(精品)数学讲义8Q-4根的判别式及其应用(学生)

一元二次方程根的判别式及其应用

知识精要

1.我们把 叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式,

通常用符号 来表示,记作

（1）当 时,方程有两个不相等的实数根;

（2）当 时,方程有两个相等的实数根;

（3）当 时,方程没有实数根.

★★根的判别式的应用

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参数系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题.

★★2.韦达定理：如果1x ,2x 是一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的两个

根,由解方程中的公式法得, ，

那么可推得 . 这是一元二次方程根与系数的关

系.

3.二次三项式的因式分解

（1）形如 的多项式称为二次三项式.

（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式

的分解公式为2ax bx c ++ .

★★★4.一元二次方程的应用问题

（1） 列一元二次方程解应用题的步骤：

， ， ， ， ， 。

注：解得一元二次方程的解后,一定需检验是否符合应用题的题意,若不合题意则

舍去.

（2）常见问题

①与几何图形有关的问题,利用面积公式、几何定理、有关几何知识作为解题的

依据；

②关于增长率问题

基数、平均增长率、时间和最后产值的基本关系是

()1n

m x M += 其中m 是基数,x 是平均增长率,n 是时间,M 为最后产值.

热身训练

1．不解方程判断方程根的情况：

（1）4x x x 732=+-

（2）x x 4)2(32=+

（3）x x 54542=+

2．k 为何值时，关于x 的二次方程0962=+-x kx

（1）有两个不等的实数根

（2）有两个相等的实数根

（3）无实数根

3.已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根,

求：（1）

12

11x x +的值;

（2）212()x x -的值.

4.已知方程2590x kx +-=有一个根是3,求方程的另一个根及k 的值.

5.在实数范围内分解因式

（1）276x x --

（2）22285x xy y -+

6. 某人把500元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利

息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是

275元，求存款的年利率？（不计利息税）

精解名题

1.已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的

两根差相等.求：m+n 的值.

2.已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．

备选例题

例1.一块矩形耕地南北长162米，东西宽为64米，要在这块耕地上沿东西与南北方向分别挖2条和4条水渠，若水渠宽都相同，且要保证余下的耕地面积为9600平方米，则水渠应挖多宽？

例2.一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料显示：若两队合作6天可完成，共需工程费10200元；若甲单独完成，甲队比乙队少用5天，但甲队的工程费每天比乙队多300元.

(1)甲单独完成需要几天？

(2)工程指挥部决定从两个队中选一个队单独完成此工程，若从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？为什么？

巩固练习

1.关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是( )

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．没有实数根

D ．无法确定

2.已知关于x 的一元二次方程()21210k x x ++-=有两个不相同的实数根,则k 的取值范围是 .

3.已知12x x 、是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

（1）2212x x +

（2）12x x -

（3）2212

233x x x +-

4. 因式分解

（1）()()22343216x x x x +-++-

（2）()

22231222x x x x x -+-+-

5.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数.

6.某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.

当堂总结

（1）根的判别式的应用；

（2）韦达定理的运用；

（3）二次三项式的分解；

（4）解一元二次方程的应用题；

自我测试

1．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有实根，则m 的取值范围是（ ）．

A ．2m ≠

B ．6m ≤且2m ≠

C ．6m <

D ．6m ≤

2．若53+-是方程04kx x 2=++的一个根，则另一根和k 的值为( )

A ．53x --=，k ＝－6

B ．53x --=，k ＝6

C ．53x +=，k ＝－6

D ．53x -=，k ＝6

3．三角形两边的长分别是6和8,第三边长是一元二次方程060162=+-x x 的一

个实数根,则三角形的面积为 （ ） A. 58 B.24 C.24或58 D.60

4.方程22653

x x x x -=+-的实根的个数是（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．没有

5.把222x x --分解因式得（ ）

A (11x x ++

B 2222x x ⎛+-- ⎝⎭⎝⎭

C (11x x --

D (11x x -+