关于变形体虚功原理

回弹静平衡位置
冲击末－变形最大位置
冲击、回弹全过程
静平衡位置
冲击应力分析（工程方法）
假设 分析
冲击物为刚体，且与被冲击物接触后，始终保持 接触。
被冲击物的质量忽略不计 冲击过程中的能量损失忽略不计 冲击变形最大时，冲击物的速度为零 冲击物的势能转化为被冲击物的应变能
Ep Vε
6 PEI gl 3
2. 冲击应力与位移分析
d,max

M d,max Wz

Fdl Wz
v Wz
6PEI gl
wB

Fdl 3 3EI
v
2Pl 3 3 gEI
例12-2 旋转轴在A端突然被刹停，求轴Fra Baidu bibliotek应力。轴径为 d，飞轮转动惯量为J。
解：1. 冲击惯性力偶矩计算
16 M d2 l
Gd 4
0
M ( ) Rsin M( ) FR(1 cos )
DBy

(FBy
2F EI
)R3
3. 多余力计算
(FBy 2F )R3 0 EI
FBy

2F
4. 支反力与内力分析
FAx F
FAy


2F
M
A

1

2
FR
配置缓冲弹簧或弹性垫片， 增大构件的柔度等
例题
例12-1 重量为P、速度为v 的物体冲击梁端，求d,max与wB
解： 1. 冲击载荷计算
Ek

Pv 2 2g
Vε
l
M
2 d
(
x
)
dx
0 2EI
Md( x) Fd x
Vε
Fd2l 3 6EI
Pv 2 Fd2l 3 2g 6EI
Fd v
力法求解思路 解除多余约束
多余约束力 相当系统 原有外载荷
静不定 结构
静定结构 基本系统
受力、变形与 原结构相当的
静定结构
结构的应力、位移
多余约束力
计算多余约 束处的位移
利用基本系统 静定分析
静不定 问题得解
力法要点
力法求解步骤
判断静不定度与问题所属类型 选择与解除多余约束，建立相当系统 建立补充方程（找位移边界条件或变形协调条件） 由补充方程确定多余未知力 利用基本系统计算原结构位移等

Pd

P
Dst
Dd

P1
v
EA gPl

d
Pd A

P A

1

v
EA gPl

§1 引 言
静不定问题概念 静不定度判断
静不定问题概念
静定问题 未知力数＝有效平衡方程数
可求内力
静不定问题 （Statically Indeterminate）
冲击变形最大，被冲击物的应力也最大
自由落体冲击分析
Ep P(h Dd )
Vε

PdDd kDd Dd
2
2
kD2d
2
P(h

Dd
)

kD2d
2
令:
Dst

P k

Dd Dst1

1

2h
Dst

Pd

P1
1

2h
Dst

k－刚度系数 线弹性体在冲击
冲击应力、位移
Ep Vε 突破口
缓冲措施
讨论
d,max Kd st,max
Kd 1
1 2h
Dst
1) h 0 Dd 2D st , Pd 2P
2) k，Dst，Kd ，d,max
Dst

P k
结论：降低冲击应力的主要途径 －减小被冲击构件或系统的刚度
多余约束、多余约束力不唯一 基本系统、相当系统不唯一
外静不定问题分析
分析图示小曲率杆的支反力与内力，EI 为常数。
1. 问题分析 一度外静不定 选支座 B 为多余约束，FBy为多余力 变形协调条件为 DBy 0
2. 位移计算
D By

1 EI
/2
M ( )M ( )Rd

J 2
2
Md d 2
GJ
32 l
2. 冲击应力计算
d,max

16 M d
d 3
4
d
GJ
2l
例12-3 鼓轮使重量为 P 的物体以速度 v 匀速下降，求当 鼓轮被刹停时绳内的应力。绳的横截面面积为A。
解：
DE DVε
Dd Dst 1 v

EA gPl
§1 梁的剪切位移 §2 冲击应力分析
第 13 章 静不定问题分析
§1 引言 §2 用力法分析静不定问题 §3 对称与反对称静不定问题分析 §4 平面刚架空间受力分析 §5 位移法概念
§2 冲击应力分析
冲击过程演示 冲击应力分析（工程方法） 缓冲措施 例题
冲击过程演示
冲击变形最大位置
单位载荷法
对于线弹性杆或杆系：
D
l

F
N
(
x )FN EA
(
x
)
dx

T
(
x )T GI t
(
x
)
dx

M y( x)M y( x) dx EI y
M
z
(
x)M EI z
z
(
x
)
dx

解题要求： 画图：<F>状态，<1>状态； 列表：桁架内力
第12章 能量法（二）
单位载荷法
D l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
D －广义位移，施加相应单位广义载荷
当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向
载荷状态：实际位移D（待求） 实际微段变形 用实际内力表示；
单位状态：施加与D对应的单位载荷，确定内力
静不定度判断（闭口平面刚架）
多余约束 3
轴线为单闭合曲线 的平面刚架或平面曲杆、 且仅在轴线平面内承受 外力时，为 3 度内力静 不定问题
多余约束 2
4 度静不定
§2 用力法分析静不定问题
力法要点 外静不定问题分析 内静不定问题分析
力法要点
力法要点 以多余未知力为基本未知量，进行求解
未知力数 > 有效平衡方程数
内力不可求
二者之差 —— 静不定度
多余未知力
多余约束
• 与静定问题的根本区别 • 求解的关键
外部 三
内部 种
混合
类 型
静不定问题类型
仅在结构外部存在多余约束 －外力静不定结构
仅在结构内部存在多余约束 －内力静不定结构
在结构内外部均存在多余约束 －混合型静不定结构
几度静不定？
载荷作用点、沿其作用方向产 生单位位移所需之力
Kd 1
1 2h
Dst
－动荷系数
Dd KdDst Pd Kd P d,max Kd st,max
分析思路与方法
自由落体冲击
其它形式的冲击
Pd P1

1

2h
Dst

冲击载荷 Pd
求已 应知 力载 、荷 位 移