二次函数和图形变换ppt课件
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人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件
课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
26.2二次函数的图象与性质(第2课时)课件(共12张PPT)
为0 。
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C
)
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
4.已知抛物线y=2x2-＜1上有两点(x1,y1 ) ,(x1,y1 ) 且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
5.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并 且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该 二次函数解析式。
1.5
1
0.5
y3x2 1
1
2
-0.5
-1
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 y 1x2 2 3
5 4
y
3 y 1 x2 2
3
3 2
的图像
1
x
–5 –4 –3 –2 –1O –1
–2
y 1x2 2
–3
3
–4
–5
12345
y 1 x2 2 3
y 1 x2 3
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图 象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
1
-6 -4 -2
2
4
6
x y=3x2 y=3x2–1
… –1 –0.6
…3
1.08
…2
0.08
（2）二次函数 y=3x²－1 的图 象与二次函数
y=3x²的图象有 什么关系？
-2
-1
–0.3
0
0.3
0.27
0
0.27
–0.73 – 1 –0.73
y 3x2
2
0.6 1 … 1.08 3 … 0.08 2 …
谢谢观赏
You made my day!
二次函数图象的变换-人教新课标版PPT课件
x
2021/7/24
16
考点y研究3： 旋转
9
8 7
6
zxxkw
5 4 3
2
2.将抛物线y 1 (x 4)2 4 2
绕原点旋转180度，
会得到哪条抛物线？
（4，4）
y 1 (x 4)2 4 2
1
3 2 1 0 1 2 3 4 5
x
1
2
（－4，－4）
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17
三、方法小结
的图象是抛
物线,若抛物线不动,把x轴、y轴分别向上、向右平
移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是
zxxkw
_y_=_2_(_x_+_2__)2_-_2_.
2021/7/24
(-2，-2)
22
4、（2007.德阳市）如图 已知 与x轴交于点
A(1,0)和B(5,0)的抛物线 l1 的顶点为 C(3,4)，抛物线 l2 与 l1 关于x轴对称，顶
zxxkw
学.科.网
2021/7/24
1
课前检测：
1、抛物线y=－(x－1)2+3的开口方向是向下 ； 顶点坐标是（1，3） ，对称轴为直线x=1 。
2、 抛物线 是
y
；
1 x2 2x 1 （2 －2，－3）
的开口方向 向上
直线x=－2
顶点坐标是
为
。
，对称轴
2021/7/24
2
二：考点研究1： 平移
y 3(x 1)2 1
x (-1,-1)
（草图）
2021/7/24
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四、巩固知识：
y 2(x 1)2 3
二:轴对称、旋转 已知抛物线C1:y=2x2+4x+5 (1).抛物线C2与C1关于x轴对称,求抛物线C2的解析式. (2).抛物线C3与C1关于y轴对称,求抛物线C3的解析式. (3)将抛物线C1 绕原点在平面内旋转180度得抛物线C4, 求抛物线C4的解析式 (4)将抛物线 C1绕其顶点在平面内旋转180度,得到抛物
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考点y研究3： 旋转
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8 7
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zxxkw
5 4 3
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2.将抛物线y 1 (x 4)2 4 2
绕原点旋转180度，
会得到哪条抛物线？
（4，4）
y 1 (x 4)2 4 2
1
3 2 1 0 1 2 3 4 5
x
1
2
（－4，－4）
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三、方法小结
的图象是抛
物线,若抛物线不动,把x轴、y轴分别向上、向右平
移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是
zxxkw
_y_=_2_(_x_+_2__)2_-_2_.
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(-2，-2)
22
4、（2007.德阳市）如图 已知 与x轴交于点
A(1,0)和B(5,0)的抛物线 l1 的顶点为 C(3,4)，抛物线 l2 与 l1 关于x轴对称，顶
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课前检测：
1、抛物线y=－(x－1)2+3的开口方向是向下 ； 顶点坐标是（1，3） ，对称轴为直线x=1 。
2、 抛物线 是
y
；
1 x2 2x 1 （2 －2，－3）
的开口方向 向上
直线x=－2
顶点坐标是
为
。
，对称轴
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二：考点研究1： 平移
y 3(x 1)2 1
x (-1,-1)
（草图）
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四、巩固知识：
y 2(x 1)2 3
二:轴对称、旋转 已知抛物线C1:y=2x2+4x+5 (1).抛物线C2与C1关于x轴对称,求抛物线C2的解析式. (2).抛物线C3与C1关于y轴对称,求抛物线C3的解析式. (3)将抛物线C1 绕原点在平面内旋转180度得抛物线C4, 求抛物线C4的解析式 (4)将抛物线 C1绕其顶点在平面内旋转180度,得到抛物
二次函数的图像和性质ppt课件
二次函数的图像和性质ppt课件
contents
目录
• 引言 • 二次函数的定义和公式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的实际应用 • 总结与回顾 • 课后作业与思考题
01 引言
课程背景介绍
01
二次函数是数学中基础知识之一 ，掌握好二次函数的图像和性质 对于后续学习代数、几何等数学 领域都有重要的意义。
二次函数的定义
01
02
03
定义
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、 $c$是常数，$a \neq 0$ ）的函数叫做二次函数。
解释
二次函数是包含未知数的 二次多项式的函数，其未 知数的最高次数为2。
示例
$y = 2x^2 + 3x - 4$是 一个二次函数。
二次函数的公式
01
02
03
04
当x增大时，如果a>0，y值会 随之增大；如果a<0，y值会
随之减小。
当x增大时，如果a>1，y值会 快速增大；如果0<a<1，y值
会缓慢增大。
当x减小时，如果a>0，y值会 随之减小；如果a<0，y值会
随之增大。
当x减小时，如果a>1，y值会 快速减小；如果0<a<1，y值
会缓慢减小。
减。
当$\Delta = 0$时，函
数有一个实根；当
$\Delta < 0$时，函数
没有实根。
极值：当$a > 0$时，二 次函数在区间$(-\infty, -b/2a)$上单调递增，在 区间$(-b/2a,+\infty)$ 上单调递减，此时$b/2a$为极小值点；当 $a < 0$时，二次函数在 区间$(-\infty, -b/2a)$ 上单调递减，在区间$(b/2a,+\infty)$上单调递 增，此时$-b/2a$为极 大值点。
contents
目录
• 引言 • 二次函数的定义和公式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的实际应用 • 总结与回顾 • 课后作业与思考题
01 引言
课程背景介绍
01
二次函数是数学中基础知识之一 ，掌握好二次函数的图像和性质 对于后续学习代数、几何等数学 领域都有重要的意义。
二次函数的定义
01
02
03
定义
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、 $c$是常数，$a \neq 0$ ）的函数叫做二次函数。
解释
二次函数是包含未知数的 二次多项式的函数，其未 知数的最高次数为2。
示例
$y = 2x^2 + 3x - 4$是 一个二次函数。
二次函数的公式
01
02
03
04
当x增大时，如果a>0，y值会 随之增大；如果a<0，y值会
随之减小。
当x增大时，如果a>1，y值会 快速增大；如果0<a<1，y值
会缓慢增大。
当x减小时，如果a>0，y值会 随之减小；如果a<0，y值会
随之增大。
当x减小时，如果a>1，y值会 快速减小；如果0<a<1，y值
会缓慢减小。
减。
当$\Delta = 0$时，函
数有一个实根；当
$\Delta < 0$时，函数
没有实根。
极值：当$a > 0$时，二 次函数在区间$(-\infty, -b/2a)$上单调递增，在 区间$(-b/2a,+\infty)$ 上单调递减，此时$b/2a$为极小值点；当 $a < 0$时，二次函数在 区间$(-\infty, -b/2a)$ 上单调递减，在区间$(b/2a,+\infty)$上单调递 增，此时$-b/2a$为极 大值点。
《二次函数图象》PPT课件
-2
-3 -4
-5
-6 -7
y=－x2
-8 -9
-10
5
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都
是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在
空中所经过的路线. 这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
y y=x2
y
o
x
y=－x2的图像叫做抛物线y=－
x2. 实际上,二次函数的图像 o
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;
y
a>0
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是
抛物线的最高点;
o
x
|a|越大,抛物线的开口越小;
.
a<0
16
请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
(0,0) 最低点 y轴 向上
(0,0) 最高点 y轴 向下
.
增 减增增 大 小大大
增 增增减 大 大大小
17
8
y=x2
7
6
5
4
3
2
接各点,就得到y=x2的
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
图像.
.
4
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
y 1
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y),
再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=-x2的图 像.
.
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
x
都是抛物线.
它们的开口向上或者向下.
一般地,二次函数y=ax2+bx+c
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
二次函数(复习课)课件
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
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04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
全效优等生
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全效优等生
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
全效优等生
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
全效优等生
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
全效优等生
全效优等生
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诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
二次函数图像与性质(共44张PPT)
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
顶点坐标
是点(1,0).
想一想,在同一坐标系中作二次函数
y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x1)2的值随x值的增大而增大 ?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少？
2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的1 值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取-4什么-值3时,-y2的值最-1小?最0 小值1是什么2？你是3如何4知道的x ？ -2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
二次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形 式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数 y=3(x-1)2的图象．
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
想一想
比较函数y 3x2与y 3x1的2 图象
右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y
在同一坐标系中作出函数 y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
顶点坐标
是点(1,0).
想一想,在同一坐标系中作二次函数
y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x1)2的值随x值的增大而增大 ?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少？
2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的1 值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取-4什么-值3时,-y2的值最-1小?最0 小值1是什么2？你是3如何4知道的x ？ -2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
二次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形 式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数 y=3(x-1)2的图象．
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
想一想
比较函数y 3x2与y 3x1的2 图象
右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y
在同一坐标系中作出函数 y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1
《二次函数》ppt课件
判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。
《二次函数》PPT优秀课件
说一说以上二次函数解析式的各项系数.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
22.1.1 二次函数 课件(共26张PPT)
22.1.1 二次函数
二次函数
22.1.1 二次函数
学习目标
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题； 3. 能根据实际问题列二次函数关系式.（难点）
22.1.1 二次函数
知识回顾
1. 什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且
22.1.1 二次函数
想一想 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点?
y = 6x2 m 1 n2 1 n
22
y = 20x2 + 40x + 20
函数都是用 自变量的二次整
式表示的
22.1.1 二次函数
归纳总结 二次函数的定义：
一般地，形如 y = ax²+ bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的 函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式 的二次项系数、一次项系数和常数项.
(7) 次y=数x是²+1x³+25（否）
自变量的最高次数是3
(8) y =2²+2x （否） 自变量的最
高次数是1
22.1.1 二次函数
例2 y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
m2 7 1,
解：（1）由题可知,
m
3
0,
解得
温馨提示：
(1) a，b，c 为常数，且 a≠0； (2) 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项.
22.1.1 二次函数
典例精析
二次函数
22.1.1 二次函数
学习目标
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题； 3. 能根据实际问题列二次函数关系式.（难点）
22.1.1 二次函数
知识回顾
1. 什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且
22.1.1 二次函数
想一想 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点?
y = 6x2 m 1 n2 1 n
22
y = 20x2 + 40x + 20
函数都是用 自变量的二次整
式表示的
22.1.1 二次函数
归纳总结 二次函数的定义：
一般地，形如 y = ax²+ bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的 函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式 的二次项系数、一次项系数和常数项.
(7) 次y=数x是²+1x³+25（否）
自变量的最高次数是3
(8) y =2²+2x （否） 自变量的最
高次数是1
22.1.1 二次函数
例2 y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
m2 7 1,
解：（1）由题可知,
m
3
0,
解得
温馨提示：
(1) a，b，c 为常数，且 a≠0； (2) 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项.
22.1.1 二次函数
典例精析
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2、轴对称：此图形变换包括x轴对称 和关于y轴对称两种方式
二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状 不变，但开口方向相反，因此a值为原来的 相反数。顶点位置改变，只要根据关于x轴 对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标， 即可确定其解析式。
二次函数图像关于y轴对称的图像，其形 状和开口方向都不变，因此a值不变。但 是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对 称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即 可确定其解析式。
1、平移：二次函数图像经过平移变换不会 改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。 顶点位置将会随着整个图像的平移而变化， 因此只要按照点的移动规律，求出新的顶 点坐标即可确定其解析式。
Ma例1.将二次函数的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式 ke Presentation much more fun
二次函数和图形 变换
二次函数是初中数学中最精彩的内容之一， 也是历年中考的热点和难点。其中，关于函 数解析式的确定是非常重要的题型。
图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种 变换，那么二次函数的图像在其图形变化（平 移、轴对称、旋转）的过程中，如何完成解析 式的确定呢？解决此类问题的方法很多，关键 在于解决问题的着眼点。我认为最好的方法是 用顶点式的方法。因此解题时，先将二次函数 解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据 具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐 标及a值。
例2.求抛物线 关于x轴以及y轴对称的抛物线的解 析式。 分析： ， a值为1,其顶点坐标为（1,-4），若关于x 轴对称，a值为-1,新的顶点坐标为（1,4），故解 析式为 ; 若关于y轴对称，a值仍为1,新的顶点坐 标为（-1,-4），因此解析式为
2
y x 1 4
3、旋转：主要是指以二次函数图像的顶点 为旋转中心，旋转角为180°的图像变换， 此类旋转，不会改变二次函数的图像形状， 开口方向相反，因此a值会为原来的相反数， 但顶点坐标不变，故很容易求其解析式。
例1.将二次函数的图像向上 平移2个单位，再向右平移1个 单位，得到的新的图像解析式 为_____Office
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分析：将化为顶点式 ,a值为1,顶点坐标为 （1,-4），将其图像向上平移2个单位，再 向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动， 其坐标为（2,-2），由于平移不改变二次函 数的图像的形状和开口方向，因此a值不变， 2 故平移后的解析式 y x 2 2
例3.将抛物线绕其顶点旋转180°，则所得的抛物 线的函数解析式为________ 分析：中，a值为1,顶点坐标为（1,-4），抛物线 绕其顶点旋转180°后，a值为-1,顶点坐标不变，故 解析