高等数学积分思想

【总结2】定积分与不定积分

1.有关三角函数的不定积分的凑微分法 (1)⎰⎰=);(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f (2)⎰⎰-=);(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f (3);)(tan )(tan sec )(tan cos )(tan 2

2⎰⎰⎰==x d x f xdx x f x

dx x f (4);)(cot )(cot csc )cot (sin )

(cot 22⎰⎰⎰-==x d x f xdx x f x

dx x f (5)⎰⎰=);(sec )(sec tan sec )(sec x d x f xdx x x f (6)⎰⎰-=).(csc )(csc cot csc )(csc x d x f xdx x x f

2.利用下列微分关系式凑微分，求不定积分 (1))cos (sin 2cos x x d xdx =

(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=-===)

(cos )(cos cos 2)

(sin )(sin sin 2cos sin 22sin 2

2

x d x xd x d x xd xdx x xdx (3))()'()1()]([)](')([x x x xe d dx xe dx x e x xu d dx x xu x u ==+=+特别地，有 (4)

)1(122

x d dx x x ±±=±

(5))ln ()ln (x e d dx x e x

e x x x

=+

(6))ln ()ln 1(x x d dx x =+ (7)|)tan sec |(ln sec sin x x d xdx x

dx

+== (8)

|)cot csc |(ln csc cos x x d xdx x

dx

-==

(9)勿忘等效替换 1

cot csc 1tan sec 2

2

22=-=-x x x x

3.满足以下结构的题型

x

d x c x

b x a cos sin cos sin ++⎰

将其化为以下形式待定系数法求解：

x

d x c x d x c x d x c cos sin )'

cos sin ()cos sin (21++++λλ

3.同乘x

e -的题型

【例】⎰+x e dx

1

【解1】分子分母同时乘以x

e -，有以下成立：

C e e e d e dx e x x x x x ++-=++-=+=-----⎰⎰)1ln(1

)1(1原式

同时乘以x e 是同样可行的。但是涉及到第二类换元法，解法

如下： 【解2】

⎰⎰+==+=对分母进行配方得令原式2

2

)(t t dt e

t e e de x

x x x

C

e e C

t t a t x C a x a x a a x t x x

++=++==

+=++-=--+=⎰

⎰

1

ln |1|ln 2

1

,21||ln 211)21()21(1

222

2其中满足公式

【定积分的应用】

4.定积分求弦长的公式

①平面直接坐标下，假设有曲线y.则弦长为

∫√1+(y′)2dx

b

a

②参数方程下，假设有曲线参数方程如下

{x=φ(t)

y=ϕ(t)

(t为参数)

那么所求的曲线弦长为：

∫√φ′(t)2+ϕ′(t)2

b

a

dt

③极坐标下，若有曲线ρ=ρ(Θ),那么曲线弦长是：

∫√ρ2(θ)+ρ′2(θ)

b

a

dθ

5.定积分求面积的公式

①平面直角坐标下

∫F(X)dx

b

a

②极坐标下

∫1 2

b

a

ρ2(θ)dθ

6.定积分求体积的公式

①y=f(x)在y∈(a,b)上的图像绕x轴旋转一周所围成的几何体

的体积

V =π∫f(x)2dx b

a

②y=f(x)在x ∈(a,b)上的图像绕y 轴旋转一周所围成的几何体的体积

先化成x=g(y)的形式，然后

V =π∫g(y)2dy b

a

7.遇到很复杂的定积分但是上下限是互为相反数的，优先检查被积函数奇偶性，通过奇偶性性质来求解。

0为中间节点拆成两个区间，使用反常积分办法求解。

8.一些可用的结论

①∫xf (sinx )dx =

π2

∫f (sinx )dx π

0π

=π∫f (sinx )dx.π2

0 ②∫f n (

sinx )dx =∫f n (cosx )dx π2

π

2

. ③I n =∫sin n xdx π

2

0=∫cos n xdx π2

(由②)

={n −1n ∙n −3n −2∙n −5n −4∙…∙34∙12∙π

2，n 为正偶n −1n ∙n −3n −2∙n −5n −4∙…∙45∙2

3

，n 为正奇

9.注意牛顿——莱布尼茨公式的使用条件

牛顿——莱布尼茨公式的适用条件是 不连续的函数必须要在间断点处将区间拆分为两节，使用反常积分办法求解。如以下例题：

【例】求积分∫dx

1+x 2

.1−1 【错解】 原式=

−∫d(1

x )1+(1x )

2

1

−1

=

[−arctan 1x

]−1

1

=−π

2

.

【错因】倘若有1

x

出现，则在x=0处被积函数无意义。因此应

将积分拆开分为两步求解。 【正解】

∫dx 1+x 2

=[arctanx 1−1](-1~1)=π2

.

【微分方程归纳Summary of Linear Differential Equation 】 1.一阶线性微分方程Linear Differential Equation of the First Order

dy

dx

+P (x )y =Q (x ).