第二章第十三节曲面上法曲率的最值高斯曲率平均曲率极小曲面

第二章曲面论第十三节曲面上法曲率的最大值、最小值、高斯曲率、平均曲率、极小曲面根据法曲率的几何意义, 法曲率完全反映了曲面在一点处沿指定方向的弯曲程度和弯曲方向, 因此, 理论上曲面在一点处沿任意方向的弯曲性是完全可以量化. 但实际上是做不到的, 因为曲面在一点处有无穷多个切方向. 于是我们自然提出这样两个问题: 法曲率随方向变化的变化规律是什么? 法曲率是否有最大值和最小值? 下面针对这两个问题展开讨论.得到的结论是: 由Euler 公式给处了曲面上一点沿各个方向, 法曲率的变化规律, 而且法曲率有最大值和最小值, 它们被称为主曲率, 最后由主曲率进一步引出Gauss曲率和平均曲率的概念.一、 法曲率的最大值、最小值曲面:(,)r r u v ∑=上一点P 沿一方向():d du dv =上的法曲率n k 为n k II =I 2222()2()()2()L du Mdudv N dv E du Fdudv G dv ++=++ ，（1） 我们考虑法曲率n k 的最大值、最小值问题。

设du dv λ=，则有2222n L M N k E F G λλλλ++=++，这样一来，所求问题转化为求二次分式的极值问题。

222(2)0n L M N k E F G λλλλ++-++=，2()2()0n n n L k E M k F N k G λλ-+-+-=， 此二次方程有根，当且仅当 2()()()0n n n M k F L k E N k G ----≥， 222()(2)()0n n EG F k LG MF NE k LN M --+-+--≥。

设12,k k 12()k k ≤是方程222()(2)()0n n EG F k LG MF NE k LN M --+-+--=，（2） 的两个根，则有12n k k k ≤≤，于是n k 的最大值、最小值分别为 21,k k ，且由方程（2）所解出。

由韦达定理，便得2122LN M k k EG F-=-，1222LG MF NE k k EG F -++=- 。

将12,n k k k =代入2222n L M N k E F G λλλλ++=++， 解出两个根21,λλ，就得到使n k 达到最大值、最小值的方向。

对曲面:(,)r r u v ∑=上一给定点(,)P u v , 法曲率n k 是切方向():d du dv =的函数, 称法曲率的每个临界值(critical value)为曲面在这一点的主曲率; 对应的方向称为曲面在这一点的主方向.二、高斯(Gauss)曲率、平均曲率设21,k k 分别为曲面上一点处的法曲率的最大值、最小值，则将它们的乘积12k k 称为曲面在这一点的高斯(Gauss)曲率，通常以K 表示，12K k k =，它描述了曲面在一点处总的弯曲程度, 又称为总曲率或全曲率； 它们的平均数121()2k k +称为曲面在这一点的平均曲率，通常以H 表示，121()2H k k =+，它描述了曲面在一点处的平均弯曲程度, 又称为中曲率。

由方程（2）及韦达定理，便得2122LN M K k k EG F-==-， 12212()22()LG MF NE H k k EG F -+=+=- 。

220n n k Hk K -+= 。

三、 计算高斯(Gauss)曲率、平均曲率的例题设∑是半径为R 的球面，由于2111,n k k k R R ===，所以球面的高斯曲率21K R =， 平均曲率1H R = 。

【例1】 求正螺面(cos ,sin ,)r u v u v bv =的主曲率, 总曲率和全曲率. 【解】直接计算得到螺面的第一和第二基本形式如下2222()()()du u b dv I =++，2bdudv -II =，由此便知正螺面上所有点都非脐点, 于是其上每点处都有两 个不相等的主曲率. 将基本量代入法曲率的计算公式, 得到222()()n Mdudv k E du G dv II ==I +， 由于22|2||()()]Mdudv M E du G dv ≤+，所以，有||||n M k M -≤≤， 于是 正螺面的主曲率k 1; k 2, 总曲率K 和平均曲率H 分别为212222||||,()()b b k k u b u b ==-++， 2212222()M b K k k EG u b -===-+， 121()02H k k =+= 。

【例2】 设:()C r r s =是一条空间正则曲线, s 是自然参数，其切线构成的曲面为:(,)()()S r s t r s t s α=+， 其中()s α是C 的单位切向量. 求S 的Gauss 曲率.【解】记曲线C 的曲率和挠率分别为,k τ， 基本向量为,,αβγ 。

则(),()t s r s r s tk ααβ==+，于是1,1,t t t s E r r F r r =⋅==⋅=221s s G r r t k =⋅=+进一步计算得到0,tt ts r r k β==，2()(())ss r tk s k tk s tk αβτγ'=-+++， ||||t s t s r r n r r γ⨯==⨯；所以0tt L n r =⋅=，0st M n r =⋅=，ss N n r tk τ=⋅=因此曲面S 的Gauss 曲率为220LN M K EG F-==- 。

例1、 求曲面 ∑：D y x y x f z ∈=),(),,(的高斯曲率、平均曲率。

解 我们已经得出第一类基本量为21()x x x E r r f =⋅=+，x y x y F r r f f =⋅=，21()y y y G r r f =⋅=+；第一基本形式为2222(1())()2(1())()x x y y f dx f f dxdy f dy I =++++；第二类基本量为xx f L n r =⋅=，yy f N n r =⋅=，第二基本形式为22))f f dx dy II =+。

代入计算，可得2222()[1()()]xx yy xy x y f f f K f f -=++，22(1)2(1)f f f f f f f H +-++=。

容易验证12f H div ∇= 。

求上半椭球面2122221)1(:b y a x c z --=∑上的高斯曲率； 求下半椭球面2212222:(1)x y z c a b ∑=---上的高斯曲率。

例2、求旋转曲面 ∑：(()cos ,()sin ,())r x t x t z t θθ=。

（这里02θπ≤≤，()0,x t a t b >≤≤） 的高斯曲率、平均曲率。

解 (()cos ,()sin ,())r x t x t z t θθ=，(()sin ,()cos ,0)r x t x t θθθ=-， (()cos ,()sin ,())t r x t x t z t θθ'''=，22||||()E r x t θ==， 0t F r r θ=⋅=，222||||(())(())t G r x t z t ''==+， 22()()E d G dt θI =+， ||||t r r EG θ⨯=()(())x t x t '=+， {()cos ,()sin ,()}||||t t r r z t z t x t n r r θθθθ'''⨯-==⨯(()cos ,()sin ,0)r x t x t θθθθ=--，(()sin ,()cos ,0)t r x t x t θθθ''=-， (()cos ,()sin ,())tt r x t x t z t θθ''''''=，L n r θθ'=⋅=-，0t M n r θ=⋅=，()()()()tt x t z t x t z t N n r ''''''-=⋅=。

22()()L d N dt θII =+。

2222()()()()n L d N dt k E d G dt θθII +==I +222222()()()()()()L E d N G dt E E d G dt G E d G dt θθθ=+++，则有min{,}max{,}n L N L Nk E G E G≤≤ 。

1min{,}L N k E G =，2max{,}L Nk E G= 。

将基本量代入12LN K k k EG ==，121()22LG NE H k k EG +=+=，可算出222[()()()()]()()[(())(())]x t z t x t z t z t K x t x t z t '''''''-=''+，223222()[(())(())]()[()()()()]2()[(())(())]z t x t z t x t x t z t x t z t H x t x t z t '''''''''++-=-''+。

（2）若∑的全曲率处处为零, 试判断曲面∑的形状?(3) 证明: 若∑的经线有垂直于旋转轴的切线, 则切点是曲面∑上的抛物点.(2) 由(1)知, 全曲率处处为零的充要条件是[()()()()]()0x t z t x t z t z t '''''''-=，(i) 若()0z t '= ，则f ()z t C = (常数), 因而曲面是垂直于z -轴的平面. (ii) 若()()()()0x t z t x t z t ''''''-= ， 即()()()()x t z t x t z t ''''=''，那么1()(),()()x t Cz t x t Cz t C ''==+，当常数0C ≠时, 曲面为圆锥面; 当常数 0C =时, 曲面为圆柱面.(3) 若经线的切线垂直于旋转轴(即z -轴), 则()0z t '= 从而K = 0, 所以切点为抛物点.特别地，将xOz 平面上曲线()x x z =，绕z 轴旋转一周，则所得旋转曲面为(()cos ,()sin ,)r x z x z z θθ=，22||||()E r x z θ==，0z F r r θ=⋅=， 22||||1(())z G r x z '==+，2222()()[1(())]()x z d x z dz θ'I =++，||||z r r EG θ⨯=()1(())x z x z '=+，{cos ,sin ,()}||||z z r r x z n r r θθθθ'⨯-==⨯(()cos ,()sin ,0)r x z x z θθθθ=--， (()sin ,()cos ,0)z r x z x z θθθ''=-， (()cos ,()sin ,0)zz r x z x z θθ''''=，()x z L n r θθ=⋅=，0z M n r θ=⋅=，()zz x z N n r ''=⋅=。