人教版九年级上册数学全册教案

人教版九年级上册数学全册教案第二十一章一元二次方程21. 1一元二次方程教学目标知识技能1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．数学思考与问题解决通过丰富的实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识．情感态度使学生经历类比一元一次方程得到一元二次方程概念的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣．重点难点重点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别．教学设计活动一：创设情境1．什么是方程？什么是一元一次方程？2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别是什么方程？(1)3x＋4＝1；(2)6x－5y＝7；(3)43x－5y＝0；(4)15y＝5；(5)x2－70x＋825＝0；(6)7＋3 y－2＝4；(7)x(x＋5)＝150；(8)4x5－y3＝0.3．什么是“元”？什么是“次”？活动二：一元二次方程及其相关概念的学习自学教材第2～3页，思考教师所提下列问题：1．问题1中列方程的等量关系是________，所列方程为________，化简后为________．2．问题2中列方程的等量关系是________，为什么要乘12所列方程为________，化简后为________．3．观察上面化简后的方程，会发现：等号两边都是________，只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程，叫做一元二次方程．4．任何一个方程都要化成它的一般形式，一元二次方程的一般形式为________(a ≠________)．为什么？5．说出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，在确定各个系数时要注意什么？设计意图：通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解，排除学生对一元二次方程及其相关概念理解的障碍，让学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型，同时，通过设问也给学生学习探究搭建了交流平台．活动三：尝试练习1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)3x ＋2＝5y －3；(2)x 2＝4；(3)3x 2－5x ＝0；(4)x 2－4＝(x ＋2)2；(5)ax 2＋bx ＋c ＝0.2．方程2x 2＝3(x －6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为( )A ．2，3，－6B ．2，－3，18C ．2，－3，6D ．2，3，6(答案：1.略；2.B.)活动四：知识拓展例 关于x 的方程(m ＋1)x |m|＋1＋3x ＝6，当m ＝________时，该方程是一元二次方程．分析：要使(m ＋1)x |m|＋1＋3x ＝6为一元二次方程，除了考虑未知数的最高次数为2，还要想到m ＋1≠0.解题过程略．活动五：课堂小结和作业布置课堂小结：1．一元二次方程的概念是什么？一个一元二次方程必须同时满足三个要素：(1)整式；(2)方程整理后含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是二次．2．一元二次方程的一般形式是什么？二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项的概念分别是什么？作业布置：1．教材第4页练习第1～2题．2．若x2－2x m－1＋3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．板书设计一元二次方程1．创设情境2．一元二次方程及其相关概念一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)3．尝试练习4．知识拓展5．课堂小结和作业布置21. 2. 1配方法(2课时)第1课时配方法的基本形式教学目标知识技能1．理解一元二次方程降次的转化思想．2．会利用直接开平方法对形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程进行求解．数学思考与问题解决1．会用直接开平方法解简单的一元二次方程．2．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．情感态度1．通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯．2．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 重点难点重点：运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．教学设计活动一：情境引入印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起．”大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的18的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？(多媒体展示问题．学生互相讨论、分析理解．教师点拨、启发、引导学生分析解题．)设计意图：寓教于乐，可激发学生的探索欲望．活动二：探索发现1．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点B 开始，沿BA 边向点A 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，如果AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2?2．能否求下列方程的解？(1)(2t ＋1)2＝8；(2)4(x －3)2＝225；(3)9x 2－6x ＋1＝0；(4)x 2＋4x ＋4＝1.(教师引导学生观察、分析、探索．学生小组内交流、探讨知识的发展变化，找出规律，升华为理论知识．)设计意图：通过该活动引导学生探究、发现解一元二次方程的解法．通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．活动三：归纳总结——由感性到理性问题1：你能和同伴交流吗？降次的实质：____________________.降次的方法：____________________.降次体现了________思想．2．如果方程能化成x 2＝p 或(nx ＋m)2＝p(p ≥0)的形式，那么可得x ＝________，或nx ＋m ＝________.(学生与同伴交流后将其发现告诉教师并共同探索．)设计意图：进一步体验充满探索与创造的数学活动，感受数学的严谨性和数学结论的确定性． 活动四：巩固练习1．教材第6页练习．2．你学会了吗？解下列方程：(1)(12x －2)2＝3；(2)2x 2－98＝0；(3)x 2－6x ＋9＝2；(4)10(1＋x)2＝14.4；(5)(1＋x ＋12)2＝2.56；(6)x 4－6x 2＋9＝0；(7)14(3x ＋1)2－15＝0. (教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，对学生存在的共性问题做好补教．强调该方法的依据是平方根的意义．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握开平方法的应用，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结1．本节课你感受到了什么？2．根据本节课解方程的方法，你能谈谈你的收获吗？3．你认为应该注意什么？4．本节课你的困惑是什么？5．你认为最让你费解的地方在哪里？(教师启发学生回忆．学生可以与同伴交流，也可以请教老师．)设计意图：创造一个平等民主的学习氛围，尽可能地让学生把自己的所思所想表达出来，以期共同提高．活动六：布置作业教材第16页习题21.2第1题．(教师布置作业，学生按要求课外完成．)设计意图：加深认识，深化提高．板书设计配方法的基本形式一、情境引入二、探索发现——降次是解一元二次方程的一般思路三、归纳总结——由感性到理性1．问题12．问题2四、巩固练习1．教材练习2．补充练习五、师生小结六、布置作业第2课时配方法的灵活应用教学目标知识技能1．理解配方法．2．会利用配方法熟练、灵活地解二次项系数为1的一元二次方程．数学思考与问题解决1．会用配方法解简单的一元二次方程．2．发现不同方程的转化方式，运用已有知识解决新问题．3．通过对计算过程的反思，获得解决新问题的经验，体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法和数学思想．情感态度1．通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯．2．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．3．由题目的特点找到与旧知识的联系，将新知化为旧知，从而解决问题．培养学生的观察能力和运用学过的知识解决问题的能力．重点难点重点：用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程．难点：灵活地运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．教学设计活动一：复习引入问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽应各是多少？(1)如何设未知数？根据题目的等量关系如何列出方程？(2)所列方程和之前我们学习的方程x2＋6x＋9＝2有何联系与区别？(3)你能由方程①x2＋6x＋9＝2的解法联想到怎样解方程②x2＋6x－16＝0吗？(学生完成问题(1)，列出方程．如何解这个方程呢？学生观察问题(2)，找到联系与区别，教师可点拨启发．问题(3)，学生思考、讨论．)设计意图：问题(1)益于培养学生的应用意识，可激发学生的探究欲．问题(2)激起学生学习的欲望．活动二：实验发现我们研究方程x2＋6x＋7＝0的解法：将方程视为x2＋2·x·3＝－7，配方，得x2＋2·x·3＋32＝32－7，即(x＋3)2＝2，由此可得x＋3＝±2，所以x1＝－3＋2，x2＝－3－ 2.这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．总结发现：用配方法解一元二次方程的步骤．①把原方程化为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．(教师引导学生观察、分析、发现和提出问题．让学生用自己的方法探究一元二次方程的解法．) 设计意图：通过引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．培养学生善于总结思考的能力．活动三：用配方法解决问题例 解下列方程：(1)x 2－2x －35＝0；(2)2x 2－4x －1＝0.分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：(1)x 2－2x ＝35.x 2－2x ＋12＝35＋12.(x －1)2＝36，x －1＝±6，x －1＝6，x －1＝－6，x 1＝7，x 2＝－5.可以验证x 1＝7，x 2＝－5都是方程x 2－2x －35＝0的根．(2)x 2－2x －12＝0，x 2－2x ＝12， x 2－2x ＋12＝12＋12， (x －1)2＝32， x －1＝±62， 即x －1＝62，x－1＝－6 2，x1＝1＋62，x2＝1－62.可以验证x1＝1＋62，x2＝1－62都是方程2x2－4x－1＝0的根．(可以让两位学生演示．可给学生提示两边同时除以二次项的系数．验证不可少，但可写也可不写．)设计意图：通过练习，使学生认识到：配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1)．培养学生做事严谨周密的习惯．活动四：巩固练习1．填空：(1)x2＋10x＋()＝()2；(2)x2－8x＋()＝(x－)2；(3)x2＋x＋()＝(x＋)2；(4)4x2－6x＋()＝4(x－)2＋()．2．用配方法解方程：(1)x2＋8x－2＝0；(2)x2－5x－6＝0；(3)x2＋7＝6x.(教师引导，组织学生练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握方法的应用，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结1．小结：应用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的要点是：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方．2．布置作业：教材第17页习题21.2第2，3题．(教师发动学生共同参与，语言切忌主观，站在学生的角度看待每一点．教师布置作业，分层次提出要求．)设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系．加深认识，深化提高，形成知识体系．板书设计配方法的灵活应用一、复习引入二、实验发现用配方法解一元二次方程的步骤①将原方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式②将二次项系数化为1③方程两边同时加上一次项系数一半的平方④把左边化为完全平方式，右边化为常数⑤判断方程解的情况三、用配方法解决问题例题四、巩固练习练习1、2五、师生小结1．归纳 2.作业21. 2. 2 公式法教学目标知识技能1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．2．会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．数学思考与问题解决1．经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力．2．提高学生的运算能力，并让学生养成良好的运算习惯．情感态度1．通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心．2．学会和他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．重点难点重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．教学设计活动一：复习引入用配方法解下列方程：(1)6x2－7x＋1＝0；(2)4x2－3x＝52.总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，教师点评)．(1)移项；(2)化二次项系数为1；(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方；(4)原方程变形为(x＋m)2＝n的形式；(5)如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解；如果右边是负数，则一元二次方程无解．(安排两名学生板书．教师引导学生回忆用配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤．)设计意图：通过复习引入，让学生回忆配方法的解题思路，并通过两道练习题巩固所学知识，同时为本节课的学习做好铺垫．活动二：实验发现如果一个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a ，x2＝－b－b2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多了，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤可以一直推导下去．解：移项，得ax 2＋bx ＝－c ， 二次项系数化为1，得 x 2＋b a x ＝－c a ，配方，得 x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2①.因为a ≠0，所以4a 2>0，式子b 2－4ac 的值有以下三种情况： (1)当b 2－4ac>0时，b 2－4ac 4a 2>0.由①直接开平方，得 x ＋b 2a ＝ ±b 2－4ac 2a ， 即x ＝－b ±b 2－4ac 2a ，∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a.(2)当b 2－4ac ＝0时，b 2－4ac4a 2＝0，由①可知，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a. (3)当b 2－4ac<0时，b 2－4ac 4a 2<0，由①可知(x ＋b 2a)2<0，因此方程无实数根．由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示它，即Δ＝b2－4ac，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当Δ≥0时，将a，b，c的值代入式子x＝－b±b2－4ac2a就能得到方程的根；当Δ<0时就能得到方程无实数根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．(教师引导、启发学生探索求根公式并得出公式法的概念．也可课件演示推导过程．引导学生做完题后总结．)设计意图：让学生亲自动手实验，探究结论，激发兴趣．培养学生爱动脑思考的好习惯．活动三：利用公式解决问题教材第11页例2.(找四位学生板书，教师巡视及时发现错误及时纠正，对于部分学生给予适当鼓励．) 设计意图：加深对所学知识的理解．活动四：巩固练习1．解下列方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－7x＝4；(3)2x2－3x＋1＝0.2．应用题：有一长方形的桌子，长为3 m，宽为2 m，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为________，宽为长度相同，则桌布长为________．(教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握公式法，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结1．本节课你有什么困惑，请你大声地告诉老师．2．本节课你有何感想，请你畅所欲言．3．本节课你有何收获，请你与同伴分享．布置作业：教材第17页习题21.2第4，5题．(发动学生对本节课内容进行总结，鼓励同学们大胆发言．教师分层要求，学生课下完成．)设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系．加强教、学反思，进一步提高教、学效果．巩固所学知识．板书设计公式法一、复习引入二、实验发现一元二次方程求根公式的推导x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)三、利用公式解决问题例2四、巩固练习1．解方程 2.应用题五、师生小结1．反思 2.作业21. 2. 3 因式分解法教学目标知识技能1．了解因式分解法的概念．2．会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．数学思考与问题解决1．经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力．2．体验解决问题的方法的多样性，灵活选择解方程的方法．情感态度1．学会和他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．2．积极探索不同的解法，并和同伴交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最优方法，在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心．重点难点重点：应用因式分解法解一元二次方程．难点：将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解．教学设计活动一：复习引入问题(学生活动)解下列方程．(1)2x2＋x＝0(用配方法)．(2)3x2＋6x＝0(用公式法)．(3)要使一块矩形场地的长比宽多3 m，并且面积为28 m2，场地的长和宽应各是多少？(4)如何设未知数并根据题目的等量关系列出方程？(5)所列方程和以前我们学习的方程x2＋6x＋9＝2有何联系与区别？(6)你能由方程x2＋6x＋9＝2的解法联想到怎样解方程x2＋3x－28＝0吗？(鼓励学生自主探究、小组合作交流．)设计意图：通过复习引入，让学生回忆配方法和公式法的解题思路，并通过两道练习题巩固所学知识，同时为本节课的学习做好铺垫．活动二：实验发现思考：(1)x(2x＋1)＝0；(2)3x(x＋2)＝0.问题：(1)你能观察出这两题的特点吗？(2)你知道方程的解吗？说说你的理由．因式分解法的理论根据是：两个因式的积等于零，那么这两个因式的值就至少有一个等于零．即：若ab＝0，则a＝0或b＝0.由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．(3)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解．(教师展示练习．对于一部分学生老师可给予一定的帮助，也可以鼓励同学之间互相帮助．)设计意图：让学生亲自动手实验、探究结论、激发兴趣．活动三：用因式分解法解决问题教材第14页例3.补充例题：解方程．(1)3x2＝8x，(2)(x－4)2＝3x－12.分析：(1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得－3x＋12，提取因式－3，即－3(x－4)，再提取公因式x－4，便可达到分解因式的目的，一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式．解：(1)移项，得3x2－8x＝0，因式分解，得x(3x－8)＝0，于是，得x＝0或3x－8＝0，x 1＝0，x2＝83.(2)移项，得(x－4)2－3x＋12＝0，(x－4)2－3(x－4)＝0，因式分解，得(x－4)(x－4－3)＝0，整理，得(x－4)(x－7)＝0，于是，得x－4＝0或x－7＝0.x 1＝4，x2＝7.(找两位同学板书，教师巡视及时发现错误及时纠正，对于部分学生给予适当鼓励．) 设计意图：加深对所学知识的理解．活动四：巩固练习1．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x＋8＝0的解，则这个三角形的周长是( )A．8 B．8或10 C．10 D．8和102．用因式分解法解方程4(x＋1)－3x(x＋1)＝0，可把其化为两个一元一次方程________、________求解．3．方程(x＋1)(x－2)＝0的根是( )A．x＝－1 B．x＝2 C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝24．解下列方程：(1)x2－3x－10＝0；(2)(x＋3)(x－1)＝5.(教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过练习，帮助学生熟练掌握一元二次方程的解法，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结(1)用因式分解法，即用提取公因式法、平方差公式、完全平方公式等解一元二次方程．(2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别：联系：①降次，它们的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使每个一次因式等于0.布置作业：教材第17页习题21.2第6题．(发动学生对本节课内容总结，鼓励同学们大胆发言．教师布置作业，学生课下完成．)设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系．加强教、学反思，进一步提高教、学效果．通过作业巩固本节所学知识．板书设计因式分解法一、复习引入二、实验发现因式分解法解一元二次方程的步骤三、用因式分解法解决问题1．例32．补充例题四、巩固练习五、师生小结1．小结2．作业21. 2. 4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标知识技能1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．3．提高学生综合运用基础知识分析解决复杂问题的能力．数学思考与问题解决通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现，不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程．情感态度通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析和综合、判断的能力．激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神．重点难点重点：一元二次方程的根与系数的关系．难点：对根与系数的关系的理解和推导．教学设计活动一：引入新课我们知道，方程的根是由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各项系数a，b，c 决定的．我们还知道根是由b2－4ac决定其情况的．今天我们来研究方程的两根的和及两根的积与a，b，c有怎样的关系？(教师出示问题，学生初步了解本节课的学习内容．教师引出新课并板书课题．) 设计意图：开门见山，引入新课．活动二：思考与归纳从下表中找出两根之和x1＋x2与两根之积x1x2和a，b，c的关系：归纳：(1)形如x 2＋px ＋q ＝0的一元二次方程两根的和、积分别与系数有如下关系：x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q.(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一元二次方程的两根的和、积分别与系数有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a.(教师引导学生先观察表格中前三行，看有什么共同规律？再观察后三行．学生观察、思考、归纳、总结．)设计意图：通过几个具体的方程，经过观察、归纳得出一般规律． 活动三：推理验证验证ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与a ，b ，c 的关系． 设ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2. 则x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a ，由此可知x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac2a＝－2b 2a ＝－ba， x 1x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a＝（－b ）2－（b 2－4ac ）4a 2＝c a.(教师让学生通过推导证明前面的结论．教师引导：由求根公式求出x 1＋x 2，x 1x 2.) 设计意图：通过推导证明渗透由特殊到一般的认知规律． 活动四：巩固练习 1．应用例4 教材第16页．补充例题：不解方程，若知道5x 2＋kx ＋12＝0的一个根为4，你能求出方程的另一个根吗？2．巩固练习 教材第16页练习．(教师让学生尝试独立解决，师生共议．学生独立完成后，小组交流．教师引导：方法一，利用根与系数的关系，由两根之积和一个根，求出另一个根；方法二，把已知的一根4，代入原方程求出k ，再把k 值代入原方程，再利用两根之和与系数的关系求出另一根．教师巡视，学生独立完成．)设计意图：巩固根与系数的关系(韦达定理)的同时，增强学生的应用意识．巩固所学知识，培养学习能力．活动五：师生小结1．一元二次方程的根与系数有怎样的关系？ 2．对本节课你还有什么困惑？ 3．布置作业：必做题：教材第17页第7题．选做题：已知方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值． (教师引导学生谈自己的收获和疑感．教师布置作业，学生按要求课外完成．) 设计意图：梳理学习的内容、方法，加强反思，进一步提高教学效果．复习巩固，查漏补缺．板书设计一元二次方程的根与系数的关系一、引入新课。