相似三角形中位线与位似图形变换中考压轴题附答案解析

相似三角形压轴题精选（中位线与位似）
一．选择题（共9小题）
1．（漳州模拟）△ABC的三边长分别为a、b、c，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第2009中点三角形的周长为（）
A．B．C．D．
2．（铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）
A．5.5 B．5C．4.5 D．4
3．（泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）
A． 4 B．3C．2D．1
第3题第4题第5题
4．（烟台）如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（）A．h2=2h1B．h2=1.5h1C．h2=h1D．
h2=h1
5．（太原）如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG 是正方形．若DE=2cm，则AC的长为（）
A．cm B．4cm C．cm D．cm
6．（锦州）如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）
A．1cm2B．1.5cm2C．2cm2D．3cm2
第6题第7题
7．（铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（）
A．28 B．32 C．18 D．25
8．（江津区）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形
A n
B n
C n
D n．下列结论正确的有（）
①四边形A2B2C2D2是矩形；②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是④四边形A n B n C n D n的面积是．
A．①②B．②③C．②③④D．①②③④
第8题第9题
9．（青岛）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（）
A．
（，n）B．（m，n）C．
（m，）
D．
（）
二．填空题（共9小题）
第10题第11题第12题
10．（鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_________．
11．（乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为
_________．
12．（枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为
_________．
13．（铁岭）如图，点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，连接A1F、B1G、C1H、D1E得四边形A2B2C2D2，以此类推得四边形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面积为S，则四边形A n B n C n D n的面积为_________．
第13题第14题
14．（惠安县质检）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，
再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…，则：
（1）线段AB与A4B4的数量关系是_________；
（2）四边形A5A4B4B5的面积为_________．
15．（翔安区模拟）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于N，那么S△DMN：S四边形ANME
=_________．
第15题第16题第17题
16．（张家界）已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为
_________．
17．（咸宁）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC 交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF的周长为_________．
18．（槐荫区二模）正方形ABCD与正方形OEFG中，点D和点F的坐标分别为（﹣3，2）和（1，﹣1），则这两个正方形的位似中心的坐标为_________．
三．解答题（共6小题）
19．（常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
20．（岳池县模拟）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，F，E分别是对角线AC，BD的中点．
求证：EF=（BC﹣AD）．
21．（顺义区）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
22．几何证明
（1）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交．求证：FG=（AB+BC+AC）．
（2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变（如图1），线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
23．（潍坊）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=a，DC=b，BC=a+b，且a≤b．取AD的中点P，连接PB、PC．
（1）试判断三角形PBC的形状；
（2）在线段BC上，是否存在点M，使AM⊥MD？若存在，请求出BM的长；若不存在，请说明理由．
24．（江西模拟）图①，②，③，④都是由24个边长为1的小正方形组成的4×6的网格，请你分别在图②，③，④的网格中只用直尺各画一个三角形．
要求：
（1）都与图①中的三角形相似，但四个三角形任何两个都不全等．
（2）三角形顶点都是网格中小正方形的顶点．
相似三角形压轴题精选（图形变换）
一．选择题（共8小题）
1．（莆田）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）
A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
第1题第2题第3题
2．（武汉）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）
A．（13，13）B．（﹣13，﹣13）C．（14，14）D．（﹣14，﹣14）
3．（德州）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）
A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）
4．（深圳）已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（）
A．a＜﹣1 B．
﹣1＜a＜C．
﹣＜a＜1
D．
a＞
5．（黄埔区一模）如图，若△A'B'C'与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C’的坐标是（）
6．（红河州）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（﹣1，﹣2），则点P关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，1）
7．（保康县模拟）已知点P关于x轴的对称点是P1，点P1关于原点O的对称点是P2，点P2的坐标为（3，4），则点P的坐标是（）
A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，﹣4）
8．（江西样卷）如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（）
A．（a﹣2，b）B．（a+2，b）C．（﹣a﹣2，﹣b）D．（a+2，﹣b）
二．填空题（共6小题）
9．（聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为_________（用n表示）．
10．（兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为_________．
11．（达州）已知P1点关于x轴的对称点P2（3﹣2a，2a﹣5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是_________．
12．（娄底）如图，A、B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b=_________．
13．（铁岭）如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′，则平移后点B的对应点B′的坐标为_________．
14．（钦州）如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是_________．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（漳州模拟）△ABC的三边长分别为a、b、c，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第2009中点三角形的周长为（）
A．B．C．D．
解：根据中位线定理，第一个中点三角形的周长是原三角形的；
第二个中点三角形的周长是第一个中点三角形的；
第三个中点三角形的周长是第二个中点三角形的，…
于是，第2009中点三角形的周长为（××××…×）（a+b+c）=．
故选B．
点评：本题重点考查了三角形的中位线定理，证得中点三角形的周长是原三角形周长的一半以及找到各中点三角形之间的数量关系是解题的关键．
2．（铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）
A．5.5 B．5C．4.5 D．4
解：解方程x2﹣8x+15=0得：x1=3，x2=5，
则第三边c的范围是：2＜c＜8．
则三角形的周长l的范围是：10＜l＜16，
∴连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m的范围是：5＜m＜8．
故满足条件的只有A．
故选A．
点评：本题考查了三角形的三边关系以及三角形的中位线的性质，理解原来的三角形与中点三角形周长之间的关系式关键．
3．（泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）
A．4B．3C．2D．1
解答：解：连接DE并延长交AB于H，
∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
∴△DCE≌△HAE（AAS），
∴DE=HE，DC=AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF=BH，
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，
∴EF=1．
故选D．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线的判定和性质，解题的关键是连接DE和AB相交构造全等三角形，题目设计新颖．
4．（烟台）如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（）
A．h2=2h1B．h2=1.5h1C．h2=h1D．
h2=h1
考点：三角形中位线定理．
专题：压轴题；探究型．
分析：直接根据三角形中位线定理进行解答即可．
解答：解：如图所示：
∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD，
∴OC∥BD，
∴OC是△ABD的中位线，
∴h1=2OC，
同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则h2=2OC，∴h1=h2．
故选C．
点评：本题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
5．（太原）如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG 是正方形．若DE=2cm，则AC的长为（）
A．cm B．4cm C．cm D．cm
考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理求出CE，即可得出AC 的长．
解答：解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE=BC，
∵DE=2cm，
∴BC=4cm，
∵AB=AC，四边形DEFG是正方形．
∴△BDG≌△CEF，
∴BG=CF=1，
∴EC=，
∴AC=2cm．
故选D．
点评：本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质以及正方形的性质，是基础题，比较简单．
6．（锦州）如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）
A．1cm2B．1.5cm2C．2cm2D．3cm2
考点：三角形中位线定理．
专题：压轴题；整体思想．
分析：根据题意，易得MN=DE，从而证得△MNO≌△EDO，再进一步求△ODE的高，进一步求出阴影部分的面积．
解答：解：连接MN，作AF⊥BC于F．
∵AB=AC，
∴BF=CF=BC=×8=4，
在Rt△ABF中，AF==，
∵M、N分别是AB，AC的中点，
∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN=8÷2=4，
∴NM=BC=DE，
∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，
∴阴影三角形的高是AF÷2=1.5÷2=0.75，
∴S阴影=4×0.75÷2=1.5．故选B．
点评：本题的关键是利用中位线的性质，求得阴影部分三角形的高，再利用三角形的面积公式计算．
7．（铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（）
A．28 B．32 C．18 D．25
考点：三角形中位线定理．
专题：压轴题．
分析：延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．
解答：解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，
∴△ABN≌△AEN，
∴AE=AB=6，BN=NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE=2MN=2×1.5=3，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25，
故选D．
点评：本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题．
8．（江津区）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形
A n
B n
C n
D n．下列结论正确的有（）
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形A n B n C n D n的面积是．
A．①②B．②③C．②③④D．①②③④
考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
专题：压轴题；规律型．
分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形A n B n C n D n的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
解答：解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；
∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
故本选项错误；
②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5=A3B3=×A1B1=××AC，B5C5=B3C3=×B1C1=××BD，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）=；
故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形A n B n C n D n的面积是；
故本选项正确；
综上所述，②③④正确．
故选C．
点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
9．（青岛）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（）
A．
（，n）B．（m，n）C．
（m，）
D．
（）
考点：位似变换；坐标与图形性质．
专题：压轴题．
分析：根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．
解答：解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），
∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（）．
故选D．
点评：此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键．
二．填空题（共9小题）
10．（鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是11．
考点：三角形中位线定理；勾股定理．
专题：压轴题．
分析：利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．
解答：解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC===5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四边形EFGH的周长=6+5=11．
故答案为：11．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
11．（乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为．
考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
专题：压轴题．
分析：延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，从而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，点F是CG中点，
判断出DF是△CBG的中位线，继而可得出答案．
解答：解：延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF=∠CAF，
∵AF垂直CG，
∴∠AFG=∠AFC，
在△AFG和△AFC中，
∵，
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴AC=AG，GF=CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=．
故答案为：．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，同学们要注意培养自己的敏感性，一般出现即是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．
12．（枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为．
考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
专题：压轴题．
分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长
解答：解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，
∴DF=AB=2.5，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=4，
∴EF=DE﹣DF=1.5，
故答案为1.5．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中
位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13．（铁岭）如图，点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，连接A1F、B1G、C1H、D1E得四边形A2B2C2D2，以此类推得四边形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面积为S，则四边形A n B n C n D n的面积为
．
考点：三角形中位线定理；菱形的性质．
专题：压轴题；规律型．
分析：由E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，得到A1H=C1F，又A1H∥C1F，利用一组边长平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形A1HC1F为平行四边形，根据平行线间的距离相等及平行四边形与三角形的面积公式，可得出四边形A1HC1F的面积等于△HB1C1面积的2倍，等于△A1D1F面积的2倍，而这三个的面积之和为菱形的面积S，可得出四边形A1HC1F面积为菱形面积S的一半，再由平行线等分线段定理得到A2为A1D2的中点，C2为C1B2的中点，B2为B1A2的中点，D2为D1C2的中点，利用三角形的中
位线定理得到HB2=A1A2，D2F=C1C2，可得出A1A2B2H和C1C2D2F都为梯形，且高与平行四边形
A2B2C2D2的高h相等（设高为h），下底与平行四边形A2B2C2D2的边A2D2与x相等（设A2D2=x），分别利用梯形的面积公式及平行四边形的面积公式表示出各自的面积，得出三个面积之比，可得出平行四边形
A2B2C2D2的面积占三个图形面积的，即为四边形A1HC1F面积的，为菱形面积的，同理得到四边形A3B3C3D3的面积为菱形面积的（）2，以此类推，表示出四边形A n B n C n D n的面积即可．
解答：解：∵H为A1B1的中点，F为C1D1的中点，
∴A1H=B1H，C1F=D1F，
又A1B1C1D1为菱形，∴A1B1=C1D1，
∴A1H=C1F，又A1H∥C1F，
∴四边形A1HC1F为平行四边形，
∴S四边形A1HC1F=2S△HB1C1=2S△A1D1F，
又S四边形A1HC1F+S△HB1C1+S△A1D1F=S菱形A1B1C1D1=S，
∴S四边形A1HC1F=S，
又GD1=B1E，GD1∥B1E，
∴GB1ED1为平行四边形，
∴GB1∥ED1，又G为A1D1的中点，
∴A2为A1D2的中点，
同理C2为C1B2的中点，B2为B1A2的中点，D2为D1C2的中点，
∴HB2=A1A2，D2F=C1C2，
又A1A2B2H和C1C2D2F都为梯形，且高与平行四边形A2B2C2D2的高h相等（设高为h），
下底与平行四边形A2B2C2D2的边A2D2与x相等（设A2D2=x），
∴S梯形A1A2B2H=S梯形C1C2D2F=（x+x）h=xh，S平行四边形A2B2C2D2=xh，
即S梯形A1A2B2H：S梯形C1C2D2F：S平行四边形A2B2C2D2=3：3：4，
又S梯形A1A2B2H+S梯形C1C2D2F+S平行四边形A2B2C2D2=S四边形A1HC1F，
∴S平行四边形A2B2C2D2=S四边形A1HC1F=S，
同理S四边形A3B3C3D3=（）2S，
以此类推得四边形A n B n C n D n的面积为（）n﹣1S或．
故答案为：（）n﹣1S或．
点评：此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，平行线等分线段定理，以及平行四边形与三角形面积的计算，利用了转化的数学思想，是一道规律型试题，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键．
14．（惠安县质检）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…，则：
（1）线段AB与A4B4的数量关系是A4B4=AB；
（2）四边形A5A4B4B5的面积为．
考点：三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．
专题：压轴题；规律型．
分析：（1）根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，求解即可；
（2）根据相似三角形的性质通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律即可求出四边形A5A4B4B5的面积．
解答：解：（1）∵AC、BC两边的中点为A1、B1，
∴A1B1=AB，
同理：A2B2=A1B1，A3B3=A2B2，A4B4=A3B3，
∴A4B4=AB，
故答案为：A4B4=AB；
（2）∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，
且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C的面积为1×=，
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积﹣△A1B1C的面积==1﹣，
∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积﹣△A2B2C的面积=﹣==，
∴第5个四边形的面积==．
故答案为：．
点评：本题考查了三角形的中位线性质定理和相似三角形的性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
15．（翔安区模拟）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于N，那么S△DMN：S四=1：5．
边形ANME
考点：三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．
专题：常规题型；压轴题．
分析：根据三角形的中位线定理，把各边的关系转化为面积的关系来解答．
解答：
解：DE是中位线，所以S△ADE=S△ABC，
S四边形DBCE=S△ABC，
连接AM，AE=CE，所以S△AEM=S△MEC
所以S△MEC=×S△ABC=S△ABC，
所以S四边形DBCM=（﹣）S△ABC=S△ABC，
∵DM：BC=1：4，
所以S△NDM：S四边形DBCM=1：15．
所以S△NDM=S△ABC
S△AMN=（﹣）S△ABC=S△ABC S四边形ANME=（+）S△ABC=S△ABC
所以S△NDM：S四边形ANME=：=1：5．
点评：
解答此题，首先根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出S△ADE=S△ABC，便可找到突破口解答．
16．张家界）已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为2．
考点：梯形中位线定理；等边三角形的性质．
专题：压轴题；动点型．
分析：分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
解答：解：如图，分别延长AE、BF交于点H．
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．
∵CD=6﹣1﹣1=4，
∴MN=2，即G的移动路径长为2．
点评：本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点．
17．（咸宁）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC 交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF的周长为28．
考点：梯形中位线定理；菱形的判定与性质．
专题：压轴题；探究型．
分析：先根据EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形，再由BE平分∠ABC 且交CD于E可得出∠FBE=∠EBC，由EF∥BC可知，∠EBC=∠FEB，故∠FBE=∠FEB，由此可判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中点，AD=2，BC=12求出EF的长，进而可得出结论．
解答：解：∵EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，
∴四边形BGEF是平行四边形，
∵BE平分∠ABC且交CD于E，
∴∠FBE=∠EBC，
∵EF∥BC，
∴∠EBC=∠FEB，
∴∠FBE=∠FEB，
∴四边形BGEF是菱形，
∵E为CD的中点，EF∥BC，AD=2，BC=12，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=（AD+BC）=×（2+12）=7，
∴四边形BGEF的周长=4×7=28．
故答案为：28．
点评：本题考查的是梯形中位线定理及菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形BGEF是菱形是解答此题的关键．
18．（槐荫区二模）正方形ABCD与正方形OEFG中，点D和点F的坐标分别为（﹣3，2）和（1，﹣1），则这两个正方形的位似中心的坐标为（﹣1，0）或（5，﹣2）．．
考点：位似变换；坐标与图形性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：由图形可得两个位似图形的位似中心必在x轴上，连接AF、DG，其交点即为位似中心，进而再由位似比即可求解位似中心的坐标．
解答：解：当位似中心在两正方形之间，
连接AF、DG，交于H，如图所示，则点H为其位似中心，且H在x轴上，
∵点D的纵坐标为2，点F的纵坐标为1，
∴其位似比为2：1，
∴CH=2HO，即OH=OC，
又C（﹣3，0），∴OC=3，
∴OH=1，
所以其位似中心的坐标为（﹣1，0）；
当位似中心在正方形OEFG的右侧时，如图所示，连接DE并延长，连接CF并延长，
两延长线交于M，过M作MN⊥x轴，
∵点D的纵坐标为2，点F的纵坐标为1，
∴其位似比为2：1，
∴EF=DC，即EF为△MDC的中位线，
∴ME=DE，又∠DEC=∠MEN，∠DCE=∠MNE=90°，
∴△DCE≌△MNE，
∴CE=EN=OC+OE=3+1=4，即ON=5，MN=DC=2，
则M坐标为（5，﹣2），
综上，位似中心为：（﹣1，0）或（5，﹣2）．
故答案为：（﹣1，0）或（5，﹣2）
点评：本题主要考查了位似变换以及坐标与图形结合的问题，能够熟练运用位似的性质求解一些简单的位似计算问题．
三．解答题（共6小题）
19．（常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题：压轴题．
分析：（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；
证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，
（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；
解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明
△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；
证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE 和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．
解答：（1）证法一：
如答图1a，延长AB交CF于点D，
则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF．
证法二：
如答图1b，延长BM交EF于D，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M是AF的中点，
∴AM=MF，
在△ABM和△FDM中，
，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EBM=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EBM=∠ECF，
∴MB∥CF；。