线性空间练习题Word版

线性空间练习题

一、单项选择题

R 3中下列子集（ ）不是R 3的子空间．

A ．}1|),,{(233211=∈=x R x x x w

B ．}0|),,{(333212=∈=x R x x x w

C ．}|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=

D ．}|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈= 二、判断题

1.设n n P V ⨯=则{,0}n n

W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.

2、已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，则维(V ）＝2.

3、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组

12,,,s ααα线性表出，则维(W)＝s

4、设W 是线性空间V 的子空间，如果

,V W W αβαβ∀∈∉∉，，且则必有

.W αβ+∉

三、1．已知},|00{1R b a b a W ∈⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=,},,|00{11112R c a c a W ∈⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=是22

R ⨯的两个子空间，求2121,W W W W +⋂的一个基和维数．

2．已知α关于基},,{321βββ的坐标为（1，0，2），由基},,{321ααα到基}

,,{321βββ的过渡矩阵为⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛012001423，求α关于基},,{321ααα的坐标．

四、设n P 是数域P 上的n 维列向量空间，2,n n A P A A ⨯∈=且

记n W AX X P W X X P AX n 12{},{,0},=∈=∈= 1.证明：21,W W 都是n P 的子空间； 2. 证明：21W W P n ⊕=.

线性变换练习题

一、填空题

1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是

33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝_________，而可逆矩阵T ＝

_________满足1

,B T

AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为_________ .

2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ： (),n A P σξξξ=∈,

则1

(0)σ-＝_______，()1dim (0)σ-＝______，()

dim ()n P σ＝_____ .

3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于________ ，而全体特征值的积等于_______ .

4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为________变换 . 5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间，它与________同构.

6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为________ .

二、判断题

1．设σ是线性空间V 的一个线性变换，12,,,s V ααα∈线性无关，则向量组12(),(),,()s σασασα也

线性无关. （ ）

2．设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1

()(0).V V σσ-=⊕ （ ）

3．在线性空间2R 中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是2

R 的一个线性变换. （ ） 4．若σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1

(0)σ-＝｛0｝. （ ） 5．设σ为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W σ是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （ ）

三、计算与证明

1．设00111100A a ⎛⎫ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

，问a 为何值时，矩阵A 可对角化?

并求一个可逆矩阵X,，使-1X AX=.Λ.

2．在线性空间n P 中定义变换σ：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ= （1）证明：σ是n P 的线性变换. （2）求()n

P σ与1

(0).σ

-

（3）1

()(0).n

n

P P σσ-⊕=

3．若A 是一个n 阶矩阵，且2A A =，则A 的特征值只能是0和1.

欧氏空间练习题

一、填空题

1．设V 是一个欧氏空间， V ξ∈，若对任意V η∈都有(,)0ξη=，则ξ＝_________．

2．在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________，α＝_________． 3．在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝

_________，ξ＝_________．

4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________． 5．已知A 是一个正交矩阵，那么1

A -＝_________，2

A ＝_________．

二、判断题

1．在实线性空间2R 中，对于向量1212(,),(,)x x y y αβ==，定义1122(,)(1)x y x y αβ=++，那么2

R 构成

欧氏空间。( )

2．在n 维实线性空间n

R 中，对于向量1212(,,

,),(,,,)n n a a a b b b αβ==，定义11(,)a b αβ=，则n R 构成

欧氏空间。 ( ) 3．12,,

,n εεε是n 维欧氏空间V 的一组基，1212(,,

,),(,,,)n n x x x y y y 与分别是V 中的向量,αβ在这组

基下的坐标，则1122(,)n n x y x y x y αβ=+++。( )

4．对于欧氏空间V 中任意向量η，

1

η

是V 中一个单位向量。( ) 5．12,,

,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()

ij n n

A a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。( )

6．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。( )