初中数学竞赛专题：方程组

初中数学竞赛专题：方程组 §4．1方程组的解法4．1．1★已知关x 、y 的方程组()21,221 3.ax y a x a y +=+⎧⎪⎨+-=⎪⎩①② 分别求出当a 为何值时,方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解,解析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结为一元一次方程ax b =的形式进行讨论,但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零． 由①式得()21y a ax =+-,③将③代入②得()()()()122a a x a a -2+=-+．④当()210a a -+≠（）,即2a ≠且1a ≠-时,方程④有唯一解21a x a +=+,将此x 值代入③有 ()121y a =+, 因而原方程组有唯一一组解．当()()210a a -+=,且()()220a a -+≠时,即1a =-时,方程④无解,因此原方程组无解． 当()()210a a -+=且()()210a a -+=时,即2a =时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有 无穷多组解．评注对于二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩,（1a 、2a 、1b 、2b 为已知数,且1a 与1b ,2a 与2b 中都至少有一个不为零）． （1）当1122a b a b ≠时,方程组有唯一的解 2112122112211221b c b c x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩（2）当111222a b c a b c ==时,原方程组有无穷多组解． （3）当111222a b c a b c =≠时,原方程组无解． 4．1．2★对k 、m 的哪些值,方程组()214y kx my k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩至少有一组解？解析由原方程可得()214kx m k x +=-+．即()14k x m -=-．（1）当1≠k 时,方程有唯一解41m x k -=-,从而原方程组有唯一解． （2）当1k -,4m =时,方程有无穷多个解,从而原方程组也有无穷多组解． 综上所述,当1k ≠且m 为任意数,或1k =且4m =时,方程组至少有一组解． 4．1．3★已知关于x 、y 的二元一次方程()()12520a x a y a -+++-=．当a 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解． 解析1根据题意,可分别令1a =,2a =-代入原方程得到一个方程组：330,390.y x +=⎧⎨-+=⎩解之得3,1.x y =⎧⎨=-⎩将3x =,1y =-代入原方程得()()()1321520a a a -⋅++⋅-+-=．所以对任何a 值3,1x y =⎧⎨=-⎩都是原方程的解．评注取1a =为的是使方程中()10a x -=,方程无x 项,可直接求出y 值；取2a =-的道理类似． 解析2可将原方程变形为()(2)250a x y x y +----=．由于公共解与a 无关,故有20,250.x y x y +-=⎧⎨--=⎩解之得公共解为3,1.x y =⎧⎨=-⎩4．1．4★★已知0xyz ≠,且20x y z ++=,5440x y z +-=,求22222610345x y z x yz z+--+的值． 解析已知代数式中含有x 、y 、z 三个字母,而等式只有2个,在一般情况下是不可能求出x 、y 、z 的具体值来的．因此,可以把已知条件中的z 视为常数,得到关于x 、y 的方程组,从而找出x 、y与z 的关系,由此可求出其值．把已知等式视作关于x 、y 的方程,z 视作常数,得关于x 、y 的方程组20,5440.x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩解得2,3.2x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩因为0xyz ≠,所以0z ≠,于是()()32222222222326106102334532452z z z x y z x yz z z z z⎛⎫+-- ⎪+-⎝⎭=-+⎛⎫⋅--+ ⎪⎝⎭22222227410152126546z z z z z z +-==++． 4．1．5★若x 、y 的值满足方程组3234571103,177543897,x y x y +=⎧⎨+=⎩①② 求422445x x y y ++的值．解析由①+②得50010002000x y +=,即24x y +=．③由③得：42x y =-．④ 把④代入①得：()323424571103y y -+=．解得1y =,把1y =代人④得：2x =,所以方程组解为2,1.x y =⎧⎨=⎩原式422424215137=+⨯⨯+⨯=．4．1．6★★当a 取何值时,关于x 、y 的方程组5,232x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩有正整数解． 解析解方程组得223,12.3a x a y a -⎧=+⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩所以,a 是被3除余2的整数． 由221,31213a a a -⎧+⎪⎪⎨+⎪++⎪⎩≥≥得15a -≤≤．所以1a =-,2,5．4．1．7★k 为何值时,方程组1,3316kx y y x⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩ （1）当163k -≠,即2k ≠-时,原方程组有唯一解0,1;3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）当113631k --==,即2k =-时,原方程组无穷多组解；（3）由于1331--1=,故方程组不可能无解．4．1．8★若方程组344,12322x y m x y m +=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足0x y +=,求m 的值．解析将x y =-代入原方程组,得4,,5332y m y m =-⎧⎪⎨-=+⎪⎩ 所以,5312302m m -++=,192m =． 4．1．9★甲、乙二人同时求7ax by -=的整数解．甲求出一组解为3,4,x y =⎧⎨=⎩而乙把7ax by -=中的7错看成1,求得一组解为1,2,x y =⎧⎨=⎩求a 、b 的值． 解析 把3x =,4y =代入7ax by -=,得347a b -=． 把1x =,2y =代入1ax by -=,得21a b ==． 解方程组347,21,a b a b -=⎧⎨-=⎩得5,2.a b =⎧⎨=⎩4．1．10★甲、乙两人解方程组513,4 2.ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①② 由于甲看错了方程①中的以而得到方程组的解为3,1;x y =-⎧⎨=-⎩乙看错了方程②中的b 而得到的解为5,4.x y =⎧⎨=⎩假如按正确的a 、b 计算,求出原方程组的解． 解析因为甲只看错了方程①中的a ,所以甲所得到的解3,1x y =-⎧⎨=-⎩应满足无a 的正确的方程②,即 ()()4312b ⨯--⨯-=-．②同理,5,4x y =⎧⎨=⎩应满足正确的方程①,即 55413a ⨯+⨯=．④解由③、④联立的方程组得7,510.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以原方程组应为7513,5410 2.x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-=-⎩ 解之得20,8.2.x y =⎧⎨=⎩4．1．11★★已知方程组35,4x my x ny +=⎧⎨+=⎩无解,m 、n 是绝对值小于10的整数,求m 、n 的值．解析因为方程组1112220,0a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩无解的条件是111222a b ca b c =≠参照这个条件问题便可解决．原方程组可化为350,40.x my x ny +-=⎧⎨+-=⎩因为方程组无解,所以有3514m n =≠, 所以3m n =,且45m n ≠,因为310m n =<,所以,101033n -<<,又因为n 是整数,所以3n =-, 2-,1-,0,1,2,3,相应地9m =-,-6,-3,0,3,6,9．所以,当9,3,m n =-⎧⎨=-⎩6,2,m n =-⎧⎨=-⎩3,1,m n =-⎧⎨=-⎩0,0,m n =⎧⎨=⎩3,1,m n =⎧⎨=⎩6,2,m n =⎧⎨=⎩9,3m n =⎧⎨=⎩时,原方程组无解． 4．1．12★已知关于x 和y 的方程组()()345,569,8810,51029x y x y n m x y x m n y +=-⎧⎪+=-⎪⎨--=⎪⎪++=-⎩有解,求22m n +的值． 解析首先解方程组345,569,x y x y +=-⎧⎨+=-⎩得到3x =-,1y =,代入原方程组中后两个方程,得到86,5 3.m n m n -=⎧⎨+=⎩① 再解上面关于m 和n 的方程组,得到913m =,613n =-,22117916913m n +==． 4．4．13★已知2ab a b =+,5ac a c =+,4bcb c=+,求a b c ++的值． 解析根据题意有1,21,51.4a b ab a c ac b c bc +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩111,2111,51114a b a c b c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪⎩①②+=.③ （①+②+③）2÷,得1111940a b c ++=．④ ④-①得1140c =-,40c =-． ④-②得11140b = ,4011b =． ④-③得1940a =,409a =． 所以()404031604091199a b c ++=++-=-． 4．1．14★如果方程组,5311x y m x y +=⎧⎨+=⎩的解是正整数,求整数m 的值．解析解方程组得113,25112m x m -⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩①y =.② 因为x 、y 都是正整数,所以1131,2511 1.2mm -⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩≥≥ 解得1335m ≤≤． 因为m 是整数,所以3m =．将3m =代入①和②式,x 、y 的值均为正整数． 故3m =．4．1．15★★解方程组2347,423 2.32x y z x y y z+-=-⎧⎪-+⎨==⎪⎩ 解析因为423232x y y z -+==表示两个方程,即423x y -=和2322y z +=,或者42332x y y z-+=和423x y -=,或者42332x y y z -+=和2322y y+=,所以原方程组实际上是由三个方程组成的三元一次方程组,将原方程组改写为2347,42,323 2.2x y z x yy z⎧⎪+-=-⎪-⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩①②③ 由方程②得64x y =+,代入①化简得11419y z -=-．④由③得234y z +=．⑤ ④3⨯+⑤4⨯得3385716y y +=-+,所以,1y =-．将1y =-代入⑤,得2z =．将1y =-代入②, 得2x =．所以2,1,2x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩为原方程组的解．评注本题解法中,由①、②消去x 时,采用了代入消元法；解④、⑤组成的方程组时,若用代入法消元,无论消去y 还是消去z ,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中z 的系数是一正一负,且系数的绝对值较小这一特征,采用加减消元法较简单． 4．1．16★已知1230,165x y zxy z⎧++=⎪⎪⎨⎪--⎪⎩①=0.②求x y z y x x++的值．解析①-②消去x 得880yz+=,即1y z =-．①3⨯+②消去y 得440x z +=,即1z x=-．①5⨯+②3⨯消去z 得880x y -=,即1x y =．所以,1111x y zy z x++=--=-即为所求． 4．1．17★解方程组5,1,15.x y z y x z x y --=⎧⎪--=⎨⎪--=-⎩①②z ③ 解析将①+②+③,得9x y z ++=．④由④+①得214x =,7x =． 由④+②得210y =,5y =． 由④+③得26z =-,3z =-． 所以,原方程组的解为7,5,3,x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩4．1．18★解方程组1,2,3,4,5.x y z y z u z u v u v x v x y ++=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪-+=⎩①②③④⑤解析注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程： ①+②得3x u +=,⑥ ②+③得5y v +=,⑦ ③+④得7z x +=,⑧ ④+⑤得9u y +=．⑨ 又①+②+③+④+⑤得15x y z u v ++++=．⑩⑩一⑥一⑦得7z =,把7z =代入⑧得0x =,把0x =代入⑥得3u =,把3u =代入⑨得6y =,把6y =代入⑦得1v =-．所以0,6,7,3,1.x y z u v =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 为原方程组的解． 4．1．19★解方程组1124,11411125x y x x y x x y⎧+-=-⎪⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩①+=,②+=.③ 解析①2⨯+②得313x y+=,④ 由③得125x y=-,⑤ 代入④得1125y=, 代入⑤得115x =． 再把115x =,1125y =代入①得13310z =,所以 5,5,121033x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩为原方程组的解．解析2令1A x =,1B y =,1C z=,则原方程化为24,411,2 5.A B C A B C A B ++=-⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩解得15A =,125B =,3310C =,即5,5,121033x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩为原方程组的解,评注解法1称为整体处理法,即从整体上进行加减消元或代人消元（此时的“元”是一个含有未知数的代数式,如1x 、1y等）；解法2称为换元法,也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”,从而简化方程组的求解过程．4．1．20★★解方程组()()()222392522782x y z x x y z x y y z x y z z ⎧+-=-⎪⎪+--⎨⎪+--⎪⎩,①=,②=.③解析原方程组可化为()()()395278.x x y z y x y z x y z ++⎧⎪++⎨⎪++⎩=,①=,②z =③④+⑤+⑥得()2169x y z ++=,故13x y z ++=±．⑦将⑦分别代入④、⑤、⑥,得原方程组的解为1113,4,6,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩2223,4,6.x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 4．1．21★★解方程组53,53,53.x y z a y z x b z x y c -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩①②③解析①2⨯+②-③消去y 、z ,得142x a b c =+-,所以214a b c x +-=．由②2⨯+③-①,得214b c a y +-=． 由③2⨯+①-②,得214c a b z +-=． 所以,原方程组的解为2,142,142,14a b c x b c a y c a b z +-⎧=⎪⎪+-⎪=⎨⎪+-⎪=⎪⎩4．1．22★★解方程组25,28,211,2 6.x y y z z u u x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 解析有原方程得52,82,112,62.x y y z z u u x =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩①②③④ 所以()525282x x y z =--=--()114114112z u =-+=-+-()33833862u x =-=--1516x =-+,即1516x x =-+,解之得1x =,将1x =代入④得4u =.将4u =代入③得3z =.将3z =代入②得2y =．所以原方程组解为1,2,3,4.x y z u =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 4．1．23★★解方程组2111,3111.4x y z y z x z x y ⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩ 解析先把各方程左边通分,再对每个方程两边取倒数,并设x y z k ++=,则原方程可化为2,3,4.xy xz k yz yx k zx zy k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③①+②+③,得92xy yz zx k ++=．④ 用④分别减去①、②、③,可得1,25,23.2xy k yz k zx k ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩显然0x ≠,0y ≠,0z ≠,0k ≠.由上面三式易得3515x y z =∶∶∶∶,又x y z k ++=,所以323x k =,523y k =,1523z k =． 则有35123232k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以22330k =． 所以,原方程组的解为（经检验）23,1023,623.2x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩4．1．24★★解方程组()()122,212 4.3x y xz x x z y z y z ⎪++⎪⎪+=⎨++⎪⎪++=⎪++⎩解析原方程可变形为111,12111,23111.124x y x z y z ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪++⎩解得1724x =,15124y =+,11224z =+． 所以,方程组的解为24,719,522.x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩4．1．25★★解方程组1,21,21.2x y zx y z xy z x yz ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③ 解析①-③得0y zx z yz +--=, 则1y z y x=+-． 把式④代入①、②,整理分别得22232221y y x xy x y +++-=,⑤2223221y y x x xy ++-+=．⑥⑤-⑥得()()10y x xy x -+-=．若y x =,由式⑤得22410x x +-=,解得x将x y =代入式④,得z =． 若10xy x +-=,同理,10yz y +-=． 将11x y =-,1y z y-=代入式①得 3223320y y y --+=．分解因式得()()()21120y y y -+-=．故（x ,y ,z ）为（1-,2,12）、（2,12,1-）（12,1-,2）综上,共有5组解⎝⎭,⎝⎭,（1-,2,12）（2,12,1-） （12,1-,2）．4．1．26★解方程组2224220,3630.x xy x y x xy x y ⎧+--+=⎪⎨+-+=⎪⎩①② 解析②2⨯-①3⨯得4960x y +-=．解方程组24960,3630x y x xy x y +-=⎧⎨+-+=⎩得112,14;9x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩223,2.x y =-⎧⎨=⎩ 4．1．27★解方程组222224220,2240.x xy y x y x xy y x y ⎧-++-+=⎪⎨--+-+=⎪⎩①② 解析②()2⨯-+①得23360y y +-=,所以11y =,22y =-．解方程组221,2240y x xy y x y =⎧⎨--+-+=⎩与222,2240,y x xy y x y =-⎧⎨--+-+=⎩得原方程组的解111,2;x y =-⎧⎨=-⎩224,2.x y =-⎧⎨=-⎩ 4．1．28★解方程组22225,2320.x y x xy y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩①②解析由②得()()220x y x y +-=,所以20x y +=或20x y -=．因此,原方程组可化为两个方程组225,20x y x y ⎧+=⎨+=⎩与225,20.x y x y ⎧+=⎨-=⎩解两个方程组得原方程组的解为111,2;x y =⎧⎨=-⎩221,2;x y =-⎧⎨=⎩332,1;x y =⎧⎨=⎩442,1.x y =-⎧⎨=-⎩ 评注方程组至少有一个方程可以分解为一次方程时,可用因式分解法解．4．1．29★解方程组222238, 4.x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩①② 解析由①-②2⨯得22230x xy y --=,即()()30x y x y +-=,所以0x y +=或30x y -=．所以0x y +=或30x y =-=．分别解下列两个方程组2238,0;x y x y ⎧-=⎨+=⎩2238,30,x y x y ⎧-=⎨-=⎩得原方程组的解为112,2;x y =⎧⎨=-⎩222,2;x y =-⎧⎨=⎩33x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩44x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩评注如果两个方程都没有一次项,可用加减消元法消去常数项,再用因式分解法求解．4．1．30★解方程组2226.x xu y x y ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩ 解析原方程组可变形为()()222 6.x y xy x y xy ⎧++=+⎪⎨+-=⎪⎩①②①2⨯+②得()()2210x y x y +++=+令u x y =+,则22100u u +--=,所以12u =+24u =-,即2x y +=4x y +=--当2x y +=,代入①得xy =2x y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 可得12x =,1y =2x =22y =．当4x y +=--,代入①得6xy =+而方程组46x y xy ⎧+=-⎪⎨=+⎪⎩无实数解．综上所述,方程组的解为112,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩222.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 评注由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x y +和xy 表示,因此在解二元对称方程组时,一定可以用x y +和xy 作为新的未知数,通过换元转化为基本对称方程组．4．1．31★★解方程组5,210.x y =+=⎩①②解析本题是一个对称方程组的形式,观察知它可转化为基本对称方程组的形式．由①得52=．③ 将②代入③,4=,所以16xy =．④由②、④可得基本对称方程组10,16.x y xy +=⎧⎨=⎩ 于是可得方程组的解为112,8;x y =⎧⎨=⎩228,2.x y =⎧⎨=⎩ 4．1．32★解方程组222100,2100.x xy x y xy y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩①②解析本题属于二元轮换对称方程组类型,通常可以把两个方程相减,因为这样总能得到一个方程 0x y -=,从而使方程降次化简．①-②,再因式分解得()()100x y x y -+-=,所以0x y -=或100x y +-=．解下列两个方程组20,2100;x y x xy x -=⎧⎨--=⎩2100,2100,x y x xy x +-=⎧⎨--=⎩得原方程组的四组解为112,0;x y =⎧⎨=⎩2210,310;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩330,10;x y =⎧⎨=⎩4410,0.x y =⎧⎨=⎩ 4．1．33★★★解方程组6,6.①②解析1 用换元法．设45x A +=,45y B +=,则有54A x -=,54B y -=,4A B x y --=．6,6,即12,12.+==⎪⎩③④③-④并平方得594A B -++459A B =+-+,整理得4A B -=, 所以45959AB A AB B A B --+-化得())360A B-=, 360>,因此0A B -=．解方程组12,0,A B =-=⎪⎩得9,9.A B =⎧⎨=⎩经检验,9A B ==适合方程③、④,由此得原方程的解是1,1.x y =⎧⎨=⎩ 解析2①-②得-即=．所以1x -与1y -同号或同为零．由方程①得))330+=,0=, 所以1x -与1y -不能同正,也不能同负．从而10x -=,10y -=．由此解得1,1.x y =⎧⎨=⎩经检验,1x =,1y =是方程组的解． 4．1．34★★★解方程组：2113221122,22,22,22.n n n n n x x x x x x x x x x x x -1-⎧=+⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⋯⋯⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=+⎪⎩解析 本例各方程中,未知数的出现是循环对称的．若用消元法求解将十分困难．故而采用不等式求解．显然方程组的解1x ,2x ,⋯,n x 都同号,且若1x ,2x ,⋯,n x 是方程组的解,则1x -,2x -,⋯,n x -也是方程组的解．故不妨先设()01i x i n >≤≤．因为122n x x x=+≥所以1x,2x ,⋯,n x ． 把方程组的所有方程相加,整理,得1212222n nx x x x x x ⋯⋯+++=+++．① 但12n x x x ⋯+++≥12222n n x x x ⋯+++=≤ 因此要等式①成立,只能12n x x x ⋯====容易检验,12n x x x ⋯====确实原方程组的解． 因此,原方程组有两组解,它们是12n x x x ⋯====4．1．35★★★解方程组：212212232221212122,12,12,12.1n n nn x x x x x x x x x x x x --⎧=⎪+⎪⎪=⎪+⎪⎪⋯⋯⎨⎪⎪=⎪+⎪⎪=⎪+⎩解析1首先有()01i x i n ≥≤≤．再由2211xx+≤（x 为实数）得21212121x x x x =+≤,32x x ≤,⋯,1n n x x -≤, 1n x x ≤；所以11321n n x x x x x x -⋯≤≤≤≤≤≤．只能12n x x x ⋯===．进而求得本题的两组解1270n x x x ⋯===或121n x x x ⋯====．解析2若1x ,2x ,⋯,n x 中有一个为零,则由方程组可推出其余1n -个未知数都是零,则120n x x x ⋯====是原方程组的解．下设()1i x i n ≤≤都不是零,则2122122232212122111,211,211,211;2n n n n nx x x x x x x x x x x x --⎧+=⎪⎪⎪+=⎪⎪⎪⋯⋯⎨⎪+⎪=⎪⎪+⎪=⎪⎩2212322121121,121,121,121;n n nx xx x x x x x -⎧+=⎪⎪⎪+=⎪⎪⎪⋯⋯⎨⎪⎪+=⎪⎪⎪+=⎪⎩ 将所有方程相加,并整理、配方,得222121111110n x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋯-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为2110i x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥,所以只能121111110n x x x ⋯-=-==-=, 121n x x x ⋯====．易知它确实原方程组的解．因此,原方程组的解由两组：120n x x x ⋯====,或121n x x x ⋯====． 4．1．36★★★★已知原方程组：1111221332112222333113223330,0,0.a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 它的系数满足下列条件： （1）11a 、22a 、33a 都是正数； （2）所有其他系数都是负数； （3）每一方程中系数之和是正数．求证：1230x x x ===是已知方程组的唯一解．解析 本例是一个三元线性齐次方程组,1230x x x ===,显然是它的解,因而只要证明已知方程组不存在不全为零的解集即可．用反证法．若方程组有不全为零的解11x k =,22x k =,33x k =,由对称性不设防1k 、2k 、3k 中以1k 为最大,则10k >．于是由110a >,120a <,130a <,1112130a a a ++>,得1111221330a k a k a k =++111122133a k a k a k --≥ 111122133a k a k a k =-- 111121131a k a k a k --≥()11121310a a a k =++>．上面的不等式显然是矛盾的．故已知方程组只有唯一解：1230x x x ===．4．1．37★★解方程组22222228,2226,322231,2222,2328.a a b c d e b a b c d e c a b c d e d a b c d e e a b c d e ⎧=+-++-⎪=---++-⎪⎪=++++-⎨⎪=++++-⎪⎪=++++-⎩解析将这个5个方程相加,得2222642a a b b c c d -+-+-+ 2108550d e e -+-+=,所以()()()()()22222321540a b c d e -+-+-+-+-=, 故（a ,b ,c ,d ,e ）=（3,2,1,5,4）．经检验知,（a ,b ,c ,d ,e ）=（3,2,1,5,4）是方程组的解．初中数学竞赛专题：方程组2（应用题）§4.2应用题4．2．1★小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币,小倩对小玲说：“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍,”小玲对小倩说：“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍．”其中n 为正整数．求n 的可能值的个数．解析设小倩、小玲分别所拥有的钱数为x 元、y 元,x 、y 为非负整数．于是由题设可得()()22,2,x n y y n x n ⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩ 消去x 得()274y n y -=+,()27151521272y n y y -+==+--7． 所以271y -=,3,5,15,得4y =,5,6,11,从而n 分别为8、3、2、1,x 分别为14、7、6、7． 4．2．2★甲、乙两人从相距120千米的两地同时相对而行,6小时后相遇．如果甲、乙每人各多行2千米,那么相遇地点距前一次相遇的地点3千米,求原来甲、乙的速度． 解析设原来甲、乙的速度分别为1v 千米／时,2v 千米／时,则有12120206v v +==． 如果甲、乙每人各多行2千米,则有()111212023622v v v v +±=+++,解得1213,7v v =⎧⎨=⎩或127,13.v v =⎧⎨=⎩所以,甲、乙原来的速度分别是13（千米／时）、7（千米／时）；或者7（千米／时）、13（千米／时）．4．2．3★长90米的列车速度是每小时54千米,它追上并超过长50米的列车用了14秒,如果这两列火车相向而行,从相遇到完全离开要用多少时间？解析 两列火车的追及问题中,（车速1-车速2）⨯追及时间=两列火车的长度之和．丙列火车的相向相遇问题中,（车速1+车速2）⨯相遇时间=两列火车的长度之和． 设长90米的列车速度为154000153600v ==(米/秒),长50米的列车速度为2v （米／秒）．对于追及,则有12905014v v +=-,解得25v =（米/秒）． 所以,两列火车相向而行从相遇至完全离开时所用时间为1290501407155v v +==++（秒）． 评注对于火车行程问题,首先将火车的运动情况分析清楚,再运用一些常用的数量关系式来求解即可．4．2．4★火车通过长82米的铁桥用了22秒,如果它的速度加快1倍,通过162米长的铁桥就只用了16秒,求这列火车原来的速度和它的长度．解析设这列火车原来的速度为v 米／秒,它的长度为l 米．则依题意有8222,16216,2l vl v+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 解得8,94.v l =⎧⎨=⎩．即这列火车原来的速度为8米／秒,它的长度为94米． 4．2．5★某人骑自行车从A 地到B 地,途中都是上坡或下坡路,他以每小时12千米的速度下坡,以每小时4千米的速度上坡．从A 地到B 地用了50分钟,从B 地返回A 地用了112小时．求A 、B 两地相距多少千米？解析设从A 地到B 地,上坡路有x 千米,下坡路有y 千米,则50,412603.1242x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得 1.5,5.5,x y =⎧⎨=⎩1.5 5.57+=（千米）． 所以,A 、B 两地相距7千米．4．2．6★★甲、乙二人骑车在400米环形跑道上进行万米比赛．同时出发后,乙速大于甲速,在第15分钟时甲加快速度,在第18分钟时甲追上乙并开始超过乙,在第23分钟时,甲再次追上乙,而在第23分50秒时,甲到达终点,那么乙到达终点时所用的时间是多少分钟？解析设出发时甲的速度为a 米／分,乙的速度为b 米／分,第15分钟甲加速后的速度为c 米／分,依题意得()()()18151815,2318400,51523151000,6b a c c b a c ⎧⎪=+-⎪⎪--=⎨⎪⎛⎫⎪+-= ⎪⎪⎝⎭⎩解得384a =,400b =,480c =.所以,乙到达终点的时间为1000040025÷=（分）．4．2．7★★甲、乙两人在圆形跑道上从同一地点A 出发,按相反方向跑步．甲速每秒6米,乙速每秒7米,直到它们第一次又在A 处相遇之前,在途中共相遇多少次？解析假设跑道长为s ,甲、乙第一次又在A 处相遇时所用时间为t ,甲、乙相遇一次,则跑过的路程为一圈即s ．设甲、乙第一次又在A 点相遇时共跑了n 圈,则甲、乙两人第一次又在A 点相遇所跑过的路程为ns ,即()67t ns +⨯=．甲、乙第一次又在A 处相遇时,乙比甲多跑了一圈,()76t s -=,解得13n =,则途中相遇次数为112n -=（次）．即他们第一次又在A 点相遇之前,在途中共相遇12次．评注因为每圈相遇一次,最后一圈相遇A 点,故为1n -次（起始点不算在内）4．2．8★★某船往返于甲、乙两港之间,顺水而下需用8小时,逆水而上需要12小时,由于暴雨后水速增加,该船顺水而行是逆水而行所花时间的12,那么逆水而行需几小时？解析 设甲、乙两港之间距离为s ,该船在静水中的速度为a 千米／时,水速为b 千米／时,水速增加后为c 千米／时． 依题意得8,12,1,2sa b sa b s s a c a c ⎧=⎪+⎪⎪=⎨-⎪⎪=⨯⎪+-⎩解得548s a =,48s b =,5144s c =．所以水速增加后,该船逆水而行所需时间为7255548144s s s s a c ==--（小时）． 评注 解流水问题只要抓住基本公式：顺水速度=船速+水速,逆水速度=船速-水速,则很多该类型题目都可以通过列方程组迎刃而解,上下坡问题跟流水问题也有类似之处．4．2．9★★★甲、乙两人同时从圆形跑道上同一点出发,沿顺时针方向跑步,甲的速度比乙快,过了一段时间,甲第一次从背后追上乙,这时甲立即背转身子,以原来的速度沿逆时针方向跑去,当两人再次相遇时,乙恰好跪了4圈,试问甲的速度是乙的几倍？解析 本题是甲、乙两人跑圆圈,先同向,后反向．就问题的实质来说,跑圆圈和跑直线的思考方法相同．如果设甲的速度为1x ,乙的速度为2x ,跑道一圈的长为y ．则有,乙跑4圈的速度是2x ,距离为4y ．再设乙跑4圈所用的时间为2t ,于是224t x y ⋅=.所以,问题转化为如何根据已知条件列出关于1x 、2x 、y 的表示时间的关系式就可以了． 设甲的速度为1x ,乙的速度为2x ,跑道一圈的长为y ,那么有212124y y x y x x x x ⎛⎫+⋅= ⎪-+⎝⎭． 由于0y ≠,所以原方程可化为2212124x x x x x x +=-+, 即22121222x x x x =-．本题要求的是甲的速度是乙的多少倍,所以,我们只需求出12x x 为某一常数即可．于是,方程可化为 21122220x xx x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭, 解得12x x =,或12x x =（舍去）． 所以,评注 本题中y 是多设的未知数,它对于列方程来说起到了桥梁作用,使列方程变得思路简单,易于理解,在方程列出后,直接相约（或相消）,又立即去掉了多设的未知数．这种方法称为设辅助元法． 4．2．10★★小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,问：发车间隔的时间是多少分钟？解析 设18路公交车的速度是x 米／分,小王行走的速度是y 米／分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则66x y s -=．①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则33x y s +=．②由①,②可得4s x =,所以4sx=．即18路公交车息站发车间隔的时间是4分钟．4．2．11★★AB 两地相距120千米,已知人的步行速度是每小时5千米,摩托车的行驶速度是每小时50千米,摩托车后座可带一人．问有三人并配备一辆摩托车从A 地到B 地最少需要多少小时？（保留1位小数）解析 记此三人为甲、乙和丙,甲开摩托车后座带乙人,三人同时出发,甲和乙到C 地所用时间设为x 小时,并且放下乙,乙继续步行,到达B 地所用时间设为y 小时,而甲马上折返,在E 地遇到丙后,携带丙乘摩托车驶向B 地,为了与乙同时到达B 地,x 和y 应当满足如下方程： ①甲和乙到达C 地时,丙到达D 地（见下图）步行的路程是5x 千米；②DC 之间的距离是()1205x y -+千米； ③甲折返与丙在E 地相遇所用时间是()120555x y -+小时；④丙步行到E 地,所用时间是()120555x y x -++小时；从E 地乘摩托车到B 所用时间是()120555x y y -+-小时；而乙乘摩托车到C 地,所用时间是x 小时；从C 地步行到达B 地所用时间是y 小时．从上述分析,可以列出二元一次方程组()()505120,12051205550120,5555x y x y x y x y +=⎧⎪-+-+⎛⎫⎛⎫⎨++-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 解得13265x =,4813y =． 所以,有三人并配备一辆摩托车从A 地到B 地最少需要47565小时． 4．2．12★★一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件,若他每天多做10个,则提前142天完成,若他每天少做5个,则要误期3天．问他要做多少个零件？比定期是多少天？ 解析 设这个工人要做x 个零件,定期为y 天,则他每天做xy个零件．根据题目条件,若他每天多做10个,则可减少142天工期．所以11042x x y y⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,同理,可列另一个方程．即可得方程组()1104,253.x y x y x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得1350,27.x y =⎧⎨=⎩所以,工人要做1350个零件,此定期为27天．4．2．13★★某项工程,如果由甲、乙两队承包,225天完成,需付180000元；由乙、丙两队承包,334天完成,需付150000元；由甲、丙两队承包,627天完成,需付160000元．现在工程由一个队单独承包,在保证一周完成的前提下,哪个队承包费用最少？ 解析 设甲、乙、丙单独承包各需x 、y 、z 天完成,则115,12114,15117.20x y y z z x ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得4,6,10.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩再设甲、乙、丙单独工作一天,各需付u 、v 、w 元,则()()()12180000,515150000,420160000.7u v v w w u ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得45500,29500,10500.u v w =⎧⎪=⎨⎪=⎩于是,由甲队单独承包,费用是 455004182000⨯=（元）． 由乙队单独承包,费用是 295006177000⨯=（元）． 而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少．4．2．14★★已知甲、乙、丙三人,甲单独做这件工作所用时间是乙、丙两人合作做这件工作所用时间的a 倍,乙单独做这件工作所用时间是甲、丙两人合作做这件工作所用时间的b 倍,求丙单独工作所用时间是甲、乙两人合作做这件工作所用时间的几倍．解析 甲、乙、丙独立完成这一工作分别需x 、y 、z 天,再设整个工程是1．于是,乙单独做一天完成的工作量是1y ,丙是1z ,这样乙、丙合做一天完成的工作量是11y z ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,那么乙、丙合作这项工作所用的时间应是111y z+天,依题意有1,111,11x a y z y b x z ⎧=⋅⎪+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪+⎪⎩解得()111,1111,11b x ab z a ab y ab z ⎧+⎛⎫=⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎪⎨+⎛⎫⎪=⋅≠ ⎪⎪-⎝⎭⎩ 所以()21.1111a b z ab ab x y++=⋅≠-+ 故丙独立完成这一工作需要的时间是甲、乙两人合作完成同一工作所需的时间的21a b ab ++-倍． (1)ab ≠. 4．2．15★★某商店经销一种商品,由于进货价降低了6.4%,使得利润率提高了8%,那么原来经销这种商品的利润率是多少？解析 本题虽然题干很短,但牵涉到的商业方面的概念及公式还是很丰富的．这里,写出几个与利润有关的“盈亏”公式：(1)利润=售出价-进货价；(2)利润率=利润进货价100%⨯； (3)进货价1=+售出价利润率． 本题涉及两种情况,可设原进价为x 元,销售价为y 元,并表示出按原价销售的利润率和按新价销 售的利润率,再根据两者之间的关系,得出x 与y 的数量关系,最后代入求值．设原进货价为x 元,销售价为y 元,由公式(2)有 按原价销售的利润率为：100%y x x -⋅； 按新价销售的利润率为：93.6%100%93.6%y x x-⋅⋅⋅． 依题意列方程93.6%100%8%100%93.6%y x y x x x --⋅⋅+=⋅⋅．解方程得 1.17y x =.因此,原来经销这种商品的利润率1.17100%17%x x x-⋅=． 评注 随着市场经济体制的建立,有关营销类应用问题已屡见不鲜,对这类问题,学生首先要了解一些日常的基本常识和有关名词,如进货、售出价、利润、利润率、盈利、亏本等,同时要掌握好基本关系公式,巧妙地建立关系式．4．2．16★★现有一块黄铜和一块青铜的混合物,其中含有74%的铜,16%的锌和10%的锡．已知青铜含80%的铜,4%的锌和16%的锡,而黄铜是铜和锌的合金．求黄铜含有铜和锌之比． 解析 设黄铜中含铜%x ,则含锌(100)%x -．黄铜和青铜的混合物中含黄铜a ,青铜b ．则 ()8016,7410100416,1610ax b b a x b b +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩①② 由①,得1925b x a=,③ 由②,得1081005b x a -=,④ 由③、④,得161009x x =-． 所以,黄铜含有铜和锌之比是169． 4．2．17★★李明、张斌、王钢三人去文具店买练习本、圆珠笔和橡皮,李明买了4本练习本、一支圆珠笔和10块橡皮,共付了11元,张斌买了3本练习本、一支圆珠笔和7块橡皮,共付了8.9元,王钢买了一本练习本、一支圆珠笔和一块橡皮共付了多少钱？解析 设x 、y 、z 分别表示1本练习本、1支圆珠笔和1块橡皮的价钱（以角为单位）,得方程组410110,3789,x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② 这是一个三个未知数二个方程的不定方裎,想从中求出x 、y 、z 是很难的,但问题是要我们求x y z ++的值,故②3⨯-①2⨯得47x y z ++=.因此,王钢买1本练习本,1支圆珠笔和1块橡皮共付了4.7元．4．2．18★★学校用一笔钱买奖品,若以一支钢笔和2本日记本为一份奖品,则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品,则可买50份奖品,问这笔钱全部用来买钢笔或日记本,可买多少？解析 由于这笔钱是未知的,若直接依题目要求去设未知数,则不易列方程．故像这类题目必需间接设元．设钢笔x 元／支,日记本y 元／本,则这笔钱可表示为：()602x y +或()503x y +．所以()()602503x y x y +=+．得3x y =．于是,这笔钱全用于买钢笔,可买()602100x y x +=(支)；这笔钱全用于买日记本,可买()602300x y y +=（本）．4．2．19★★甲、乙、丙三人共解出100道数学题,每人都解出了其中的60道题,将其中只有1人解出的题叫做难题,3人都解出的题叫做容易题,试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道题？解析设有x 道难题,y 道容易题,中等的（两人解出的）题为z 道,则由题意可得方程组：100,3260 3.x y z x y z ++=⎧⎨++=⨯⎩①②①2⨯-②,得20018020x y -=-=.所以,难题多,难题比容易题多20道．4．2．20★现有甲、乙、丙三种货物,若购买甲3件,乙7件,丙1件共需315元；若购买甲4件, 乙10件,丙1件共需420元,问要购买甲、乙、丙各一件共需多少元？解析 设甲、乙、丙三种货物每件分别为x 元、y 元、z 元．依题意,得37315,410420.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② ①3⨯-②2⨯,得31534202105x y z ++⨯-⨯==．所以,购买甲、乙、丙各一件共需105元．4．2．21★★甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29、23、21和17,这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？解析 设四个人的年龄分别为a 、b 、c 、d ,根据题意有()()()()129,3123,3121,3117.3a b c d a b c a a b c b a b c c ⎧+++=⎪⎪⎪+++=⎪⎨⎪+++=⎪⎪⎪+++=⎩①②③④ 由上述四式可知()()()()1229,331223,331221,331217.33a b c d d a b c d a a b c d b a b c d c ⎧++++=⎪⎪⎪++++=⎪⎨⎪++++=⎪⎪⎪++++=⎩⑤⑥⑦⑧ 比较⑤、⑥、⑦、⑧知,d 最大,c 最小,⑤-⑧得()2123d c -=．所以18d c -=,即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18.4．2．22★★★现在父母年龄的和是子女年龄和的6倍；2年前,父母年龄和是子女年龄和的10倍；6年后,父母年龄的和是子女年龄和的3倍,问共有多少子女？解析 设现在父母年龄之和为x 岁,子女年龄之和为y 岁,子女共有z 人,由题意得()()6,22102,6.x y x y z x y z ⎧=⎪-⨯=-⎨⎪+6⨯2=3+⎩①②③① 代入②、③,得② 51,64,y z y z -=-⎧⎨-=-⎩两式相减,得3z =,所以,子女共有3人．4．2．23★★★★一次数学竞赛出了A 、B 、C 三道题目,25个学生每人至少能解出一道题目．在这些不能解A 的学生中,能解B 的人数等于能解C 的二倍；在能解A 的学生中,至少还能解别的一题的人数比不能解别的题目的人数少一个．如果正好能解一道题目的学生中,有一半不能解A ．问有多少学生正好能解出B 这道题目？解析 由题意可知,本题涉及的量很多,如果采用直接成间接设元都很难列出方程,因此我们可以采用设辅助未知数,以此作为桥梁建立等量关系,列出方程．最后,消去辅助未知数,从而获得所要的答案．设A ,()AB ,()ABC 分别表示正好能解A ,A 与B ,A 与B 与C 的学生人数,则依题意可得()()()()()()()()()()()25,2,1,2,A B C AB BC AC ABC B BC C BC A AB AC ABC A B C B C ⎧++++++=⎪+=+⎪⎨-=++⎪⎪++=+⎩①②③④其中A ,B ．C ,()AB ,()AC ,()BC ,()ABC 都是非负数．由①和③,得()2125A B C BC +++-=,⑤而②可写成 ()2BC B C =-,⑥而④可写成A B C =+⑦由⑤、⑥、⑦得426B C +=,即264C B =-．⑧代入⑥,得()952BC B =-.⑨因为0C ≥,()0BC ≥,所以由⑧和⑨分别得261642B =≤,527599B =≥． 但是B 是整数,所以6B =．所以,有6个学生正好能解出B 这道题目．§4.3含绝对值的方程组4．3．1★方程组12,6x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解的个数为（ ）. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析若0x ≥,则12,6,x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩于是6y y -=-,这不可能． 若0x <,则12,6,x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩于是18y y +=,解得9y =,进而求得3x =-． 所以,原方程组的解为(x ,y )=（3-,9）,只有1个解．故选A.4．3．2★如果x 和y 是非零实数,使得3x y +=和30x y x +=,那么x y +等于（ ）．A ．3 B． CD．4解析 将3y x =-代入30x y x +=,得3230x x x -+=．(1)当0x >时,3230x x x -+=,方程,230x x -+=无实根；(2)当0x <时,3230x x x -+=,得方程,230x x --=,解得x =,正根舍去,从而x =于是33y x =-=+=故4x y +=因此,结论(D)是正确的．4．2．3★★解方程组2,2.x y x y x y x ⎧-=+-⎪⎨+=+⎪⎩①② 解析 由①得2x y x y +=-+． 因为0x y -≥,所以0x y +>,所以x y x y +=+③把③代入②,得2x y x +=+,即2y =．把2y =代入①,得222x x -=+-, 即2x x -=,于是0x ≥．由2x x -=±时,得1x =．故原方程组的解为1,2.x y =⎧⎨=⎩4．3．4★★解方程组。