第二章控制系统的数学模型之一共125页

根据牛顿定理，平衡方程如下：
d2x
dx
m dt2 F f dt kx
d 2 x dx m dt2 f dt kx F
也是一个二阶定常微分方程。m、f和k的 单位分别为： k、 gN s/m 、 N /m
对比两式：
LCdd2u2toRC ddoutuoui 令 q idt
Ldd2q2t RddqtC 1qui
通信卫星(轨道控制)可以看成一个质点来建模，而 不考虑其形状和质量分布。在卫星的姿态控制中 则不行！要考虑其天线和太阳能帆板的柔性体特 性。
非线性,时变,分布参数 线性,定常,集中参数
二、系统微分方程的建立 6. 时域模型的数学建模的通常步骤
(1) 建立物理模型
要作一些理想化的假设。
(2) 列写原始方程
统计建模/统计模型(黑箱或灰箱建模)
(3) 按照描述数学模型的工具分为：
时域(Time Domain,TD)模型-----微分方程 或差分方程描述的数学模型。 优点：有效的数学分析工具多。
复域/频域(Frequency Domain, FD)模型---利用拉氏或傅立叶变换对时域模型变换后 得到的模型。 优点：可从工程上测试得到。
实验法/统计模型(黑箱或灰箱建模) ----对系统 或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位 脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的 输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学 模型。
优点：避免机理建模的困难，能以一定的精确 度描述原系统的变化情况，适合于系统控制与 预测；通用性好。
缺点：模型中的参数没有明确的物理意义。
物理定律: 牛顿定律、基尔霍夫电流和电压 定律、能量守恒定律等。
(3) 选定系统的输入量、输出量以及状态变量（ 仅在建立SS模型时要求），消去中间变量， 建立适当的I/O模型或SS模型。
例2-1 写出RLC串联电路的微分方程。
[解]：根据基尔霍夫电路定 理：
di 1
L Ri dt C
idt ui
外力和等于物体质量与加速度的 乘积。
2.虎克定律: 弹簧弹力等于弹 性系数与相对变形位移的乘积。
例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分
方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t)
3.粘性摩擦定律: 粘性摩擦力 等于摩擦系数与相对速度的 乘积。
例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分
一、概述
在控制系统的分析和设计中首先要建立系统的数 学模型。
控制系统的数学模型：是描述系统内部物理量(或 变量)之间关系的数学表达式。 1. 建立数学模型的意义 (1) 使我们得以暂时离开系统的物理特性，在一
般意义下研究控制系统的普遍规律。 (2) 从定性的认识上升数学定量的精确认识(
严谨的分析) 。
方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t)
解：以静止（平衡）工作点作为零点， 以消除重力的影响，受力如下图所示：
F2(t) F(t)
m
x(t) F1(t)
F2(t)K(xt)
K—弹性系数
dx(t ) F1(t ) f dt
f—阻尼系数
例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分
方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t)
2. 数学模型分类 (1) 按系统运动特性分为：
在静静态态数条学件模下型(即和变动量态各数阶学导模数型为。零)，描述变量 之间关系的代数方程叫——静态数学模型；
描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数 学模型。控制理论研究的是——动态模型。
(2) 按照建立数学模型的方法分为： 机理建模/机理模型(白箱建模)
来自百度文库
(4) 按照描述变量的不同分为：
输入输出I/O模型-----描述系统输入量和输出量之 间关系的数学模型。 优点：模型简单，易于分析。 缺点：系统内部其它变量之间的关系和运动规律 没有建模。
状态空间(State Space, SS)模型----描述系统输 入量、输出量和状态量之间关系的数学模型。 优点：描述系统所有变化规律。 缺点：较复杂，矩阵分析理论等。
①
uo
1 C
idt
②
由②：i C d，uo dt
代入①得： LC dd2u2toRC ddoutuoui
例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分
方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t)
[解] 图中，m为质量，f为粘滞 阻尼系数，k为弹性系数。
其次依据： 1.牛顿第二定律: 物体所受的
第二章
控制系统的数学模型
本章基本要求
1. 了解建立系统动态微分方程的 一般方法。 2. 熟悉拉氏变换的基本法则及典 型函数的拉氏变换形式。 3. 掌握用拉氏变换求解微分方程 的方法。
本章基本要求
4. 掌握传递函数的概念及性质。 5. 掌握典型环节的传递函数形式。 6. 掌握由系统微分方程组建立动态 结构图的方法。 7. 掌握用动态图等效变换求传递函 数和用梅森公式求传递函数的方法。
3. 建立控制系统数学模型的方法
解析法/分析法(又称机理建模法) 实验法(又称系统辨识)
解析法(白箱建模) -----依据系统及元件各变量 之间所遵循的运动规律(物理、化学等)列写出 变量间的数学表达式，并实验验证。 优点：方程式中每个系数都具有其明确的物理 意义。 缺点：一般系统的运动规律很复杂，常常是非 线性的，简化会导致模型精度降低(参数物理意 义变含糊); 通用性差。
d2x dx
md2t
f
kxF dt
8. 掌握系统的开环传递函数、 闭环传递函数，对参考输入和对 干扰的系统闭环传递函数及误差 传递函数的概念。
2-1 拉普拉斯变换（见附件）
2-2 控制系本统章的时主域要数内学模容型
2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4 控制系统的结构图与信号流图 2-5 MATLAB 工具
2-2 控制系统的时域数学模型
4. 常用的数学模型
数学模型
时域
复数域
频域
微差
状
传结
频
分分
态
方方
方
递 函
构
率 特
程程
程
数图
性
5. 建立数学模型的原则
兼顾模型的精确度(模型分析和设计的复杂度) 和控制系统精度(与模型精确度密切相关)，两者 之间的折中。
常用手段： 一定范围和前提条件下进行理想化的假设。
电子放大器可看成理想的线性放大环节，忽略掉 它的非线性成份。(电子放大器的工作范围不超出 其线性区)