24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)复习过程
垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用
24.1.2(1.1)垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用一．【知识要点】1.作弦心距构造黄金三角形解题,基本模型：二．【经典例题】1.如图，在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径长．2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,AB=10,CD=8,那么AE的长为( )A.2B.3C.4D.53. 如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．若⊙O的半径为1，CD则∠ABC的度数是________．6.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.(1)当AB=10,CD=6时,求OE的长;(2)∠OCD的平分线交☉O于点P,连接OP.求证:OP∥CD.三．【题库】【A 】1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB ＝10， 截面圆圆心O 到水面的距离OC ＝6，则水面宽AB ＝ （ ）A.8.B.10.C.12.D.16.2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30º，⊙O的半径为3cm ， 求弦CD 的长. 3如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AB ⊥CD 于点E, 若AB=10,CD=6,则BE 的长是( ).A.4B.3C.2D.1AB CO【B 】1.如图,☉O 的直径AB=12,CD 是☉O 的弦,CD ⊥AB,垂足为P,且BP ∶AP=1∶5,则CD 的长为( ) A.42 B.82 C.25 D.452.如图,AB 是☉O 的弦,AB 长为8,P 是☉O 上一个动点(不与A,B 重合),过点O 作OC ⊥AP 于点C,OD ⊥PB 于点D,则CD 的长为_______________.3.如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AE 的垂直平分线交⊙O 于点C ，CD ⊥AB 于D ，BD ＝1，AE ＝4，则AD 的长为（ ）．A ．33B ．4C ．5D ．52【C 】1.如图,MN 为☉O 的直径,A,B 是☉O 上的两点,过A 作AC ⊥MN 于点C,过B 作BD ⊥MN 于点D,P 为DC 上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB 的最小值是______________.【D】。
《24.1.2垂直于弦的直径》学历案-初中数学人教版12九年级上册
《垂直于弦的直径》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“垂直于弦的直径”，是初中数学中关于圆的基础知识之一。
通过本课的学习，学生将掌握垂直于弦的直径的定理及其应用，为后续学习圆的性质、计算以及解决实际问题打下基础。
二、学习目标1. 理解垂直于弦的直径的定理，并能够运用该定理解决简单的几何问题。
2. 掌握通过作图、计算等方式，验证垂直于弦的直径定理的正确性。
3. 培养学生的空间想象能力和几何直观能力，提高学生的数学思维能力。
三、评价任务1. 评价学生对垂直于弦的直径定理的理解程度，通过课堂提问和互动进行观察和记录。
2. 评价学生运用定理解决问题的能力，通过布置相关练习题，观察学生的完成情况和正确率。
3. 评价学生的作图和计算能力，通过学生的作图和计算过程及结果进行评价。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的圆的相关知识，引出本课的学习主题——垂直于弦的直径。
2. 新课讲解：（1）讲解垂直于弦的直径的定理，包括定理的内容和定理的应用。
（2）通过作图、计算等方式，验证定理的正确性。
（3）举例说明定理在解决实际问题中的应用。
3. 学生活动：学生分组进行作图、计算等实践活动，加深对定理的理解和掌握。
4. 课堂小结：总结本课学习的重点和难点，强调垂直于弦的直径定理的重要性和应用价值。
五、检测与作业1. 检测：通过布置相关的练习题，检测学生对垂直于弦的直径定理的理解和运用能力。
2. 作业：布置适量的练习题和作业，包括作图、计算和应用等方面，要求学生认真完成并加以复习。
六、学后反思1. 本课的教学重点和难点是否把握得当？是否需要根据学生的实际情况进行调整？2. 学生在学习过程中是否存在困惑或疑问？如何帮助学生解决这些问题？3. 本课的教学方法和手段是否有效？是否需要采用更多的互动式教学或实践式教学方式？4. 学生在作图、计算和应用等方面是否存在不足？如何加强这方面的训练和提高？通过本课的反思，教师可以更好地了解学生的学习情况和自己的教学效果，从而调整教学策略，提高教学质量。
垂径定理
【分析】连OA,构造直角三角形，运用勾股定
理来解决。B
例2、你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
24.1.2垂直于弦的直径（1）
教
学
目
标
知识技能
研究圆的轴对称性，掌握垂径定理及其简单应用。
过程方法
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的
思维品质，学习证明的方法。
情感态度
在学生通过观察、操作、变换、探究出的图形性质后，还要求
学生对发现的性质进行证明，培养学生的创新意识、良好的应用数学意识。
轴，圆有无数条对称轴。A
2、垂定理：
思考：如图：AB是⊙O的一条弦，C D
作直径CD使CD⊥AB，垂足为E。
（1）、这个图形是轴对称图形吗？
若是，那么它的对称轴是什么？B
（2）、你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说
明理由。
【分析】连接OA、OB，则OA=OB，即△AOB为等腰三角形，
∵CD⊥AB
∴AE=BE(三线合一)，即A、B关于直线CD轴对称。
∵CD为⊙O的对称轴，
⌒⌒⌒⌒
∴AC=BC , AD=BD
垂径定理：垂直于弦的直径平分于弦并且平分于弦所对的两条弧。
符号语言：∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦且CD⊥AB，
O D
⌒⌒⌒⌒
∴AE=BE，AC=BC , AD=BD。
例1、在⊙O中，弦AB的长为8㎝，圆心O
【分析】首先要把这样一个实际问题转化为一个数学问题，把这个问题中的已知什么和欲求什么转化为数学问题的已知和求解，因此要画出图形，并结合图形写出已知、求解；其次再讨论如何解决这个问题；最后才写出解题过程。
2垂径定理
课题02：24.1.2垂直于弦的直径（1）编制：彭泉松审定：彭泉松课标要求：学生灵活运用垂径定理解决问题。
德育目标：结合教学内容，向学生进行爱国主义教育和美育渗透，培养独立思考与小组交流。
学习目标：1、理解圆的轴对称性及垂径定理的推证；能应用垂径定理进行计算和证明。
2、通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．学习重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．学习难点：垂径定理的证明与运用．学习过程：一、知识复习：学生口答圆的有关概念二、自学课本P81 结合实验活动，提出问题：1、探究：让学生用自己的方法探究圆的对称性，引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．分析证明：已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB，= ，= ．证明：垂径定理：组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB，= ，= .为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.（二）知识迁移中发现新问题1、剖析：2、新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导），，……（包括原定理，一共有10种）(三)探究新问题，归纳新结论：推论（学生理解）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.三、例题讲解：例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，例2、赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？归纳：解决有关弦的问题，经常做过圆心作弦的垂线，或连接圆心和弦的中点，连结半径等辅助线，为应用垂径定理和勾股定理创造条件四、当堂训练（A 组） 1、按图填空：在⊙O 中，（1）若MN ⊥AB ，MN 为直径，则________，________，________；（2）若AC ＝BC ，MN 为直径，AB 不是直径，则_______，________，________；（3）若MN ⊥AB ，AC ＝BC ，则________，________，________；（4）若 = ，MN 为直径，则________，________，________2、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（ ）． A ．CE=DE B ．»»BCBD C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD 3、如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3， 则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8（B 组）4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ， 则经过P 点的最短弦长为________；最长弦长为_______．5、 已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点． 求证AC=BD ．6、如图，在⊙O 中，AB ，AC 为互相垂直且相等的两条弦，O D ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于E ，求证：四边形ADOE 是正方形（C 组） 7、如图，⊙O 的直径为4，动弦C D ⊥直径AB 于E ，C F ⊥当弦CD 运动时，OE 2+EF 2的值是否发生变化，若不 变，求出其值，若变化，请说出理由。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.1.2 垂直于弦的直径
24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
24.1.2-3圆的垂直定理及弦、弧、圆心角
B
(4)
(5)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） _____________________________________________________ ， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O 到AB的距离是___________cm ，AB=_________cm. 2 4 A C E 。 O B 第1题图 D 。 O H
⌒ ⌒ = AOB COD ． （1）如果AB=CD，那么___________ AB CD ，_________________ AOB COD AB=CD （2）如果 ⌒ = ⌒ ，那么____________ ， ______________ ． AB CD ⌒ =⌒ AB=CD
又因为OE
所以
、OF是AB与CD对应边上的高，
O
·
F
D
OE = OF.
C
⌒ = ⌒ , ∠COD=35°， = 2.如图，AB是⊙O的直径， ⌒ BC CD DE
求∠AOE的度数．
解： E D C A
⌒
⌒ =⌒ = BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
O
·
AOE 180 3 35
A O· B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能 发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)16995
(2)⊙O的直径为10 cm，圆心O到弦AB的 距离OE=3 cm，则弦AB的长是 8cm .
A
O
E
B
练习二：
(3)半径为2cm的⊙O中,过半径中点E且 垂直于这条半径的弦AB长是 2 3cm . A
O
E
B
(4)已知AB是⊙O的弦,OB=4cm,∠ABO=30°,
则O到AB的距离是 2 cm,AB= 4 3 cm.
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
24.1.2垂径定理(1)
24.1.2垂直于弦的直径（1） 班级： 姓名：学习目标：1.通过画图和观察，发现垂径定理，了解垂径定理的证明方法，会简单运用垂径定理.2.培养合情推理能力，发展空间观念.学习重点和难点：1. 重点：垂径定理。
2．难点：垂径定理的证明。
一、自主学习1.:垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，平分这条弦所对的几何语言：∵AB 为⊙O 的直径 ，AB ⊥CD∴DP= , =⋂ DB ，=⋂ DA （垂径定理）二、巩固训练1．下列说法正确的是( )A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的直线平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心 2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是( )A.AC ︵＝AD ︵B.BC ︵＝BD ︵C ．OE ＝BED ．CE ＝DE3. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，则CE= ，⋂AC = .（第3题） （第4题） （第5题）4.如图，OC ⊥AB 于点C ，AC=3，则BC= ，AB= .5.如图，在⊙O 中，半径r ＝10，弦AB ＝12，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值是( )A ．10B ．16C ．6D ．86.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于( )A ．4.1米B ．4.0米C ．3.9米D ．3.8米7.在⊙O 中，弦AB 的长为16cm ，圆的半径是10cm ，求圆心O 到AB 的距离。
解：连接AO ，作OE ⊥AB 于E∵OE 经过⊙O 的圆心，OE ⊥AB ∴AE= = cm （ ）在Rt △AOE 中，∵OE 2= （ ）∴OE= = 答：OE 的长为ABCO.8.证明：重直于弦的直径平分弦.已知：如图，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB. 求证：AE=BE.证明：连结OA ，OB.9. 如图，已知在⊙O 中，（1）弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径（2）弦AB 的长为6厘米，⊙O 的半径为5厘米，求圆心O 到AB 的距离（3）⊙O 的半径为10厘米，圆心O 到AB 的距离为6厘米，求弦AB 的长拓展延伸：好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB 宽度16 m 时，拱顶高出水平面4 m ，货船宽12 m ，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.(1)请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径．(2)小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．E ADC BO.。
垂径定理1-3课时
BB24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时）一、知识探究1、圆既是 图形，又是 图形。
对称轴是 ，对称中心是 。
2、按要求作图（1）作⊙O 的任意一条弦AB ；（2）过圆心O ，作垂直于弦AB 的直径CD ，交AB 于点E 。
观察并回答：问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段：问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧： 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 。
求证：AE=BE结论：垂径定理： 的直径 ，并且 。
几何语言的写法：∵ ∴强调：（1） ；（2） ；（3） （4） ；（5） 二、例题解析例1：在⊙O 中，弦AB 长8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 半径为例2：⊙O 的半径为5，M 是⊙O 内一点，OM=3，则过M 点的最短弦的长为例3：如图：已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，若AC=BD ，求证：OA=OB 。
三、课堂练习：1、在⊙O 中，弦AB 长8cm ，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到AB 的距离为2、在⊙O 中，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到弦AB 的距离3cm ，则弦AB 的长为3、在半径为R 的⊙O 中，有长为R 的弦AB ，那么O 到AB 的距离为4、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆与C 、D 两点。
求证：AC=BD 。
5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ∶PB=1∶5 ，求的⊙O 半径。
24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理的推论（第二课时）一、知识回顾垂径定理： 的直径 ，并且 。
按要求作图（1）在⊙O （2）作弦（3）连接问题1：⊙O 的直径CD 与弦AB 有怎样的位置关系： 问题2：该图中有没有相等的弧 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，并且平分弦AB ，求证：CD ⊥AB 。
结论：垂径定理的推论： 的直径 ，并且 三、例题解析例1：已知⊙O 的半径OA=10㎝，弦AB=16㎝，P 为弦AB 上的一个动点，则OP 的最短距离为典型练习：1、下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2、下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） （A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<4、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ． 四、课堂练习1、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（1） （2） （3）2、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 3、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ．4、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。
《24.1.2垂直于弦的直径》作业设计方案-初中数学人教版12九年级上册
《垂直于弦的直径》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 掌握垂径定理的基本概念，理解垂直于弦的直径的性质和运用。
2. 学会利用垂径定理解决简单的几何问题，培养空间想象能力和逻辑推理能力。
3. 巩固和加深对圆的基本性质和定理的理解，为后续学习打下基础。
二、作业内容1. 复习与预习- 复习前几节课学习的圆的基础知识，如圆的定义、半径、直径等。
- 预习垂径定理的相关内容，了解垂径定理的表述及其在几何中的应用。
2. 练习题- 基础练习：选择几道涉及垂径定理的基本应用题，如证明直径垂直于弦等。
- 拓展练习：设计一些稍微复杂的题目，如利用垂径定理求证线段关系或解决实际问题等。
3. 探究活动- 设计一个简单的探究活动，如让学生利用几何工具自行绘制符合垂径定理的图形，并尝试证明其性质。
- 鼓励学生通过小组讨论，探讨垂径定理在生活中的应用实例。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭或由他人代做。
2. 作业中的基础练习题需全部完成，拓展练习题至少完成一半以上。
在完成作业的过程中，学生需注意审题，理解题目要求，明确解题思路，并规范书写。
对于探究活动，学生需积极参与，主动思考，通过小组讨论，分享彼此的想法和观点，最终得出结论。
四、作业评价教师将根据学生完成作业的情况进行评分，评分标准包括作业的准确性、解题思路的清晰度、书写的规范性以及参与探究活动的积极性等方面。
对于表现优秀的学生，教师将给予表扬和鼓励；对于表现欠佳的学生，教师将给予指导和帮助，鼓励其继续努力。
五、作业反馈教师将在下一课时对作业进行讲解和点评，针对学生在作业中出现的错误和不足进行指导，并总结垂径定理的应用方法和技巧。
同时，教师也将根据学生的表现和反馈，对教学方案进行及时的调整和改进，以更好地满足学生的学习需求。
通过以上作业设计方案，我们希望能够帮助学生更好地掌握垂直于弦的直径这一知识点，提高其几何学习的能力和兴趣。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 巩固学生对垂直于弦的直径的理解，掌握其基本性质和定理。
垂径定理1导学案
24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【导学过程】一．自主学习（一）回顾复习：（独立完成下列各题）1.如图：AB是⊙O______；CD是⊙O______；⊙O中优弧有__________；劣弧有__________。
2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。
（二）自主探究（一）自主探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）自主探究二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。
二、合作交流（一）你还能用其他的方法给出证明吗？垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
符号语言：∵CD是⊙O_____，AB是⊙O______，且CD__AB于M∴____=_____，_____=______，_____=______。
(二)合作探究二：用垂径定理解决问题已知：⊙O的直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，求：弦AB的长。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距（圆心到弦的距离），构造Rt△.弦（a）半径（r）弦心距（d），三个量关系为。
简“半径半弦弦心距”。
（三）巩固练习1．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则BC =____，AC =____ ；CE=______2.已知：AB为⊙O的弦，AB=24cm, 圆心O到AB的距离为5cm, 求⊙O的直径3.已知：⊙O的直径AB=20cm，∠B=30°,求：弦BC的长三、展示提升：（1）如图，两圆都以点O为圆心，求证:AC=BD（2）圆中有两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离四、盘点收获OBCA。
24.1.2-3圆的垂直定理及弦、弧、圆心角
A
M└
●
B O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
垂径定理及推论
条件 ①② ①③ 结论 命题
A
M└
●
B
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 .
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
A C O D A C O B (2) D A C
O B
(1) B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
（7）平分弦的直径垂直于弦
C B O A C B C O A D A O E D (6)
AB CD ，____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ 相 等
A E B
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ 因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO，BO=DO， 所以△AOB ≌ △COD.
练习
D
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
A
B E A
O
O
C C
B
C
B
D
O E C B
O
D
A
E D
B
A
E C
B
一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
人教版(2012)九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径 教案
24.1.2 垂直于弦的直径③你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
④你能用几何方法证明这些结论吗？⑤你能用符号语言表达这个结论吗？3.火眼金睛：判断下列图形，能否使用垂径定理。
归纳：定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
练习：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
3.垂径定理推论①把条件和结论中的CD⊥AB，AE=BE互换，结论成立吗？平分弦（非直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；②你能证明这个推论吗？③条件中的非直径可以去掉吗？能不能举个例子说明④你能用符号语言表达这个结论吗？4.“知二推三”并进行练习。
（1）若CD⊥A B, CD是直径,________,_________._______（2）若 CD是直径，AE=BE，则________,_________._______（3）若CD⊥AB,AE=BE，则________,_________._______（4）若CD是直径，弧AC=弧BC，则________,_________._______灵活应用提高能力简单应用例1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．反思：从此题的解决过程中，你得到什么启示？归纳：1、两条辅助线：连半径、作弦心距2、一个Rt△：半径、半弦、弦心距3、两个定理：垂径定理、勾股定理此题由学生独立思考,并讲解思路，教师可让学生自己进行评判.并让学生板演。
此题属于基本应用，让学生了解弦心距、半弦、半径组成的直角三角形是圆中常用的直角三角形，更深入的研究在下节课中研究。
本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。
小结升华与达标训练 小结升华（1）本节课你学到了哪些数学知识？（2）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？（3）这些方法中你又用到了哪些数学思想？达标测试：1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊙AB于E，则下列结论中不成立的是（）A、⊙COE=⊙DOEB、CE=DEC、OE=AED、弧BD=弧BC第1题第2题2、如图，OE⊙AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=_____cm。
人教版九年级上册垂径定理的推论
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
（8） （9）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直 径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
（10）平分弦所对的两条弧的直径过圆心， 并且垂直平分弦．
条件 结论
命题
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对
①⑤ ②③④ 的另一条弧．
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 ②⑤ ①③④ 分弦和所对的另一条弧．
2
2
OD=OC－CD=R－
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
C
D
B
OA2=AD2+OD2
R
即 R22+（R－）2
O
解得 R（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为．
随堂练习
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对
的两弧．
（）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一弧．
（√ ）
A
B
D
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
注意 为什么强调这里的弦不是直径？
M
A
一个圆的任意两
条直径总是互相平分，
但它们不一定互相垂 直．因此这里的弦如
C
O
果是直径，结论不一
定成立．
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活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的
C
直线是它的对称轴
（2）弧:线⌒AC段=：B⌒CA,A⌒ED=B=BE⌒D
·O
E
A
B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个 D
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
条件 结论
垂径定理及推论 A M└ B ●O 命题
①② ①③ ①④ ①⑤
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D条弧.
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
半 AC圆,重⌒AD合分，⌒别点与AB与C点、⌒BB重D合重，⌒合A．E与BE重合，
即并直 且径 平分CDA⌒垂B直 及于A⌒C弦BAB，平分弦AB,
A
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
C
·O
E B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
“知二推三”
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （7）平分弦的直径垂直于弦
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 _______A_B__⊥__C_D__（__或__A_C__=_A_D__，__或__B_C_=__B_D_）_________________， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
那么弦AB的弦心距是_____ 5 3 c m
O
D
A
B
弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则
这弓形所在的圆的半径为 1 3 c m . 4
C
A
D
B
O
已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O 的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等
∴四边形ADOE为矩形，
∵ OE⊥AC OD⊥AB
C
∴
AE1AC， AD1AB
2
2
又 ∵AC=AB
E
·O
∴ AE=AD
A
D
B
∴ 四边形ADOE为正方形.
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的推论
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的
个数为 （ A ）
A
A、3 B、2 C、1 D、0
。 O
C
D
B
活 动 三 练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：Q O EA B
A
AE1AB184
22
在Rt△AOE中
E
B
·
O
A O 2O E2A E2
§ 24.1.2 垂直于弦的直径（ 第1课时）
重点：垂径定理及其推论
难点：垂径定理及其推论ຫໍສະໝຸດ 题设和 结论的区分知识点: 1.圆的对称性 2.垂径定理及其推论
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且
①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
练习
D
O
A
E
C
A
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
B
B
E O
C
A A
CE
O
B
D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
B
C
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O
到AB的距离是____2_______cm，AB=___4______cm.
A
C
D
E
。
O
B 第1题图
。
O
A
H
B
第2题图
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm 答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明：Q O E A C O D A B A B A C
O E A 9 0 o E A D 9 0 o O D A 9 0 o
于_2___5_c_m_
小结
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦 直径平分弧 =>
直径垂直于弧所对的弦
常用辅助线: 垂直于弦的直径