第二章第十三节曲面上法曲率的最值高斯曲率平均曲率极小曲面

第二章曲面论

第十三节曲面上法曲率的

最大值、最小值、

高斯曲率、平均曲率、极小曲面

根据法曲率的几何意义, 法曲

率完全反映了曲面在一点处沿指定

方向的弯曲程度和弯曲方向, 因此, 理论上曲面在一点处沿任意方向的

弯曲性是完全可以量化. 但实际上

是做不到的, 因为曲面在一点处有

无穷多个切方向. 于是我们自然提

出这样两个问题: 法曲率随方向变

化的变化规律是什么? 法曲率是否

有最大值和最小值? 下面针对这两

个问题展开讨论.得到的结论是: 由Euler 公式给处了曲面上一点沿各个方向, 法曲率的变化规律, 而且法曲率有最大值

和最小值, 它们被称为主曲率, 最后由主

曲率进一步引出Gauss曲率和平均曲率的概念.

一、 法曲率的最大值、最小值

曲面:(,)r r u v ∑=上一点P 沿一方向():d du dv =上的法曲率n k 为

n k II =I 2222()2()()2()L du Mdudv N dv E du Fdudv G dv ++=++ ，（1） 我们考虑法曲率n k 的最大值、最小值问题。

设du dv λ=，则有

2

222n L M N k E F G λλλλ++=++，

这样一来，所求问题转化为求二次分式的极值问题。

222(2)0n L M N k E F G λλλλ++-++=，

2

()2()0n n n L k E M k F N k G λλ-+-+-=， 此二次方程有根，当且仅当 2()()()0n n n M k F L k E N k G ----≥， 222()(2)()0n n EG F k LG MF NE k LN M --+-+--≥。

设12,k k 12()k k ≤是方程

222()(2)()0n n EG F k LG MF NE k LN M --+-+--=，（2） 的两个根，

则有12n k k k ≤≤，

于是n k 的最大值、最小值分别为 21,k k ，且由方程（2）所解出。 由

韦达定理，便得

2

122LN M k k EG F

-=-，

122

2LG MF NE k k EG F -++=- 。 将12,n k k k =代入

2

222n L M N k E F G λλλλ++=++， 解出两个根21,λλ，就得到使n k 达到最大值、最小值的方向。

对曲面:(,)r r u v ∑=上一给定点(,)P u v , 法曲率n k 是切方向():d du dv =的函数, 称法曲率的每个临界值(critical value)为曲面在这一点的主曲率; 对应的方向称为曲面在这一点的主方向.

二、高斯(Gauss)曲率、平均曲率

设21,k k 分别为曲面上一点处的法曲率的最大值、最小值，则将它们的乘积12k k 称为曲面在这一点的

高斯(Gauss)曲率，通常以K 表示，12K k k =，它描述了曲面在一点处总的弯曲程度, 又称为总曲率或全曲率； 它们的平均数121()2k k +称为曲

面在这一点的平均曲率，通常以H 表示，121()2H k k =+，它描述了曲面在一点处的平均弯曲程度, 又称为中曲率。

由方程（2）及韦达定理，便得

2

122LN M K k k EG F

-==-， 12212()22()LG MF NE H k k EG F -+=+=- 。 220n n k Hk K -+= 。 三、 计算高斯(Gauss)曲率、

平均曲率的例题

设∑是半径为R 的球面，

由于2111,n k k k R R ===，

所以球面的高斯曲率21K R =， 平均曲率1H R = 。

【例1】 求正螺面(cos ,sin ,)r u v u v bv =

的主曲率, 总曲率和全曲率. 【解】直接计算得到螺面的第一和第二基本形式如下2

222()()()du u b dv I =++，

2b

dudv -II =，

由此便知正螺面上所有点都非脐点, 于是其上每点处都有两 个不相等的主曲率. 将基本量代入法曲率的计算公式, 得到

222()()n Mdudv k E du G dv II ==I +， 由于

22|2||()()]Mdudv M E du G dv ≤+，

所以，有||||n M k M -≤≤， 于是 正螺面的主曲率k 1; k 2, 总曲率K 和平均曲率H 分别为

212222||||,()()

b b k k u b u b ==-++， 22

12222()

M b K k k EG u b -===-+， 121()02

H k k =+= 。 【例2】 设:()C r r s =是一条空间正则曲线, s 是自然参

数，其切线构成的曲面为:(,)()()S r s t r s t s α=+， 其中()s α是C 的单位切向量. 求S 的Gauss 曲率.

【解】记曲线C 的曲率和挠率分别为,k τ， 基本向量为,,αβγ 。

则(),()t s r s r s tk ααβ==+，

于是

1,1,t t t s E r r F r r =⋅==⋅=

221s s G r r t k =⋅=+

进一步计算得到

0,tt ts r r k β==，

2()(())ss r tk s k tk s tk αβτγ'=-+++， ||||

t s t s r r n r r γ⨯==⨯；