关于凸函数的几个充分必要条件

（
Ｄ＋， ＋ｒ ０ ） ）
，∑ ） Ａ （） （ ∑ ＃ ｘ ｆｅ
＝１ ｋ ＝ｌ
于是 ， （ ）
（ ） ＋ ｘ ＋， 出 ｔ
ＶＸ ∈（ ， ） Ｖ ｔ ０ ＋ ’ ＋ ｌ ｋ ａｂ ， ｋ ， ’ ＞ ｌ ’
证 明 ： 分 陛显然成 立 充
如果 Ｍ ＋ 则 第二 个 不等 式成立 。因此 只考 Ｉ ， 虑 Ｍ为有限的情形 ， ｇｘ： － ｘ， 令 （）Ｍｘｆ ）显然 ｇｘ在 ｉ （）
函数 ，于是任 意 的 ｘｘ，∈（＇） ，ｚ ｙ ａｂ ，且 （ ）有 】卿 ， ｃ
…
证明 将此行列式按第一列展开， 则有 ｌ ， ｌ １ ）
ｆ ） ｘ ≥ （ ４（９ ｘ
ｘ －ｘ ， ｘ２
，
则 ｆ 为 Ｉ 的凸 函数 。 称 上 如果 不等 式改 为严格
从 而
…
是ｆ） （ ｘ
＞ｌ ！ ！２ （） ｉ 二 苎 ＝ ｍ
定理 ２设 ｆｘ在 （ ．） 导 ， 下列 论 断等 ： （） ａｂ 内可 则 价： （ ） ｘ是 （ ，） 凸 函数 ；２ｆ（） （ ．） １ｆ ） ａｂ 内 ｉ （） ｘ 在 ａｂ 内
即有 不等 式
（ ） （ ） 兰
二 苎
一 一
的增
一
△ ｌ ， Ｉ ［ ｘ ｘ ｘＨ － ３ｘ ｘ］ ＝ 一ｘ ３ ３ ２ ｘ（ ３ １ １ ｆ） ｆ ｆ） （ ｘ （
ｌ １ ，
…
不等式 ， 则相应的函数称为严格凸函数。 函数 且 有 下 界 ， 丛 是 Ｙ的 减 函数 且 有 上 定理 １ ｘ为 区间 （＇） 的凸 函数 的充 要条 ： ） ａｂ上 界， 从而存在极限， 且 （ ：ｌ 生＝ ） ｉ 件是 ： ａｂ 内的任意三点 ｘ ｘ ｘ， 对（ ，） ｉ ２ 皆有下列不 ＜＜ ‘ ！ ＝ ： ） ＞ Ｉｍ ｌ 等式：
（） ｘ ２
得 尤为 重要 。 ￣ 知， （） 的函数是增 定义：设 ｆ 为定义在区间上 Ｉ 的函数 ，若对 Ｉ ｘ ， ∈（，） ｔ ＃ｙｘ ａｂ ｌ定理 ｌ 岛 ｘ作为 ｘ
～
，
Ｉ １
ｆｘ） （３ ｌ
内的任意两点 ｘ＇ 和任意实数 （ ，）总有 Ｉ ｘ ０ １，
ｆ Ａ ａ １ ） Ａ （ ＋（一Ａ ， ） （ｘ ＋（ Ａ ） ， ） １ ） （
文 化 教Ｉ ｛Ｉ 育
葛 丽 萍
科 信 技
— —
黑 龙 江 — —
息
关 于 凸函数 的几个 充分必 要 条件
（ 黑河学院数 学系， 黑龙江 黑河 １４ ０ ） ６３ ０
摘 要： 凸函数是一类非常重要 的函数 ， 在许 多领域有广泛的应用。从不同角度举证 了凸函数的六个充分必要 条件 ， 并给 出了详 细的证 明。 关键词 ： 凸函数； 充分必要 条件 ； 等价 凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的 导数满足不等式 凸性 ， 可 以科学 、 确 的描 述 函 数 的 图像 ， 不仅 准 而 （） （ ）
，
＋【 ） ｘｆ ｘ） ，（ ｚ （ａ］
ｆ（。一，（ ） ｆwenku.baidu.com， ｆ ｘ） ｘ） ｘ） （
ｘ２ 一 ｘｌ ｘ３ 一 ｘ ２
同理， 勰ｕ。 有 ｆ ）ｆ ￣ ｆ ）ｆＯ 当ｘ ＞ 时， （ （ ＞ （－ （ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ）
因此 ， ：ｌ ，、 ｉ ｆ ｍ
Ｈ
ｘ２ 一 ｘ Ｉ
定理 ６设 “ｘ为 区间 （，） ： ） ａｂ 内连续 ， 则 ｘ是 ）
（ ） （）
凸函 充要 是： 式， ） Ｊ ， ＋） 数的 条件 不等 （
在任何含于（，） ａｂ的闭区间【 ｈｘｈ（＞ ） ｘ ， ］ ｏ成立。 － ＋ ｈ 证明 必要性 ＶＩ ， ｔ 因 ｘ是凸函数， ｋ ＜ｈ ） 则
于 是 由定 理 １知 ｆｘ为 区间 （ ，） 的 凸 函 ｉ） ａｂ上 数。
上 二
一
＾ 且也有证明不等式的凸函 数方法， 同时， 凸函数也 定理 ５ ｘ为区间（ ＇） ： ） ａｂ上的凸函数的充要条 是优化问题中重要的研究对象 ，它研究的内容非 （０， ，２ Ⅱ ） ＜ｘ ｘ 、 ｘ ∈（， ， ２ 件是 ： （，） 的任意 三点 Ｘ＜￣ 有 对 ａｂ内 ｌ＜， Ｘ Ｘ恒 常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的 证 明 ： 要 性 设 ｆｘ为 区 间 （．） 的 凸 函 必 （） ａｂ上 ｌ １ ，五 ｌ （） 应用 ，所以研究凸函数的性质以及充要条件也显 数 ， ｙ Ａ—ｌ ， ） ０ １ ｘ （ ｌ 对于固定的 ｙ ａｂ ， ｅ（’）作函数 ｇ（） （）ｆ ） ｙ ｆ －（ ｘ
， ＝，（ （） “ ｒ＋ ＋ｆ） ） （ ）
＝
单调上升 ；３对 ａｂ内任意两点 ｘ， ， （） ，） ｌ ｘ 恒有 ｆ （） ｘ
≥ｆ Ｉ ｆ ｘ ） ｒ １ （ ） １ ｘ＿ ） ｘ＋（ （ ｘ
定理 ３“ｘ为因 司（，） ： ） ａｂ上的凸函数的充要条 件是： 对任意 自然数 ｎ， ｌ成立 下列不等式 ：
Ｊ １＾ ＿ ｛ ， ）
＝
ｘ
＞
一
！
ｆ（２ ，（ ， ｆ（ 一ｆ（Ｏ ｆ（３一ｆ（Ｄ ｘ） ） ， ｘ） ｘ ｘ） ｘ
—
—
＝
ｘ ２ 一 ｘａ
ｘ３一 工
ｘ ３一 ｘｚ
于是△ ｘ １啪 充分 ＝ ａ， Ｉｘ ｌ １ ３，
为 区 间（，） 的凸 函数 。 ａｂ上
充分 眭 设 ｘ在 （，） 可导 ， ） ａｂ上 首先证明对于任意的 ｘ， ａｂ ，ｌ ： 。 ∈（，）ｘ ｘ， ｘ ＜ 有 ｉｆ （） ｎ 生二 坐 ｓｐ （） ｕ 先 证 明第二 个不 等式 。令 Ｍ＝ ｕ （）， ｓｐ
ｉｆ ｎ （ ） “‘
， ｘ ｔ＋ ，（ ＋ （ ）