运筹学图与网络分析课件

[例] 求上例中的最小支撑树
v1
5
v2
7.5 4
5.5
3
v5
2
解：
v3 3.5 v4 v1
5
v2
7.5 4
5.5
3
v5
2
v3 3.5 v4
算法2（避圈法）：从某一点开始，把边按权从 小到大依次添入图中，若出现圈，则删去其中最 大边，直至填满n-1条边为止（n为结点数） 。
v1
5
v2
7.5 4
5.5
v2
v3
链与路中的点均不相同，则称为初等链 (路)类似可定义初等圈（回路）
4、连通图
任何两点之间至少存在一条链的图称为连通图， 否则称为不连通图。
例 ： G1为不连通图， G2为连通图
G1
G2
5、支撑子图
图G=(V，E)和G'=(V ' ，E ')，若V =V ' 且E'
E ，则称G' 为G的支撑子图。
道路相连，问至少要铺几条路？
5.5
3
v5
2
v3 3.5 v4
解： 该问题实为求图 的支撑树问题，
共需铺4条路。 v2
v1 v5
v3
v4
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8
e2
e5
e6
v2
v3
e1
e4 e7
v1
e3
v4 e8
v5
e2
e5
e6
v3
v5
v2
e4
v1 e2 v3
v4 e8
v5
e6
三、最小支撑树问题
最小支撑树：求网络的支撑树，使其权和最小。
算法1（破圈法）： ①在给定的赋权的连通图上找一个圈； ②在所找的圈中去掉一条权数最大的边(若有两条
或两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉 其中一条)： ③若所余下的图已不含圈，则计算结束，所余下的 图即为最小支撑树，否则，返问①。
e4 [v3 , v4 ] e6 [v3 , v5 ]
e7 [v3 , v5 ] e8 [v5 , v6 ]
e9 [v6 , v6 ] e10 [v1 , v6 ]
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }，
v2
A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , v1
二、图的支撑树
若一个图 G =（V , E）的支撑子图 T=（V , E´） 构成树，则称 T 为G的支撑树，又称生成树。
例
(G1)
(G2)
(G)
(G3)
(G4)
图的支撑树的应用举
例
v1
[例] 某地新建5处居民点，拟修
5
道路连接5处，经勘测其道路可铺 v2
成如图所示。为使5处居民点都有
7.5 4
E
I
A 3.5
2
C
2
4
G
5
1S
25
4
5
3
3K
B2
2 F 2 26 J
D
H
一、树的概念与性质
树：无圈的连通图，记为T。
(A)
(B)
(C)
树的性质： （1）树的任2点间有且仅有1链； （2）在树中任去掉1边，则不连通；故树是使图保持 连通且具有最少边数的一种图形 （3）在树中不相邻2点间添1边，恰成1圈； （4）若树T有m个顶点，则T有m-1条边。
4
1
3
v3
[联系]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区 各用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所 需的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设 计一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
I
A 3.5
2
C
2
4
G
5
1S
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
5
3
3K
B2
2
F
2
2 6
J
D
H
[练习]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区 各用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所 需的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设 计一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
点表示研究对象 边表示研究对象之间的特定关系
p114
2、图的分类
无向图，记作G=(V，E) 图
有向图，记作D=(V，A)
有向图的边 称为弧。
例1：哥尼斯堡桥问题的图为一个无向图。
例2：五个球队的比赛情况，v1
v2 表示v1胜v2。
v5
v1
v4
v2
v3
e1
例
v1
e2
v2
e10
e5 e3 e4 v4
例 ：G2为G1的支撑子图
v5
v5
v1
v4 v1
v4
v2
v3
G1
v2
v3
G2
例 ： G2 是G1 的子图；
v2
e1 v1
e6 e7
e2
v3
e8 e9
e3
v7
e10 v4 e11 e4
v6 e5 v5
(a)
v2
v3
e1 v1
e9
e6
e7
v7
e10 e11
v4
v6
v5
(c)
6、赋权图（网络）
图的每条边都有一个表示一定实际含义的权数， 称为赋权图。记作D=(V，A，C)。
第5章 图论与网络分析
网络分析
图的基本概念 最小支撑树问题 最短路径问题 网络最大流问题
图论起源：哥尼斯堡七桥问题
A
A
C
D
C
D
B
B
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？
结论：每个结点关联的边数均为偶数
§1
1. 图
图的基本概念
由点和边组成，记作G=(V，E)，其中 V=(v1，v2，……，vn)为结点的集合， E=(e1，e2，……，em) 为边的集合。
v4 v6
(v2 , v5 ) , (v3 , v5 ) , (v4 , v5 ) , (v5 , v4 ) , (v5 , v6 ) }
v3
v5
图2
3、链与路、圈与回路
无向图： 链 点边交错的序列 圈 起点=终点的链
有向图： 路 点弧交错的序列 回路 起点=终点的路
v5
v5
v1
v4
v1
v4
v2
v3
例：
v1
5 v2
7.5 4
5.5
3 v5
2
v3 3.5 v4
§2 最小支撑树问题
本节主要内容：
树
支撑树
最小支撑树
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
v6 e9
e8
e6
v5 e7 v3
图1
V v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 , v6
E {e1，e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 }
e1 [v1 , v2 ] e2 [v1 , v2 ]
e3 [v2 , v3 ] e5 [v1 , v3 ]
3
v5
2
v3 3.5 v4
v1
5
v2
3
4 v5
2
v3 3.5 v4
最小生成树举例：
某六个城市之间的道路网如图 所示，要求沿着已 知长度的道路联结六个城市的电话线网，使电话线
的总长度最短。
v3 5 v5
6
4
v1
17 3
v6
5
2
4
v2
v4
v3
v5
v1
1
3
v6
5
2
4
v2
v4
v2
1
3
5
2
v4
v1
2 v5