直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
与直线有关的对称问题
与直线有关的对称问题山东 杨道叶一、知识精析1．关于直线对称的点若两点111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称，则线段12PP的中点在对称轴l 上，而且连结1P 、2P 的直线垂直于对称轴l ，由方程组 12121212022x x y y A B C y y Bx x A⎧++⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎪=⎪-⎩可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标222(,)P x y （其中120,A x x ≠≠）。
2．关于直线对称的两条直线此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决。
若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若已知直线1l 与对称轴l 平行，则与1l 对称的直线和1l 到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l 的对称直线。
3．点关于特殊直线对称点的坐标例1 求与点(3,5)P 关于直线l ：320x y -+=对称的点/P 的坐标。
分析：设点/P 的坐标为00(,)x y ，则直线l 为/PP 的垂直平分线，所以/PP l ⊥，/PP 的中点M 在l 上，列出关于0x ，0y 的方程组，求解即可。
解析：设/00(,)P x y ，则/0053PP y k x -=-，/PP 的中点0035,22x y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭。
∴0000511333532022y x x y -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得0051x y =⎧⎨=-⎩， ∴点/P 的坐标为()5,1-。
评注：另解为：先求出过点(3,5)P 与l 垂直的直线/PP 的方程，解/PP 与直线l 的方程组成的方程组，求得交点M 的坐标，再运用中点坐标公式求出点/P 的坐标。
例2 求直线a ：240x y +-=关于直线l ：3410x y +-=对称的直线b 的方程。
直线与直线的位置关系——对称
直线与直线的位置关系（3）——对称问题教学目标1、利用直线相关知识解决直线的有关对称问题。
2、初步学会解决三角形中的直线问题1、两直线平行和垂直的判定2、点到直线的距离公式(1) 点到直线的距离d ＝|Ax0＋By 0＋C|A 2＋B 2. (2) 两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2例1 已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1) 点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；(3) 直线l 关于点(1,1)对称的直线方程．解：(1) 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在对称轴l 上，且PP ′⊥l.∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＋1x 0＋2·⎝⎛⎭⎫－12＝－1x 0－22＋2·y 0－12－2＝0 ，解得⎩⎨⎧ x 0＝25y 0＝195，即P ′坐标为⎝⎛⎭⎫25，195.(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P(x ，y)关于l 的对称点P ′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′·⎝⎛⎭⎫－12＝－1x ＋x ′2＋2·y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x －4y ＋45y ′＝－4x －3y ＋85.把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0.即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.(3) 设直线l 关于点A(1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P(x 1，y 1)关于点A 的对称点P ′(x ，y)一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 12＝1y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x y 1＝2－y ， 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y －4＝0.∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.例2 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A ，B 的坐标分别为A(－4,2)，B(3,1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状．解：由题意画出草图(如图所示)．设点A(－4,2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b)，则A ′必在直线BC 上．以下先求A ′(a ，b)．由对称性可得⎩⎪⎨⎪⎧ b －2a ＋4＝－12b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－2，∴A ′(4，－2)． ∴直线BC 的方程为y －1－2－1＝x －34－3，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3x ＋y －10＝0)，得C(2,4)．∴k AC ＝13，k BC ＝－3，∴AC ⊥BC. ∴△ABC 是直角三角形．方法提炼巩固练习： 1、已知直线l ：2x －y －2＝0，试求：(1) 点P(2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；2、已知△ABC 的顶点为A(3，－1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在的直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在的直线方程．解：设B(4y 1－10，y 1)，由AB 的中点在6x ＋10y －59＝0上，可得6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，解得y 1 ＝ 5，所以B 为(10,5)．设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0y ′＋1x ′－3·14＝－1 A ′(1,7)．故BC 边所在的直线方程为2x ＋9y －65＝0.课堂总结：。
点关于直线对称的点的万能公式
点关于直线对称的点的万能公式
直线对称是几何学中非常重要的概念，可以帮助我们解决许多问题。
当我们在平面直角坐标系中考虑直线对称时，有一些万能公式可以帮
助我们快速计算出对称点的坐标。
下面就为大家列举一些常见的直线
对称公式，并给出具体的介绍。
1. 直线对称公式
设点A(x1,y1)关于直线L:y=kx+b对称的点为A'(x2,y2)，则有下列公式：x2 = (x1+k*y1-b*k)/(1+k^2)
y2 = k*x2+b
这个公式可以很方便地计算出对称点的坐标。
首先计算x2，然后代入
直线方程可得y2。
2. 关于x轴对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于x轴对称，那么对称点的坐标就
是(x,-y)。
这个公式很容易记忆，只需要将原来的y坐标取负号即可。
3. 关于y轴对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于y轴对称，那么对称点的坐标就
是(-x,y)。
同样，这个公式也很容易记忆，只需要将原来的x坐标取负号即可。
4. 关于原点对称的点的坐标
如果一个点在平面直角坐标系中关于原点对称，那么对称点的坐标就是(-x,-y)。
这个公式也很容易记忆，只需要将原来的x和y坐标都取负号即可。
以上这些公式是直线对称中最常用的公式，可以帮助我们快速计算出对称点的坐标。
在实际运用中，我们可以根据实际情况灵活运用这些公式，从而更好地应对各种问题。
直线的对称问题
三、规律方法： （一）常见的对称点结论
• 1. 点 ( a, b) 关于原点的对称点为
(-a,-b) (a,-b) (-a,b) (b , a ) (-b,-a)
;
• 2. 点 ( a, b) 关于点(m, n)的对称点为(2m-a,2n-b) ;
• 3. 点 ( a, b) 关于x轴的对称点为
• 4. 点 ( a, b) 关于y轴的对称点为
P
/
P
x
P ( x , y )在直线x y 2 0上
/ / /
o
4 x 3 y 9 3x 4 y 3 2 0 5 5
整理得： 7 x y 22 0
练习 1、已知直线l : y 3x 3, 求 (1)点A(5,3)关于直线l的对称点的坐标； (2)求直线l1 : x y 2 0关于直线l对称的直线方程l2 .
(2)设P( x, y)是直线l2上 任意一点
P / ( x / , y / )是点P关于直线y 3x 3的对称点
y
PP l
/
P
/
/
所以 k PP/
y y 1 1 即 / 3 x x 3
P
x
o
又 PP/的中点在直线 y 3x 3上
y y/ x x/ 3 3 2 2
7x 24y 6 24x 7 y 8 4 0 25 2
10
求L1关于 L2的对称直线L的方程的方法
解题要点：(先判断两直线位置关系)
（1）若两直线相交，先求交点P, 再在 L1上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求L方程 (2)若 L1 ‖ L ，设 L方程为x-y+m=0 2 则 L1与 L2距离等于L2 与 L距离 建立等量关系，解方程求m
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
对称问题直线中的几类对称问题高考数学专题讲座讲义
偶函数图像关于y轴对称
周期函数图像关于其周期对称
函数图像的平移、旋转和伸缩 变换
感谢观看
汇报人：XX
函数图像：考察 对称性在判断函 数图像中的应用
几何图形：考察 对称性在判断几 何图形中的应用
概率统计：考察 对称性在概率统 计问题中的应用
04
对称问题的解题思路和技巧
解题思路
识别对称：确定问题中的对称性， 明确对称轴或对称中心。
利用性质：利用对称性质，如对 称点的距离相等或对称轴上的点 具有相同的坐标。
性质：对称直线的斜率互为相反数，且与对称轴的交点坐标相同。
应用：在几何、代数、解析几何等领域中都有广泛应用，是解决对称问题的重要方法之一。
举例：在解析几何中，直线关于线对称的应用可以解决一些与直线相关的对称问题，例如求两 条直线的中点坐标、求两条直线的交点等。
直线关于面对称
定义：直线关于某平面对称，是指该直线上的任意一点关于该平面对 称的点仍在直线上。
对称性在数学中 的重要性：对称 性是数学中一个 重要的概念，它 不仅在代数中有 广泛的应用，还 在几何、分析等 领域中有重要的 应用。
对称性问题在数 学中的发展：随 着对称性在数学 中的不断发展， 对称性问题已经 成为数学研究的 一个重要方向， 对于推动数学的 发展具有重要意 义。
函数图像中的对称问题
对称问题涉及到对称性、对 称变换、对称群等概念。
对称问题可以通过对称操作、 对称元素、对称轴等来描述
和分类。
对称问题的常见类型
点对称：点关于点对称，如几何图形中的中心对称 线对称：线关于线对称，如平行线、垂直线等 面对称：面关于面对称，如平面几何中的轴对称 旋转对称：图形绕某点旋转一定角度后与自身重合，如正多边形和圆
直线对称
数形结合与对称的灵活应用 已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0)、B(-2,-4) （1）求点A关于直线l的对称点 (-2,8) （2）在直线l是求一点P，使|PA|+|PB|最小 (-2,3) （3）在直线l是求一点Q，使|PA|-|PB|最大 (12,10) A1(x,y) G P G A(2,0) B(-2,-4) B(-2,-4) A(2,0)
A 1( 0 , 2)
y=x+1 P
(2) 最大值为 1， 此时，P ( 0 , 1 )
P O
A
B
x
例4.已知平面上两点A ( 4,1 ) 和B ( 0,4 ) ，在直 线 l：3x －y －1 = 0 上求一点 M, (2) 使| | MA | －| MB | | 为最大. y l B(0,4) M 分析:先求B关于 l 的对称点B1 , 由图知:A, B1 ,M三点共线,且 M 在线段AB1的延长线上 时, B1 (3,3) | MA | －| MB | | 最大. A(4,1) 2 x y 9 0, 此时 x 3 x y 1 0, ∴M( 2, 5 )
x
l2上的任意一点 的对称点在l 1上
例4、l1： x y 4 0关于 l： x 4 y 1 0对称的直线 l2方程 2 3
2 x y 4 0 由 3 x 4 y 1 0
x 3 y 2
得 l1 与 l 交点 E (3， 2)且E在l 2上
y-4 y A1 (10，-2) · 2=-1 2 y+4 x-2 2·2 - 2 -7=0 A· (-2，4) A1B：2x+y-18=0
l：2x-y-7=0
2024_2025学年高考数学一轮复习解题技巧方法第七章第2节直线关于直线的对称问题学生版
1
直线关于直线的对称问题
学问与方法
1.对称问题是平面解析几何中的一类重要的问题，在许多问题中，我们也会运用对称的思想来解题，这一小节我们解决求直线a 关于直线l 的对称直线a '的问题，这类题求解的时候要抓住两点：
（l ）所求直线a '经过直线a 和直线l 的交点P ；
（2）对称轴l 上除P 外的另一点到a 和a '的距离相等.
2．技巧：当对称轴直线l 的斜率是1±时，可干脆由对称轴方程将x 、y 反解出来，代入直线a 的方程，整理即可得到a 关于直线l 的对称直线a '的方程.
典型例题
【例题】直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线l 的方程为______.
变式1 直线1:220l x y -+=关于直线2:10l x y -+=的对称直线l 的方程为______.
变式2直线1:220l x y -+=关于直线2:10l x y ++=的对称直线的方程为______.
强化训练
1.（★★★）直线l 1:20l x y --=关于直线:330l x y -+=的对称直线2l 的方程为______.
2.（★★★）直线1:2310l x y --=关于直线:40l x y +-=的对称直线2l 的方程为______.
3.（★★★）一光线从点()0,2P 发出，入射到直线:10l x y --=上的点()1,0Q 后被反射，则反射光线所在的直线的方程为
______.。
1.6直线中的对称问题(距离之和,距离之差最大最小问题))
在已知直线上取一点（特殊点）求出此点关于直线对 称点，代入所设直线方程.
练习：一条光线经过P(2,3)射在直线 l : x y 1 0 上，反射后经过点Q(1,1),
求：（1）入射光线所在直线的方程
y
（2）这条光线从P到Q所经路线的长度
l : x y 1 0
2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为
____ _x_1 _2_x_2_, _y1__2_y2
3、点 ( x o，yo ) 在直线 Ax + By + C = 0 上的
条件是 ____A_x_o_+__B_y_o_+__C__=_0_
知识探究
(二)四类对称
中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
l2
0
a 2 4 2
b
2
, 1
解得
a b
4 2
B(4,2)
C· ·B′
由已知l1//l2, 设l2：3x-y+m=0,带入B′ 得m=-10， 所，以l2：3x-y-10=0.
O·
x
B· P·C′
解题要点： 法一： l1//l2 点斜式 或对称两点式
探究3.直线关于点对称
例3.求直线l1 : 3x y 4 0关于点P(2,1)对称的直线 l2的方程. 解 ：设A(x，y)为l2上任意一点，则A关于P的对称点A′(4-x,-2-y)在l1上
x
y x 2
4
4 4
y
1
4 2
2
必修2 第3章《直线与方程》对称问题
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(3)直线l1 ：2 x — y =4 关于l 对称的直线l2 的方程。
解：依题意知l2 / /l / /l1, 故可设 l2 : 2x y c 0
l到l1的距离 l到l2的距离, | 4 0 | | c 0 | ,
22 (1)2 22 (1)l 2
a=4或-4. (a 4舍去)
故，直线l2的方程为2x y 4 0.
© 2004
变式、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(4)直线 l1 ： x — y =4 关于 l 对称的直线l2 的方程。
© 2004
则 a =__6___，此直线间的距离为_1_0___。
3、点 A(2，5)关于点 B(1，1)的对称点 C 的坐标为
(_0_,___3)。
关于x轴的对称点为 (2, 5) ; 关于y轴的对称点为 (2,5) ;
关于原点的对称(点2为, 5)
© 2004
二 对称问题
例 2、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
P7 (2a x，y)，P8 x, 2b y．
注意：当k 1, 0时，不具有上述规律．
© 2004
【预习自测】
1、当 a =___0__时，直线 2 x + ay =2 和 ax +2 y =1 垂直。
2、若直线 3 x +4 y —12=0 和 ax +8 y —1311=0 平行，
3. 直线关于点的对称直线问题可转化为点关于点的对称 点问题。(轨迹转移法）
第二十六讲：两条直线的位置关系及对称问题
第二十六讲：两条直线的位置关系及对称问题考向预览考点盘清课前演练1.如果直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( D )A ．1B ．－13C ．－23D ．－2 掌握两直线平行与垂直的条件、点到直线的距离公式、中心对称和轴对称的概念，能根据直线的方程判断两直线的位置关系，会求两相交直线的交点坐标和两平行直线间的距离，能把握对称的实质，并能应用对称性解题．()()()()1111112222221212211212211212122112121200.1//______________0(0)2____________________.30.14l y k x b A x B y C l y k x b A x B y C l l b b A C A C B C B C l l l l A B A B l l k k b b =+++==+++=⇔≠-≠-≠⊥⇔⇔-≠⇔==．平面内的两条直线的位置若直线：或；直线：或①且或②且或．③或④与相交与重合且关系12211221122100(0)A B A B A C A C B C B C -=-=-=或且或．()()()000000112212()010.20.3___________.00_________.2_P x y l Ax By C Ax By C Ax By C d l Ax By C l Ax By C l l d ++=++=++≠=++=++==设点，，直线：，则点在直线上：点在直线外：点到直线的距离⑤特别地，若：，：，则与间的距．点与直线的⑥位置关系离()()()000,0000000''01()()2200()()2())3(P x y M a b P M PP P a x b y a b P x y P x y P x y l y kx b P x y PP l PP l '''--=='--=+'⎧⊥⇒⎨∈⎩中心对称：求，关于点，对称的点的基本方法是转化为是线段的中点求，即．特例：当，时，，关于原点的对称点为，．轴对称：求已知点，关于已知直线：的对称点，的基本方法是转化为求方程⑦组的解，即由线段的．中心对称与轴对中点p 称 . ⎧⎨⎩⑧12567010()()()()()()__________________.()()()()()()k b P x y x y P x y P x y P x y y x y x P x y y x b y x b P y b x b P y b x b P x y x a y b P =±=--==-=+=-+-+-+-+==特例：当，或时，分别有以下规律：ⅰ，关于轴、轴对称的点分别为，，，．ⅱ，关于直线，对称的点分别为⑨ⅲ，关于直线，对称的点分别为，，，．ⅳ，关于直线，对称的点分别为()8(2),21,0a x y P x b y k --≠±，，．注意：当时，不具有上述规律．1212211212120120003401|00|022||12222()()k k A B A B k k Ax By C A A B B A B y y C C k x x A B y y x x k b P y x P y x =-==-+++=+--⋅=--+++=⋅+--①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨【要点指南、，】，2.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A )A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝03.不等边△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且lgsin A，lgsin B，lgsin C 成等差数列，则直线x sin2A＋y sin A＝a与直线x sin2B＋y sin C＝c的位置关系是( C ) A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直4.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是.x＋2y－3＝0.5.已知点(x0，y0)在直线ax＋by＝0(a，b为常数)上，则(x0－a)2＋(y0－b)2的最小值为a2＋b2.高频考点一两条直线的位置关系【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a、b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．【点评】在运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax＋By＋C＝0时，要特别注意A、B为零时的特殊情况．另外求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的充要条件；若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．练习1：已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.二有关距离问题【例2】已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【点评】1.点到直线的距离公式和两平行直线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握．2．点到几种特殊直线的距离：(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0－a|；(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.练习2：在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等．三两直线的交点问题【例3】求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x －4y＋5＝0垂直的直线l的方程．【点评】求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线的交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解．(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．练习3：本例中，若把条件中的“垂直”改为“平行”，求直线l的方程．四对称问题【例4】求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程．【点评】由平面几何知识知，若直线l1、l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与直线l 相交，则交点在直线l 2上；②若B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点C 在直线l 2上．本题方法1就是利用上述两条性质，找出确定直线l 2的两个点(直线l 1与直线l 的交点A 和直线l 1上的特殊点B 关于直线l 的对称点)，由两点式得到直线l 2的方程；方法2则是用运动的观点，直接求轨迹方程．把握两点：线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．练习4：求直线l ：2x －3y ＋1＝0关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【点评】点线对称是直线的方程中很经典的一个问题．它还包括点关于点的对称和线关于线的对称等，而轴对称性质和中点坐标公式是解决这类问题的主要途径．方法提炼12221||2C C d A Bx y -=+判断两直线平行或垂直时，不要忘记两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形．另外，两直线斜率相等，包括平行或重合两种情况，应注意区分．在运用公式求两平行直线间的距离时，一定．两直线平行与垂要把，项直的判定．两平行线间的距相应系数化成离相等的系数．()()()()11112222121112221221220000100.0()/2()3/l A x B y C l A x B y C l l A x B y C A x B y C l l l l l l x y y y k x x λ++=++=+++++=-=-直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程．设：，：若与相交，则方程表示过与交．直线系问点的直线系不包括；若，则上述形式的方程表示与平行的直线系．过定点，的旋转直线系方程为题000()()()k x x k y k x b b ∈==+∈R R 不包括直线，斜率为的平行直线系方程为．()()14().2()1.x x y y ---⎧⎨⎩关于对称问题，有如下规律：中心对称关于某个点对称解题方法：中点坐标公式．特殊地，关于原点对称，是以代换，以代换轴对称关于某直线对称斜率之积等于解题方法：中点在对称轴对称问题上．关于。
直线与直线对称解法
直线与直线对称解法直线与直线对称解法是解决几何问题中常用的一种方法，通过对称性质，可以简化问题的分析和求解过程。
本文将从直线的对称性质、对称解法的基本原理以及实际应用等方面进行介绍和探讨。
一、直线的对称性质直线具有对称性质，即对于任意一点P，存在直线l，使得P关于直线l对称。
这里的对称是指点P关于直线l对称的点P'，具有以下性质：1. 直线l是点P和点P'的垂直平分线，即直线l同时垂直于线段PP'且将线段PP'平分成两等分；2. 点P和点P'关于直线l的距离相等，即线段PP'的长度等于直线l到点P或点P'的距离。
二、直线与直线对称解法的基本原理直线与直线对称解法的基本原理是利用直线的对称性质，通过构造对称的点和线，将原来的几何问题转化为对称的几何问题，从而简化问题的分析和求解过程。
具体来说，直线与直线对称解法通常包括以下几个步骤：1. 根据问题的要求，找到需要求解的几何关系或性质；2. 根据直线的对称性质，构造对称的点和线，建立对称关系；3. 利用对称关系，分析和推导出原问题的几何关系或性质；4. 根据分析和推导结果，得到问题的解答。
三、直线与直线对称解法的实际应用直线与直线对称解法在实际应用中具有广泛的用途，特别是在几何问题的证明和构造中常常使用。
1. 几何证明：直线与直线对称解法可以用于证明几何定理和性质。
通过构造对称的点和线，可以将原来的几何问题转化为对称的几何问题，从而简化证明过程。
2. 几何构造：直线与直线对称解法可以用于几何图形的构造。
通过构造对称的点和线，可以确定几何图形的位置和形状，从而满足给定的条件。
3. 几何分析：直线与直线对称解法可以用于几何问题的分析。
通过对称性质的分析，可以得到几何图形的特征和性质，从而帮助我们理解和解决实际问题。
总结：直线与直线对称解法是解决几何问题中常用的一种方法，通过对称性质，可以简化问题的分析和求解过程。
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧资料
直线关于直线对称问题的常用方法
与技巧资料
直线关于直线对称是指一条直线上的所有点都在另一条直线上的两倍距离的位置上，它们之间的夹角与距离相等。
一般来说，这样的直线就是对称的。
1、几何法——用斜截式找出直线的方程，然后将直线的方程带入另一条直线的方程中，得出另一条直线的斜截式，比较两条直线的斜截式，如果它们相同，则两条直线对称。
2、数学法——利用直线对称的特点，即两条直线中心点与斜率是相反的，将直线的方程转化为常数形式，求出常数，再代入另一条直线的方程中，比较两条直线的方程，如果它们相同，则两条直线对称。
3、图形法——画出两条直线，以一条直线上的点为中心，绘制一个平行四边形，然后将另一条直线上的点映射到平行四边形的另一面上，如果所有点都能映射到平行四边形的另一面上，则两条直线对称。
直线的对称问题
对称问题和最值问题
对称问题
（1）中心对称
①点的中心对称
若点M（x1，y1）关于P（a，b）的对称点为N（x，y）， x 2a x1 则由中点坐标公式可得 y 2b y1
对称问题
（1）中心对称
②直线的中心对称
例、求直线3x+4y+3=0关于点A（-2，3）的对称直线.
已知△ ABC中 ，A（ 3， 2 ） 、B（ － 1 ， 5 ），点 C
在直线 3 x y 3 0上 ， 若 △ ABC的 面 积 为 10 ， 求C的 坐 标 .
△ABC的三个顶点为 A(2,8)、B（－ 4， 0 ）、C（ 6， 0 ）， 求过B将△ ABC的面积平分的直线方程 .
x y 2 0 例2：已知 x y 4 0 2 x y 5 0
(1)
2 2
求：
z x y 10 y 25
的最小值；
2 y 1 (2) z 的范围。 x 1
最值问题
例3：（1）过点A（2，1）的所有直线中，距离原点最远 的直线方程为
对称问题
（2ห้องสมุดไป่ตู้轴对称
②直线的轴对称
例、求直线3x+4y+3=0关于直线2x-y+1=0的对称直线.
例、求直线3x+4y+3=0关于直线3x+4y-1=0的对称直线
主要方法：
1、若给出的两条直线平行，则所求直线也与它们平行， 此时在已知直线上取一点，根据点的轴对称，求出 对称点就可确定所求直线； 2、若给出的两条直线相交，先求出它们的交点，再在 已知直线上取一点，根据点的轴对称的方法求出对 称点，就可由两点确定所求的对称直线。
直线的对称问题解析
直线系对称问题（一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；关于y 轴的对称点的坐标为 ； 关于y x =的对称点的坐标为 ； 关于y x =-的对称点的坐标为 .2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上. ()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b a x a b -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭ 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：① 到角相等；② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； ③ 轨迹法(相关点法)；④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. ()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）典例分析（一）例1：已知3a+2b=1, 求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标. 思路一：由3a+2b=1得:b= 12(1-3a) 代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x – 3 2 y-1)+a(x - 3 2 y)=0 由32102302x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 得交点(1, 23)∴直线过定点(1, 23).思路二：赋值法令a=0得b= 12 得L 1: 2x - 32 y-1=0令b=0得a= 13 得L 2: x – 32 y=0由32102302x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 得交点(1, 23)把交点坐标代入原直线方程左边得: 左边= 13(3a+2b-1)∵3a+2b-1=0 ∴左边=0 这说明只要3a+2b-1=0 原直线过定点(1, 23).例2:求证:无论λ为何值,直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离d 都小于4 2 . 证明：将直线方程按参数λ整理得 (2x-y-6)+λ(x-y-4)=0 故该直线系恒过二直线2x-y-6=0和x-y-4=0的交点M 易解得M(2,-2) 求得|PM|=4 2 所以d ≤4 2而过点M 垂直PM 的直线方程为x-y-4=0, 又无论λ为何值,题设直线系方程都不可能表示直线x-y-4=0∴d<4 2【注】此题若按常规思路,运用点距公式求解,则运算量很大,难算结果,运用直线系过定点巧妙获解.例题：例3、已知直线：l kx y k k R -++=∈120() （1）证明直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程；（3）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围。
直线中的对称问题
y
l1
解题要点：
l2 l x
平行直线的设法；
平行直线的距离。
o
小结四：
直线关于直线对称的直线解题要点：
1.若两直线相交，先求交点P，再在l1上取一点
Q，求其对称点得另一点Q ’，由这两点求l 方程。
2.若两直线平行，则斜率相等，且平行直线l1 到l 距离等于l 到l2距离。
思路2:利用点到直线的距离公式.
期待你的进步！
THANKS!
类型一：点关于点的对称
• 例1：已知点A(2,2) 、B(-1,1) ，试求A点 关于B点
的对称点C的坐标。 y A B C x O 关于点对称的问题即中 心对称问题，关键在于 抓住两对称点被中心平 分这一性质；
·
·
·
解题要点：中点公式的运用
小结一：
点A(a, b)关于点B(m, n)的对称点C的坐标
直线中的对称问题
海门市四甲中学 高一数学组 赵轩
知识回顾
• 1、点到直线距离公式： d
Ax0 By0 C A B
2 2
注意:用该公式时应先将直线方程化为一般式；
• 2、两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A B
2 2
注意:运用此公式时直线方程要化成一般式，并
且x、y项的系数要对应相等.
知识回顾
斜率存在，k1k2=-1 • 1、直线互相垂直的条件：__________________ • 2、P1(x1，y1)、P2 (x2，y2)的中点坐标为 x1 x2 y1 y 2 ( , ) _____________ 2 2 • 3、点(xo，yo)在直线 Ax + By + C = 0 上的条 Axo+Byo+C=0 件是 _______________
与直线有关的对称问题PPT课件
1.求直线关于点的对称直线
两直线关于点对称：其中一条直线上任一点关于点对称 的点必在另外一条直线上。
2.求点关于直线的对称点
设点P(x0, y0 ),直线l : Ax By C 0( AB 0),点P关 于l的对称点Q(x, y).
(1)PQ l； (2)PQ的中点在直线l上.
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
相交则是夹角的平分线平行则到的距离相等直线关于点对称的直线方程关于直线对称的点的坐标直线关于直线对称的直线的方程直线关于直线对称的直线的方程求与直线距离为的直线方程关于直线的对称点已知直线求直线关于直线的对称直线方程在直线上求一点使得abcabacbccaqrabcap异于的一点光线从点出发反射后又回到点若光线经过的重心则等于a2b11011
例2.在直线l : 3x y 1 0上求一点P,使得 (1)点P到A(4,1)和B(0, 4)的距离之差最大; (2)点P到A(4,1)和C(3, 4)的距离之和最小.
例3.在等腰直角三角形ABC中, AB AC 4,点P是边AB上
异于A, B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点
P,若光线QR经过ABC的重心,则AP等于（ ）
A.2
B.1
C.8
3
D. 4 3
Q R
P
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
11
谢谢聆听
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一
点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。
直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。
例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。
解法1：（动点转移法）
在1l 上任取点))(,(2/
/l P y x P ∉，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++-=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以015
3435934=--++++-y x y x 。
即017=--y x 。
所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法2：（到角公式法）
解方程组⎩
⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7
131313113=⇒+-=⨯-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法3：（取特殊点法）
由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。
在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点
的坐标为),(//y x Q ，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。
解法4：（两点对称法）
对解法3，在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为Q )57,54(，在1l 上取点M （0，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为)5
1,512(
N 而N ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。
解法5：（角平分线法）
由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)，设所求直线l 的方程为：设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ,即0=--k y kx .由题意知，2l 为1,l l 的角平分线，在2l 上取点P （0，-3），则点P 到1,l l 的距离相等，由点到直线距离公式，有：
1711|30|2|130|2
-==⇒+-+=--或k k k k 1-=k 时为直线1l ，故7
1=
k 。
所以直线l 的方程是017=--y x 解法6（公式法） 给出一个重要定理：曲线（或直线 ）0),(:=y x F C 关于直线
0),(:=++=C By Ax y x f l 的对称曲线/C （或直线 ）的方程为
)1.........(0)],(2),,(2[2222=+-+-y x f B
A B y y x f B A A x F 。
证：设),(y x M 是曲线/C 上的任意一点),(y x M ，它关于l 的对称点为
),(///y x M ，则C M ∈/于是)2........(0),(//=y x F 。
∵M 与M /关于直线l 对称，∴)3..(..........),(2),(20220)()(22/22/////⎪⎩
⎪⎨⎧+-=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++⋅++⋅=---y x f B A B y y y x f B A A x x C y y B x x A y y A x x B ,（3）代入（2），得0)],(2),,(2[2222=+-+-y x f B
A B y y x f B A A x F ，此即为曲线/C 的方程。
解析：定理知，直线01),(:1=-+=y x y x F l 关于直线033),(:2=--=y x y x f l 的对称曲线l 的方程为：
017,05
1575101)5
35453(5953540)535453,595354(0)]33(5
1),33(53[0)],(13)1(2),,(1332[2222=--=++-⇒=--++++-⇒=-+++-⇒=--+---⇒=+-⨯-+⨯-
y x 即y x y x y x y x y x F y x y y x x F y x f y y x f x F 所以直线l 的方程是017=--y x 。
点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处
理这类问题的关键.
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.
分析本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
解法一由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得，
即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P （0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B（8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
解根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），
将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，
故所求直线l的方程为x-y+3=0.
点评将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.。