《二次函数的性质》课件.ppt

质 (4)抛物线有最低点，当 x＝ (4)抛物线有最高点，
－2ba时，y 有最小值，ymin 当 x＝－2ba时，y 有最大值，
4ac－b2 ＝ 4a
4ac－b2
ymax＝
4a
配方法是研究二次函数最值及对称轴、顶点坐标 等的基本方法，在探究出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的对称轴后，其图像的对称性及单调性就会较直观地 反应在大脑中．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
a>0
a<0
图 像
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) (1)抛物线开口向 上 ， (1)抛物线开口向 下 ，
并向上无限延伸
并向下无限延伸
性 质 (2)对称轴是 x＝－2ba ，(2)对称轴是 x＝ －2ba ，
(3)①当t>1时， f(x)在[t，t＋1]上单调递增， 所以当x＝t时，f(x)取得最小值， 此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增， 故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.
③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(t)在[t，t＋1]上单调递减，
3．本例条件不变，试比较 f(－1)与 f(13)，f(－43)与 f(23)， f(－53)与 f(1)的大小关系，并归纳出一个使上述关系 式成立的式子．(不必证明) 解：∵|－1－(－13)|＝|13－(－13)|， |－43－(－13)|＝|23－(－13)|，
|－53－(－13)|＝|1－(－13)|，结合二次函数关于 x＝－13对称 可知
[精解详析] ∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴 为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的，故当 x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3； (2)当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上是先减后增的，故当 x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2， 又|－2－1|>|3－1|， ∴f(x)的最大值为f(－2)＝11；
f(－1)＝f(13)，f(－43)＝f(23)， f(－53)＝f(1)． 由上述等式的变量间的关系可归纳出一个恒等式： f(－13＋x)＝f(－13－x)，x∈R.
[例2] 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3， (1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值； (2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值； (3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)． [思路点拨] (1)、(2)可就f(x)＝(x－1)2＋2的对称轴与区 间的情况直接求最值，(3)可分析x＝1与区间[t，t＋1]的关系， 就x＝1是否落在区间[t，t＋1]内展开讨论．
1．下列区间中，使函数 y＝－2x2＋x 是增函数的是 ( )
A．R
B．[2，＋∞)
C.14，＋∞
D.－∞，14
解析：函数 y＝－2x2＋x＝－2x－142＋18的图像的对称轴
是直线 x＝14，图像的开口向下，所以函数在对称轴 x＝14的
左边是增加的．
答案：D
2．(1)若f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数，求实数 a的取值范围． (2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax的增区间为(－∞，2)，求 实数a的值． 解：∵f(x)＝－(x－a)2＋a2，其函数图像开口向下，对 称轴为x＝a. (1)∵f(x)的增区间为(－∞，a]， 由题意(－∞，a]⊇(－∞，2)， ∴a≥2.即实数a的取值范围是：[2，＋∞) (2)由题意，f(x)的对称轴为x＝a＝2，即a＝2.
所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
t2－2t＋3， t>1，
综上得 g(t)＝2，
0≤t≤1，
t2＋2，
t<0.
[一点通] 求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值 的步骤： (1)配方，找对称轴； (2)判断对称轴与区间的关系； (3)求最值．若对称轴在区间外，则 f(x)在[m，n]上单 调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴 取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．
对于给定的二次函数y＝－2x2＋8x＋24. 问题1：将该二次函数化成顶点式． 提示：顶点式为y＝－2(x－2)2＋32. 问题2：该函数的单调区间是什么？ 提示：单调增区间为(－∞，2]，减区间为[2，＋∞)． 问题3：当自变量x取何值时，函数的图像达到最高点？ 提示：当x＝2时，函数的图像达到最高点．
[例 1] 已知函数 y＝f(x)＝3x2＋2x＋1. (1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)已知 f(－23)＝1，不计算函数值，求 f(0)； (3)不直接计算函数值，试比较 f(－34)与 f(145)的大小．
[路点拨]
[精解详析] ∵y＝f(x)＝3x2＋2x＋1＝3(x＋13)2＋23. (1)顶点坐标为(－13，23)，对称轴是直线 x＝－13； (2)∵f(－23)＝1，又|0－(－13)|＝13， |－23－(－13)|＝13， 所以结合二次函数的对称性可和 f(0)＝f(－23)＝1；
(3)由 f(x)＝3(x＋13)2＋23知二次函数图像开口向上，且 对称轴为 x＝－13，所以离对称轴越近，函数值越小．
又|－34－(－13)|<|145－(－13)|， ∴f(－34)<f(145)．
[一点通] 1．已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般 先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k， 进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h. 2．比较两点函数值大小，可以先比较两点离对称轴的 距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的 大小关系，也可以将要比较的两个点转化到同一单调区间上， 再利用函数的单调性比较它们的大小．
顶点坐标是
顶点坐标是
(－2ba，4ac4－a b2)
(－2ba，4ac4－a b2)
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
(3)在区间 (－∞，－2ba] (3)在区间 (－∞，－2ba]
上是减函数，在区间
上是增函数，在区间
性 (－2ba，+∞] 上是增函数 (－2ba，+∞] 上是减函数