q ，得到
系数mn A ，
为了求出
须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即
4
11sin
sin
n
mn m n m x n y q D C a b
πππ∞
===∑∑。 （c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。将式（c ）左右两边都乘以sin i x
a
π，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意
sin
sin a
m x i y
dx a a
ππ=⎰
{0 ， (m ≠ i)
a/2 ， ( m = i) 就得到
1
sin
sin
2
a
in
n i y a
n y
q dx C
a b
ππ∞
==∑⎰
。
()0
y b
ω==220y b
y ω=⎛⎫
∂= ⎪
∂⎝⎭22242211
sin sin b n
m n m n m x n y D q a b a b
πππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭
∑∑。（）
y
再将此式的左右两边都乘以sin j x a
π，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，
从0到b ，注意
sin sin b
o
n y j y dy b b ππ=⎰
{
0 ， (n ≠
j )
b /2 ， ( n = j )
就得到
因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为
sin
sin 4
a b
mn
m x n y ab
q dxdy C a b ππ=⎰⎰
解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式
。 （13-25）
与
式（b ）对比，即得
当薄板受均布荷载时，q 成为常量0q ，式（d ）积分式成为
()()00
000002sin
sin =q sin sin 1cos 1cos a b
a b m x n y
q dxdy a b
m x n y
q dx dy
a b q ab m n mn
πππππππ=--⎰⎰
⎰⎰
于是由式（d ）得到
()()
02
226
2241cos 1cos mn mn
q m n A m n D a
b π
ππ--=
⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
或
()
2
226
22161,3,5,;1,3,5, mn mn
q A m n m n D a
b π=
==⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭L L 。
代入式（a ），即得挠度的表达式
00sin sin 4a b ij
i x j y ab q dxdy C a b ππ=⎰⎰0011sin sin sin sin 4a b m n ab m x n y m x n y q q dxdy a b a b ππππ∞∞==⎡⎤
=
⨯⎢⎥⎣⎦
∑∑⎰⎰0
2
22
42
24sin sin =
a
b
mn
m x n y q dxdy a b A m n abD a
b πππ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
⎰⎰
002622
1,3,5,1,3,5,2
2sin
sin 16m n n x m y
q q a b
D
m n mn a
b ππωπ∞
∞
===
⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑
∑
L
L
由此可以用公式()⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎬
⎫∇∂∂-=∇∂∂-=∂∂∂--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂-=,
,,1,`,2222222222
2w x D F w x D F y x w
D M M x w y w D M y w x w D M Sx Sx yz xy y x μμμ求得内力。 当薄板在任意一点（ξη，）受集中荷载F 时，可以用微分面积dxdy 上的均布荷载F
dxdy
来代替分布荷载q 。于是，式（d ）中的q 除了在（ξη，）处的微分面积上等于
F
dxdy
以外其余各处都等于零。因此，式（d ）成为
2
22
42
22
2
2
42
24
sin sin 4sin
sin mn F m n A dxdy
dxdy a b m n abD a b F
m n a b
m n abD a
b πξπη
ππξπη
π=
⎛⎫
+
⎪⎝⎭
=
⎛⎫+
⎪⎝⎭。
代入式（a ），即得挠度的表达式
2
422
11
2
2sin
sin 4sin sin m n m n F
m x n y a b abD
a b m n a b πξ
πη
ππωπ∞∞
===
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
∑∑
，
值得指出：当x 及y 分别等于ξ及η时，各个内力的级数表达式都不收敛（这是可以预见的，因为在集中荷载作用处，应力是无限大的，从而内力也是无限大），但挠度的级数表达式（e ）仍然收敛于有限打的确定值。
显然，如果在式（e ）中命x 和y 等于常量而把ξ和η当做变量，并取1F =，则该式的将成为（,x y ）点的挠度的影响函数，它表明单位横向荷载在薄板上移动时，该点的挠度变化率。同样。在由式（e ）对x 及y 求导而得到的内力表达式中，命x 和y 等于常量并取1F =，则各该表达式将成为在（,x y ）点的各该内力的影响函数。