2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题51 抛物线

专题51
抛物线
1．双曲线的定义
平面内动点与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0：(1)若a <c 时，则集合P 为双曲线；(2)若a ＝c 时，则集合P 为两条射线；(3)若a >c 时，则集合P 为空集．2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)
y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)
图形
性质
范围
x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R
x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a
对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b a
x
y ＝±a
b
x
离心率
e ＝c
a
，e ∈(1，＋∞)实虚轴
线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线
的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长
a ，
b ，
c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)
高频考点一抛物线的定义及应用
例1、(1)(2016·浙江卷)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________.(2)若抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，则|PA |＋|PF |取最小值时点P 的坐标为________.解析
(1)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0).准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1
的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.
【方法规律】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【举一反三】(1)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →
(λ＞0)，则λ的值为()
A.34
B.32
C.3
D.3
(2)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.解析
(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，－x 3)，
则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±42，点A (4，42)，则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，
2＝8x ，＝22（x －2），
解得B (1，－22)，
所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.
(2)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案
(1)D
(2)y 2＝4x
【变式探究】(1)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.
(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．答案(1)8
(2)4
解析
(1)分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于
该点到准线的距离，
得|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|PQ |＝8.
(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.
即|PB |＋|PF |的最小值为4.高频考点二
抛物线的标准方程和几何性质
例2、(1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1
的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为()
A.x 2＝833y
B.x 2＝1633y
C.x 2＝8y
D.x 2＝16y
(2)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()
A.2
B.4
C.6
D.8
解析
(1)∵x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，
∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a
2＝4，∴b
a ＝ 3.
x 2
＝2py (p ＞0)，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .
由题意得
p
21＋（3）2
＝2，解得p ＝8.
故C 2的方程为x 2＝16y .
答案(1)D (2)B
【变式探究】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．答案322
解析
由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝22.
设AB 的方程为x －1＝ty 2＝4x ，－1＝ty
消去x 得y 2－4ty －4＝0.
∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝1
2，
∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝32
2
.
【举一反三】(1)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.答案22
解析
由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p
2
＝2，p ＝2 2.
(2)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：①y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
；
②
1|AF |＋1|BF |
为定值；
②
1|AF |＋1
|BF |＝1x 1＋p 2＋
1x 2＋p
2＝
x 1＋x 2＋p
x 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋
p 2
4
.
因为x 1x 2＝p 2
4，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，
得
1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 2
4＋p
2
|AB |－p
＋p 24
＝
2
p
(定值)．③
设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝1
2|AB |.
所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．高频考点三
直线与抛物线的综合问题
例3、(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .
(1)求|OH|
|ON|；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝p
2t x，
即x＝2t
p
(y－t).
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.
【举一反三】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.
解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.
(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.
2＝8x，
＝y＋m，
得y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝y21y22
64＝m
2.
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0).
故S
△F AB
＝S△FMB＋S△FMA＝1
2·|FM|·|y1
－y2|
【变式探究】已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；
(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；
(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解
(1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，1
4m
)．
(2)∵|RF |＝y R ＋14m
，∴2＋14m ＝3，得m ＝1
4.
(3)＝mx 2，x －y ＋2＝0，
消去y 得mx 2－2x －2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－1
2
.
设A (
x 1，mx 21)，B (x 2，mx 2
2)1＋x 2＝2
m ，
1·x 2＝－2
m
.
(*)
∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 2
2
2
)，
即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1
m
)．
得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 2
2－1m
)，
若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →
＝0，即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 2
2－1m )＝0，
结合(*)化简得－
4m 2－6
m
＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－1
2，
而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－1
2
，＋∞)．
∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．
【举一反三】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，
且|QF |＝5
4|PQ |.
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解
(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8
p
.
所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8
p .
由题设得p 2＋8p ＝54×8
p ，
解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .
将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4
m y －4(2m 2＋3)＝0.
设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，
则y 3＋y 4＝－4
m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．
故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m
)，|MN |＝
1＋1
m
2|y 3－y 4|＝
4m 2＋12m 2＋1
m 2
，
由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝1
2|MN |，
从而14|AB |2＋|DE |2＝1
4|MN |2，
即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2
m 2＋2)2
＝4
m 2＋1
2
2m 2＋1
m 4
，
化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.
1.【2016高考新课标1卷】已知方程22
2
213x y m n m n
-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是()
（A ）()1,3-（B
）(-（C ）()
0,3（D
）(【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2
2
34m n m n ++-=，解得2
1m =，因为方程
22
113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨
<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．4.【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线22
22:1x y E a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x
轴垂直，211
sin 3
MF F ∠=,则E 的离心率为（）（A
（B ）
32
（C
（D ）2
【答案】A
【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以22
12,2b b MF MF a a a ==+，因为211sin 3
MF F ∠=，即2
12
2
13
2b MF a
b MF a a
=
=
+
，化简得b a =
，故双曲线离心率e ==.选A.
5.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n
–y 2
=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2
分别为C 1，C 2的离心率，则（）
A ．m >n 且e 1e 2>1
B ．m >n 且e 1e 2<1
C ．m <n 且e 1e 2>1
D ．m <n 且e 1e 2<1
【答案】
A
10.【2016高考天津理数】已知双曲线2
224=1x y b
-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（
）
（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2
22
4=11x y -【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y
，∴2
2
422x x y b
b y x y ⎧
=⎧+=⎪
⎪⎪
⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩
，∴2
21612422
b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -
=，故选D.13.【2016高考山东理数】已知双曲线E ：22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，
AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.【答案】2
【解析】假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则2b A(c,)a ，2b B(c,a -，所以2
2b |AB |a
=，
|BC |2c =，由2AB 3BC =，222
c a b =+得离心率e 2=或1
e 2
=-
（舍去），所以E 的离心率为2.14.【2016年高考北京理数】双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，
OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________.【答案】2
【解析】∵OABC 是正方形，∴45AOB ∠=︒，即直线OA 方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，
又由题意OB =
，∴2
2
2
a a +=，2a =．故填：2．
27.【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。

（1）若l 的倾斜角为
2
π
，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2
）设b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=
，求l 的斜率.
【答案】（1
）y =．（2
）5
±.
【解析】
（2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．
设()11,Αx y ，()22,Βx y ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．
由()2
213
2y x y k x ⎧-
=⎪⎨⎪=-⎩
，得()222234430k x k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以2
30k -≠，且()
23610k ∆=+>．
设ΑΒ的中点为(),ΜΜΜx y ．
由11()0F A F B AB +⋅=
即10F ΜΑΒ⋅= ，知1F ΜΑΒ⊥，故11F Μk k ⋅=-．
而2122223Μx x k x k +==-，()2623ΜΜk y k x k =-=-，12323
F Μk
k k =-，所以
2
3123k k k ⋅=--，得2
35
k =，故l
的斜率为5±．1.【2015高考福建，理3】若双曲线22
:
1916
x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
【答案】B
【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．
2.【2015高考四川，理5】过双曲线2
2
13
y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（
）
(A)
3
(B)(C)6
（D
）【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2
2
03
y x -=，将2x =代入2
2
03
y x -=
得：212,||y y AB ==±∴=选D.3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b
y a x 的离心率5
4e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线
C 的方程为（
）
A ．1
3
42
2=-y x B.19162
2=-y x C.1
16922=-y x D.1
4
322=-y x 【答案】B
．
4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ∙<
，则0y 的取值范围是(
)
（A ）（-
33，3
3
）（B ）（-
36，3
6
）（C ）（223-
，
22
3
）（D ）（233-
，23
3
）【答案】A
【解析】
由题知
12(F F ，220012x y -=，所以
12MF MF ∙ =0000(,),)x y x y --∙--
=
222000
3310x y y +-=-<，解得
03333y -
<<，故选A.
5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）
A ．对任意的,a b ，12e e >
B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12
e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12
e e >【答案】D
【解析】依题意，2
221)(1a
b a b a e +=+=
，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=
，因为)
()
()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ，
所以当b a >时，10<<
a b ，10<++<m a m b ，m a m b a b ++<，2
2)()(m
a m
b a b ++<，所以12e e <；
当b a <时，1>a b ，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以2
2)()(m
a m
b a b ++>，所以12e e >.
所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >.
6.【2015高考重庆，理10】设双曲线22
221x y a b
-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线
交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC
的距离小于a 曲线的渐近线斜率的取值范围是（
）
A 、(1,0)(0,1)-
B 、(,1)(1,)-∞-+∞ C
、( D
、(,)
-∞+∞ 【答案】A
【解析】由题意22
(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a -，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC
⊥得22
1b b a a c x a c -⋅=---，解得42()b c x a c a -=-
，所以42()
b c x a a c a c a -=<+=+-，所以4222
2b c a b a <-=22
1b a
⇒<01b a ⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)- ，选A.
7.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（
）
（A ）2
21
4
y x -=（B ）2
21
4x y -=（C ）2
21
4y x -=（D ）2
2
1
4
x y -=【答案】C
【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2
204
y x -=，即2y x =±，
故选C.
8.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）
A ．
B ．2
C D 【答案】D
9.【2015高考北京，理10】已知双曲线()2
2
210x y a a
-=>0y +=，则a =
．
【答案】
3
【解析】双曲线()2
2210x y a a -=>的渐近线方程为1y x a
=±
0y y +=⇒=，
0a > ,则1
3
a a
-
==
10【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22
221x y a b
-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的
中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为.
【答案】5.
【解析】根据对称性，不妨设)0,(c F ，短轴端点为),0(b ，从而可知点)2,(b c -在双曲线上，
∴5142222==⇒=-a c e b b a c .
11.【2015高考浙江，理9】双曲线2212
x y -=的焦距是
，渐近线方程是
．
【答案】32，x y 2
2±
=.【解析】由题意得：2=a ，1=b ，31222=+=+=b a c ，∴焦距为322=c ，
渐近线方程为x x a b y 2
2±=±
=.12.【2015高考上海，理9】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹
分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为．
【答案】32
y x =±
【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为32
y x =±
13.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线12
2
=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为.
【答案】
22
【解析】设(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以点P 到直线01=+-y x 的距离恒大于直线10x y -+=与渐近线0x y -=之间距离，因此c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -=2
2
=。

1．（2014·湖北卷）已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π
3，则
椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()
A.433
B.233
C ．3
D ．2
【答案】A
2．（2014·北京卷）设双曲线C经过点(2，2)，且与y2
4－x
2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．
【答案】x2
3－
y2
12＝1y＝±2x
【解析】设双曲线C的方程为y2
4－x
2＝λ，将(2，2)代入得
22
4－2
2＝－3＝λ，∴双曲线C的方程为
x2
3－
y2
12＝1.
令y2
4－x
2＝0得渐近线方程为y＝±2x.
3．（2014·全国卷）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()
A.1 4
B.1
3
C.2
4
D.2
3
【答案】A
【解析】根据题意，|F1A|－|F2A|＝2a，因为|F1A|＝2|F2A|，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a.又因为双曲线的离心
率e＝c
a＝2，所以c＝2a，|F1
F2|＝2c＝4a，所以在△AF1F2中，根据余弦定理可得cos∠AF2F1＝
|F1F2|2＋|F2A|2－|F1A|2
2|F1F2|·|F2A|＝16a2＋4a2－16a2
2×4a×2a＝
1
4
.
4．（2014·福建卷）已知双曲线E：x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1
：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图1-6，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
图1-6
【解析】解：方法一：
(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，
所以b
a＝2，
所以c2－a2
a＝2，
故c＝5a，
从而双曲线E的离心率e＝c
a＝ 5.
(2)由(1)知，双曲线E的方程为x2
a2－y2
4a2＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，
所以1
2
|OC|·|AB|＝8，
因此1
2
a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为x2
4－
y2
16＝1.
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为x2
4－
y2
16＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：x2
4－
y2
16＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则－
m
k，记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
＝kx＋m，
＝2x
得y1＝
2m
2－k，同理得y2
＝2m
2＋k
.
由S
△OAB
＝
1
2
|OC|·|y1－y2|，得
1 2|－m
k
|
·
|2m
2－k－
2m
2＋k
|＝8，
即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．kx＋m，
－y2
16＝1
得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．又因为m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为x2
4－
y2
16＝1.
方法二：(1)同方法一．
(2)由(1)知，双曲线E的方程为x2
a2－y2
4a2＝1.
设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依题意得－1
2
<m<1
2
.
＝my＋t，
＝2x
得y1＝
2t
1－2m，同理得y2
＝－2t
1＋2m
.
设直线l与x轴相交于点C，则C(t，0)．
由S
△OAB
＝
1
2
|OC|·|y1－y2|＝8，得1
2
|t|·
|2t
1－2m＋
2t
1＋2m
|＝8.
所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．
my＋t，
－
y2
4a2＝1
得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.
因为4m2－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0,即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，
所以a2＝4，
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为
x2
4－
y2
16＝1.
所以－m 2
4－k 2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．
由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
4a 2＝1，
kx ＋m ，
－y 24a 2
＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0.
因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，所以双曲线E 的方程为x 24－y 2
16
＝1.
当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 2
16＝1有且只有一个
公共点．
综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 2
16＝1.
5．（2014·广东卷）若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的(
)
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等
【答案】A
【解析】本题考查双曲线的几何性质，注意利用基本量的关系进行求解．∵0<k <9，∴9－k >0，25－k >0.对于双曲线
x 2
25－y 29－k
＝1，其焦距为225＋9－k ＝234－k ；对于双曲线x 225－k －y 2
9
＝1，
其焦距为225－k ＋9＝234－k .所以焦距相等．
6．（2014·湖南卷）如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝3
2，且|F 2F 4|＝3
－1.
(1)求C 1，C 2的方程；
(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．
图1-7
【解析】解：(1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝3
4a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，
0)，F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2
＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 2
2
－
y 2＝1.
(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1，0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1my －1，
y 2
＝1得(m 2＋
2)y 2－2my －1＝0.
易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2m
m 2＋2，
y 1y 2＝－1
m 2＋2
因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为
PQ 的斜率为－m
2，PQ
的方程为y ＝－m
2
x ，即mx ＋2y ＝0.
＝－m 2
x ，
y 2＝1
得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2
＝m 22－m 2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋4
2－m 2
.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝
|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|
m 2
＋4
.因为点A ，
B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝
（m 2＋2）|y 1－y 2|
m 2＋4
.
又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2
－4y 1y 2＝22·1＋m 2
m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4.
故四边形APBQ 的面积S ＝1
2|PQ |·2d ＝22·1＋m 22－m 2＝2
2·－1＋32－m 2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2.综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.
7．（2014·江西卷）如图1-7所示，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条
渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．
图1-7
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y
＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝3
2
相交于点N .证明：
当点P 在C 上移动时，
|MF |
|NF |
恒为定值，并求此定值．【解析】解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.
由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1
a (x －c )，所以又直线OA 的方程为y ＝1
a
x ，
则
k AB ＝
c a －
c －c
2
＝3a .又因为AB ⊥OB
，所以3a
·1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 2
3－y 2＝1.
(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为
x 0x
3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0
(y 0≠0)．因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线
l 与AF 的交点为
l 与直线x ＝32的交点为N 3
2
，
3
2x 0－33y 0
，则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋（3y 0＝（2x 0－3）2
9y 204＋94（x 0－2）2
＝43·（2x 0－3）2
3y 20＋3（x 0－2）
2.
又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 20
3
－y 20＝1，
代入上式得|MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0
＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝23
3，为定值．
8．（2014·新课标全国卷Ⅰ]已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为()
A.3B ．3C.3m
D ．3m
【答案】A 【解析】双曲线的一条渐近线的方程为x ＋my ＝0.根据双曲线方程得a 2＝3m ，b 2＝3，所以c ＝3m ＋3，双曲线的右焦点坐标为(3m ＋3，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
|3m ＋3|
1＋m
＝ 3.9．（2014·山东卷）已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，C 1与C 2的
离心率之积为3
2
，则C 2的渐近线方程为()
A.x ±2y ＝0
B.2x ±y ＝0
C.x ±2y ＝0
D.2x ±y ＝0
【答案】A
10．（2014·天津卷）已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一
个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为()
A.x 25－y 2
20＝1 B.
x 220－y 2
5＝1C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225
＝1【答案】A
【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b
a ＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c
＋10，∴c ＝5.又∵a 2
＋b 2
＝c 2
，∴a 2
＝5，b 2
＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 2
20
＝1.
11．（2014·浙江卷）设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，
B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【答案】.
52
【解析】双曲线的渐近线为y ＝±b
a
x ，渐近线与直线x －3y ＋m ＝0
的交点为设AB 的中点为D ，由|PA |＝|PB |知AB 与DP 垂直，则
k DP ＝－3，解得a 2＝4b 2，故该双曲线的离心率是5
2.12．（2014·重庆卷）设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得
|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝9
4
ab ，则该双曲线的离心率为(
)
A.
43
B.
53
C.
94
D ．3
【答案】B
【解析】不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，联立|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，平方相减得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，则由题设条件，得9b 2－4a 24＝94ab ，整理得b a ＝43，∴e ＝c
a ＝
＝5
3
1.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2
x 1x 2
的值一定等于()
A.－4
B.4
C.p 2
D.－p 2
解析
①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 2
4
；
②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p
2)，
联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋
p 2k 2
4
＝0，则x 1x 2＝p 24
.又y 21＝2px 1，y 2
2＝2px 2，
∴y 21y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4，又∵y 1y 2＜0，∴y 1y 2＝－p 2
.
故
y 1y 2
x 1x 2
＝－4.答案
A
2.点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()
A.y ＝12x 2
B.y ＝12x 2或y ＝－36x 2
C.y ＝－36x 2
D.y ＝
112x 2或y ＝－136
x 2解析分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－1
36x 2.
答案
D
3.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()
A.9
B.8
C.7
D.6
解析
抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2
＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.答案
B
4.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →＝4FQ →
，则|QF |等于()A.72
B.52
C.3
D.2
解析
∵FP →＝4FQ →，
∴|FP →|＝4|FQ →|，∴|PQ ||PF |＝34
.
如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，
设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴
|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |
＝3
4，∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.答案
C
5.已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 2
2的最小值为
()
A.12
B.24
C.16
D.32
解析当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，
＝4，2
＝4x ，
得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 2
2＝32.
当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)，
2＝4x ，
＝k （x －4），
得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝
16k 2＋32＞32，综上可知，y 21＋y 2
2≥32.∴y 21＋y 22的最小值为32.故选D.
答案D
6.抛物线y 2＝－12x
的准线与双曲线x 29－y 2
3
＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.
解析
由图可知弦长|AB |＝23，三角形的高为3，
∴面积为S ＝1
2
×23×3＝3 3.
答案33
7.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长|AB |为________.
8.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析
y 2＝2px 的准线为x ＝－p
2
.由于△ABF 为等边三角形.因此不妨设－p 2，－p
2，－又点A ，B 在双曲线y 2
－x 2
＝1上，从而p 23－p 2
4＝1，所以p ＝2 3.
答案
23
9.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.解析
如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |
＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即
65
＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.
10.已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点).
(1)求抛物线C 2的方程；
(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值.
解
(1)由题意知F 1(1，0)，F
∴F 1F 2→
1
∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2→·OP →1(－1，－1)＝1－p
2＝0，
∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)，
＝kx ，2＝4x 得
＝kx .2＝4y
得N (4k ，4k 2)，
从而|MN |＝1＋k 2
|
4k 2
－4k |
4又点P 到直线MN 的距离d ＝
|k －1|1＋k 2
，
进而S △PMN ＝12·|k －1|
1＋k 2
·1＋k 24＝2·（1－k ）（1－k 3）k 2＝
2（1－k ）2（1＋k ＋k 2）k 2
＝＋1k －＋1
k ＋令t ＝k ＋1
k (t ≤－2)，
则有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，
当t ＝－2时，此时k ＝－1，S △PMN 取得最小值.
即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8.
11.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
；
(2)
1|AF |＋1|BF |
为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明
(1)由已知得抛物线焦点坐标为(p
2
，0).
由题意可设直线方程为x ＝my ＋p
2，代入y 2＝2px ，
得y 2＝2p (my ＋p
2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)
则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.
因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2
x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 2
2
4p 2＝p 44p 2＝p 24
.
(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝1
2(|AC |＋|BD |)＝
12(|AF |＋|BF |)＝12
|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.。