第二章控制系统的数学模型之一共125页
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第二章控制系统的数学模型-2007
16
y=x2
14
y=(2x)2
12
10
8
6
4
2
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
2
0
-2
0
0.5
1
1.5
1
0
-1
-100 -80 -60 -40 -20
0
20 40 60 80 100
1
0
-1
-100 -80 -60 -40 -20
0
20 40 60 80 100
2.若L[ f (t)] 1 ,求f (0), f () f (0) lim 1 0
s 3
s s 3
f () lims 1 0 s0 s 3
26
答案
3.求F(s)s2(s11)，F(s)s(sa1)(sb),F(s)s(s2
1 的反变换 s1)
L1[s2(s11)]L1[1ss12
• 延迟定理 L[f(t) ]esF(s)
• 初值定理 lim f(t)lim sF (s)
t 0
s
• 终值定理 lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
位移定理
clear clc t=0:0.1:5; y=t; f=exp(-2*t).*y; plot(t,f,'r','LineWidth',2) hold on %plot(t,y) grid on
2.1 拉普拉斯变换与反变换
1. 拉氏变换的定义 2. 拉氏变换的基本定理 3. 拉氏反变换
2.1 拉普拉斯变换与反变换
1. 拉氏变换的定义 函数f(t)，t 为实变量，如果线性积分
《自动控制原理》第2章控制系统的数学模型精品PPT课件
FB(t)
f
dy(t) dt
FK (t) 为弹簧的弹性力，它与物体的位移成正比，即
FK(t)ky(t)
d 2 y(t)
a为物体的加速度，即
a dt 2
消除中间变量，将式子标准化可得
mdd 2y2 (tt)fdd(ty)tk(yt)F(t)
2.3用拉普拉斯变换求解线性微 分方程
2.3.1拉普拉斯变换定义 2.3.2常用函数的拉普拉斯变换 2.3.3拉普拉斯变换的几个基本法则 2.3.4拉普拉斯反变换变换 2.3.5用拉普拉斯变换求解微分方程
第2章 控制系统的数学模型
• 本章的主要内容 控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式
2.1系统数学模型概述
数学模型：用数学的方法和形式来表示 和描述系统中各变量间的关系。 三种形式：输入输出描述
状态空间描述 方块图或信号流图描述
对上式取拉氏变换得 c(t)et sint
2.4传递函数
利用拉氏变换的方法可以得到控制系统在 复数域的数学模型——传递函数。 2.4.1 传递函数的定义 2.4.2典型环节的传递函数
2.4.1 传递函数的定义
线性定常系统，当初始条件为零时，输出量拉氏变换与 输入量拉氏变换之比，定义为传递函数。
G (s)C R ((ss))b0 ssnm ab 11 ssnm 1 1 ab n m 1 s1s ab nm
例2-7 求图2-1所示RLC串联电路的传递函数。设输入量 为 u r ，输出量 u c 。
L K(t) fK(s F )
2.微分定理
函数求导的拉氏变换，等于函数拉氏变换乘 以s的求导次幂（这时，初始条件需为零）。 同理，若初始条件 f(0 )f'(0 ) f(n 1 )(0 ) 0
第2章：控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
2-1 引言 2-2 微分方程的建立及线性化 2-3 传递函数 2-4 控制系统的结构图 2-5 信号流图 2-6 反馈控制系统的传递函数
1
1.数学模型定义： 控制系统的输入和输出之间动态关系的
数学表达式即为数学模型。数学模型是分析 和设计自动控制系统的基础。
输入
输出
黑盒
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称
为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用， 较准确而方便地建立系统的数学模型。
7
实际控制系统的数学模型往往是很复杂 的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响 较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾， 简化与准确性。不能过于简化，而使数学模 型变的不准确，也不能过分追求准确性，使 系统的数学模型过于复杂。
工程上进一步允许忽略Ra,J时,方程变为:
Ce(t)ua(t)
这是代数方程,表示电机为一个线性元件.
[需要讨论的问题之二]：由上例可见,经不同的适当的工程处 理,同一物理系统可以有不同形式的数学模型.(输入输出不变)
31
二 非线性数学模型线性化
§实际的物理元件都存在一定的非线性，例如： 电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有 关; 电动机本身的摩擦、死区
电枢电路电压平衡方程
ea Ce
电机反电势方程
mCmia
电磁转矩方程
J ddt mmc
电机轴上转矩平衡方程
整理 (消去中间变量i=ia, ea , m,保留输入和输出的关系)得:
C L e a C J m d d 2 2 tC R e a C J m d d t C u a e C L e C a m d d c m tC R e a C m m c
2-1 引言 2-2 微分方程的建立及线性化 2-3 传递函数 2-4 控制系统的结构图 2-5 信号流图 2-6 反馈控制系统的传递函数
1
1.数学模型定义： 控制系统的输入和输出之间动态关系的
数学表达式即为数学模型。数学模型是分析 和设计自动控制系统的基础。
输入
输出
黑盒
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称
为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用， 较准确而方便地建立系统的数学模型。
7
实际控制系统的数学模型往往是很复杂 的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响 较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾， 简化与准确性。不能过于简化，而使数学模 型变的不准确，也不能过分追求准确性，使 系统的数学模型过于复杂。
工程上进一步允许忽略Ra,J时,方程变为:
Ce(t)ua(t)
这是代数方程,表示电机为一个线性元件.
[需要讨论的问题之二]：由上例可见,经不同的适当的工程处 理,同一物理系统可以有不同形式的数学模型.(输入输出不变)
31
二 非线性数学模型线性化
§实际的物理元件都存在一定的非线性，例如： 电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有 关; 电动机本身的摩擦、死区
电枢电路电压平衡方程
ea Ce
电机反电势方程
mCmia
电磁转矩方程
J ddt mmc
电机轴上转矩平衡方程
整理 (消去中间变量i=ia, ea , m,保留输入和输出的关系)得:
C L e a C J m d d 2 2 tC R e a C J m d d t C u a e C L e C a m d d c m tC R e a C m m c
第2章 控制系统的数学模型
J
2
z2 z1
2
J1
d2
dt
f2
z2 z1
2
f1 2
z2 z1
M m
MC
列写元件微分方程的步骤：
（1）确定元件的输入量、输出量
（2）由物理或化学规律，列写微分方程；
（3）消去中间变量，得到输入、输出之间关系的微分方程
2020/10/10
Automatic Control Theory
2020/10/10
Automatic Control Theory
相似系统：揭示了
不同物理现象之间 的相似关系
8
齿轮1和齿轮2的运动方程
J1
d1
dt
f11
M1
Mm
（1）
J2
d21
dt
f 221
MC
M2
（2）
（1）以齿轮1的角速度 1 为输出，外部 M m 为输入
J1
d1
dt
f11
z1 z2
M2
Mm
x(t) f
F (t) f dx(t) Kx(t) dt
2020/10/10
Automatic Control Theory
7
m
d
2 x(t) dt 2
f
dx(t) Kx(t) F (t) dt
m d 2 x(t) f dx(t) x(t) 1 F (t)
K dt2 K dt
K
T2
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
2020/10/10
Automatic Control Theory
自动控制原理第二章 控制系统的数学模型1
控制系统的数学模型的方法。
教学重点与教学学时
1、复域模型－－传递函数(Transfer function) 2、传递函数的零、极点对系统性能的影响 3、三种数学模型的相互转换 5、教学学时：三次课共6个学时。
教学内容
1、时域模型：本节分别通过从简单的电学电路和力学系统讲解 如何建立数学模型。 由于有关电机拖动的课还未讲到电机模型内容，故本章中有关 电动机模型只介绍结论，不详细推导。 2、时域模型－－微分方程求解，简单讲解复习微分方程求解方 法 3、非线性系统的线性化，重点讲清楚线性化的条件，以及如何 线性化（泰勒展开式）
如何建立数学模型
建立数学模型用二种方法：1.分析法 2.实验法
分析法：根据系统运动本身的物理、化学规律，列出相应的运
动方程。 如：电工学中的克希霍夫定律；力学中的牛顿定律等。 实验法：对于运动规律很复杂的系统或一个未知的系统无法用 一个准确的数学关系式来描述时，可用实验法。
数学模型有多种形式
1.以时间为变量所建立的模型称为时域模型——微分方程。 2.在复平面内建立的模型称为复域模型——传递函数。 3.以频率为变量所建立的模型称为频域模型——频率特性。
第二章第五次课内容
一、闭环系统传递函数三种形式(a)输入信号作用下的闭环传递函 数、(b)扰动作用下的闭环传递函数、(c)闭环系统的误差传递函数。
要求：能熟练地写出闭环系统的传递函数和传递函数的特征式。
注意：在各种信号作用下，输出量c(s)或误差量e(s)可以应用叠加 原理，但闭环传递函数不适用叠加原理。 二、 三、有关本章习题中出现的问题讨论
ur ( s) 0.1s 0.2 uc ( s ) 2 2 s s 1 s s 1
第二章控制系统的数学模型
由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)，整理得：
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uC
(t)
ur
(t)
两个例子的式子很相似，故可用电子线路来模拟机
械平移系统。可见，看似完全不同的系统，具有相同的 运动规律，可用相同的数学模型来描述。
例3：下图是具有转动惯量为J的转子，与弹性系数为K
y kx y kx (略去 )
书P28例（电感部分直接用总的磁链分析，更易于理解）
d d di
u
dt
di
dt
在平衡工作点附近有：
d
d di
di
u i0
( dt
)i i0
( di
dt )i i0
L dt
注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较 低的系统，对于某些严重的非线性，如：
控制系统数学模型的类型
时域模型 微分方程
频域模型 频率特性
复（S）域模型 传递函数
结构图=方框图 ＋数学模型
2.1 线性微分方程的建立及求解
建模方法 ：分析法、实验法
◆实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加
某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出 响应辨识出数学模型。
输入（充分激励）
输出（测量结果）
F1(弹簧的拉力) F(t)外力
m
F2阻尼器的阻力
F1 kx(t) F2 fx(t)
而 F ma
a x(t) F (t) F1 F2 ma 代入上式得 F (t) kx(t) fx(t) mx(t)
机械平移系统的微分方程为：
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uC
(t)
ur
(t)
两个例子的式子很相似，故可用电子线路来模拟机
械平移系统。可见，看似完全不同的系统，具有相同的 运动规律，可用相同的数学模型来描述。
例3：下图是具有转动惯量为J的转子，与弹性系数为K
y kx y kx (略去 )
书P28例（电感部分直接用总的磁链分析，更易于理解）
d d di
u
dt
di
dt
在平衡工作点附近有：
d
d di
di
u i0
( dt
)i i0
( di
dt )i i0
L dt
注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较 低的系统，对于某些严重的非线性，如：
控制系统数学模型的类型
时域模型 微分方程
频域模型 频率特性
复（S）域模型 传递函数
结构图=方框图 ＋数学模型
2.1 线性微分方程的建立及求解
建模方法 ：分析法、实验法
◆实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加
某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出 响应辨识出数学模型。
输入（充分激励）
输出（测量结果）
F1(弹簧的拉力) F(t)外力
m
F2阻尼器的阻力
F1 kx(t) F2 fx(t)
而 F ma
a x(t) F (t) F1 F2 ma 代入上式得 F (t) kx(t) fx(t) mx(t)
机械平移系统的微分方程为：
第2章控制系统的数学模型[145页]
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根据相似系统的输入变量对相似系统进行分类： 力-电压相似系统 、力-力矩相似系统 、力-电流相似系 统等。
13
3. 热力系统
凡是包含有能将热量从一
加热器
种物质传递到另一种物质过 冷液体
搅拌器
程的称为热力系统。
图2-3 热力系统
例2-3 图2-3所示热力系统，要求建立平衡状态下，
输入到系统的热流量（由加热器提供热量）改变量
8
解：引入回路电流作为中间变量，列写变量关系方程
Ri(t)
L
di(t) dt
uo
(t)
ui
(t)
i(t) C duo (t) dt
整理，可得描述系统输入量和输出量之间关系
的微分方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
（2-3）
令
L T1 R
T2 RC
T1T2
需要注意的是：在对系统组成部分进行划分时， 只有不存在负载效应的前后两级才能够分开建立各 自的数学模型，对于有负载效应的前后两级，由于 后一级的存在会对前一级的运动状态产生影响，所 以只能作为一个整体建模。当负载效应很小或串联 的两级之间有隔离放大器时，可不考虑负载效应。
7
2.1.1 微分方程的建立
2) 分析系统的工作原理，根据系统运动过程中各个 部分所遵循的物理学基本定律建立描述变之间关 系的方程式；
3) 将上面这些关系式联立起来，消去中间变量，并 写成微分方程的标准形式；
4)必要时将所得微分方程的系数整理并表示为具有一 定物理意义的量（如时间常数等）。
6
复杂系统是由一些简单装置按照一定的方式联结 起来构成的，在已建立系统各组成部分的微分方程 基础上，依据它们在系统中的连接关系消去中间变 量，并写成标准形式，就是描述系统总的输入和总 的输出之间关系的微分方程。
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3. 热力系统
凡是包含有能将热量从一
加热器
种物质传递到另一种物质过 冷液体
搅拌器
程的称为热力系统。
图2-3 热力系统
例2-3 图2-3所示热力系统，要求建立平衡状态下，
输入到系统的热流量（由加热器提供热量）改变量
8
解：引入回路电流作为中间变量，列写变量关系方程
Ri(t)
L
di(t) dt
uo
(t)
ui
(t)
i(t) C duo (t) dt
整理，可得描述系统输入量和输出量之间关系
的微分方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
（2-3）
令
L T1 R
T2 RC
T1T2
需要注意的是：在对系统组成部分进行划分时， 只有不存在负载效应的前后两级才能够分开建立各 自的数学模型，对于有负载效应的前后两级，由于 后一级的存在会对前一级的运动状态产生影响，所 以只能作为一个整体建模。当负载效应很小或串联 的两级之间有隔离放大器时，可不考虑负载效应。
7
2.1.1 微分方程的建立
2) 分析系统的工作原理，根据系统运动过程中各个 部分所遵循的物理学基本定律建立描述变之间关 系的方程式；
3) 将上面这些关系式联立起来，消去中间变量，并 写成微分方程的标准形式；
4)必要时将所得微分方程的系数整理并表示为具有一 定物理意义的量（如时间常数等）。
6
复杂系统是由一些简单装置按照一定的方式联结 起来构成的，在已建立系统各组成部分的微分方程 基础上，依据它们在系统中的连接关系消去中间变 量，并写成标准形式，就是描述系统总的输入和总 的输出之间关系的微分方程。
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方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t)
解：以静止（平衡）工作点作为零点， 以消除重力的影响，受力如下图所示：
F2(t) F(t)
m
x(t) F1(t)
F2(t)K(xt)
K—弹性系数
dx(t ) F1(t ) f dt
f—阻尼系数
例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分
方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t)
8. 掌握系统的开环传递函数、 闭环传递函数，对参考输入和对 干扰的系统闭环传递函数及误差 传递函数的概念。
2-1 拉普拉斯变换（见附件）
2-2 控制系本统章的时主域要数内学模容型
2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4 控制系统的结构图与信号流图 2-5 MATLAB 工具
2-2 控制系统的时域数学模型
外力和等于物体质量与加速度的 乘积。
2.虎克定律: 弹簧弹力等于弹 性系数与相对变形位移的乘积。
例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分
方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t)
3.粘性摩擦定律: 粘性摩擦力 等于摩擦系数与相对速度的 乘积。
例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分
统计建模/统计模型(黑箱或灰箱建模)
(3) 按照描述数学模型的工具分为：
时域(Time Domain,TD)模型-----微分方程 或差分方程描述的数学模型。 优点：有效的数学分析工具多。
复域/频域(Frequency Domain, FD)模型---利用拉氏或傅立叶变换对时域模型变换后 得到的模型。 优点：可从工程上测试得到。
d2x dx
md2t
f
kxF dt
3. 建立控制系统数学模型的方法
解析法/分析法(又称机理建模法) 实验法(又称系统辨识)
解析法(白箱建模) -----依据系统及元件各变量 之间所遵循的运动规律(物理、化学等)列写出 变量间的数学表达式，并实验验证。 优点：方程式中每个系数都具有其明确的物理 意义。 缺点：一般系统的运动规律很复杂，常常是非 线性的，简化会导致模型精度降低(参数物理意 义变含糊); 通用性差。
4. 常用的数学模型
数学模型
时域
复数域
频域
微差
状
传结
频
分分
态
方方
方
递 函
构
率 特
程程
程
数图
性
5. 建立数学模型的原则
兼顾模型的精确度(模型分析和设计的复杂度) 和控制系统精度(与模型精确度密切相关)，两者 之间的折中。
常用手段： 一定范围和前提条件下进行理想化的假设。
电子放大器可看成理想的线性放大环节，忽略掉 它的非线性成份。(电子放大器的工作范围不超出 其线性区)
物理定律: 牛顿定律、基尔霍夫电流和电压 定律、能量守恒定律等。
(3) 选定系统的输入量、输出量以及状态变量（ 仅在建立SS模型时要求），消去中间变量， 建立适当的I/O模型或SS模型。
例2-1 写出RLC串联电路的微分方程。
[解]：根据基尔霍夫电路定 理：
di 1
L Ri dt Cidt ui源自根据牛顿定理，平衡方程如下：
d2x
dx
m dt2 F f dt kx
d 2 x dx m dt2 f dt kx F
也是一个二阶定常微分方程。m、f和k的 单位分别为： k、 gN s/m 、 N /m
对比两式：
LCdd2u2toRC ddoutuoui 令 q idt
Ldd2q2t RddqtC 1qui
第二章
控制系统的数学模型
本章基本要求
1. 了解建立系统动态微分方程的 一般方法。 2. 熟悉拉氏变换的基本法则及典 型函数的拉氏变换形式。 3. 掌握用拉氏变换求解微分方程 的方法。
本章基本要求
4. 掌握传递函数的概念及性质。 5. 掌握典型环节的传递函数形式。 6. 掌握由系统微分方程组建立动态 结构图的方法。 7. 掌握用动态图等效变换求传递函 数和用梅森公式求传递函数的方法。
(4) 按照描述变量的不同分为：
输入输出I/O模型-----描述系统输入量和输出量之 间关系的数学模型。 优点：模型简单，易于分析。 缺点：系统内部其它变量之间的关系和运动规律 没有建模。
状态空间(State Space, SS)模型----描述系统输 入量、输出量和状态量之间关系的数学模型。 优点：描述系统所有变化规律。 缺点：较复杂，矩阵分析理论等。
通信卫星(轨道控制)可以看成一个质点来建模，而 不考虑其形状和质量分布。在卫星的姿态控制中 则不行！要考虑其天线和太阳能帆板的柔性体特 性。
非线性,时变,分布参数 线性,定常,集中参数
二、系统微分方程的建立 6. 时域模型的数学建模的通常步骤
(1) 建立物理模型
要作一些理想化的假设。
(2) 列写原始方程
①
uo
1 C
idt
②
由②：i C d，uo dt
代入①得： LC dd2u2toRC ddoutuoui
例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分
方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t)
[解] 图中，m为质量，f为粘滞 阻尼系数，k为弹性系数。
其次依据： 1.牛顿第二定律: 物体所受的
一、概述
在控制系统的分析和设计中首先要建立系统的数 学模型。
控制系统的数学模型：是描述系统内部物理量(或 变量)之间关系的数学表达式。 1. 建立数学模型的意义 (1) 使我们得以暂时离开系统的物理特性，在一
般意义下研究控制系统的普遍规律。 (2) 从定性的认识上升数学定量的精确认识(
严谨的分析) 。
实验法/统计模型(黑箱或灰箱建模) ----对系统 或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位 脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的 输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学 模型。
优点：避免机理建模的困难，能以一定的精确 度描述原系统的变化情况，适合于系统控制与 预测；通用性好。
缺点：模型中的参数没有明确的物理意义。
2. 数学模型分类 (1) 按系统运动特性分为：
在静静态态数条学件模下型(即和变动量态各数阶学导模数型为。零)，描述变量 之间关系的代数方程叫——静态数学模型；
描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数 学模型。控制理论研究的是——动态模型。
(2) 按照建立数学模型的方法分为： 机理建模/机理模型(白箱建模)
解：以静止（平衡）工作点作为零点， 以消除重力的影响，受力如下图所示：
F2(t) F(t)
m
x(t) F1(t)
F2(t)K(xt)
K—弹性系数
dx(t ) F1(t ) f dt
f—阻尼系数
例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分
方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t)
8. 掌握系统的开环传递函数、 闭环传递函数，对参考输入和对 干扰的系统闭环传递函数及误差 传递函数的概念。
2-1 拉普拉斯变换（见附件）
2-2 控制系本统章的时主域要数内学模容型
2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4 控制系统的结构图与信号流图 2-5 MATLAB 工具
2-2 控制系统的时域数学模型
外力和等于物体质量与加速度的 乘积。
2.虎克定律: 弹簧弹力等于弹 性系数与相对变形位移的乘积。
例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分
方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t)
3.粘性摩擦定律: 粘性摩擦力 等于摩擦系数与相对速度的 乘积。
例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分
统计建模/统计模型(黑箱或灰箱建模)
(3) 按照描述数学模型的工具分为：
时域(Time Domain,TD)模型-----微分方程 或差分方程描述的数学模型。 优点：有效的数学分析工具多。
复域/频域(Frequency Domain, FD)模型---利用拉氏或傅立叶变换对时域模型变换后 得到的模型。 优点：可从工程上测试得到。
d2x dx
md2t
f
kxF dt
3. 建立控制系统数学模型的方法
解析法/分析法(又称机理建模法) 实验法(又称系统辨识)
解析法(白箱建模) -----依据系统及元件各变量 之间所遵循的运动规律(物理、化学等)列写出 变量间的数学表达式，并实验验证。 优点：方程式中每个系数都具有其明确的物理 意义。 缺点：一般系统的运动规律很复杂，常常是非 线性的，简化会导致模型精度降低(参数物理意 义变含糊); 通用性差。
4. 常用的数学模型
数学模型
时域
复数域
频域
微差
状
传结
频
分分
态
方方
方
递 函
构
率 特
程程
程
数图
性
5. 建立数学模型的原则
兼顾模型的精确度(模型分析和设计的复杂度) 和控制系统精度(与模型精确度密切相关)，两者 之间的折中。
常用手段： 一定范围和前提条件下进行理想化的假设。
电子放大器可看成理想的线性放大环节，忽略掉 它的非线性成份。(电子放大器的工作范围不超出 其线性区)
物理定律: 牛顿定律、基尔霍夫电流和电压 定律、能量守恒定律等。
(3) 选定系统的输入量、输出量以及状态变量（ 仅在建立SS模型时要求），消去中间变量， 建立适当的I/O模型或SS模型。
例2-1 写出RLC串联电路的微分方程。
[解]：根据基尔霍夫电路定 理：
di 1
L Ri dt Cidt ui源自根据牛顿定理，平衡方程如下：
d2x
dx
m dt2 F f dt kx
d 2 x dx m dt2 f dt kx F
也是一个二阶定常微分方程。m、f和k的 单位分别为： k、 gN s/m 、 N /m
对比两式：
LCdd2u2toRC ddoutuoui 令 q idt
Ldd2q2t RddqtC 1qui
第二章
控制系统的数学模型
本章基本要求
1. 了解建立系统动态微分方程的 一般方法。 2. 熟悉拉氏变换的基本法则及典 型函数的拉氏变换形式。 3. 掌握用拉氏变换求解微分方程 的方法。
本章基本要求
4. 掌握传递函数的概念及性质。 5. 掌握典型环节的传递函数形式。 6. 掌握由系统微分方程组建立动态 结构图的方法。 7. 掌握用动态图等效变换求传递函 数和用梅森公式求传递函数的方法。
(4) 按照描述变量的不同分为：
输入输出I/O模型-----描述系统输入量和输出量之 间关系的数学模型。 优点：模型简单，易于分析。 缺点：系统内部其它变量之间的关系和运动规律 没有建模。
状态空间(State Space, SS)模型----描述系统输 入量、输出量和状态量之间关系的数学模型。 优点：描述系统所有变化规律。 缺点：较复杂，矩阵分析理论等。
通信卫星(轨道控制)可以看成一个质点来建模，而 不考虑其形状和质量分布。在卫星的姿态控制中 则不行！要考虑其天线和太阳能帆板的柔性体特 性。
非线性,时变,分布参数 线性,定常,集中参数
二、系统微分方程的建立 6. 时域模型的数学建模的通常步骤
(1) 建立物理模型
要作一些理想化的假设。
(2) 列写原始方程
①
uo
1 C
idt
②
由②：i C d，uo dt
代入①得： LC dd2u2toRC ddoutuoui
例2-2 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分
方程。设输入量为外力F，输出量为位移x(t)
[解] 图中，m为质量，f为粘滞 阻尼系数，k为弹性系数。
其次依据： 1.牛顿第二定律: 物体所受的
一、概述
在控制系统的分析和设计中首先要建立系统的数 学模型。
控制系统的数学模型：是描述系统内部物理量(或 变量)之间关系的数学表达式。 1. 建立数学模型的意义 (1) 使我们得以暂时离开系统的物理特性，在一
般意义下研究控制系统的普遍规律。 (2) 从定性的认识上升数学定量的精确认识(
严谨的分析) 。
实验法/统计模型(黑箱或灰箱建模) ----对系统 或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位 脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的 输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学 模型。
优点：避免机理建模的困难，能以一定的精确 度描述原系统的变化情况，适合于系统控制与 预测；通用性好。
缺点：模型中的参数没有明确的物理意义。
2. 数学模型分类 (1) 按系统运动特性分为：
在静静态态数条学件模下型(即和变动量态各数阶学导模数型为。零)，描述变量 之间关系的代数方程叫——静态数学模型；
描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数 学模型。控制理论研究的是——动态模型。
(2) 按照建立数学模型的方法分为： 机理建模/机理模型(白箱建模)