实际问题和二次函数(面积问题)

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实际问题与二次函数(1)

D
C B A
25m
实际问题与二次函数（1）
探究1：面积问题
例题：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？针对训练（一）
用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ，这个矩形的长，宽各为多少时？菜园的面积最大，面积是多少？针对训练（二）
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如下图）．设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
探究（二）利润问题
例题：已知某商品的进价为每件40元。

现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；如何定价才能使利润最大？
针对训练（一）
商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件。

每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
针对训练（二）
某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？。

实际问题与二次函数(面积问题)

分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值.
矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 (60 ml) ，场地的面积: S=l(30-l) 即(0S<=-ll<2+3300)l
2
要用总长为60米的铁栏杆，一面靠墙围成一个矩形的花圃，怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？
解：设AB为x米，BC为（60－2x）米，
22.3 实际问题与二次函数 (面积最大问题)
1. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 x=-4 ，顶点坐标是（-4，- .当x= -4 时，函数有最_大__ 值是 1 . 1）
2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 x=2 ，顶点坐标是（2,1）.当x= 2时，函数有最__小_____ 值是 1 .
矩形面积为y米2，则
A
D
y x60 2x (0<X<30)
即y 2x2 60 x
B
C
2x 152 450
当x=15时，y有最大值=450
这时，AB=15米，BC=60-2x=30米
所以当围成的花圃与墙垂直的一边15米，与墙平行的
一边长30米时，花圃的面积最大，最大面积为450米2
新知2 利用二次函数求图形的最大面积问
第1题
A
D
B
C
第2题
达标检测反思目标
A A
25
用二次函数的知识解决图形面积等问题的一般步骤：
把实际问题转化为数学问题
二次函数
问题求解
找出实际问题的答案
3.如何求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值？写出求二次函数最值的公式
（1）配方法求最值（2）公式法求最值

二次函数与实际问题

二次函数与实际问题(总11页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--实际问题与二次函数一、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值1、只围二边的矩形的面积最值问题例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

（1）设矩形的一边长为米），面积为y （平方米），求y 关于x的函数关系式；（2）当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大最大面积是多少解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=；又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧-（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

2、只围三边的矩形的面积最值例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。

问如何围，才能使养鸡场的面积最大解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米），根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=；又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。

3、围成正方形的面积最值例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm由题意得： 17)420()4(22=-+x x解得： 4,1621==x x 当161=x 时，20-x=4；当42=x 时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。

《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问题》教学反思

《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问
题》的教学反思
《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问题》是九年制义务教育新课程标准九年级第二十二章第三节第一课时的内容。

首先以一般式为例复习二次函数的图象与性质，然后以现实中很多抛掷球类问题可以用二次函数来表示引入新课。

探究一中，学生通过建立平面直角坐标系、求解析式、确定图象与x轴的交点坐标得出小球运动时间和特定时刻的高度。

随之，教师引导学生及时归纳总结最值问题及表达形式。

探究二中，学生通过列实际问题的二次函数解析式，逐步探究熟悉的围篱笆问题，重点研究自变量的取值范围和最值问题。

同时也夯实了学生们心中的疑惑，因为之前学生掌握的一条规律，但又不知道为什么。

在周长一定的情况下，围成什么形状时，面积更大。

22.3实际问题与二次函数面积问题

小球运动的时间是 3 s 时，小球最高．小球运动中的最大高度是 45 m．
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，
b 当 x 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小 2a 4ac b 2 ．（大）值 y 4a
方法点析
构造二次函数在几何图形中的应用，主要是求几何图
形的面积最大值的问题，求解这类问题，只要能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理、
全等三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，构造
出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解．
探究1：
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随矩形一边长L的变化而变化，当L是多少米时，场地的面积S 最大？分析：先写出S关于L的函数关系式
再求最大值。
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？解：整理得:
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2 2 ( 2 ) y 4 x 8x 10 (1) y 6 x 12x ；
2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？
引例
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位： m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ b 30 t 3， 2a 2 （ 5） 2 2 4ac b 30 h 45． 4a 4 （ 5）

实际问题与二次函数反思

《实际问题与二次函数—面积问题》教学反思今天解决《实际问题与二次函数（第1课）》，这节课重点解决实际问题中的面积问题，我的目的是通过这节课我能解决三个问题 1.建立二次函数关系式；2.用配方法或公式法求最值；3.自变量的最值范围与最值的关系。

在课前我一直认为第一点不用建立坐标系不会太难，并且矩形面积对初三学生来说不会有什么问题，所以有在上课时对图形的认识这一点的分析上是欠缺的，当发现矩形的一边为x另一边很多学生表示成60-2x 时，我发现学生在建函数关系式时分析图形能力比较差，所以在变式练习1、2、3我就先放手让学生写关系式，同时加强巡查及对学生的指导，然后分析学生错误给出正确遥解答。

通过变式之后，学生基本能解决全闭合矩形与半闭合矩形和多边矩形的面积与过的关系，从而正确列出函数关系式。

后面我附加了一个自变量的取值不在取值范围内，如何求函数最大值问题，学生演板，效果还不错。

在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=x m.(1)若花园的面积为192 m2,求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值.通过本节课的教学，启示我们在教学中要紧密结合实际，让学生学有所用，在教学中应注意以下几个问题：（一）把实际问题数学化。

首先要深入了解实际问题的背景，了解影响问题变化的主要因素，然后在舍弃问题中的非本质因素的基础上，应用有关知识把实际问题抽象成为数学问题，并进而解决它。

（二）函数的教学应注意自变量与函数之间的变化对应。

函数问题是一个研究动态变化的问题，让学生理解动态变化中自变量与函数之间的变化对应，可能更有助于学生对函数的学习。

（三）二次函数的教学应注意数形结合。

要把函数关系式与其图像结合起来学习，让学生感受到数和形结合分析解决问题的优势。

实际问题与二次函数(一)几何图形面积问题(课件)-2022-2023学年九年级数学上册(人教版)

60 x
1 2
1
S
• x x 30 x ( x 30) 2 450
2
2
2
4.当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
18
不正确.
5.如何求自变量的取值范围？
0＜x≤18.
6.如何求最值？
由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.
【点睛】实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶
直线x=h
抛物线
点坐标是_______.
(h,k)
b
1
1
BQ=t∴S=S△ABC－S△PBQ= ×AB×CB－ ×PB×QB
2
2
1
1
= ×8×6－ ×（8－2t）×t=t2－4t+24（0≤t≤4）
2
2
9.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点
A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度
(1)求出S与x之间的函数关系式；
(2)求健身活动区域的面积S的最大值．
解：(1)由题意解得：
= 40 × 30 − 4 − 5 = −4 2 + 20 + 1200；
6 ≤ ≤ 10
例1.某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身广场；
设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5

人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数面积问题优秀教学案例

3.创设问题情境，引导学生主动探究，激发学生的学习兴趣。
4.结合学生的兴趣和经验，设计富有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中，提高数学素养。
（二）问题导向
1.引导学生发现生活中的问题，将其转化为数学问题，激发学生的思考。
2.设计具有逻辑顺序的问题，引导学生逐步深入，提高学生的思维能力。
3.通过提问，引导学生反思自己的学习过程，培养学生的自我监控能力。
2.学生通过归纳总结，提高对二次函数的理解，为后续学习打下基础。
3.教师对学生的讨论成果进行点评，给予肯定和鼓励，增强学生的自信心。
（五）作业小结
1.布置具有代表性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固课堂所学。
2.要求学生撰写作业心得，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，提高自我监控能力。
3.通过解决实际问题，让学生进一步理解二次函数的图象与性质，提高学生的数学素养。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
（二）过程与方法
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式来解决问题，培养学生的数学思维能力和团队合作能力。
2.利用多媒体教学手段，展示二次函数在实际问题中的应用，帮助学生建立直观的数学模型。
3.强调团队合作，让学生在合作交流中，培养良好的沟通能力和团队协作精神。
4.通过对实际问题的解决，使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，提高学生的数.结合生活实际，设计具有代表性的例子，让学生在具体的情境中，感受到二次函数在实际问题中的应用。
2.利用多媒体手段，展示二次函数图象，使学生能够直观地理解二次函数的性质。
（三）学生小组讨论
1.学生分组讨论，每组选择一个实际问题进行研究，尝试运用二次函数的知识解决问题。

数学人教版九年级上册实际问题与二次函数问题(面积问题)

二次函数与图形面积
1．(六盘水中考)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )
A ．60 m 2
B ．63 m 2
C ．64 m 2
D ．66 m 2
2．(咸宁中考)用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形，那么a 的值不可能为( )
A ．20
B ．40
C ．100
D ．120
3．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )
A.6425 m 2
B.43 m 2
C.83 m 2 D ．4 m 2
4．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，
用80 m 长的篱笆围一个矩形场地．
当AD ＝________时，矩形场地的面积最大，最大
值为________．
6．将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________ cm 2.
7．(淮安中考)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．。

实际问题与二次函数教案

§26.3.1实际问题与二次函数（面积问题）教学任务分析教学流程安排教学过程设计例21．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12。

用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC，AB，BC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？2．计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道。

如图，现有一张半径为45mm的磁盘（1）磁盘最内的磁道半径为rmm，其上每0.015的弧长为1个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？1小题融入了运动的观点，培养学生用运动的观点看待事物与实际相联系增强学生解决实际问题的能力[活动3] 总结反思检测反馈1．抓住图形的特点进行建模2．注意实际问题的自变量的取值范围检测：用一段长30m的篱笆，围城一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m。

这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积为多少？通过小结和检测回顾本节内容，反馈课堂学习效果[活动4] 布置作业拓展升华作业：目标P96 1、2、P97 4思考题：1．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB上一点，F是AD的延长线上一点，BE＝DF。

四边形ADGF是矩形，则矩形ADGF的面积随BE的长x的变化而变化，y与x之间的关系可以用怎样的函数关系来表示？2．已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？3．如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四边上。

四边形EFGH也是正方形。

当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从A开始沿边AB向B以2的速度移动，动点Q从B开始沿边BC以4的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积随S出发时间如何变化？写出函数关系式及t的取值范围通过作业在一次内化知识，构建知识系统。

《实际问题与二次函数》课件面积问题

∴当矩形的一边长是15米时，它的面积最大。
牛刀小试
问题2：现要用60米长的篱笆围成一个矩形（一边靠墙且墙足够长）的养鸡场地。设矩形与墙平行的一边长为x米，应怎样围才能使矩形的面积s最大。请设计出你的方案并求出最大面积。
解：由题意，得：即s与x之间的函数关系式为： s=－x2+30x ∴这个二次函数的对称轴是：x=30 又由题意，得：解之，得： ∴当x=30时，s最大值=450 ∴当与墙平行的一边长为30米，另一边长为15米时，围成的矩形面积最大，最大值是450平方米。
们是学习数学的主人
生活是数学的源泉，我
22.3
实际问题与二次函数
第1课时二次函数与图形面积
课题
1.掌握图形面积问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求图形面积的最值；
2.会应用二次函数的性质解决实际问题.
1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是是是
反思感悟
通过本节课的学习，我的收获是 ······ ？我的困惑是······？
1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如
何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.
2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式关系写出二次函数表达式是解决问题的关键.
（3，5）
x=3 5
，顶点坐标，顶点坐标，顶点坐标
.当x= 3 时，y的最小值是
.
x=-4
2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是
（-4，-1） .当x= -4 时，函数有最___ 大
值，是 -1 .
x=2
3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是是（2,1）

实际问题与二次函数_详细讲解与练习(含答案)

.. .. ..初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）一、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值1、只围二边的矩形的面积最值问题例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

（1）设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x的函数关系式；（2）当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。

解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=；又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、只围三边的矩形的面积最值例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。

问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米），根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=；又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。

点评：如果设养鸡场的宽为x ，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。

实际问题和二次函数“最大面积问题”

实际问题和二次函数1. 教学目标1.能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决面积最大值问题；2.能根据实际意义求出自变量的取值范围；3.在探究二次函数的实际意义中学会分析问题，体会数学建模思想以及数学与生活的紧密联系性。

2. 教学重点/难点将实际问题转化为二次函数问题，并能用配方法或公式法求出顶点坐标。

教学过程一、设计问题，创设情境师：八年级我们学习了一次函数，同学们回顾一下：我们都是从哪些方面学习了一次函数？学生回答师：仿照一次函数的学习过程，我们已经学习了二次函数的定义、图像与性质。

本节课我们将要学习实际问题与二次函数，在正式学习新课之前，大家做一做下面的问题：出示问题1：用总长为40m的篱笆围成矩形场地，（1）怎样围成一个面积是75m2的矩形场地？（2）能否围成一个面积是150m2的矩形场地，若能说出围法；若不能，说明理由。

学生独立完成，教师巡视指导，完成后，学生讲解做法，教师适当引导，若存在问题，其他学生补充。

（3）设矩形一边的长度为xm，面积为ym2，求矩形的最大面积。

师生活动：引导学生写出函数关系式，教师出示函数图像，学生结合图像求出矩形的最大面积。

追问：能否围成面积为130m2，80m2的矩形，你能马上判断出来吗？学生判断。

设计说明：学生在接触实际问题与二次函数之前，已经学习了实际问题与一元二次方程，从一元二次方程实际问题引入，学生比较容易接受，另一方面也让学生体会到一元二次方程与二次函数之间的联系。

同时，通过解决此问题，能使学生初步了解运用二次函数的知识解决实际问题的一般步骤。

二、信息交流，例题讲解在现实生活中，人们为了节省材料，常常借助墙作为花圃的一边，此时你能解决这个问题吗？问题2：欲用长为60m的篱笆，围成一个矩形的花圃，花圃一面靠墙，怎样围才能使花圃的面积最大？最大面积是多少？师生活动：１．学生尝试，教师巡视指导，若做题过程中存在困难，小组讨论；2．学生尝试解答题目，初步形成做题思路。