2020-2021学年第一学期高中数学新教材必修第一册苏教版第八章第1课时 函数的零点(1)
2020-2021学年数学新教材苏教版必修第一册：第7章 7.2.3 第2课时 三角函数的诱导公式(
π2＋α
＝
1 3
，求
sinπ2＋αcosπ2－α cosπ＋α
＋
sinπ－sinαπc＋osα32π＋α的值．
[解] 原式＝co－s cαossinαα＋si－n αsisninαα＝－sin α－sin α ＝－2sin α． 又cosπ2＋α＝31，所以－sin α＝13． 所以原式＝－2sin α＝23．
[解] (1)f(α)＝－sincoαscαos－αcsoins αα＝cos α． (2)因为f(A)＝cos A＝53， 又A为△ABC的内角， 所以由平方关系，得sin A＝ 1－cos2A＝45， 所以tan A＝csoins AA＝43， 所以tan A－sin A＝34－54＝185．
() () ()
[提示] (1)如tan(π＋α)＝tan α中，α＝π2不成立． (2)sin(90°＋α)＝cos α． (3)cos52π＋α＝cos2π＋π2＋α＝cosπ2＋α＝－sin α．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．(1)若sin α＝13，则cosπ2－α＝ (2)若cos α＝54，则sinπ2－α＝
[解] (1)f(α)＝－sin－αc·coossααs·in－αcos α＝－cos α． (2)∵cosα－32π＝－sin α，∴sin α＝－51， 又α是第三象限的角， ∴cos α＝－ 1－－152＝－256， ∴f(α)＝2 5 6．
(3)f－313π＝－cos－331π ＝－cos－6×2π＋53π ＝－cos53π＝－cos π3＝－21．
； ．
(1)31 (2)45 [(1)cosπ2－α＝sin α＝31． (2)sinπ2－α＝cos α＝45．]
合作 探究 释疑 难
【新教材】高中数学苏教版必修第一册同步课件：7.3.3 第1课时 函数y=Asin(ωxφ)的图象
点的纵坐标变为本来的A倍(横坐标不变)而得到的.
4.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ≠0)的图象,可以看作是将函数y=sin ωx的图象上
所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移
φ
ω
个单位长度而得到的.
名师点析 φ,ω,A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
(1)φ>0时,函数图象向左平移,φ<0时,函数图象向右平移,即“加左减右”.
B.向右平移12个单位长度
π
C.向左平移3个单位长度
π
D.向右平移3个单位长度
)
答案 B
π
π
π
解析 由 y=sin 4- =sin 4 得,只需将 y=sin 4x 的图象向右平移 个单
3
12
12
位长度即可,故选 B.
反思感悟平移变换的策略
(1)先确定平移方向和平移的量.
(2)当x的系数是1时,若φ>0,则左移φ个单位长度;若φ<0,则右移|φ|个单位长
度.
||
当 x 的系数是 ω(ω>0)时,若 φ>0,则左移 个单位长度;若 φ<0,则右移 个单位
长度.
变式训练 2
是(
π
π
将函数 y=sin 2- 向左平移 个单位长度,可得到函数图象
6
6
)
A.y=sin 2x
π
C.y=sin 2 +
6
π
B.y=sin 26
π
D.y=sin 23
答案 C
π
π
解析 将函数 y=sin 2- 6 向左平移6个单位长度,
2020-2021学年第一学期高中数学新教材(必修第一册苏教版)第一章第1课时 集合的概念与表示(1)
第1课时集合的概念与表示(1)一、学习目标1.理解集合的含义,掌握集合中元素的特征,掌握常用数集及其记法.2.了解属于关系,能判断元素与集合间的关系.二、问题导引预习教材P5——7,然后思考下面几个问题.1.什么是集合?集合中元素的特征有哪些?2.常用的数集有哪些?它们分别用什么数学符号表示?3.元素与集合之间有怎样的关系?集合中的元素是否只能是数?三、即时体验1.集合的含义:一般地,一定范围内某些、对象的全体组成一个集合.2.判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由.(1) 大于3且小于11的偶数;(2) 班上个子较高的同学.3.全体自然数组成的集合叫作,记作;全体正整数组成的集合叫作,记作;全体整数组成的集合叫作,记作;全体有理数组成的集合叫作,记作; 全体实数组成的集合叫作,记作.四、导学过程类型1元素确定性的应用【例1】下列各组对象能否构成集合:(1) 所有的好人; (2) 小于2012的数;(3) 和2012非常接近的数;(4) 小于5的自然数;(5) 不等式2x+1>7的整数解;(6) 方程x2+1=0的实数解.类型2判断元素与集合间的关系【例2】用符号“∈”或“∉”填空:-√5Q, 5Z, 0N.类型3利用元素与集合间的关系求参数的值【例3】如果x2∈{0, 1, x},求实数x的值.五、课堂练习1.写出下列集合中的元素:(1) {大于1且小于11的奇数};(2) {平方等于1的数};(3) {15的正约数}.2.下列叙述中能组成集合的是()A. 难解的题目B. 方程x2-2=0的实数解C. 平面直角坐标系中第四象限内的一些点D. 很多多项式∈R; ②√2∉Q; ③|-3|∈N+; ④|-√3|∈Q.其中正确的个数是()3.有下列关系:①12A. 1B. 2C. 3D. 44.若x∈R,则{3, x, x2-2x}中的元素x应满足什么条件?六、课后作业1. 下面给出的四类对象中构成集合的是 ( )A . 某班个子较高的同学B . 中国长寿的人C . 圆周率π的近似值D . 倒数等于它本身的数2. (多选)下列判断中不正确的是 ( ) A . π∈Q B . -7∈Z C . 13∈QD . -√3∉R3. (多选)下列结论中错误的是 ( ) A . {1, 2, 3, 1}是由4个元素组成的集合 B . 集合{1}表示仅由一个“1”组成的集合C . N 中最小的数是1D . 若-a ∉N,则a ∈N4. 由实数-x , |x |, √x 2, x 组成的集合中含有元素的个数最多的是 ( )A . 1B . 2C . 3D . 4 5. 已知集合A 中含有2, 4, 6这三个元素,若a ∈A ,且6-a ∈A ,则a 的值为 ( ) A . 2 B . 4 C . 6D . 2或4 6. 由关于x 的方程x 2+ax +b +1=0的实数解构成的集合A 中有元素1,由关于x 的方程x 2+ax -b =0的实数解构成的集合B 中有元素2,则a = , b = .7. 集合A 中的元素由a +b √2(a ∈Z, b ∈Z)组成,判断下列元素与集合A 的关系:(1) 0; (2) 1√2-1; (3) 1√3-√2.8. 已知x , y 都是非零实数,z =x |x |+y |y |+xy |xy |可能的取值组成集合A ,则下列判断中正确的是( )A . 3∈A , -1∉AB . 3∈A , -1∈AC . 3∉A , -1∈AD . 3∉A , -1∉A9. 集合{x -1, x 2-1, 2}中的x 不能取的值构成的集合是 ( )A . {1, 3, √3}B . {0, 1, √3, -√3}C . {0, 1, 3, √3}D . {0, 1, 3, √3, -√3}10. 由关于x 的方程ax +1=0的实数解构成的集合中元素的个数为 .11. 若-3∈{2x -5, x 2-4x , 12},则实数x 的值为 .12. 把可以表示成两个整数的平方之和的全体整数记作集合M ,试证明集合M 中的任意两个元素的乘积仍属于M.13. 设S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合:①1∉S ; ②若a ∈S ,则11-a ∈S.请解答下列问题: (1) 若2∈S ,则S 中必有另外两个数,求出这两个数.(2) 自己设计一个数属于S ,然后求出S 中另外两个数.(3) 从上面的解答过程中,你能得到什么结论?并大胆证明你发现的结论.。
2020-2021高中数学第一册学案：1.1.3 第1课时交集与并集含解析
2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：1.1.3 第1课时交集与并集含解析1.1.3集合的基本运算素养目标·定方向课程标准学法解读1．理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．2．在具体情境中，了解全集的含义．3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．4．能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。
1．学习本节时，重视对“交集”“并集”“补集"等概念的理解,特别是“且”“或”的区别,可结合维恩图或数轴理解．2．解题时注意运用图示法（维恩图、数轴、函数图像等)表示集合及进行运算，可以直观、快速地解答集合的运算问题．3．注意“集合运算"⇔“集合关系”间的转化，容易解决集合运算中的参数问题．4．养成用“交集、并集、补集”的思想去解决实际问题，提升数学学科素养。
第1课时交集与并集必备知识·探新知基础知识1．交集思考1：两个非空集合的交集可能是空集吗?提示：两个非空集合的交集可能是空集，即A与B无公共元素时,A与B的交集仍然存在,只不过这时A∩B＝∅。
反之,若A∩B＝∅，则A，B这两个集合可能至少有一个为空集,也可能这两个集合都是非空的,如：A＝｛1，3,5,7,9}，B＝｛2，4,6,8，10｝,此时A∩B ＝∅.2．并集思考2:集合A∪B中的元素个数如何确定？提示:①当两个集合无公共元素时，A∪B的元素个数为这两个集合元素个数之和；②当两个集合有公共元素时，根据集合元素的互异性，同时属于A和B的公共元素，在并集中只列举一次,所以A∪B的元素个数为两个集合元素个数之和减去公共元素的个数．3．交集与并集的运算性质交集的运算性质并集的运算性质A∩B＝B∩A A∪B＝B∪AA∩A＝A A∪A＝AA∩∅＝∅∩A＝∅A∪∅＝∅∪A＝A如果A⊆B，则__A∩B＝A__，反之也成立如果A⊆B，则__A∪B＝B__，反之也成立思考3:判断集合A＝{2，3}与集合B＝｛2,3，5｝的关系，并写出A∩B和A∪B，你能发现什么规律？提示：A与B的关系为A B，A∩B＝｛2,3｝，A∪B＝{2,3,5}，由以上结论可推测A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.基础自测1．已知集合M＝｛－1,0,1｝，N＝{0,1,2｝，则M∪N＝(C) A．｛0,1}B．{－1,0,2}C．｛－1，0，1，2}D．｛－1，0，1｝解析：M∪N＝｛－1，0,1,2}．2．设集合M＝（－3，2),N＝[1，3],则M∩N＝(A)A．[1，2)B．[1，2]C．(2,3］D．[2，3］解析：因为M＝(－3，2)，且N＝[1，3]，所以M∩N＝[1，2)．3．已知集合M＝{x|x2＝9},N＝｛x|－3≤x〈3，x∈Z}，则M∩N ＝(B)A．∅B．{－3}C．｛－3,3｝D．{－3，－2,0,1,2｝解析：由题意，得M＝{－3,3}，由于N＝｛－3,－2，－1,0，1,2｝，则M∩N＝｛－3}．4．若集合A＝｛x|－5<x〈2｝，B＝{x｜－3<x<3}，则A∪B＝__{x|－5〈x<3}__,A∩B＝__｛x｜－3〈x<2}__.5．已知A＝｛－1｝且A∪B＝｛－1,3},则所有满足条件的集合B＝__{3}或{－1，3}__.关键能力·攻重难类型交集的运算┃┃典例剖析__■典例1(1)已知集合A＝｛0,2}，B＝｛－2，－1,0,1，2｝，则A∩B＝（A)A．｛0，2}B．{1,2｝C．{0｝D．{－2,－1，0，1，2}（2)已知A＝{x｜x≤－2或x>5}，B＝{x｜1<x≤7｝，则A∩B＝__(5,7]__。
一元二次不等式的应用课件-2020-2021学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象； ③由图象得出不等式的解集。
对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0 时的解题步骤求解；或先把它化成二次项系数为正 的一元二次不等式，再求解。
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式
或配方求解，当p<q时，
f (x) g(x) 0
g(x)
0
f (x) g(x) 0 g(x) 0
f (x) g(x) 0 g(x) 0
f (x) g(x) 0 g(x) 0
复习回顾
7、高次不等式的解法
复习回顾
8、分式高次不等式的解法
复习回顾
9、含参不等式的解法
数学应用 类型一 三个“二次”关系的应用
a，b 的值。
数学应用 类型二 关于一元二次不等式恒成立问题的处理
例2、已知一元二次不等式(m － 2)x2+2(m － 2)x+4>0的解 集是R，求实数m的取值范围。
数学建构
1、一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在x∈R上恒成立的情况
a 0 0
a 0 0
变式拓展
对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总为非 负，求m的取值范围。
数学应用
数学建构
3、求解一元二次不等式应用题的一般步骤
课堂检测
1、若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那
么a的值是( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
2、当不等式x2＋x＋k>0恒成立时，k的取值范围为______
2020-2021学年第一学期高中数学新教材(必修第一册苏教版)第二章第4课时全称量词命题与存在量词命题
第4课时全称量词命题与存在量词命题一、学习目标1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词和存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词和存在量词叙述数学命题.3.掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假性的方法.二、问题导引预习教材P34——35,然后思考下面的问题.1.将下列命题补充完整.(1) 正方形都是矩形;(2) 有理数都能写成分数的形式;(3) 正整数组成的集合,叫作自然数集;(4) 空集是集合的真子集;(5) 集合A⊆B,则集合A中的元素都是集合B中的元素.2.在数学命题中,有哪些表示全体的量词?有哪些表示部分的量词?三、即时体验1.命题“对于任意实数x,都有x2≥0”中含有量词,表示量词的词语是.2.命题“存在有理数x,使x2-2=0”中含有量词,表示量词的词语是.3.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断真假.(1) 任何一个数除以1,仍等于这个数;(2) 有一个实数x, x不能取倒数.四、导学过程类型1全称量词命题、存在量词命题的判断【例1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.(1) 每个人的潜力都是无穷的; (2) 一切三角形都是相似的;(3) 所有自然数的平方是正数; (4) 有些一元二次方程没有实根;(5) △ABC的内角中有锐角; (6) 边长为1cm的正方形的面积为1cm2.类型2全称量词命题与存在量词命题的真假的判断【例2】(教材P35例1)判断下列命题的真假:(1) ∃x∈R, x2>x; (2) ∀x∈R, x2>x;(3) ∃x∈Q, x2-8=0; (4) ∀x∈R, x2+2>0.类型3全称量词命题与存在量词命题的符号表示【例3】用量词符号“∀”“∃”表示下列命题:(1) 正数的平方根不等于0; (2) 凸n边形的外角和等于2π;(3) 任一个实数乘以-1都等于它的相反数; (4) 存在实数x,使得x3>x2.五、课堂练习1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.(1) 所有能被2整除的整数都是偶数;(2) 有的二次函数的图象和x轴相交;(3) 圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径;(4) 三角形有且仅有一个外接圆.2.指出下列命题中的量词,并判断命题的真假.(1) 任意一个正方形都是矩形;(2) 所有的一元二次方程都有实数根;(3) 存在集合A,满足A⫋{1, 2, 3}.3.用量词符号“∀”“∃”表示下列命题,并判断真假.=0;(1) 自然数的平方是正数; (2) 有一个实数x,使1x-1(3) 平行四边形的对角线互相平分.六、课后作业1.将命题“x2≥0”改写成全称量词命题为()A. 对任意x∈R,都有x2≥0成立B. 存在x∈R,使x2≥0成立C. 对任意x>0,都有x2≥0成立D. 存在x<0,使x2≤0成立2.给出下列命题:①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两条边互相平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.其中全称量词命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 33.给出下列命题:①∃x∈R, x≤0;②至少有一个整数,它既不是合数,也不是质数;③∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数.其中存在量词命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 34. (多选)下列命题是真命题的有 ()A. 存在一个实数x,使-2x2+x-4=0B. 在同一平面内,两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行C. 至少存在一个正整数,能被5和7整除D. 菱形是正方形5.判断下列命题的真假(填“真”或“假”).(1) 命题“所有三角形的垂心都在三角形内部”是命题;(2) 命题“对任意x∈N, 2x+1是奇数”是命题;(3) 命题“能被6整除的数也能被3整除”是命题;(4) 命题“对所有实数a, b,方程ax+b=0恰有一个解”是命题.6.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并指出其中的全称量词或存在量词.(1) 每个人都喜欢体育锻炼;(2) 存在相似的两个三角形全等;(3) 有两个角是45°的三角形是等腰三角形.7.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断真假.(1) 内角平分线上的点到这个角两边的距离相等;(2) 有些整数只有两个正因数;(3) 对每一个无理数x, x2也是无理数;(4) 二次函数y=x2-ax-1的图象与x轴恒有交点.8. (多选)下列命题能表述“∃x∈R, x2>3”的有()A. 有一个x∈R,使得x2>3成立B. 对有些x∈R,使得x2>3成立C. 任选一个x∈R,都有x2>3成立D. 至少有一个x∈R,使得x2>3成立9.下列命题是全称量词命题且为真命题的是()A. ∀x∈N, x2>0B. ∀x∈N*, x2>0C. ∃x∈R, x2≤0D. ∀x∈R, x2>010.下列命题是存在量词命题且为真命题的是 ()A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角B. 两个无理数的和必是无理数C. 至少有一个正整数是偶数>2D. 存在一个负数x,使1x11. (多选)下列命题是真命题的有()A. 存在x0<0,使得x02-2x0-3=0B. 方程3x-2y=10有整数解C. 有些实数a, b能使|a-b|=|a|+|b|D. 直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点12.若命题“∃x∈R, x2-2x+m=0”为假命题,则实数m的取值范围是.13.选择合适的量词(∀, ∃),加在命题的前面,使其成为一个真命题.(1) x>2;(2) x是偶数;(3) a2+b2=c2.。
新教材2021-2022学年高中数学苏教版必修第一册课件 第8章
不满足f(a)f(b)<0,不能用二分法求函数零点,由于选项A,C,D中零点两侧的
函数值异号,故可采用二分法求函数零点.
课堂篇 探究学习
探究一
求函数的零点
2 + 2-3, ≤ 0,
例 1(1)求函数 f(x)=
的零点;
-2 + ln, > 0
(2)已知函数 f(x)=ax-b(a≠0)的零点为 3,求函数 g(x)=bx2+ax 的零点.
6
2
6 2
(4 + 2)(6 + 5) < 0,
点评二次函数零点问题,一般需要考虑以下四个方面:①对应一元二次方程
根的判别式;②考查区间端点函数值的正负;③图象对称轴与区间的位置关
系;④对应一元二次方程根与系数的关系.
当堂检测
1.通过下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是(
)
答案 C
解析 在A中,函数无零点;在B和D中,函数有零点,但它们在零点左右的函数
2
3.(2020四川乐山高一期末)函数f(x)=ex-1+2x-4的零点所在的区间是(
)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
答案 B
解析 因为f(x)=ex-1+2x-4在R上是增函数,f(1)=1+2-4=-1<0,f(2)=e>0,所以函
一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且
f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
名师点析 f(a)f(b)<0与函数f(x)存在零点的关系
(1)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
2020-2021学年高中数学新人教A版必修第一册 1
【思路导引】(1)依据a∈A，则 1 ∈A(a≠1)，求集合A中的元素，同时注
1 a
意集合中元素的互异性.
(2)转化为判断a= 1 是否有实数解.
1 a
【变式探究】
本例前提条件不变，求证以下两个问题：
(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素. (2)若a∈A，则1- 1 ∈A.
a
角度2 与集合相等有关的问题 【典例】设a，b∈R，集合A中含有三个元素a， b ，1，集合B中含有三个元
类型二 元素与集合的关系(逻辑推理)
【题组训练】
1.下列元素与集合的关系表示正确的是 ( )
①0∈N*.②
2
∉Z.③
3 2
∈Q.④π∈Q.
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
2.由形如x=3k+1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是 ( )
A.-1∈A
B.-11∈A
C.15∈A
D.32∈A
2.设M是所有偶数组成的集合，则
()
A.3∈M
B.1∈M
C.2∈M
D.0∉M
【解析】选C.因为2是偶数，所以2是集合M中的元素，即2∈M.
3.英文短语“open the door to...”中的字母构成一个集合，该集合的元素
个数是 ( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知，“open the door to...”中的
3.常见的数集及表示符号
数集
非负整数集 (自然数集)
正整 数集
整数集
有理 数集
实数集
符号
_N_
_N_*_或__N_+
Z
【2020年】2020年苏教版高中数学必修一(全册)精品教案汇总
【推荐】2020年苏教版高中数学必修一（全册）精品教案汇总1.1 集合的含义及其表示教学目标：1．使学生理解集合的含义, 知道常用集合及其记法；2．使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义, 初步了解有限集、无限集、空集的意义；3．使学生初步掌握集合的表示方法, 并能正确地表示一些简单的集合．教学重点：集合的含义及表示方法．教学过程：一、问题情境 1．情境．新生自我介绍：介绍家庭、原毕业学校、班级． 2．问题．在介绍的过程中, 常常涉及像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念, 这些概念与“学生×××”相比, 它们有什么共同的特征？二、学生活动 1．介绍自己；2．列举生活中的集合实例；3．分析、概括各集合实例的共同特征． 三、数学建构1．集合的含义：一般地, 一定范围内不同的．．．、确定的．．．对象的全体组成一个集合．构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素．个体与群体群体是由个体组成2．元素与集合的关系及符号表示：属于∈, 不属于∉．3．集合的表示方法： 另集合一般可用大写的拉丁字母简记为“集合A 、集合B ”．4．常用数集的记法：自然数集N, 正整数集N*, 整数集Z, 有理数集Q, 实数集R ． 5．有限集, 无限集与空集． 6．有关集合知识的历史简介． 四、数学运用 1．例题．例1 表示出下列集合：（1）中国的直辖市；（2）中国国旗上的颜色． 小结：集合的确定性和无序性 例2 准确表示出下列集合： （1）方程x 2―2x －3=0的解集； （2）不等式2－x ＜0的解集； （3）不等式组2+3511x x >⎧⎨->⎩-的解集；（4）不等式组⎩⎨⎧2x －1≤－33x ＋1≥0的解集．解：略．小结：（1）集合的表示方法——列举法与描述法；（2）集合的分类——有限集⑴, 无限集⑵与⑶, 空集⑷ 例3 将下列用描述法表示的集合改为列举法表示： （1）{(x , y )| x ＋y = 3, x ∈N , y ∈N } （2）{(x , y )| y = x 2－1, |x |≤2, x ∈Z } （3）{y | x ＋y = 3, x ∈N , y ∈N } （4）{ x ∈R | x 3－2x 2＋x =0} 小结：常用数集的记法与作用．列举法描述法图示法自然语言描述 如{15的正整数约数}数学语言描述 规范格式为{x |p (x )}例4 完成下列各题：（1）若集合A＝{ x｜ax＋1＝0}＝∅, 求实数a的值；（2）若－3∈{ a－3, 2a－1, a2－4}, 求实数a．小结：集合与元素之间的关系．2．练习：（1）用列举法表示下列集合：①{ x｜x＋1＝0}；②{ x｜x为15的正约数}；③{ x｜x为不大于10的正偶数}；④{(x, y)｜x＋y＝2且x－2y＝4}；⑤{(x, y)｜x∈{1, 2}, y∈{1, 3}}；⑥{(x, y)｜3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}．（2）用描述法表示下列集合：①奇数的集合；②正偶数的集合；③{1, 4, 7, 10, 13}五、回顾小结（1）集合的概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；（2）集合的表示——列举法、描述法以及Venn图；（3）集合的元素与元素的个数；（4）常用数集的记法．六、作业课本第7页练习3, 4两题．1.2 子集、全集、补集（1）教学目标：1．使学生进一步理解集合的含义, 了解集合之间的包含关系, 理解掌握子集的概念；2．理解子集、真子集的概念和意义；3．了解两个集合之间的相等关系, 能准确地判定两个集合之间的包含关系．教学重点：子集含义及表示方法；教学难点：子集关系的判定．教学过程：一、问题情境 1．情境．将下列用描述法表示的集合改为用列举法表示：A ＝{x |x 2≤0},B ＝{ x |x ＝(－1)n ＋(－1)n +1, n ∈Z}；C ＝{ x |x 2－x －2＝0},D ＝{ x |－1≤x ≤2, x ∈Z}2．问题．集合A 与B 有什么关系？ 集合C 与D 有什么关系？ 二、学生活动1．列举出与C 与D 之间具有相类似关系的两个集合； 2．总结出子集的定义；3．分析、概括两集合相等和真包含的关系的判定． 三、数学建构1．子集的含义：一般地, 如果集合A 的任一个元素都是集合B 的元素, （即 若a ∈A 则a ∈B ）, 则称集合A 为集合B 的子集, 记为A ⊆B 或B ⊇A ．读作集合A 包含于集合B 或集合B 包含集合A ．用数学符号表示为：若a ∈A 都有a ∈B , 则有A ⊆B 或B ⊇A ． （1）注意子集的符号与元素与集合之间的关系符号的区别： 元素与集合的关系及符号表示：属于∈, 不属于∉； 集合与集合的关系及符号表示：包含于⊆．（2）注意关于子集的一个规定：规定空集∅是任何集合的子集．理解规定 的合理性．（3）思考：A ⊆B 和B ⊆A 能否同时成立？ （4）集合A 与A 之间是否有子集关系？ 2．真子集的定义：（1）A ⊆B 包含两层含义：即A ＝B 或A 是B 的真子集．元素与集合是个体与群体的关系, 群体是由个体组成；子集是小集体与大集体的关系．（2）真子集的wenn图表示（3）A＝B的判定（4）A是B的真子集的判定四、数学运用例1 （1）写出集合{a, b}的所有子集；（2）写出集合{1, 2, 3}的所有子集；{1, 3}⊂≠{1, 2, 3}, {3}⊂≠{1, 2, 3},小结：对于一个有限集而言, 写出它的子集时, 每一个元素都有且只有两种可能：取到或没取到．故当集合的元素为n个时, 子集的个数为2n．例2 写出N, Z, Q, R的包含关系, 并用Venn图表示．例3 设集合A＝{－1, 1}, 集合B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}, 若B≠∅, B⊆A, 求a, b的值．小结：集合中的分类讨论．练习：1．用适当的符号填空．（1）a＿{a}；（2）d＿{a, b, c}；（3）{a}＿{a, b, c}；（4）{a, b}＿{b, a}；（5）{3, 5}＿{1, 3, 5, 7}；（6）{2, 4, 6, 8}＿{2, 8}；（7）∅＿{1, 2, 3}, （8）{x|－1＜x＜4}__{x|x－5＜0} 2．写出满足条件{a}⊆M{a, b, c, d}的集合M．3．已知集合P = {x | x2＋x－6=0}, 集合Q = {x | ax＋1=0}, 满足Q P, 求a所取的一切值．4．已知集合A＝{x｜x＝k＋12, k∈Z}, 集合B＝{x｜x＝2k＋1, k∈Z}, 集合C＝{x｜x＝12k+, k∈Z}, 试判断集合A、B、C的关系．五、回顾小结1．子集、真子集及对概念的理解；2．会用Venn图示及数轴来解决集合问题．六、作业教材P10习题1, 2, 5．1.2 子集、全集、补集（2）教学目标：1．使学生进一步理解集合及子集的意义, 了解全集、补集的概念；2．能在给定的全集及其一个子集的基础上, 求该子集的补集；3．培养学生利用数学知识将日常问题数学化, 培养学生观察、分析、归纳等能力．教学重点：补集的含义及求法．教学重点：补集性质的理解．教学过程：一、问题情境1．情境．（1）复习子集的概念；（2）说出集合{1, 2, 3}的所有子集．2．问题．相对于集合{1, 2, 3}而言, 集合{1}与集合{2, 3}有何关系呢？二、学生活动1．分析、归纳出全集与补集的概念；2．列举生活中全集与补集的实例．三、数学建构1．补集的概念：设A⊆S, 由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集, 记为S A(读作“A在S中的补集”), 即SA＝{ x｜x∈S, 且x∉A },SA可用右图表示．2．全集的含义：如果集合S包含我们研究的各个集合, 这时S可以看作一个全集, 全集通常记作U．3．常用数集的记法：自然数集N, 正整数集N*, 整数集Z, 有理数集Q, 实数集R ．则无理数集可表示为RQ ．四、数学运用 1．例题．例1 已知全集S ＝Z, 集合A ＝{x |x ＝2k , k ∈Z}, B ＝{ x |x ＝2k ＋1, k ∈Z}, 分别写出集合A , B 的补集∁S A 和∁S B ．例2 不等式组⎩⎨⎧2x －1＞13x －6≤0的解集为A , S ＝R, 试求A 及SA , 并把它们表示在数轴上．例3 已知全集S ＝{1, 2, 3, 4, 5}, A ＝{ x ∈S ｜x 2－5qx ＋4＝0}． （1）若SA ＝S , 求q 的取值范围； （2）若SA 中有四个元素, 求SA 和q 的值； （3）若A 中仅有两个元素, 求SA 和q 的值．2．练习： （1）SA 在S 中的补集等于什么？即S(SA )＝ ．（2）若S ＝Z, A ＝{ x ｜x ＝2k , k ∈Z}, B ＝{ x ｜x ＝2k ＋1, k ∈Z}, 则SA＝ ,SB ＝ ．（3）S∅＝ , S S ＝ ．五、回顾小结1．全集与补集的概念；2．任一集合对于全集而言, 其任意子集与其补集一一对应． 六、作业教材第10页习题3, 4．1.3 交集、并集教学目标：1．理解交集、并集的概念, 掌握交集、并集的性质；2．理解掌握区间与集合的关系, 并能应用它们解决一些简单的问题．A ∪BABA ∪B教学重点：理解交集、并集的概念． 教学难点：灵活运用它们解决一些简单的问题．教学过程：一、情景设置1．复习巩固：子集、全集、补集的概念及其性质． 2．用列举法表示下列集合：（1）A ＝{ x |x 3－x 2－2x ＝0}；（2）B ＝{ x |(x ＋2)(x ＋1)(x －2)＝0}． 思考：集合A 与B 之间有包含关系么？用图示如何反映集合A 与B 之间的关系呢？ 二、学生活动 1．观察与思考； 2．完成下列各题．（1）用wenn 图表示集合A ＝{－1, 0, 2}, B ＝{－2, －1, 2}, C ＝{－1, 2}之间的关系．（2）用数轴表示集合A ＝{x ｜x ≤3}, B ＝{ x ｜x ＞0 }, C ＝{x ｜0＜x ≤3}之间的关系． 三、数学建构 1．交集的概念．一般地, 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合, 称为A 与B 的交集, 记为A ∩B (读作“A 交B ”), 即A ∩B ＝{ x ｜x ∈A 且x ∈B }2．并集的概念．一般地, 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合, 称为A 与B 的并集, 记为A ∪B (读作“A 并B ”), 即A ∪B ＝{ x ｜x ∈A 或x ∈B }3．交、并集的性质．ABA ∩BA∩B＝B∩A, A∩∅＝∅, A∩A＝A, A∩B⊆A, A∩B⊆B,若A∩B＝A, 则A⊆B, 反之, 若A⊆B, 则A∩B＝A．即A⊆B⇔A∩B＝A．A∪B＝B∪A, A∪∅＝A, A∪A＝A, A⊆A∪B, B⊆A∪B,若A∪B＝B, 则A⊆B, 反之, 若A⊆B, 则A∩B＝B．即A⊆B⇔A∩B＝B．思考：集合A＝{x |－1＜x≤3}, B＝{y |1≤y＜5}, 集合A与集合B能进行交、并的计算呢？4．区间的概念．一般地, 由所有属于实数a到实数b(a＜b)之间的所有实数构成的集合, 可表示成一个区间, a、b叫做区间的端点．考虑到端点, 区间被分为开区间、闭区间或半开半闭区间．5．区间与集合的对应关系．[a, b]＝{x | a≤x≤b}, (a, b)＝{x | a＜x＜b},[a, b)＝{x | a≤x＜b}, (a, b]＝{x | a＜x≤b},(a, ＋∞)＝{x | x＞a }, (－∞, b)＝{x | x＜b},(－∞, ＋∞)＝R．四、数学运用1．例题．例1 （1）设A＝{－1, 0, 1}, B＝{0, 1, 2, 3}, 求A∩B和A∪B．（2）已知A∪B＝{－1, 0, 1, 2, 3}, A∩B＝{－1, 1}, 其中A＝{－1, 0, 1}, 求集合B．（3）已知A＝{( x, y)| x＋y＝2}, B＝{( x, y)| x－y＝4}, 求集合A∩B．（4）已知元素(1, 2)∈A∩B, A＝{( x, y)| y2＝ax＋b}, B＝{( x, y)| x2－ay－b＝0}, 求a, b的值并求A∩B．例2 学校举办了排球赛, 某班45名学生中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛, 这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中, 这个班共有多少名同学没有参加过比赛？例3 （1）设A＝(0, ＋∞), B＝(－∞, 1], 求A∩B和A∪B．（2）设A＝(0, 1], B＝{0}, 求A∪B．2．练习：（1）若A＝{x |2x2＋3ax+2＝0}, B＝{x |2x2＋x+b＝0}, A∩ B＝{0, 5}, 求a与A∪B．（2）交集与并集的运算性质．五、回顾小结交集和并集的概念和性质；区间的表示及其与集合的关系．六、作业教材第13页习题2, 3, 5, 7．2.1.1 函数的概念和图象（1）教学目标：1．通过现实生活中丰富的实例, 让学生了解函数概念产生的背景, 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型, 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数的概念, 掌握函数是特殊的数集之间的对应；2．了解构成函数的要素, 理解函数的定义域、值域的定义, 会求一些简单函数的定义域和值域；3．通过教学, 逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化, 代数式化, 并能对以往学习过的知识进行理性化思考, 对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：两集合间用对应来描述函数的概念；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．正方形的边长为a, 则正方形的周长为 , 面积为．2．问题．在初中, 我们曾认识利用函数来描述两个变量之间的关系, 如何定义函数？常见的函数模型有哪些？如图, A (－2, 0), B (2, 0), 点C 在直线y ＝2上移动．则△ABC 的面积S 与点C 的横坐标x 之间的变化关系如何表达？面积S 是C 的横坐标x 的函数么？二、学生活动1．复述初中所学函数的概念；2．阅读课本23页的问题（1）、（2）、（3）, 并分别说出对其理解； 3．举出生活中的实例, 进一步说明函数的对应本质． 三、数学建构1．用集合的语言分别阐述23页的问题（1）、（2）、（3）； 问题1 某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示, 试根据函数图象回答下列问题：（1）这一变化过程中, 有哪几个变量？（2）这几个变量的范围分别是多少？ 问题2 略．问题3 略（详见23页）．2．函数：一般地, 设A 、B 是两个非空的数集, 如果按某种对应法则f , 对于集合A 中的每一个元素x , 在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应, 这样的对应叫做从A 到B 的一个函数, 通常记为y ＝f (x ), x ∈A ．其中, 所有输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域．（1）函数作为一种数学模型, 主要用于刻画两个变量之间的关系； （2）函数的本质是一种对应；（3）对应法则f 可以是一个数学表达式, 也可是一个图形或是一个表格（4）对应是建立在A 、B 两个非空的数集之间．可以是有限集, 当然也就可以是单元集, 如f (x )＝2x , (x ＝0)．3．函数y ＝f (x )的定义域：（1）每一个函数都有它的定义域, 定义域是函数的生命线；（2）给定函数时要指明函数的定义域, 对于用解析式表示的集合, 如果没 有指明定义域, 那么就认为定义域为一切实数．四、数学运用例1．判断下列对应是否为集合A 到 B 的函数：（1）A ＝{1, 2, 3, 4, 5}, B ＝{2, 4, 6, 8, 10}, f ：x →2x ； （2）A ＝{1, 2, 3, 4, 5}, B ＝{0, 2, 4, 6, 8}, f ：x →2x ； （3）A ＝{1, 2, 3, 4, 5}, B ＝N , f ：x →2x ． 练习：判断下列对应是否为函数： （1）x →2x, x ≠0, x ∈R ；（2）x →y , 这里y 2＝x , x ∈N , y ∈R . 例2 求下列函数的定义域：（1）f (x )＝x -1；（2）g(x )＝x ＋1＋1x.例3 下列各组函数中, 是否表示同一函数？为什么？ A ．y ＝x 与y ＝(x )2； B ．y ＝x 2与y ＝3x 3；C ．y ＝2x －1(x ∈R)与y ＝2t －1(t ∈R)；D ．y ＝x ＋2·x －2与y ＝x 2－4 练习：课本26页练习1～4, 6． 五、回顾小结1．生活中两个相关变量的刻画→函数→对应(A →B ) 2．函数的对应本质； 3．函数的对应法则和定义域． 六、作业：课堂作业：课本31页习题2.1（1）第1, 2两题．2.1.1 函数的概念和图象（2）教学目标：1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念, 进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义, 会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；函数的本质是对应, 但并非所有的对应都是函数，一个必须是建立在两个非空数集间的对应，二是对应只能是单值对应．判断两个函数是否为同一函数, 一看对应法则，二看定义域．3．通过教学, 进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化, 代数式化, 并能对以往学习过的知识进行理性化思考, 对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A为函数的定义域, 集合B的作用是什么呢？二、学生活动1．理解函数的值域的概念；2．能利用观察法求简单函数的值域；3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．三、数学建构1．函数的值域：（1）按照对应法则f, 对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集．2．x→ g(x)⇒ f(x) → f(g(x)), 其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；四、数学运用（一）例题．例1 已知函数f (x)＝x2＋2x, 求f (－2), f (－1), f (0), f (1)．例2 根据不同条件, 分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．（1）x∈{－1, 0, 1, 2, 3}；（2）x∈R；（3）x∈[－1, 3]；（4）x∈(－1, 2]；（5）x∈(－1, 1)．例3 求下列函数的值域：①y；②y．例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：分别求f (f (1)), f (g (2)), g(f (3)), g (g (4))的值．（二）练习．（1）求下列函数的值域：①y＝2－x2；②y＝3－|x|．（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2, 求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．（3）已知函数f(x)＝2x＋1, g(x)＝x2－2x＋2, 试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域, 比较一下, 看有什么发现．（4）已知函数y＝f(x)的定义域为[－1, 2], 求f(x)＋f(－x)的定义域．（5）已知f(x)的定义域为[－2, 2], 求f(2x), f(x2＋1)的定义域．五、回顾小结函数的对应本质, 函数的定义域与值域；利用分解的思想研究复合函数．六、作业课本P31-5, 8, 9．2.1.2 函数的表示方法（1）教学目标：1．进一步理解函数的概念, 了解函数表示的多样性, 能熟练掌握函数的三种不同的表示方法；2．在理解掌握函数的三种表示方法基础上, 了解函数不同表示法的优缺点, 针对具体问题能合理地选择表示方法；3．通过教学, 培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法．教学重点：函数的表示． 教学难点：针对具体问题合理选择表示方法．教学过程：一、问题情境 1． 情境．下表的对应关系能否表示一个函数：2．问题．如何表示一个函数呢？ 二、学生活动1．阅读课本掌握函数的三种常用表示方法； 2．比较三种表示法之间的优缺点． 3．完成练习 三、数学建构 1．函数的表示方法： 2．三种不同方法的优缺点：3．三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的, 一般都能列出符合条件的表、画出符合条件的图, 反之亦然；列表法也能通过图形来表示．四、数学运用 （一）例题例1 购买某种饮料x 听, 所需钱数为y 元．若每听2元, 试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x (x ∈{1, 2, 3, 4})的函数, 并指出该函数的值域．列表法—用列表来表示两个变量之间函数关系的方法 解析法—用等式来表示两个变量之间函数关系的方法 图象法—用图象来表示两个变量之间函数关系的方法跟踪练习：某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售, 每天可卖出100个, 若这种商品的销售价每个上涨1元, 则销售量就减少10个．（1）列表：（2）图象： （3）解析式：将条件变换成：“某公司将进货单价为8元一个 的商品按10元一个销售, 每天可卖出110个”例2 如图, 是一个二次函数的图象的一部分, 试根据图象 中的有关数据, 求出函数f (x )的解析式及其定义域．（二）练习：1．1 nmile(海里)约为1854m, 根据这一关系, 写出米数y 关于海里数x 的函数解析式． 2．用长为30cm 的铁丝围成矩形, 试将矩形的面积S (cm 2)表示为矩形一边长x (cm)的函数, 并画出函数的图象．3．已知f(x )是一次函数, 且图象经过(1, 0)和(－2, 3)两点, 求f (x )的解析式． 4．已知f (x )是一次函数, 且f (f (x ))＝9x －4, 求f (x )的解析式． 五、回顾小结1．函数表示的多样性；2．函数不同表示方法之间的联系性； 3．待定系数法求函数的解析式． 六、作业课堂作业：课本35页习题1, 4, 5．2.1.2 函数的表示方法（2）教学目标：1．进一步理解函数的表示方法的多样性, 理解分段函数的表示, 能根据实际问题列出符合题意的分段函数；2．能较为准确地作出分段函数的图象；3．通过教学, 进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化, 代数式化, 并能对以往学习过的知识进行理性化思考, 对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：分段函数的图象、定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复习函数的表示方法；已知A＝{1, 2, 3, 4}, B＝{1, 3, 5}, 试写出从集合A到集合B的两个函数．2．问题．函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？二、学生活动1．画出函数f(x)＝|x|的图象；2．根据实际情况, 能准确地写出分段函数的表达式．三、数学建构1．分段函数：在定义域内不同的部分上, 有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数．（1）分段函数是一个函数, 而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是几部分的并；（3）定义域的不同部分不能有相交部分；（4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线, 也可能是由几条曲线共同组成；（5）分段函数的图象未必是不连续, 不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数, 如反比例函数的图象；（6）分段函数是生活中最常见的函数．四、数学运用1．例题．例1 某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内(含3km)路程按起步价7元收费, 超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．例2 如图, 梯形OABC 各顶点的坐标分别为O (0, 0), A (6, 0), B (4, 2), C (2, 2)．一条与y 轴平行的动直线l 从O 点开始作平行移动, 到A 点为止．设直线l 与x 轴的交点为M , OM ＝x , 记梯形被直线l 截得的在l 左侧的图形的面积为y ．求函数y ＝f(x )的解析式、定义域、值域．例3 将函数f (x )＝ | x ＋1|＋| x －2|表示成分段函数的形式, 并画出其图象, 根据图象指出函数f (x )的值域．2．练习：练习1：课本35页第7题, 36页第9题． 练习2：（1）画出函数f (x )＝ 的图象．（2）若f (x )＝ 求f (－1), f (0), f(2), f (f (－1)), f (f (0)), f (f (12))的值．（3）试比较函数f (x )＝|x ＋1|＋|x |与g (x )＝|2x ＋1|是否为同一函数．（4）定义[x ]表示不大于x 的最大整数, 试作出函数f (x )＝[x ] (x ∈[－1, 3))的图象．并将其表示成分段函数．练习3：如图, 点P 在边长为2的正方形边上按A →B →C →D →A 的方向移动, 试将AP 表示成移动的距离x 的函数．五、回顾小结分段函数的表示→分段函数的定义域→分段函数的图象； 含绝对值的函数常与分段函数有关； 利用对称变换构造函数的图象． 六、作业课堂作业：课本35页习题第3题, 36页第10, 12题；课后探究：已知函数f (x )＝2x －1（x ∈R ）, 试作出函数f (|x |), |f (x )|的图象．x 2－1，x ≥0， 2x ＋1，x ＜0． x －1 (x ≥0)1－x (x ＜0)BC P2.2 函数的简单性质（1）教学目标：1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上, 进一步感知函数的单调性, 并能结合图形, 认识函数的单调性；2．通过函数的单调性的教学, 渗透数形结合的数学思想, 并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；3．通过函数的单调性的教学, 让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．教学重点：用图象直观地认识函数的单调性, 并利用函数的单调性求函数的值域．教学过程：一、问题情境如图（课本37页图2-2-1）, 是气温θ关于时间t 的函数, 记为θ＝f (t ), 观察这个函数的图象, 说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？问题：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ 二、学生活动1．结合图2―2―1, 说出该市一天气温的变化情况；2．回忆初中所学的有关函数的性质, 并画图予以说明；3．结合右侧四幅图, 解释函数的单调性． 三、数学建构 1．增函数与减函数：一般地, 设函数y ＝f (x )的定义域为A , 区间I ⊆A ．)))如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2, 当x 1＜x 2时, 都有f (x 1)＜f (x 2), 那么就说y ＝f (x )在区间I 是单调增函数, 区间I 称为y ＝f (x )的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2, 当x 1＜x 2时, 都有f (x 1)＞f (x 2), 那么就说y ＝f (x )在区间I 是单调减函数, 区间I 称为y ＝f (x )的单调减区间．2．函数的单调性与单调区间：如果函数y ＝f (x )在区间I 是单调增函数或单调减函数, 那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性．单调增区间与单调减区间统称为单调区间．注：一般所说的函数的单调性, 就是要指出函数的单调区间, 并说明在区间上是单调增函数还是单调减函数．四、数学运用例1 画出下列函数的图象, 结合图象说出函数的单调性．1．y ＝x 2＋2x －12．y ＝2x例2 求证：函数f (x )＝－1x－1在区间(－∞, 0)上是单调增函数．练习：说出下列函数的单调性并证明． 1．y ＝－x 2＋2 2．y ＝2x＋1五、回顾小结利用图形, 感知函数的单调性→给出单调性的严格意义上的定义→证明一个函数的单调性．六、作业课堂作业：课本44页1, 3两题．2.2 函数的简单性质（2）教学目标：1．进一步理解函数的单调性, 能利用函数的单调性结合函数的图象, 求出有关函数的最小值与最大值, 并能准确地表示有关函数的值域；2．通过函数的单调性的教学, 让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．教学重点：利用函数的单调性求函数的值域．教学过程：一、问题情境1．情境．（1）复述函数的单调性定义；（2）表述常见函数的单调性．2．问题．结合函数的图象说出该天的气温变化范围．二、学生活动1．研究函数的最值；2．利用函数的单调性的改变, 找出函数取最值的情况；三、数学建构1．函数的值域与函数的最大值、最小值：一般地, 设y＝f(x)的定义域为A．若存在x0∈A, 使得对任意x∈A, f(x)≤f(x0)恒成立, 则称f(x0)为y＝f(x)的最大值, 记为y max＝f(x0)．若存在定值x0∈A, 使得对任意x∈A, f(x)≥f(x0)恒成立, 则称f(x0)为y＝f(x)的最小值, 记为y min＝f(x0)．注：（1）函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点, 典型的例子就是二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0), 当a＞0时, 函数有最小值；当a＜0时, 函数有最大值．（2）利用函数的单调性, 并结合函数的图象求函数的值域或函数的最值是求函数的值域或函数的最值的常用方法．2．函数的最值与单调性之间的关系：已知函数y＝f(x)的定义域是[a, b], a＜c＜b．当x∈[a, c]时, f(x)是单调增函数；当x ∈[c , b ] 时, f (x )是单调减函数．则f (x )在x ＝c 时取得最大值．反之, 当x ∈[a , c ]时, f (x )是单调减函数；当x ∈[c , b ] 时, f (x )是单调增函数．则f (x )在x ＝c 时取得最小值．四、数学运用例1 求出下列函数的最小值：（1）y ＝x 2－2x ；（2）y ＝1x, x ∈[1, 3]．变式：（1）将y ＝x 2－2x 的定义域变为(0, 3]或[1, 3]或[－2, 3], 再求最值． （2）将y ＝1x的定义域变为(－2, －1], (0, 3]结果如何？跟踪练习：求f (x )＝－x 2＋2x 在[0, 10]上的最大值和最小值．例2 已知函数y ＝f (x )的定义域为[a , b ], a ＜c ＜b ．当x ∈[a , c ]时, f (x )是单调增函数；当x ∈[c , b ]时, f (x )是单调减函数．试证明f (x )在x ＝c 时取得最大值．变式：已知函数y ＝f (x )的定义域为[a , b ], a ＜c ＜b ．当x ∈[a , c ]时, f (x )是单调减函数；当x ∈[c , b ]时, f (x )是单调增函数．试证明f (x )在x ＝c 时取得最小值．例3 求函数f (x )＝x 2－2ax 在[0, 4]上的最小值．练习：如图, 已知函数y ＝f (x )的定义域为[－4, 7], 根据图象, 说出它的最大值与最小值．求下列函数的值域： （1）yx ∈[0, 3]；（2） y ＝11x -, x ∈[2, 6]；（3）y（4）y ＝11(1)x x --．五、回顾小结利用图形, 感知函数的单调性→证明一个函数的单调性→确定一个函数的最值→确定一个函数的值域．六、作业课堂作业：课本40页第3题, 44页第3题．2.2 函数的简单性质（3）教学目标：1．进一步认识函数的性质, 从形与数两个方面引导学生理解掌握函数奇偶性的概念, 能准确地判断所给函数的奇偶性；2．通过函数的奇偶性概念的教学, 揭示函数奇偶性概念的形成过程, 培养学生观察、归纳、抽象的能力, 培养学生从特殊到一般的概括能力, 并渗透数形结合的数学思想方法；3．引导学生从生活中的对称联想到数学中的对称, 师生共同探讨、研究, 从代数的角度给予严密的代数形式表达、推理, 培养学生严谨、认真、科学的探究精神．教学重点：函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判断． 教学难点：函数奇偶性的概念的理解与证明．教学过程：一、问题情境 1．情境．复习函数的单调性的概念及运用．教师小结：函数的单调性从代数的角度严谨地刻画了函数的图象在某范围内的变化情况, 便于我们正确地画出相关函数的图象, 以便我们进一步地从整体的角度, 直观而又形象地反映出函数的性质．在画函数的图象的时候, 我们有时还要注意一个问题, 就是对称（见P41）．2．问题．观察函数y ＝x 2和y ＝1x（x ≠0）的图象, 从对称的角度你发现了什么？二、学生活动1．画出函数y ＝x 2和y ＝1x（x ≠0）的图象2．利用折纸的方法验证函数y ＝x 2图象的对称性。
新教材苏教版高中数学必修第一册第八章函数应用 教学课件
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有零点．( ) (2)任意两个零点之间函数值保持同号．( ) (3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)＜ 0.( )
[提示] (1)可举反例 f(x)＝x2＋1 无零点． (2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如 f(x)＝(x －1)(x－2)(x－3)有三个零点，即 x＝1,2,3，在(1,2)上 f(x)为正，在(2,3) 上 f(x)为负，故在零点 1 和 3 之间函数值有正有负或零． (3)举例 f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然 f(x)在(－2,2)上有零点 1 和－1，但是 f(2)·f(－2)>0. [答案] (1)× (2)× (3)×
则 f(x)的零点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
1 2 3 45
C [因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，所以 f(0)＝0，所以 0
是函数 f(x)的一个零点．当 x＞0 时，令 f(x)＝ex＋x－3＝0，则 ex＝－x
＋3. 分别画出函数 y＝ex 和 y＝－x＋3 的图象，如
[解] (1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令 f(x)＝0，得 x
＝0,1，－1，故 f(x)的零点为 x＝－1，0,1. (2)令 f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，
故 f(x)的零点为 x＝3. (3)令 f(x)＝1－log4 x＝0，∴log4 x＝1，∴x＝4. 故 f(x)的零点为 x＝4. (4)当 a＝0 时，函数为 f(x)＝－x＋2，
类型 3 判断零点所在的区间
【例 3】 (1)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的部分对应值如下表：
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第1课时函数的零点(1)
一、学习目标
1.在二次函数零点概念的基础上,进一步理解一般函数零点的概念.
2.通过对二次函数的研究,归纳出零点存在定理,并会用零点存在定理分析函数的零点.
二、问题导引
预习教材P215~216,然后思考下面几个问题.
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点定义是什么?函数的零点定义是什么?
2.零点存在定理具体怎样表述?
三、即时体验
1. (1) 函数y=x2-x-6的零点是;
(2) 函数y=2x-32的零点是.
2.已知下列一元二次方程,请判断与它们对应的二次函数是否有零点(如果有零点,请说明有几个零点):
(1) x2-x+3=0; (2) x2-4x-2=0; (3) x2-8x+16=0.
四、导学过程
类型1零点的概念及函数零点存在定理
【例1】判断函数f(x)=x2-2x-1在区间(2, 3)上是否存在零点.
【例2】(教材P215例1)证明函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2, -1)上存在零点.
类型2函数零点与方程的解
【例3】判断方程3x-x2=0有没有实数解,并说明理由.
五、课堂练习
1. (1) 二次函数y=x2-5x-6的零点为.
(2) 函数y=log5x-1的零点为.
2.方程2x+x=0的实数解所在的区间为()
A. (-2, -1)
B. (1, 2)
C. (-1, 0)
D. (0, 1)
3.证明函数f(x)=x4-2x-3在区间(1, 2)上有零点.
4.判定下列方程存在几个实数解,并分别给出每个解的存在区间:
(1) x2+x-1=0;
(2) |lg x|-=0.
六、课后作业
1.函数f(x)=x2－6的零点是()
A. B. －
C. ±
D. (, 0), (－, 0)
2.下列函数中,既是偶函数又有零点的是()
A.y=x2+1
B. y=e x+e－x
C. y=cos(π+x)
D. y=cos
3.函数f(x)=2x－的零点x0所在区间是()
A. (－1, 0)
B. (0, 1)
C. (1, 2)
D. (2, 3)
4. (多选)下列说法正确的是 ()
A.f(x)=x2－2x－3有两个零点,是(－1, 0)和(3, 0)
B. ln x+x－2=0的根在区间(1, 3)内
C. 函数y=mx2－x+1有零点的充要条件是m<1
D. 函数y=x3－x的图象与x轴有三个交点
5.若函数f(x)=+a的零点是1,则a=.
6.若函数f(x)=2x+ax有一个零点为2,则f(3)=.
7.已知f(2x+1)=3x－2,若a是函数y=f(x)－4的一个零点,则a=.
8. (多选)已知函数f(x)=+x2－2,利用零点存在定理确定零点所在的区间,下列区间中存在零点的是()
A. (－3, －2)
B.
C. (2, 3)
D.
9.若x0=cos x0,则()
A.x0∈
B. x0∈
C. x0∈
D. x0∈
10.若函数f(x)=kx+1在(－1, 1)内有零点,则实数k的取值范围是.
11.若函数f(x)=x+2x－10的零点所在区间为(n, n+1), n∈Z,则n=.
12.已知函数f(x)=ln x+x－3,证明函数在区间(0, +∞)上有且只有一个零点.
*13.已知函数f(x)=log2.
(1) 设h(x)=,用定义证明函数h(x)在(－1, +∞)上是增函数;
(2) 若函数g(x)=f(x)+2x+m,且g(x)在区间(3, 5)上有零点,求实数m的取值范围.。