关于变形体虚功原理
静力结构的位移计算——变形体虚功原理及位移计算的一般表达式
FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
小结：
位移计算的一般公式：
K (F NK* F QK* M K* )ds RK*R
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
(b)
线弹性材料在荷载作用下的位移计算公式：
K
(
FNP F NK *
kFQP F NK *
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
(c)
具体结构的简化公式：
*
1、桁架
K
FNP FNK L EA
2、梁和刚架
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
第五章 静定结构的位移计算
§5-3 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式 一、变形体虚功原理
位移协调状态
FP FRCR (M FQ 0 FN )ds
平衡状态 变形体虚功原理只需要满足平衡条件、位移连续条件， 而与材料特性无关。 对于刚体，由于变形等于零，内力在刚体上不做 功 ，所以，刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例。
变形体虚功原理
变形体虚功原理在物理学中，变形体虚功原理是一种重要的物理原理，它在研究弹性体和变形体的力学性质时起着至关重要的作用。
变形体虚功原理是指在弹性体或变形体受到外力作用下发生形变时，外力所做的虚功等于内能的增量。
这一原理的提出和应用，为我们理解和分析弹性体和变形体的力学性质提供了重要的理论基础。
首先，我们来看一下什么是虚功。
虚功是指在力学系统中，某些力在系统发生微小位移时所做的功。
对于一个系统在平衡状态下的微小位移，外力所做的虚功等于零。
而在变形体中，外力所做的虚功等于内能的增量，这就是变形体虚功原理的核心内容。
在实际的物理问题中，我们经常会遇到弹簧、弹性体等受力而发生形变的情况。
利用变形体虚功原理，我们可以很好地分析这些问题。
例如，当一个弹簧受到外力拉伸或压缩时，外力所做的虚功等于弹簧内能的增量，这可以用公式表示为：W = ΔU。
其中，W表示外力所做的虚功，ΔU表示内能的增量。
这个公式可以帮助我们计算弹簧的形变和受力情况，为工程设计和实际应用提供了重要的理论支持。
除了弹簧，变形体虚功原理还可以应用于其他形变体的研究中。
例如，在材料力学中，我们经常需要分析材料的拉伸、压缩、弯曲等变形情况。
利用变形体虚功原理，我们可以建立相应的力学模型，研究材料的力学性质，为材料的设计和选用提供理论依据。
总之，变形体虚功原理是物理学中一个重要的理论工具，它为我们理解和分析弹性体和变形体的力学性质提供了重要的理论基础。
通过应用这一原理，我们可以更好地分析和解决实际的物理问题，为工程设计和科学研究提供重要的理论支持。
希望通过本文的介绍，读者能对变形体虚功原理有一个更清晰的认识，进一步深入学习和研究相关领域的知识。
变形体的虚功原理
点的竖向位移
Δ
，可虚拟一力状态如图所示。
CV
应用虚力原理建立虚功方程为 FΔCV FBy c=0
F
A
FAy
l
F
CV
a
b
l
FBy
a l
F
B
c
令F=1。得 ΔCV=
a c l
沿所求位移方向虚设单位荷载F=1的方法称为单位 荷载法，或称为单位力法。
当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单位荷 载法来求解，其计算步骤如下：
1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出 在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
2. 令虚拟力系在相应实际位移上作功，写出虚功方 程
3. 由虚功方程解出欲求位移。如果求得的位移为正 值，表明位移的实际方向与所设单位荷载的方向 一致；如果求得的位移为负值，表明位移的实际 方向与所设单位荷载的方向相反。
注意：在推导变形体的虚功方程时，并未涉及到材料 的物理性质，只要在小变形范围内，对于弹性、 塑性、线性、非线性的变形体系，上述虚功方 程都成立。
结构力学
FB
δB=1
图4.8
(a)
(2)虚拟力状态，求未知位移 在虚拟力状态和给定的实际位移状态之间应用虚 功原理，这种形式的虚功原理又称为虚力原理 。 【例4.2】 已知图4.9(a)所示静定梁的支座B向下移 动距离c，试用虚力原理求梁上点C的竖向位移。
图4.9
【解】静定结构在支座移动时只产生刚体位移。欲求C
三、 变形体的虚功原理
对于变形体系，如果力状态中的力系满足平衡条件， 位移状态中的位移和变形彼此协调、并与约束几何相 容，则体系的外力虚功等于体系的内力虚功，即
We= Wi We——外力虚功，即力状态的外力在位移状态的相 应位 移上所作的虚功总和； Wi——内力虚功，即力状态的内力在位移状态的相 应变形上所作的虚功总和。
关于变形体虚功原理
6 PEI gl 3
2. 冲击应力与位移分析
d,max
M d,max Wz
Fdl Wz
v Wz
6PEI gl
wB
Fdl 3 3EI
v
2Pl 3 3 gEI
例12-2 旋转轴在A端突然被刹停，求轴内应力。轴径为 d，飞轮转动惯量为J。
解：1. 冲击惯性力偶矩计算
16 M d2 l
Gd 4
未知力数 > 有效平衡方程数
内力不可求
二者之差 —— 静不定度
多余未知力
多余约束
• 与静定问题的根本区别 • 求解的关键
外部 三
内部 种
混合
类 型
静不定问题类型
仅在结构外部存在多余约束 －外力静不定结构
仅在结构内部存在多余约束 －内力静不定结构
在结构内外部均存在多余约束 －混合型静不定结构
几度静不定？
多余约束、多余约束力不唯一 基本系统、相当系统不唯一
外静不定问题分析
分析图示小曲率杆的支反力与内力，EI 为常数。
1. 问题分析 一度外静不定 选支座 B 为多余约束，FBy为多余力 变形协调条件为 DBy 0
2. 位移计算
D By
1 EI
/2
M ( )M ( )Rd
单位载荷法
D l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
D －广义位移，施加相应单位广义载荷
当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向
载荷状态：实际位移D（待求） 实际微段变形 用实际内力表示；
单位状态：施加与D对应的单位载荷，确定内力
§1 梁的剪切位移 §2 冲击应力分析
静力结构的位移计算——变形体虚功原理及位移计算的一般表达式
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
EI
杆
EA
K
(
MP
M
* K
FNP
FNK
*
)ds
EI
EA
作业： 5—11、5—7（a）
EA
EA
例 2：已知EI、GA为常数，求C点竖向位移
FP
A
B
C
l/2
l/2
CM
M
PM EI
K
ds
F PL3 48EI
CQ
kFQP FQK ds kFP L
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
（5）可计算绝对位移和相对位移。
三、位移计算的一般步骤
（1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载； （2）由平衡条件求内力和反力； （3）根据不同的外界作用分析应变； （4）由式（b）计算。 四、单位虚荷载法的施加方法（参考教材）
变形体虚功原理的应用条件
变形体虚功原理的应用条件1. 引言变形体虚功原理是一种应用于力学与材料学领域的重要原理，它可以用来描述材料在变形过程中所吸收或释放的能量。
该原理的应用条件决定了它在实际工程中的适用性和可靠性。
本文将介绍变形体虚功原理的应用条件，并通过列点方式进行详细阐述。
2. 应用条件下面是变形体虚功原理的应用条件：•材料必须具有线性弹性行为：变形体虚功原理基于线性弹性假设，因此在应用时必须确保材料具有线性弹性的特性。
如果材料存在非线性行为，如塑性变形或粘弹性行为，将无法以虚功原理来描述其变形过程。
•系统必须处于静力平衡：在应用变形体虚功原理时，需要确保系统处于静力平衡状态。
这意味着受力和力矩在各个方向上都相互抵消，系统中没有产生任何运动或旋转。
•变形体必须满足边界条件：变形体虚功原理要求在应用过程中必须给定适当的边界条件。
边界条件可以包括固定边界、自由边界或受限位移边界等。
这些条件可以根据实际情况进行确定，以保证虚功原理的适用性。
•变形过程必须是可逆的：变形体虚功原理假设变形过程是可逆的，即变形体在加载和卸载过程中可以完全恢复其原始形状。
如果变形过程具有不可逆行为，如材料损伤、破裂或剪切等，将无法应用虚功原理。
•变形体应足够简单：为了应用变形体虚功原理，变形体的形状和约束条件应尽可能简单。
复杂的几何形状和多重约束条件可能导致难以求解的情况，因此在实际应用中需要谨慎选择变形体。
3. 应用案例下面是变形体虚功原理在实际工程中的应用案例：•弹簧设计：弹簧是一种常见的变形体，它在受到外力作用时可以发生弹性变形。
通过应用变形体虚功原理，可以求解弹簧的变形量和所吸收的能量，从而帮助设计者选择合适的弹簧材料和尺寸。
•结构分析：变形体虚功原理在结构分析中也有广泛应用。
通过将结构划分为多个变形体，可以应用虚功原理来分析结构的响应和稳定性。
这对于设计和评估建筑、桥梁等工程结构的安全性和可靠性至关重要。
•材料性能测试：利用变形体虚功原理，可以开展材料性能测试。
变形体的虚功原理
变形体的虚功原理变形体是工程力学中的重要概念，它指的是在受力作用下形状或尺寸发生变化的物体。
在研究变形体的力学特性时，虚功原理是一种常用的分析方法。
虚功原理是指，在变形体受力作用下，通过引入虚位移，将受力和虚位移的乘积对整个系统进行求和，从而得到系统的平衡方程。
本文将详细介绍变形体的虚功原理及其应用。
首先，我们来了解一下虚功原理的基本概念。
虚功原理是基于能量守恒定律的，它认为在平衡状态下，外力对系统所做的虚功等于内力所做的实功。
虚功原理的应用需要引入虚位移，虚位移是指在系统受力作用下，假设系统中的某一部分发生微小位移，而其他部分不发生位移。
通过引入虚位移，我们可以得到系统的平衡方程，从而分析系统的受力情况。
在实际工程中，虚功原理常常用于分析结构体系的受力情况。
以梁结构为例，当外力作用于梁上时，梁会产生弯曲变形。
通过引入虚位移，我们可以得到梁的弯曲方程，进而分析梁的受力情况。
虚功原理的应用不仅可以简化受力分析的过程，还可以得到更为准确的结果。
除了在静力学中的应用，虚功原理在弹性力学、材料力学等领域也有着重要的应用。
在弹性力学中，虚功原理可以用于分析材料的应力-应变关系，从而得到材料的力学性能参数。
在材料力学中，虚功原理可以用于分析材料的变形情况，进而指导工程设计和材料选择。
总之，虚功原理是工程力学中的重要分析方法，它通过引入虚位移，得到系统的平衡方程，从而分析系统的受力情况。
虚功原理不仅在静力学中有着重要的应用，还在弹性力学、材料力学等领域发挥着重要作用。
掌握虚功原理的基本原理和应用方法，对于工程力学的学习和工程实践都具有重要意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解变形体的虚功原理，同时也希望读者能够在工程实践中灵活运用虚功原理，为工程设计和分析提供有力的支持。
变形体虚功原理
变形体虚功原理
变形体虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它在分析和计算结构变形时起
着至关重要的作用。
虚功原理是指在结构受力变形过程中，外力所做的虚功等于内力所做的虚功，即外力和内力之间的平衡关系。
通过虚功原理，我们可以更加简洁地分析结构的受力情况，从而得出结构的变形情况和受力分布。
在应用虚功原理时，我们通常会利用虚位移的概念。
虚位移是指结构在受力变
形过程中，假设某一部分结构发生微小位移，而其他部分不发生位移。
通过引入虚位移，我们可以将结构的受力分析问题转化为能量平衡问题，从而更加方便地进行计算和分析。
虚功原理的应用范围非常广泛，几乎涉及到结构力学的各个方面。
在静力学中，我们可以利用虚功原理来分析梁、柱、桁架等结构的受力情况；在变形分析中，虚功原理也可以帮助我们计算结构的变形情况和受力分布；在动力学中，虚功原理同样可以用于分析结构的振动和冲击响应。
虚功原理的应用不仅仅局限于理论分析，它在工程实践中同样具有重要意义。
例如，在工程设计中，我们可以通过虚功原理来优化结构设计，减小结构的变形和应力集中；在结构监测中，虚功原理也可以用于评估结构的安全性和稳定性。
总的来说，虚功原理作为结构力学的基本原理之一，对于分析和计算结构的受
力和变形具有重要的意义。
通过深入理解和应用虚功原理，我们可以更加准确地把握结构的受力行为，为工程实践提供可靠的理论支持。
希望本文对虚功原理的理解和应用有所帮助，谢谢阅读！。
一级结构基础辅导：变形体系的虚功原理
变形体系的虚功原理
变形体系的虚功原理可表述为：变形体系处于平衡的必要和充分条件是：在满⾜体系变形协调条件和位移边界条件的任意微⼩虚位移过程中，变形体系上所有外⼒所做虚功的总和(W外)，等于变形体系中各微段截⾯上的内⼒在其变形上所做虚功的总和(W变)，即
W外＝W变 (11－3—1)
（11－3—2)
上式也称为变形体系的虚功⽅程。
式中P为作虚功的⼴义⼒，Δ为与P相应的⼴义位移；C是⽀座的线位移或⾓位移，R是与C 相应的作虚功的⽀座反⼒或反⼒矩；M、N、V分别表⽰作虚功的平衡⼒系中微段上的弯矩、轴向⼒、剪⼒；dθ、du、dη分别表⽰虚位移状态中同⼀微段的弯曲变形、轴向变形、平均剪切变形。
对变形体系虚功⽅程(3—2)应注意理解以下⼏点：
(1)刚体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的⼀种特殊情况，对刚体系来讲，W变＝0，式(3—2)即成为刚体系虚功⽅程。
(2)式(3—2)是⼀个既可作为⼏何⽅程(变形协调⽅程)，⼜可作为平衡⽅程的综合性⽅程。
例如当受⼒平衡状态为实际状态，位移状态为虚设状态时，变形体系的虚功原理就称为变形体系的虚位移原理，可利⽤它来求解受⼒平衡状态中的未知⼒，这时的虚功⽅程，实质上代表平衡⽅程；当位移状态为实际状态，受⼒平衡状态为虚设状态时，变形体系的虚功原理就称为变形体系的虚⼒原理，可利⽤它来求解位移状态中的未知位移，此时的虚功⽅程，实质上代表⼏何⽅程。
本章的结构位移计算，就是以变形体系的虚⼒原理作为理论依据的。
(3)变形体系的虚功原理适⽤于弹性、⾮弹性、线性、⾮线性等变形体系的结构分析。
变形体虚功原理的应用
变形体虚功原理的应用1. 引言•变形体虚功原理是一种基于能量守恒和力学原理的理论模型，用于描述变形体在运动过程中所产生的虚功。
虚功的产生是由于变形体在运动过程中受到的内部约束力所引起的能量转换。
•本文将介绍变形体虚功原理的基本原理及其在不同领域的应用。
2. 变形体虚功原理的基本原理•变形体虚功原理是基于能量守恒原理和力学原理的理论模型，它描述了变形体在变形过程中所产生的虚功。
•虚功是由于外力对变形体的位移所做的虚功和内力对变形体的位移所做的虚功之和。
其中，外力对变形体的位移所做的虚功等于外力和变形位移之间的内积，而内力对变形体的位移所做的虚功等于内力和变形位移之间的内积。
•变形体虚功原理的关键是针对不同变形体的内力分析和外力加载的分析，以确定虚功的具体计算方法。
3. 变形体虚功原理的应用3.1 结构力学中的应用•变形体虚功原理在结构力学中扮演了重要的角色，可以用于计算结构体系中的内力和变形的关系。
通过对结构体系受力和变形的分析，可以确定结构体系的稳定性和安全性。
•在工程实践中，变形体虚功原理可以用于计算桥梁、大型建筑物等结构体系的变形情况，为工程设计和施工提供重要依据。
3.2 土木工程中的应用•变形体虚功原理在土木工程中的应用主要涉及土体的变形和力学特性研究。
通过对土体的内力和变形的分析，可以确定土体的稳定性和承载能力。
•在土木工程实践中，变形体虚功原理可以用于计算岩土体的变形情况，为地基工程、地铁隧道等工程提供重要依据。
3.3 机械工程中的应用•变形体虚功原理在机械工程中的应用主要涉及机械结构的变形和力学特性研究。
通过对机械结构的内力和变形的分析，可以确定机械结构的稳定性和工作性能。
•在机械工程实践中，变形体虚功原理可以用于计算机械结构的变形情况，为机械设计和制造提供重要依据。
4. 结论•变形体虚功原理是一种基于能量守恒和力学原理的理论模型，可以用于描述变形体在运动过程中所产生的虚功。
•变形体虚功原理在结构力学、土木工程和机械工程等领域有着广泛的应用。
关于变形体虚功原理的几个问题
× (θ + dθ 2) + Qy − (Q + dQ)( y + dy)
dW面变 = M × dθ 2 + ( M + dM ) dθ 2
略去高阶小量后，得
x 截面
虚位移
θ，y
θ+
dθ ， 2
x + dx 截面 θ + dθ ，
y + dy
dW面刚 = θdM − d (Qy ) dW面变 = Mdθ
(5) (6)
刚性虚 位移
θ+
dθ ， 2
dy y+ s 2
−
dy y + dyb + s 2 dy dθ ， s 2 2
变形虚 位移
dyபைடு நூலகம்dθ ，− s 2 2
如图 1 所示， 在梁的所有微段的所有端 面中，尚包含梁的端部截面 A、B，但由于 它们不是切割面，因此，对全梁而言，切割 面内力在刚性虚位移和变形虚位移上所作 之总功分别为
如前所述， dW内 代表作用在微段上的 内力(包括可视为内力之延续的端面力)在变 形虚位移上所作之功，其值为
W内 = ∫l Mdθ − ∫l Qdy s
= − ∫l Qθdx − ∫l Qy dx + M θ
' s
l 0
dW内 = Mdθ − Qdy s
(17)
l 0 l 0
(22)
W面刚 = ∫ θQdx + ∫ Qy dx − M θ
W外 = W内
(25)
参考文献 [1] 孟昭礼，王光远，严宗达，关于变形连 续体虚功原理的表达方式及其实质的讨 论，天津大学学报，1978 年第 1 期． [2] Timoshenko, S． ，Gere, J． ，Mechanics of Materials (1972)．
变形体的虚功原理
F 表示由零增加到 Fi 过程中的某一数值，以 表示相应位移，则当 F 增加 dF 时，
位移 也相应增加 d iF ，则在此微小阶段荷载 F 所做的元功为
dW (F d F )d F d d F d (a) 略去高阶微量，则元功又可表示为
dW F d
(b)
图10-4
图10-5
从几何角度上看，元功 dW 就是如图10-5 所示的窄条阴影面积。由于F 与 d iF 成 线性关系，若设 α 为比例常数，则有
W内 W内 l M d FQ d v FN du
(10-7)
1. 4 变形体的虚功原理
变形体处于平衡状态的必要和充分条件为：变形体上所有外力在其对应位移 上所做的外力虚功的总和等于各微段上内力在其对应变形上所做的内力虚功 W内 的 总和 ( 证明从略 )，即
W外 W内 将式 (10-6) 和式 (10-7) 代人式 (10-8)，于是得
① 虚设位移，求力，故称为虚位移原理。若虚设单位位移，应用虚位移原 理求力的方法称为虚拟单位位移法。
② 虚设力系，求位移，故称为虚力原理。若虚设单位荷载，应用虚力原理 求位移的方法称为虚拟单位荷载法。
建筑力学
1. 2 实功与虚功
1. 实功与虚功的概念 力在某位移上所做的功根据位移产生的原因可分为如下两类： ① 实功：力在其自身引起的位移上所做的功； ② 虚功：力在其他因素引起的位移上所做的功。
2. 实功与虚功的计算
设图10-6 所示的简支梁，在其梁上 1 点作用由零增加至 F1 时，使梁产生弯 曲变形如虚线Ⅰ所示，则 1 点发生竖向 位移 Δ 11 是由 F1 上作用所引起的；当 F1 平稳后，又在其梁上 2 点作用力 F2 使梁 继续产生弯曲变形如实线Ⅱ所示，由于 F2 作用，则1点又发生竖向位移 Δ 12 。
变形体的虚功原理应用条件
变形体的虚功原理应用条件1. 引言变形体是指由于外力或内力作用而发生形状或尺寸的改变的物体。
通过应用变形体的虚功原理，我们可以探究变形体的力学性质和应用条件。
本文将介绍变形体的虚功原理以及它的应用条件。
2. 变形体的虚功原理变形体的虚功原理是指在弹性变形的情况下，变形体所受的外力所做的虚功等于内力所做的虚功的变化。
虚功是指力与变位的乘积，而变形体的虚功原理则是利用这个原理来研究物体的力学性质。
3. 变形体的虚功原理的应用变形体的虚功原理可以用于以下几个方面的应用：3.1 定位分析变形体的虚功原理可以用于定位分析。
通过测量变形体受力情况和形变，可以计算出力的大小和方向，进而确定物体的位置。
这对于工程设计和结构分析非常重要。
3.2 弹性势能的计算利用变形体的虚功原理，可以计算出物体在弹性变形过程中所具有的势能。
弹性势能是描述物体弹性变形能力的一种表征，它的计算有助于我们理解物体的弹性性质。
3.3 压力传递分析变形体的虚功原理可以应用于压力传递分析。
通过分析变形体在受到压力时的形变情况，可以计算出压力的传递路径和大小，从而对传递过程进行分析和优化。
3.4 材料性能测试利用变形体的虚功原理，可以对材料的性能进行测试。
通过施加外力并测量变形体的形变和受力情况，可以得到材料的弹性模量、屈服强度等力学性质参数，从而评估材料的性能。
3.5 结构稳定性分析变形体的虚功原理可以应用于结构稳定性分析。
通过测量变形体在外力作用下的形变情况，可以分析结构的稳定性和失稳模态，为结构设计和优化提供依据。
4. 变形体的虚功原理的应用条件变形体的虚功原理的应用需要满足以下条件：4.1 弹性变形变形体的虚功原理适用于弹性变形的情况，即变形体在外力作用下，能够恢复到原始形状和尺寸。
在非弹性变形情况下，变形体的虚功原理不适用。
4.2 线性弹性变形体的虚功原理适用于线性弹性的材料。
线性弹性材料的应力和应变呈线性关系，且在整个变形过程中，材料的力学性质保持不变。
变形体的虚功原理
22
12
虚: 并不是假的、不存在的，而是真的、 存在的。它只是表示位移 与力 之间不存在因果关系。
二、虚功原理
根据能量守恒原理有：
由于
改写为 外力虚功
，
， 因此
虚功原理 ！
外力虚功在杆件中产生的变形能 ，关键是求
较好求，例如对本例
§5-2 变形体的虚功原理
三、 的求法
力状态（由P1引起） 微段力状态: + +
相对于P1
虚位移状态（由P2引起）
微段虚位移状态:
+
+
各微段力状态在相应微段虚位移状态所作的虚功
各微段中所产生的变形能
：轴向虚应变 ：平均虚剪切角 ：虚曲率 虚功原理
代入虚功方程 We U 得 We ( FN FQ 0 M )ds Wቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 外力虚功 内力虚功
当有多根杆件时， We
( FN ds FQ 0 ds M ds )
( F F
N Q
0
M )ds
由于因此虚功原理外力虚功外力虚功在杆件中产生的变形能改写为较好求例如对本例关键是求52变形体的虚功原理的求法代入虚功方程外力虚功内力虚功wffms各微段力状态在相应微段虚位移状态所作的虚功微段力状态
§5-2 变形体的虚功原理
一、虚功
: 实功
: 实功 : 虚功
虚位移 虚功
P P1 P P2 P P1
11
11.4 变形体的虚功原理[6页]
![11.4 变形体的虚功原理[6页]](https://img.taocdn.com/s3/m/121d3d52bf23482fb4daa58da0116c175f0e1e9f.png)
2. 虚位移原理
令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立 的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实 际力系中的未知力。这就是虚位移原理。
例如：应用虚位移原理求支座C的反力FC。
A F yA
1
C B
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚
功方程
Δ 1 c1 F yA 0
求得
Δ
c1 F yA
c1 (
b) a
b a
c1 ( )与单位力方向相同。
注意：虚力原理写出的虚功方程是一个几何方 程，可用于求解几何问题。
3. 虚力原理
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所 建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出 位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理(也称 为余虚功原理)。
例：当A支座向上移动一个 A'
c1
已知位移c1，求点B产生的竖向
位移⊿。
A
a
C
B
△
b
在拟求线位移的方向加单位力
由平衡条件 F yA b a
11.4 变形体的虚功原理
1. 虚功原理：
设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变 形体由于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位 移时，则外力系在位移上做的虚功的总和δWe，等于 变形体的内力在变形上做的虚功的总和δWi，即，
δWe δWi
——此即为虚功方程。
需注意：
⑴ 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；
⑵ 位移必须满足虚位移的条件——满足约束条件 的非常微小的连续位移；
变形体虚功原理
变形体虚功原理变形体虚功原理是工程力学中的重要理论之一，它是研究物体在受力作用下的变形规律的基础。
在实际工程中，我们经常需要对各种结构进行分析和设计，而变形体虚功原理则为我们提供了一种有效的方法来解决这些问题。
首先，让我们来了解一下什么是虚功原理。
虚功原理是指在静力学中，如果一个系统处于平衡状态，那么在系统的任意虚位移下，系统内的所有内力和外力的虚功之和为零。
虚位移是指系统中某一点的位移，它是一个虚拟的位移，不是真实的位移。
而虚功则是指在虚位移下各个力的功的总和，如果系统处于平衡状态，虚功总和为零。
在变形体虚功原理中，我们将虚功原理应用到弹性体的变形分析中。
当一个弹性体受到外力作用时，会发生形变，而根据虚功原理，我们可以通过对系统施加虚位移来分析弹性体的变形规律。
通过对虚功的计算，我们可以得到弹性体在受力作用下的位移、应变等重要参数，从而为工程设计提供依据。
变形体虚功原理在工程实践中有着广泛的应用，特别是在结构分析和设计中。
例如，在桥梁设计中，我们可以利用虚功原理来分析桥梁在受力作用下的变形情况，从而确定桥梁的合理结构和尺寸。
在机械设计中，虚功原理也可以用来分析零件的变形情况，从而保证机械零件的稳定性和可靠性。
除此之外，变形体虚功原理还可以应用于材料力学、土木工程、航空航天等领域。
通过对虚功原理的理解和运用，我们可以更加深入地理解物体在受力作用下的变形规律，为工程实践提供科学的分析方法。
总之，变形体虚功原理作为工程力学中的重要理论，为我们提供了一种有效的方法来分析物体在受力作用下的变形规律。
通过对虚功原理的理解和应用，我们可以更好地进行结构分析和设计，保证工程的安全性和稳定性。
希望本文对读者对变形体虚功原理有所帮助。
变形体虚功原理
变形体虚功原理
变形体虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它在分析和计算结构变形过程中起着重要作用。
变形体虚功原理是从能量角度出发，利用虚功原理来推导出结构的变形方程，从而可以通过能量方法来求解结构的变形和内力分布。
在工程实践中，变形体虚功原理被广泛应用于各种结构的分析和设计中。
首先，我们来了解一下虚功原理。
虚功原理是说，当一个结构处于平衡状态时，对这个结构施加一个微小的虚位移，所做的虚功等于零。
这个原理可以用数学公式表示为，δW=0，其中δW表示虚功，当结构受到外力和内力的作用时，对结构施加一个微小的虚位移，所做的虚功等于零。
在结构力学中，变形体虚功原理是指，在结构受力平衡的情况下，对结构进行微小的虚位移，所做的虚功等于零。
通过变形体虚功原理，我们可以得到结构的变形方程，从而可以求解结构的变形和内力分布。
变形体虚功原理的应用非常广泛，可以用于各种结构的分析和设计。
例如，在桥梁工程中，可以利用变形体虚功原理来分析桥梁
的变形和内力分布，从而指导桥梁的设计和施工。
在建筑工程中，可以利用变形体虚功原理来分析建筑结构的变形和内力分布，从而指导建筑结构的设计和施工。
在机械工程中，可以利用变形体虚功原理来分析机械结构的变形和内力分布，从而指导机械结构的设计和制造。
总之，变形体虚功原理是结构力学中的重要概念，它通过能量方法来分析和计算结构的变形和内力分布。
在工程实践中，变形体虚功原理被广泛应用于各种结构的分析和设计中，对于提高结构的安全性和经济性具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者能对变形体虚功原理有一个更加深入的理解，从而在工程实践中更好地应用这一理论。
变形体的虚功原理应用
变形体的虚功原理应用1. 简介变形体是一种可以在形态上发生可逆变化的物质，其虚功原理是指通过施加外力使变形体发生形态变化，并在不需要能量输入的情况下恢复到初始形态。
变形体的虚功原理应用广泛，包括工业、医疗、工程等领域。
2. 工业应用变形体的虚功原理在工业领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：•自动调节阀门：利用变形体的虚功原理，可以设计出一种自动调节阀门，当压力过大时，变形体发生形态变化，使阀门自动关闭，起到安全保护作用。
•耐压材料：通过控制变形体的形态变化，可以使其抵御高压的作用，从而用于制造耐压材料，例如高压管道和容器。
3. 医疗应用变形体的虚功原理在医疗领域也有着重要的应用。
以下是一些常见的应用场景：•血压计：血压计利用了变形体的虚功原理，当袖带充气到一定程度时，变形体发生形态变化，通过测量变形程度可以得出血压值。
•人工心脏瓣膜：利用变形体的虚功原理，可以制造人工心脏瓣膜，当心脏瓣膜受到压力时，变形体可以根据压力变化自动调节瓣膜的开合程度，模拟自然心脏的工作。
4. 工程应用变形体的虚功原理在工程领域有着重要的应用。
以下是一些常见的应用场景：•自适应结构：利用变形体的虚功原理，可以设计出一种自适应结构，根据外界力的变化，变形体可以发生相应的形态变化，实现结构的自适应调节。
•器械设计：在一些特殊的工程应用中，需要设计一些具有特殊形状的器械，利用变形体的虚功原理，可以实现器械的形态变化，从而适应不同的工程需求。
5. 总结变形体的虚功原理应用广泛，包括工业、医疗、工程等领域。
通过控制变形体的形态变化，可以实现一些自动调节、仿生设计和自适应结构等功能。
随着科技的不断发展和变形体研究的深入，其应用前景将更加广阔。
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未知力数 > 有效平衡方程数
内力不可求
二者之差 —— 静不定度
多余未知力
多余约束
• 与静定问题的根本区别 • 求解的关键
外部 三
内部 种
混合
类 型
静不定问题类型
仅在结构外部存在多余约束 －外力静不定结构
仅在结构内部存在多余约束 －内力静不定结构
在结构内外部均存在多余约束 －混合型静不定结构
几度静不定？
力法求解思路 解除多余约束
多余约束力 相当系统 原有外载荷
静不定 结构
静定结构 基本系统
受力、变形与 原结构相当的
静定结构
结构的应力、位移
多余约束力
计算多余约 束处的位移
利用基本系统 静定分析
静不定 问题得解
力法要点
力法求解步骤
判断静不定度与问题所属类型 选择与解除多余约束，建立相当系统 建立补充方程（找位移边界条件或变形协调条件） 由补充方程确定多余未知力 利用基本系统计算原结构位移等
Pd
P
Dst
Dd
P1
v
EA gPl
d
Pd A
P A
1
v
EA gPl
§1 引 言
静不定问题概念 静不定度判断
静不定问题概念
静定问题 未知力数＝有效平衡方程数
可求内力
静不定问题 （Statically Indeterminate）
单位载荷法
D l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
D －广义位移，施加相应单位广义载荷
当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向
载荷状态：实际位移D（待求） 实际微段变形 用实际内力表示；
单位状态：施加与D对应的单位载荷，确定内力
§1 梁的剪切位移 §2 冲击应力分析
第 13 章 静不定问题分析
§1 引言 §2 用力法分析静不定问题 §3 对称与反对称静不定问题分析 §4 平面刚架空间受力分析 §5 位移法概念
§2 冲击应力分析
冲击过程演示 冲击应力分析（工程方法） 缓冲措施 例题
冲击过程演示
冲击变形最大位置
载荷作用点、沿其作用方向产 生单位位移所需之力
Kd 1
1 2h
Dst
－动荷系数
Dd KdDst Pd Kd P d,max Kd st,max
分析思路与方法
自由落体冲击
其它形式的冲击
Pd P1
1
2h
Dst
冲击载荷 Pd
求已 应知 力载 、荷 位 移
冲击应力、位移
Ep Vε 突破口
缓冲措施
讨论
d,max Kd st,max
Kd 1
1 2h
Dst
1) h 0 Dd 2D st , Pd 2P
2) k，Dst，Kd ，d,max
Dst
P k
结论：降低冲击应力的主要途径 －减小被冲击构件或系统的刚度
0
M ( ) Rsin M( ) FR(1 cos )
DBy
(FBy
2F EI
)R3
3. 多余力计算
(FBy 2F )R3 0 EI
FBy
2F
4. 支反力与内力分析
FAx F
FAy
2F
M
A
1
2
FR
多余约束、多余约束力不唯一 基本系统、相当系统不唯一
外静不定问题分析
分析图示小曲率杆的支反力与内力，EI 为常数。
1. 问题分析 一度外静不定 选支座 B 为多余约束，FBy为多余力 变形协调条件为 DBy 0
2. 位移计算
D By
1 EI
/2
M ( )M ( )Rd
静不定度判断（闭口平面刚架）
多余约束 3
轴线为单闭合曲线 的平面刚架或平面曲杆、 且仅在轴线平面内承受 外力时，为 3 度内力静 不定问题
多余约束 2
4 度静不定
§2 用力法分析静不定问题
力法要点 外静不定问题分析 内静不定问题分析
力法要点
力法要点 以多余未知力为基本未知量，进行求解
回弹静平衡位置
冲击末－变形最大位置
冲击、回弹全过程
静平衡位置
冲击应力分析（工程方法）
假设 分析
冲击物为刚体，且与被冲击物接触后，始终保持 接触。
被冲击物的质量忽略不计 冲击过程中的能量损失忽略不计 冲击变形最大时，冲击物的速度为零 冲击物的势能转化为被冲击物的应变能
Ep Vε
配置缓冲弹簧或弹性垫片， 增大构件的柔度等
例题
例12-1 重量为P、速度为v 的物体冲击梁端，求d,max与wB
解： 1. 冲击载荷计算
Ek
Pv 2 2g
Vε
l
M
2 d
(
x
)
dx
0 2EI
Md( x) Fd x
Vε
Fd2l 3 6EI
Pv 2 Fd2l 3 2g 6EI
Fd v
冲击变形最大，被冲击物的应力也最大
自由落体冲击分析
Ep P(h Dd )
Vε
PdDd kDd Dd
2
2
kD2d
)
kD2d
2
令:
Dst
P k
Dd Dst1
1
2h
Dst
Pd
P1
1
2h
Dst
k－刚度系数 线弹性体在冲击
6 PEI gl 3
2. 冲击应力与位移分析
d,max
M d,max Wz
Fdl Wz
v Wz
6PEI gl
wB
Fdl 3 3EI
v
2Pl 3 3 gEI
例12-2 旋转轴在A端突然被刹停，求轴内应力。轴径为 d，飞轮转动惯量为J。
解：1. 冲击惯性力偶矩计算
16 M d2 l
Gd 4
单位载荷法
对于线弹性杆或杆系：
D
l
F
N
(
x )FN EA
(
x
)
dx
T
(
x )T GI t
(
x
)
dx
M y( x)M y( x) dx EI y
M
z
(
x)M EI z
z
(
x
)
dx
解题要求： 画图：<F>状态，<1>状态； 列表：桁架内力
第12章 能量法（二）
J 2
2
Md d 2
GJ
32 l
2. 冲击应力计算
d,max
16 M d
d 3
4
d
GJ
2l
例12-3 鼓轮使重量为 P 的物体以速度 v 匀速下降，求当 鼓轮被刹停时绳内的应力。绳的横截面面积为A。
解：
DE DVε
Dd Dst 1 v
EA gPl