力对点之矩

Qd
h
xqdx
h

x2dx

1

h3
0
0
3
kN·m
Q
h
qdx
h

xdx

1 h2
0
0
2
Qd
h
xqdx
h

x2dx

1

h3
0
0
3
所以
h
d 0 xqdx 2 h
Q
3
m
此d值确定了合力Q
作用线的位置。
A
即
FR ＝ F1＋F2＋…＋ Fn
FR ＝ F1＋F2＋…＋ Fn
• 以 r 对上式两端作矢积，有
• r×FR ＝r×F1 ＋ r×F2 ＋ … ＋r×Fn • 由于力F1，F2,…,Fn与点共面， • 上式各矢积平行，因此上式
• 矢量和可按代数和计算。而
• 各矢量积的大小就是力对点
• 之矩，于是证得合力矩定理
MA(F )＝ MA(F x)＋ MA(F y) ＝－ Fx b + Fy a ＝－ F b cosa＋ F a sin a ＝ F a sin a－ F b cosa
• 例2、设水深为h，水的容重（单位容积的
• 重量）为g，求单位长度的坝面所承受的静水压 • 力的合力。 • 解：作用于坝面的静水压力可简化为沿坝面 • 中心线OA分布的水平荷载，且在水面下x处的的 • 线荷载集度为
矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。
2、力对点之矩矢MO (F)的三要素 力矩矢的三要素为大小、方位和指向。
（1）、MO (F)的大小即它的模
MO(F ) = r F Fr sin Fh
式中θ为r和F正方向间 的夹角，h为矩心到力 作用线的垂直距离，称为 力臂。
MO(F)=r×F
θ
• 汇交力系的平衡问题。
• 3、用途
• ①便于找力臂
• ②便于确定合力作用线的位置。
例1、试计算图中力F对A点之矩。 已知F，a、b、a。
解：（1）由定义求MA(F ) 先确定力臂h。而找力臂d 较为麻烦。
（2）由汇交力系合力之矩定理求MA(F ) 现将力F分解为互相垂直的两各分力F x和F y，利用平 面汇交力系合力之矩定理计算力F对A点之矩
yFz
-
zFy

M Oy (F ) = zFx - xFz
M Oz (F ) =
xFy
-
yFx

四、平面汇交力系的合力矩定理
1、定理：
平面汇交力系的合力对于 平面内任一点之矩等于所有各 分力对于该点之矩的代数和。
2、证明：
如图所示， r 为矩心O到汇交点A的矢径，FR为平面汇交力系
F1，F2，…，Fn的合力，
q x(1dx) x
dx
kN/m
A
• 可见荷载集度与水的
• 深度成正比，按此绘出的

• 荷载图为图示的三角形。
• 坝面所受的静水压力的
• 合力Q的大小为
A
Q
h
qdx
0
h

xdx

1
h2
0
2
kN
且此合力Q应与原分布荷载平行。如令Q的作用线到水面的
距离为d，则由合力矩定理，有
第三章 力系的简化
§3-2-1 力对点之矩 §3-2-2 力对轴之矩 §3-3 力偶及其性质 §3-4 力偶系的合成与平衡 §3-5 力的平移定理
一、力对点之矩
1、力对点的矩的概念
作用于刚体的力F对空 间任意一点O的力矩定义 为:
MO(F) = r F
式中O点称为矩心，r为矩心O引向力F的作用点A的矢径， 力对点之矩定义为：
Oxyz，并用i、j、k表示沿
各坐标轴的单位矢量，则
r = xi + yj + zk
F = Fxi Fy j + Fz k
于是
MO(F) r F
i jk
=x y z
Fx Fy Fz
(yFz - zFy )i + (zFx - xFz ) j + (xFy - yFx )k
投影
M Ox (F ) =
• 2、力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 • 3、当力的作用线通过矩心时，此力对于该矩心的力矩等
于零。
• 4、力对点之矩的单位；
•
N·m 或 kN·m
矩心是可以任意选择的，可以是物体上的固定点， 也可以是物体上不固定之点，甚至是所研究物体以 外的点。
三、 力对点之矩在坐标轴上的投影
为了计算力矩矢在坐 标轴上的投影，以矩心O 为原点引进直角坐标系
O●
hr
MO(F) Fh
F
O●
h
MO(F) = ± Fh
F
正负号通常规定为:
+
逆时针为正
–
顺时针为负
实例
力F对点O的矩记为
MO(F)=－Fh
或
MO(F)=－2A△OAB
式中A△OAB为三角形OAB的面积。
• 二、力矩的性质
• 1、力 F 对点 O 的矩，不仅与力 F 有关，同时还与矩 心O的位置有关，一般力矩将随矩心位置不同而异。因此 必须指明矩心，力对点之矩才有意义。
• MO(F R)＝ MO(F 1)＋ MO(F 2)＋…＋ MO(F n)
•
＝∑MO(F i)
MO(F R)＝ MO(F 1)＋ MO(F 2)＋…＋ MO(F n) ＝∑MO(F i)
• 当平面汇交力系平衡时，合力为零。
• 由上式可知，各力对任一点之矩的代数和皆为零。即
•
∑MO(F i)=0
• 上式说明：可用力矩方程代替投影方程求解平面
h
（2）MO (F)的方位： 垂直于r 和F 所确定的 平面，
（3）MO (F)的指向：
指向由右手定则确定。
MO(F)=r×F
θ
h
由于力矩矢的大小和方向都与矩心的位置有关，故 力对点之矩矢的始端必须在力矩中心，不可任意挪 动，这种矢量称为定位矢量。
平面问题
平面问题中，由于矩心与力矢均在同一个特定的 平面内，力矩矢总是垂直于该平面，即力矩的方位 不变，指向可用正、负号区别，故力矩由矢量变成 了代数量，且有