高一数学教案：解斜三角形应用举例(2)

用正弦定理求A-内角和定理 ，求B -正弦定理一；求AO 求 AA
课题：解斜三角形应用举例(2) 教学目的：
1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛 的应用； 2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；
3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 ”
教学重点：1实际问题向数学问题的转化； 2解斜三角形的方法.
教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法：自学辅导法
在上一节学习的基础上， 引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型， 自己
尝试求解应用题.在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能 力得到锻炼
+ 教学过程： 一、 复习引入：
上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用， 了解了一些把实际问题转化为 解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧 .这一节，继续给出几个例题，
要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决 .
二、 讲解范例：
例1如图，是曲柄连杆机的示意图’当曲柄CB 0绕C 点旋转时，通过连杆 AB 的传递，活塞作 直线往复运动*当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 A 在A 处*设连杆
AB 长为340 mm,曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 按顺时针方向旋转 80 °,求活塞移动 的距离(即连
杆的端点 A 移动的距离A o A )(精确到1 mm )*
分析：如图所示，因为 A )A = AC - AC 又知 AB AB^ BC= 340 + 85= 425，所以只要求 出AC 的长，问题就解决了 .在△ ABC 中,已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出 AC
解：在△ ABC 中，由正弦定理可得
BCsinC 85 sin80 sin A =
0.2462.
AB 340
因为BC k AB 所以A 为锐角，得 A = 14° 15'・ ••• B = 18O°-( A + C )= 18O°-( 14° 15 ' + 80° 由正弦定理，可得
AC= AB 遊=340 sin85 45 = 344.3mm
si nC 0.9848
因此，A o A = AC — AC= (AB^ BC ) — AC= (340+ 85) — 3443 = 8O7~ 81 (mm) 答：活塞移动的距离约为 81mm ・
评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围 意解题步骤的总结：
)=85° 45'
•要求学生注
例2如图，为了测量河对岸 A 、B 两点间的距离，在这一岸定一基线 CD 现已测出 CD= a
和/ ACD= a ，/ BCD= 3，/ BDC= Y ，/ ADC= s ，试求 AB 的长.
分析：如图所示：对于 AB 求解，可以在厶 ABC 中或者是△ ABC 中求解，若在△ ABC 中, 由/ ACB= a - 3，故需求出 AC BC 再利用余弦定理求解+而AC 可在△ ACD 内利用正弦定 理求解，BC 可在△ BCD 内由正弦定理求解.
解：在△ ACD 中，已知 CD= a ,/ ACD= a ，/ ADC= S ，由正弦定理得
在厶ABC 中,已经求得 AC 和 BC 又因为/ ACB= a 余弦定理，就可以求得
评述：(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用
•
(2)注意体会例2求解过程在实际当中的应用 ・
例3据气象台预报，距 S 岛300 km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时 30 km 的速
度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心 270 km 以内的地区将受到台风的影响 +
问：S 岛是否受其影响？
若受到影响，从现在起经过多少小时
S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由.
分析：设B 为台风中心，则 B 为AB 边上动点，SB 也随之变化*S 岛是否受台风影响可转 化为
SB< 270这一不等式是否有解的判断，则需表示
SB 可设台风中心经过 t 小时到达B
点，则在△ ABS 中，由余弦定理可求 SB 解：设台风中心经过 t 小时到达B 点，
由题意，/ SAB= 90°— 30 = 60
在△ SAB 中，SA= 3OO AB= 30t , / SAB= 60°, 由余弦定理得：
S^= SA + A B — 2SA- AB- cos SAB
.zV it
=300+( 30t ) 2
— 2 - 300 3C t cos6O 。

若S 岛受到台风影响，则应满足条件
、
东
I SB|< 270 即 SW w 276
"
化简整理得
t 2
— 10t + 19< 0
解之得 5 — \ 6 w t w 5 + ■ J 6
在厶BCD 中，由正弦定理得
sin 180 +Y ）】—si n （R +丫）
AB= . AC 2 BC 2 -2AC
a sin a sin
—3
,
所以从现在起，经过 5 —- 6小时S岛开始受到影响，(5 + . 6 )小时后影响结束.持续时间：(5 + .6 ) —( 5— 6 )= 2 , 6 小时•
答：S岛受到台风影响，从现在起，经过( 5—.6 )小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2 .6小时一
例4假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为 Q3，油泵顶点
B 与车箱支点A 之间的距离为 195米，AB 与水平线之间的夹角为 6 20' A
C 长为1.40米, 求货物开始下滑时 BC 的长, 解：设车箱倾斜角为
，货物重量为
f -」N - - 'm
g cos
当 J mg COS T :: mg sin v 即」_ tan v 当二=tanr 时，0.3 二 tanr ，-- / BAC=16 42' 6 20' = 23 02' 在厶ABC 中：
BC 2 二 AB 2 AC 2 -2AB AC cos BAC
2 2
=1.952
1.40 -2 1.95 1.40 cos23 02』10.787 , BC =3.28
三、 课堂练习：
1海中有一小岛B ,周围3. 8海里有暗礁，军舰由西向东航行到 A ,望见岛在北75°东，航
行8海里到C,望见岛B 在北6O 东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险 ？ 答案：不会触礁
・
2直线AB 外有一点 C,Z ABC= 60°, AB- 200 km,汽车以8O km/h 速度由 A 向B 行 驶，同时摩托车以 5O 公里的时速由B 向C 行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小 .
答案：约13小时.
四、 小结 通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确 解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化， 逐步提高数学知识的应用能力 + 五、 课后作业：
1.已知在厶 ABC 中，si nA ： sinB ： si nC=3 ： 2 : 4，那么 COS C 的值为（ ）
1 1
2
2
A .-—
c.——
D.-
4
4
3 3
分析：先用正弦定理：
a b C b : C =3 : 2 : 4,
— 可求出a :
sin A sin B si nC
所以可设a=3k,b=2k,c=4k,再用余弦定理:
2
卄？ _ 2
COS C =— - —可得 COS C =
2ab
答案：A
2 •一货轮航行到 M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15。

相距20里处，随后货轮按北偏西 30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东
45°,求货轮的速度，
解：如图所示，/ SMN=15° +30° =45°,/ SNM=180°- 45°- 30° =105 °
2 2 2
9k 4k -16k
2 3k 2 k 1
即 COS C .
4
30
•••/ NSM=180° - 45° - 105° =30
由正弦定理-J MN 20
■
si n30* sin 105°
.MN =10(、. 6 — .2)
1 _
10( . 6 - ,2) 20( . 6 - 2)
2
答：货轮的速度为20( 6 -2)里/小时+ 3 .△ ABC 中，a+b=10，而 cosC 是方程 2x 2- 3x — 2=0 的一个根，求△ ABC 周长的最小值一 分析：由余弦定理可得 c 2 =a 2 b 2 —2abcosC ，然后运用函数思想加以处理 2 1
解：2x -3x - 2 =0 .捲=2,X 2
2
又T cosC 是方程2x 2 — 3x — 2=0的一个根” c O C = 2 由余弦定理可得 c 2 = a 2 • b 2「2ab = (a ■ b)2「ab 则 c 2 =100 -a(10 -a) =(a -5)2 75 当 a=5 时，c 最小且 c= •. 75 = 5 •. 3
此时 a b c = 5 5 5 3 =10 5 3
• △ ABC 周长的最小值为10・5\3.
4 •在湖面上高h 米处，测得云的仰角为 a ，而湖中云之影(即云在湖中的像)的俯角为 3 , 试证：云高为h
sin(［」
米. sin(E -a ) 分析：因湖而相当于一平面镜， 故云C 与它在湖中之影 D 关于湖面对称，设云高为x=CM , 则从△ ADE,可建立含x 的方程，解出x 即可+ 解:如图所示，设湖面上高h 米处为A ,测得云的仰角为a ,而C 在湖中的像D 的俯角为3 , CD 与湖面交于 M ，过A 的水平线交 CD 于E ,设云高CM=x 则 CE=x — h , DE=x+h AE =(x -h)cot:且AE = (x h) cot - (x _h)cot ： = (x h) cot : 解得 tan ： tan :
tan 卜 tan :
2
coScos
s i n £c o s . - c o s s i n
c o s c o s
5 •在某定点A 测得一船初始位置 B 在A 的北偏西a 1处，十分钟后船在 A 正北，又过十分 钟后船到达A 的北偏东a 2处一若船的航向与程度都不变，船向为北偏东
0，求B 的大小』a 1
> a 2)
分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题 解：如图所示，在△ ABC 中，由正弦定理可得：
BC AC BC AC 金 ，即
①
sin _卯 sin [二-严 「)] sin _：*
sin()- > 1
)
在厶ACD 中，由正弦定理可得：
即 sin sin( v - ： 2)= sin ： 2 sin( J ■ 1)
.sin :,(s in ncos 工 2 -COSTS in 二 2) =si n 二 2(s in vcos 、 COSTS in 禺) 即sin vsin: 2) = 2cosvsin :j sin : 2
2sin :j sin :-2 sin (冷一<-2)
6 • (1998年全国高考题)在厶 ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边，设 a+c=2b,A — C=—,求sinB 的值.
3
解：T a+c=2b,「. sinA+sinC=2sinB
B 二
=cos 0, A - C =— 2 3
cos 旦-1 -sin 2 B =4
2 \
2
4
B 口 rr B
、
=2s i n 即 si i n
2 2
4
c ■ A+C A-C .B B 2si n cos =4si n cos
2 2 2 2
由和差化积公式得 米)
sin {- > )
CD sin : 2
AC sin( v - - 2)
，即CD
根据题意，有BC=CD 由①、②得:
sin -：»
sin -：i 2
sin (J ■ 1
) sin (丁 - -■ 2
)
=arcta n
2 sin 一：» sin 二2
(a > a 2) sin
JI 0 . B :::—
六、 板书设计（略） 七、 课后记：
于是sin B = 2sin%sB=2 三-13
2 2
4 4。