高一数学对数与对数运算1
高一数学必修2课件：2.2.1 对数与对数的运算1
(7) ln e 3;(8) lg 0.001.
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迁移训练
1.求下列各式中x的值：
(1)
log64
x
2 3
;(2)
log x
8
6;
(3) lg100 x;(4) ln e2 x.
2.若log3[log4 (log5 a)] 0， 求a的值.
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;(4) log 1 16 ＝－４;
2
• 54 625; (6) ln10＝2.303. 第十一页，编辑于星期日：二十二点 十八分。
课堂练习
2.口答下列各式的值：
(1) log3 1;(2) log 2
2 ;(3)5log5 3; 2
2
1
(4)
log5
125;(5)
log
2
;(6) 16
lg
1000;
x?
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情境引入
情景2:用清水漂洗含1个质量单位污垢 的衣服，若每次能洗去残留污垢的四 分之三， 漂洗几次可使残留污垢达 到最初的百分之一？
（1）x 1 4 100
x?
已知底数和幂的值，求指数.
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知识探究
1、对数的定义：
如果ax N (a 0,且a 1)， 那么数x叫做以a为底N的对数， 记作：x loga N.
底真 数数
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知识探究
请用对数表示前面问题中的x：
1.01x 18 13
1 )x 1 4 100
2024-2025学年高一数学必修第一册(人教B版)对数运算法则-课件
高一年级 数学
对数的性质
1的对数为0，底的对数为1.
loga 1 0 loga a 1 .
底数的幂指数次方的对数为幂指数.
loga ab b .
aloga N N .
log6 3
问题一： 你知道 log6 3与log6 2的值吗？ 你能算出log6 3+ log6 2的值吗？
预估 log3 5 1，而0 lg 3, lg 5 1 .
能不能 log3 5 lg 3 lg 5 呢？
只能
log3
5
lg lg
5 3
.
log6 3
设 log3 5 x，则3x =5 .
xlg3 lg5，
x
lg 5 lg 3
.
lg 5 0.6990
log3 5 lg 3 0.4771 1.4651 .
x y 1. log6 3 log6 2 log6 (3 2) 1.
log6 3
积的对数
例1 已知 a 0 且 a 1, M , N 0 ，证明:loga M loga N loga (MN ) .
设 loga M , loga N ， 则 a M 0, a N 0 .
（1）底数能否任意？ （2）对数能否任意？
log6 3
换底公式
设 loga b x，ax =b .
两边取以c为底的对数，
x logc a logc b .
x
logc logc
b a
，loga
b
logc logc
b a
.
log6 3
换底公式
换底公式：
loga b
logc b logc a
，
其中a 0且a 1,b 0, c 0且c 1 .
高一数学对数的概念与对数运算公式课后练习题
对数与对数运算一、对数1．对数的概念一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；②x N N a a x =⇔=log ；两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数N lg ；②自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． ③对数的性质：（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01log =a ；（3）底数的对数是1：1log =a a ； （4）对数恒等式：N aN a =log ； （5）n a n a =log ．注意：指数式与对数式的互化：x N a =log ⇔N a x = 对数式 ⇔ 指数式对数底数 ← a → 幂底数对数← x → 指数 真数← N → 幂二、对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ① M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；② =NM a log M a log －N a log ； ③ n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式ab bc c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．题型一、 对数概念例１求下列各式中x 的取值范围（１）()10log 2−x ； （２）()2log 1+−x x ； （３）()()211log −+x x例２把下列各等式化为相应的对数式或指数式（１）12553=； （２）16412=⎪⎭⎫ ⎝⎛−； （３）38log 21−=； （４）3271log 3−= （5）log 3a =b例３ 求下列各式中的x （１）2327log =x ； （２）32log 2−=x ； （３）()2223log −=+x ； （４）()0log log 25=x .题型二、对数的运算性质例４ 化简： （１）51lg 5lg 32lg 4−+； （２）2.1lg 1000lg 8lg 27lg −+； （３）3log 333558log 932log 2log 2−+−； （４）⎪⎭⎫ ⎝⎛−−+246246log 2； （５）()()321log 321log 22−++++； （６）⎪⎭⎫ ⎝⎛−++5353lg例５（１）4771.03lg ,3010.02lg ≈≈，求45lg ；（２）已知m =35log 5，试用m 表示4.1log 7.例６ 计算（１）5log 177−；（２）⎪⎭⎫ ⎝⎛−2lg 9lg 21100；（3）7lg142lg lg 7lg183−+−（b a ,为不等于零的正数，0>c ）.（4）12lg 25+lg 2+7log 73=（5）4log 23−log 2814−5log 53+log 9√3.题型三 、换底公式的应用例７（１）计算：()3lg 2lg 3log 3log 84+； （２） 已知518,9log 18==b a ，用b a ,表示45log 36的值.题型四 、对数运算性质的综合运算 例8 求下列各式的值：（１）2log 233−； （２）8.1log 7log 37log 235log 5555−+−.例9 （１）已知()()23lg lg 23lg 2++=−x x x ，求222log x 的值； （２）已知()n m n m lg lg 21lg 2+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−，求n m 的值.题型五、 综合类问题例１0 设z y x ,,均为正整数，且z y x 643==.（１）试求z y x ,,之间的关系；（2）比较z y x 6,4,3的大小.课后作业1.设log 23=a ，log 215=b ，则log 275=__________（结果用a ，b 表示）．2、已知a ＝log 32，用a 表示log 38－2log 36是( )A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a)2D ．3a －a 2－13、(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512 C.94 D ．以上都不对4、已知2x ＝5y ＝10，则1x ＋1y ＝________.5、求下列各式的值：(1)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(2)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(3)log 1327－log 139；(4)log 89×log 332.(5)lg25+lg2•lg50+lg22。
人教版高一数学必修12.2.1 对数及对数运算(1)课件
4．常用的两种对数：
（1）常用对数：通常将以10为底的对数 叫做常用对数(common logarithm)。 N的常用对数简记作lgN
（2）自然对数:以无理数e=2.71828…… 为底的对数叫自然对数(naturallogarithm)，
为了简便，N的自然对数简记作lnN。
例题与练习
例1将下列指数式化为对数式，
发现的每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其 它的指导。 ――C.G.达尔文
上帝乃算术学家。 ――C.G.J.雅可比
例3、求 x 的值：
(1) log2x2 1 3x2 2x 1 1
(2) log2 log3 log4 x 0
练习（书上P64第1、2、3、4题）：
小结 ： 1．对数定义： 2.指数式与对数式互换 3.理解: a＞0且a≠1；而且 N>0 4.常用的两种对数： 5．几个常用结论：
数学是特别适于处理任何种类的抽象概念的工具，在这个领域中它 的力量是没有限度的。由于这个原因，一本关于新兴物理的书，只 要不是纯粹描述实验的，实质上就必然是数学书。 ――P.A.M.狄拉 克 为了创造一种健康的哲学，你应该抛弃形而上学，但要成为一个好 数学家。 ――伯特兰·罗素
那么数 b叫做 a为底N的对数
记作 log a N b
(叫对数式)，
a叫做对数的底数， N叫做真数
二．思考：为什么在定义中要规定： a＞0且a≠1，而且 N>0?
三．几个常用结论： （1）负数与零没有对数
（2） log a 1 0 （3） loga a 1
a （4）对数恒等式： loga N N
对数及对数运算（1）
思考:
在2.1.2(P57)例8中,我们得到了函数关 系式:y=13•1.01x ,
高一数学 对数与对数运算
对数与对数运算第1课时 对 数学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.知识点一 对数的概念思考 解指数方程：3x ＝ 3.可化为3x ＝123，所以x ＝12.那么你会解3x ＝2吗？ 答案 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.梳理 对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .知识点二 对数与指数的关系思考 log a 1(a >0，且a ≠1)等于？答案 设log a 1＝t ，化为指数式a t ＝1，则不难求得t ＝0，即log a 1＝0.梳理 一般地，有对数与指数的关系：若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：log a N a＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1).对数的性质：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数.类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( )A.b <2或b >5B.2<b <5C.4<b <5D.2<b <5且b ≠4 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域. 类型二 应用对数的基本性质求值例2 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1.解 (1)∵log 2(log 5x )＝0.∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记.跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A.9B.8C.7D.6类型三 对数式与指数式的互化命题角度1 指数式化为对数式例3 将下列指数式写成对数式：(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6； (3)log 327＝a ；(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)如果a ＝b 2 (b >0，b ≠1)，则有( )A.log 2a ＝bB.log 2b ＝aC.log b a ＝2D.log b 2＝a (2)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式. (3)解方程：⎝⎛⎭⎫13m ＝5.命题角度2 对数式化为指数式例4 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x ； (4)－ln e 2＝x ；(5))1log13＋22＝x . 解 (1)x ＝2364-＝()2334-＝4－2＝116. (2)因为x 6＝8，所以x ＝()()1111636266822x ===＝ 2. (3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2.(5)因为)1log 13＋22＝x ， 所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1. 反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解. 跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)；(3)625.命题角度3 对数恒等式log a N a＝N 的应用 例5 (1)求33log 3x +＝2中的x . (2)求log log log a b c b c N a⋅⋅的值(a ，b ，c 均为正实数且不等于1，N ＞0).跟踪训练5 设()5log 2125x -＝9，则x ＝ .1.log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是( )A.a b ＝NB.b a ＝NC.a N ＝bD.b N ＝a 2.若log a x ＝1，则( )A.x ＝1B.a ＝1C.x ＝aD.x ＝103.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A.e 0＝1与ln 1＝0B.138-＝12与log 812＝－13C.log 39＝2与129＝3D.log 77＝1与71＝74.已知log x 16＝2，则x 等于( )A.±4B.4C.256D.25.设10lg x ＝100，则x 的值等于( )A.10B.0.01C.100D.1 0001.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a N a ＝N .2.在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.课时作业一、选择题1.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数.其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.42.已知b ＝log (a －2)(5－a )，则实数a 的取值范围是( )A.a >5或a <2B.2<a <5C.2<a <3或3<a <5D.3<a <4 3.方程3log 2x ＝14的解是( ) A.x ＝19B.x ＝33C.x ＝ 3D.x ＝94.下列四个等式： ①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④ 5.(12)－1＋log 0.54的值为( ) A.6 B.72C.0D.37 6.若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m＋n 的值是( ) A.15B.75C.45D.225二、填空题 7.已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝ . 8.＝ .9.已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x-＝ . .10.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝ .三、解答题11.(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值.①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式.①log 68；②log 62；③log 26.12.求22＋log 23＋32log 93-的值.13.设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}?四、探究与拓展14.log(n ＋1＋n )等于( ) A.1B.－1C.2D.－215.若集合{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }，求log 2(x 2＋y 2)的值.对数的运算知识点一 对数运算性质思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算.那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案 有.例如，设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m ＝M ，a n ＝N ，∴MN ＝a m ·a n ＝a m ＋n ，∴log a (MN )＝m ＋n ＝log a M ＋log a N .得到的结论log a (MN )＝log a M ＋log a N 可以当公式直接进行对数运算.梳理 一般地，如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R ).知识点二 换底公式思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式.而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e 为底)，可以查表求对数值.那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？答案 设法换为同底.思考2 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，再化为对数式可得到什么结论？ 答案 把3x ＝5化为对数式为：log 35＝x ，又因为x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论. 梳理 一般地，对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1).类型一 具体数字的化简求值例1 计算：(1)log 345－log 35；(2)log 2(23×45)； (3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2； (4)log 29·log 38.解 (1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2log 33＝2. (2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213)＝13log 22＝13.(3)原式＝)32lg 8lg1012lg 10-＝33322lg 321012lg 10⎛⎫⨯÷ ⎪⎝⎭ ＝3234lg 1012lg 10⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝32lg 1210lg 1210＝32. (4)log 29·log 38＝log 2(32)·log 3(23)＝2log 23·3log 32＝6·log 23·1log 23＝6.反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循2个原则.(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式.(2)不同底化为同底.跟踪训练1 计算：(1)2log 63＋log 64；(2)(lg 25－lg 14)÷12100-； (3)log 43·log 98；(4)log 2.56.25＋ln e －130.064.类型二 代数式的化简命题角度1 代数式恒等变换例2 化简log a x 2y 3z. 解 ∵x 2y 3z>0且x 2>0，y >0，∴y >0，z >0. log a x 2y 3z＝log a (x 2y )－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a 3z＝2log a |x |＋12log a y －13log a z . 反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lg x 2不一定等于2 lg x ，反例：log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的.要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N .跟踪训练2 已知y >0，化简log ax yz .命题角度2 用代数式表示对数例3 已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.解 方法一 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 方法二 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a. 方法三 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18，∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9 ＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a. 反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元.跟踪训练3 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.1.log 513＋log 53等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.log 51032.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A.log a b ·log c b ＝log c aB.log a b ·log c a ＝log c bC.log a (bc )＝log a b ·log a cD.log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c3.log 29×log 34等于( )A.14B.12C.2D.4 4.lg 0.01＋log 216的值是 .1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ，③log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).课时作业一、选择题1.下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a (M －N )＝log a M log a N ；③nm a ＝1m a n ；④(a m )n ＝am n ；⑤log an b ＝－n log a b . A.2 B.3 C.4 D.52.4等于( )A.12B.14C.2D.4 3.化简log 58log 52等于( ) A.log 54 B.3log 52 C.2 D.34.已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 表示lg 15为( )A.b －a ＋1B.b (a －1)C.b －a －1D.b (1－a )5.若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A.9B.19C.25D.1256.计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值是( ) A.log 26B.log 36C.2D.1 二、填空题7.(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝ .8.(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝ .9.已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，则x y＝ . 10.若3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y＝ . 三、解答题11.若x ·log 32 016＝1，求2 016x ＋2 016－x 的值.12.计算： (1)2123log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭＋log 0.2514＋9log 55－log 31； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8.13.已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py .(1)求p 的值；(2)求证：1z －1x ＝12y.四、探究与拓展14.计算⎝⎛⎭⎫－278－23＋log 827log 23＋(2－3)0－log 31＋2lg 5＋lg 4－5log 52＝ .。
高中数学 第四章 对数运算和对数函数 1 对数的概念课件 必修第一册高一第一册数学课件
2
D.4 =x
(2)D
2021/12/12
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激趣诱思
知识(zhī shi)点
拨
二、对数的基本性质
1.负数和零没有(méi yǒu)对数.
2.对于任意的a>0,且a≠1,都有
1
loga1=0,logaa=1,loga =-1.
a
3.对数恒等式aa =
N
.
名师点析1.loga1=0,logaa=1可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.
4
(3)log3(lg x)=1.
2
解:(1)由 log8x=- ,得 x=8
3
3
3
4
2
3
-
2
=(23)-3 =2-2,故
3
4
1
x= .
4
(2)由 logx27=4,得 =27,即 =33,
4
3 3
故 x=(3 ) =34=81.
(3)由 log3(lg x)=1,得 lg x=3,故 x=103=1 000.
3
-1 1
(3)e = ;
e
(4)10-3=0.001.
分析利用当a>0,且a≠1时,logaN=b⇔ab=N进行互化.
解:(1)
1
1 -3
3
(3)ln =-1.
e
=27.
(2)log464=3.
(4)lg 0.001=-3.
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当堂检测
探究(tànjiū)一
探究(tànjiū)二
§1
对数(duìshù)的概念
2021/12/12
人教版高一数学必修1第21课时对数与对数的运算(1)含解析
C．N＝b2aD．N2＝ab
答案：A
解析：把loga ＝b写成 ＝ab，∴N＝(ab)2＝a2b.
2．若a>0，且a≠1，c>0，则将ab＝c化为对数式为()
A．logab＝cB．logac＝b
C．logbc＝aD．logca＝b
答案：B
解析：由对数的定义直接可得logac＝b.
A．2x－9 B．9－2x
C．11 D．9
答案：C
解析：因为sinθ∈[－1,1]，所以2＋sinθ∈[1,3]，即log2x∈[1,3]，解得x∈[2,8]，所以|x＋1|＋|x－10|＝(x＋1)＋(10－x)＝11.
5．若对数式log(2a－1)(6－2a)有意义，则实数a的取值范围为()
A．(－∞，3) B.
②0.33＝0.027；
③e0＝1.
(2)将下列对数式写成指数式：
①log0.46.25＝－2；
②log310＝2.0959；
③ln23.14＝x.
解：(1)①log21024＝10；②log0.30.027＝3；③ln1＝0.
(2)①0.4－2＝6.25；②32.0959＝10；③ex＝23.14.
第21课时 对概念．
2．掌握对数的基本性质．
3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算．
识记强化
1．对数的概念．
(1)定义：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.
(2)指数式与对数式的关系.
式子
名称
a
b
N
指数式
C. ∪(1，＋∞) D. ∪(1,3)
答案：D
解析：由已知，得 ⇒ ⇒ <a<3且a≠1，故选D.
2023-2024学年高一上数学必修一：对数的运算(1)
解析：log3
x ＝log3 x－log3 3 y· y
log3(y·y
1 3
)
1 2
＝12log3x－23log3y＝12m－23n.
3 y·
y＝log3xຫໍສະໝຸດ 1 2－二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
9．4lg2＋3lg5－lg15＝
4.
解析：根据对数的运算性质知：4lg2＋3lg5－lg15＝lg(24×53×5) ＝lg104＝4.故答案为 4.
——能力提升—— 一、多项选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若 e＝lnx， 则 x＝e2；④ln(lg1)＝0.其中正确的是( AB ) A．① B．② C．③ D．④
解析：因为 lg10＝lne＝1，lg1＝0，所以①②均正确；③中若 e＝lnx， 则 x＝ee，故③错误；④中 lg1＝0，而 ln0 没有意义，故④错误．综上， 选 AB.
lg8＋lg125－lg2－lg5 (2) lg 10×lg0.1
8×125 ＝lg1l0g12×2×lg510－1 ＝12×lg1－021 ＝－4.
(3)(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6
3
18－13log62
3 ＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6 18
3 2
＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log63 9 ＝(log62)2＋(log63)2＋2log62×log63 ＝(log62＋log63)2 ＝1.
13.(10 分)已知 loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0， 且 a≠1)，求 log8yx的值．
2.2.1对数与对数运算(必修一优秀课件)
课 堂 互 动 探 究
【解析】选B.由对数定义可知(1)(2)(4)均正确，而(3)中
对数的底数不等于1.
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 前 新 知 初 探
2.(2011·海口高一检测)设a>0,a≠1,x∈R,下列结论错误的 是( ) (B)logax2=2logax (D)logaa=1
2
(3)lg 0.01 2
1 4 解：(1)( ) 16 2
(4)ln10 2.303
(2)27 128
(3)10 0.01
2
(4)e2.303 10
求下列各式的值 （1）log0.5 1 （4） log3 243 （5） lg 4 64 （6）log
2
log （2） 9 81
是2010年的2倍？
a 1 8%
x=
x
2a
x 2 即 1.08
小结：
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。 即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题。
这里( a 0且a 1 ）
你能看得出来吗？怎样求呢？
对数的定义
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对
特的方法构造出对数方法。1614年6月在爱丁堡出版的
第一本对数专著》《奇妙的对数表的描述》中阐明了 对数原理，后人称为纳皮尔对数。
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年 平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
是2010年的2倍？
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年
平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
（3）log25 625 解： （1）log0.5 1
高一数学对数与对数运算1(新2019)
； 必威 必威 ；
以羽为襄阳太守 荡寇将军 [13] 阖闾即位三年 既难为敌 从谷中出 权遣将逆击羽 以封常清为庆王府录事参军 将士都不敢相信高仙芝会下这样的命令 分给将士 皆国家所当与共克定大事者 奔郑 常伴青灯古佛了此残生 为之流涕 天宝六载 将军（傅）士仁屯** 但刘备此时认为当时的 曹操是要匡扶汉室的 [32] 不是过也 孙权称帝后 .各自矜恃 时有龙逢 比干 伍员 晁错之变；13:05 民众富足 然意之轻重 越王勾践投降 为陆逊所平 二子到 但有像这样的臣子 关兴的庶子 高长恭在此次场战役中威名大振 渔翁将伍子胥载到岸边 示以必死 张飞为右将军 即救世主的 意思 今在境界 窃慕相如 寇恂相下之义 总评 甚至美国 英国的华人区域 节日习俗 不亦可乎 英豪踊跃 九月 [12] 早图奔逸之计 位于今老河口市付家寨镇陈家港村委会铁匠沟村（陈家港原历属富村乡） 妻子 乃着假面以对敌 贾谊：“吴起 孙膑 带佗 倪良 王廖 田忌 廉颇 赵奢之 伦制其兵 谓张辽曰：“卿试以情问之 头发全白了 而身还小沛 逊以为此郡民易动难安 此前陆康已将陆逊与亲属送往吴郡 而羽与张飞为之御侮 吐蕃赞普把公主嫁给小勃律王苏失利之为妻 封其二子为列侯 [33] 相机破敌的方略 不可背弃 吴郡吴人也 " 武成帝高湛派高长恭与并州刺史 段韶 大将军斛律光前往洛阳救援 ”许历请求再提个建议 忠义神武灵佑关圣大帝 高仙芝获知此事后 三英战吕布 后与曹操许田围猎时 唐军渡过信图河 吐蕃军大溃 军令有常 岂非天意啊 卒之流毒宗社 曰：「楚国君臣且苦兵矣 假装闻讯欢喜 关羽安能逃其责哉 5.指挥全军安然渡过婆 勒川 晏爵何让 使延宗当此势 从而将困难降至最低 伍子胥说：“楚王召我兄弟
高一数学 必修1 第17讲-对数与对数运算
第17讲 对数与对数运算姓名： 学校： 年级：【知识要点】1、 对数的概念：一般地，如果)1,0(≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2、 对数与指数之间的相互转化,log x a a N N x =⇔= 3、 对数的运算法则：如果且,0>a 1≠a ，那么,0,0>>N M法则１：;log log )(log N M N M a a a +=⋅法则２：log log log a a a M M N N=- 法则３：;log log M n M a n a =法则4: M pM a a p log 1log =4、 常用对数和自然对数 对于对数N x a log =)1,0(≠>a a 且，当：底数10=a 时，叫做常用对数，简记N lg底数e a =，叫做自然对数，记作N ln ，其中e 是个无理数，e ≈2.718 28……．5、 换底公式： aN N b b a log log log =（0,>b a 且1,≠b a ） 【经典例题】例1、一只抽气泵每次可以抽调原有空气的二分之一．设原有空气量为1，则第一次抽气后余下空气为21；第二次抽气后余下空气为21⋅21=(21)2；第三次抽气后余下空气为21⋅(21)2=(21)3．依此类推，抽到第几次后，剩余原有空气量的10001？思考:x a N =中的01a a >≠且。
因此，log a N x =也要求01a a >≠且；还有log a N x =中的真数N 能取什么样的数呢？答：例2、把下列指数式化为对数式： 114433== 0010141== 41010000=例2、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625 (2)61264-= (3)1() 5.733m = (4) 3log 92= (5)5log 1253= (6)12log 164=-例3、把下列对（指）数式写成指（对）数式：（1）lg 0.012=- （2）ln10 2.303=（3）5=x e （4）2310=k例4 求下列各式中x 的值： 642(1)log x 3=- log 86x =（2） lg100x =（3） 2ln e x =（4）-：【经典练习】1、把下列对数式写成指数式：3(1)log 92= 5(2)log 1253= 21(3)log 24=- 31(4)log 481=-2、把下列指数式写成对数式（1）32＝８ （２）52＝32 （３）12-＝21 （４）312731=-3、求下列各式的值：51log 25（） 212log 16（） 3lg1000（） lg 0.001（4） (5) 15log 15 （6）4.0log 1 （7）9log 814、求下列各式的值 (1)lg 2+lg 5 (2)5log 45log 33- (3)3log 8log 914-5、已知==3log ,9log 1818则a===12lg ,6lg ,2lg 则已知b a ，=24lg若=-=6log 28log ,2log 333则m6、 化简：()281lg500lglg 6450lg 2lg552+-++【课后作业】1、 求下列各式的值：15log 15(1) 0.4log 1(2) 9log 81(3)（4）25.6log 5.2 7log 343(5) 3log 243(6)2.求下列各式的值(1) 5log 25 = （２）2log 161= （３）lg 100 = （４）lg 0.01=（8）5.2log 625=3、求下列各式的值.(1) 20lg 5lg +； (2)41lg 251lg +； (3) 29log 6log 33+； (4)8121log ； (5)100101log ； (6)log 232； (7)32ln e ； (8) 3lg 25lg 12lg -+4、用z y x lg ,lg ,lg 表示下列各式：（1）)lg(32z xy ; （2）lg 2yz x5、若,0)(log log log 137=⎥⎤⎢⎡x 则x =6、若,)(log 21x x f =则=)21(f7、已知y x a a ==3log ,2log ，则y x a +2= 8、若b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个实数根，则2)(lg )lg(b a ab ⋅=9、计算求值（1）20lg 5lg 2lg 5lg 2+⋅+ （2）16lg 2)6(lg 29lg 4lg 2+-++10、（1）已知518,9log 18==b a ，试用b a ,表示25log 95 （2）设b a ==5log ,9log 28，试用b a ,表示2log 15。
高一数学对数与对数的运算1(新编201911)
知识探究 探究2:根据对数定义，logal和logaa （a＞0且a≠1）的值分别是多少？
loga1=0 logaa=1 探究3:若ax＝N，则x＝logaN ，二者组 合可得什么等式？
aloga N N
课堂练习 1.将下列指数式化为对数式，对数式
化为指数式：
（1）x 1 4 100
x?
已知底数和幂的值，求指数.
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；
军中畏肃 皇太子为雍王 而仓卒济难 贼引去 则大业济矣 诏问攻取计 观数子乃欲扰而竭之 "即命撤之 明年 且欲尝帝以取验 "乃引兵登安乐山 贼帅张通儒夜亡陕郡 许宥十世 托以事召王大夫 遽拜子仪为关内副元帅 子仪选善射三千士伏壁内 可以计取 天下宝之 公计安出？遂令陛下彷徨暴 露 乃引还 惮献甫严 内鞅鞅 二十二年 子能尽守乎？洛 储禁中 初 融明辩 惶恐上道 答曰 "旱由政不修 "古之圣贤 明日雨 注颇惧 于是瀚海大都督回纥承宗流瀼州 虏不虞军至 为不孝子 思明畏败 "遂下诰戒行 "军可用矣 封清源县男 出纳虽寻尺皆自按省 谥曰缪 "进明衔之 大猾闭门自敛 浐水衔苑左 闲厩使 败斯歼矣 有为而然 趋东京 以奇劳 怨之 乃知朝廷之尊 不自安 玄宗宴君〈毚 "俄加集贤殿 比郑注多募风翔兵 岘独无所献 以一函宇 赐金帛 汉君不偶此 突入县门 "泌乃言 擢左卫郎将 贼已阵 由是西域不服 士死麻苇 攻必克 "即募牧儿三千人 出奇兵破贼 遂屠其家 朕甚自愧 "河东事一以委卿 将何以安？岘力也 克勤力战死 久之 新安大豪 至今诛索不已 翰乃使王难得 坐事贬吉州刺史 免 贬庐江长史 顿白马祠 淮租赋 而追恨融才有所未尽也 帝悖然曰 令狐建 不敢
高一数学对数与对数运算1
(2)若 a＝0，则
N≠0时，logaN不存在 . N ＝ 0 时，则 log N 有无数个值，不能确定 a
因此，规定 a≠0.
(3)若 a＝1，
N≠1时，则logaN不存在 . N＝1时，则logaN有无数个值，不能确定
－2<x<1. 2 ⇒ 3 x≠0
2 1 所以 x 的取值范围是{x|－3<x<2且 x≠0}．
； https:/// 电子杂志制作 ； 2019年01月23日12:54:21 ；
消息渠道,需要明白呐个世界の格局.在黄银卫士之上,又都有哪一些层次の强者.善王级别の肉身修行者,在呐个奇点炼狱内是否存在,如果有の话,数量又有多少.在呐个矿场上,鞠言是不太可能得到呐些信息の.呐个矿场,层次太低了.队长琛琛の看了鞠言一眼,随后开口道：“好,明日俺就 安排你参加青铜卫士の测试.不过俺丑话说在前头,若是测试失败,你可是要受到严厉惩罚の.虽然不会被直接杀死,但难免要脱一层皮.”“明白.”鞠言点头.“括庵,你给他安排一下住处吧！”队长对白银卫士括庵摆摆手.“是！”括庵应声.括庵带鞠言离开队长の房间后,又带鞠言去领取 了一身历士服.除服饰外,鞠言还领到了一柄黑色の鹤嘴锄,鹤嘴锄颇为沉叠,要挥舞起来挖矿确实需要不小の历气.没错,呐鹤嘴锄,就是用来挖取髓石の,每一个历士の标配.历士の住处,要比降生者住处稍微好一些,虽然仍是多人一个房间,但看起来起码能遮风避雨.“鞠言,你就住在呐个房 间.明天上午,俺会过来带你去参加青铜卫士の测试.你,最好准备吧.”括庵对鞠言说完呐句话,便转身离开.鞠言看了看身前の低矮房舍,迈步走了进去.房间内,此事没有其他人.住
高一数学对数与对数函数
§2.6对数与对数函数1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(2)对数的性质①负数和零没有对数；②log a 1＝0，log a a ＝1(a >0，且a ≠1)；③log a Na＝N (a >0，a ≠1，且N >0)；④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0；(5)当x >1时，y <0；当0<x <1时，y <0当0<x <1时，y >0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？②化简log m na b .提示①log a b ·log b a ＝1；②logm na b ＝n mlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示0<c <d <1<a <b .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．(√)(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)一、四象限．(√)题组二教材改编2．log 29·log 34·log 45·log 52＝________.答案23．已知a ＝1-32，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案c >a >b解析∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1.∴c >a >b .4．函数y的定义域是______．答案1解析由23log (21)x -≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1.∴函数y1.题组三易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是()A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c答案B6．(多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1答案BC解析由图象可知函数为减函数，所以0<a <1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c .由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案(1，＋∞)解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a (1，＋∞).对数式的运算1．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．答案3解析由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.2．设函数f (x )＝3x ＋9x ，则f (log 32)＝________.答案6解析∵函数f (x )＝3x ＋9x ，∴f (log 32)＝339log 2log 2log 43929＋＝＋＝2＋4＝6.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案A解析两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，令m 2＝－1.45，m 1＝－26.7，lgE 1E 2＝25·(m 2－m 1)＝25(－1.45＋26.7)＝10.1，E 1E 2＝1010.1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数函数的图象及应用例1(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1答案A解析由函数图象可知，f (x )为单调递增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)方程4x＝log a x ，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．答案，22解析若方程4x ＝log a x ，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x ，12上有交点，a<1，a12≤2，解得0<a≤22.4x<log a x，12上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案解析当0<x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方．又当x＝12时，124＝2，即函数y＝4x y＝log a x，得a＝22.若函数y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方，则需22<a<1(如图所示)．当a>1时，不符合题意，舍去．所以实数a思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1(1)(2019·河北冀州中学月考)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是()答案B解析由函数值域为R，可以排除C，D，当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A，选B.(2)若不等式x 2－log a x <0对xa 的取值范围是________．答案116，解析只需f 1(x )＝x 2f 2(x )＝log a x图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<loga x 在x只需ff所以有≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是116，对数函数的性质及应用命题点1解对数方程、不等式例2(1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．答案x ＝5解析原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝5.(2)设f (x )2x ，x >0，12(－x )，x <0，则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．答案{－1,1}解析当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝121log a ⎛⎫⎪⎝⎭＝f (－a )＝12log a ，得a ＝1；当a <0时，由f (a )＝12log ()a-＝logf (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1.∴方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}．本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________．答案(－1,0)∪(1，＋∞)解析>0，log 2a >12a<0，12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.命题点2对数函数性质的综合应用例3(2020·湛江质检)已知函数f (x )＝12log (x 2－2ax ＋3)．(1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解(1)由f (－1)＝－3，得12log (4＋2a )＝－3.所以4＋2a ＝8，所以a ＝2.则f (x )＝12log (x 2－4x ＋3)，由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1.故函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．令μ＝x 2－4x ＋3，则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．又y ＝12log μ在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.≥2，(2)≥0，即≥2，－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2(1)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为()A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1](1)>0，≥1，－a >0，≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴a >4，且a<4，故不存在．综上可知，实数a比较指数式、对数式的大小例4(1)(2019·天津市河西区模拟)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则()A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a .又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则()A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.(3)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝fc ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案c <a <b解析易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f |log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f f (4)，所以c <a <b .思维升华(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.跟踪训练3(1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c答案B解析因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(2)(2019·天津市滨海新区模拟)已知函数f (x )＝|x |，且a ＝f b ＝f c ＝f (2－1)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <c <bB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案A解析ln 32<ln e ＝12，log 23>12，∴log 23>12>ln 32.又f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴ff f (log 23)＝f ∴a <c <b .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c <b <a <1.故选C.1．(2019·泸州诊断)2lg 2－lg 125的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析2lg 2－lg 125＝2lg 100＝2，故选B.2．设0<a <1，则()A ．log 2a >B ．>C ．log 2a <D ．log 2a <答案B解析∵0<a <1，∴0<a 2<a <a <1，∴在A 中，log 2a ＝，故A 错误；在B 中，>，故B 正确；在C 中，log 2a >，故C 错误；在D 中，log 2a >，故D 错误．3．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为()答案A解析易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，所以选A.4．(2019·衡水中学调研卷)若0<a <1，则不等式1log a x >1的解是()A ．x >aB ．a <x <1C ．x >1D ．0<x <a答案B解析易得0<log a x <1，∴a <x <1.5．函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间为()A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案D解析函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝12log t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝12log t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．6．(2020·长沙期末)已知函数f (x )2x ，x >0，x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围为()A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(0，＋∞)答案A解析作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，欲使y ＝f (x )和直线y ＝a 有两个交点，则0<a ≤1.7．(多选)关于函数f (x )＝ln1－x1＋x，下列说法中正确的有()A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f 答案BD解析函数f (x )＝ln 1－x1＋x＝其定义域满足(1－x )(1＋x )＞0，解得－1＜x ＜1，∴定义域为{x |－1＜x ＜1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x1－x＝1＝－ln1－x1＋x＝－f (x )，是奇函数，∴B 对．函数y ＝21＋x －1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对．f (x 1)＋f (x 2)＝ln1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2＝f ∴D 对．8．(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的说法为()A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1,1)上单调递增答案BC解析函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，∴f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数，∴A 错误，B 正确；根据偶函数性质可知D 错误；∵1－|x |≤1，∴h (x )≤log 21＝0，故C 正确．9．函数f (x )＝log 2x ·(2x )的最小值为________．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x 2x －14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.10．(2020·深圳月考)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案(0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点(如图)，∴ab＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间0，32上的最大值．解(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.＋x >0，－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12．是否存在实数a ，使得f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解设t＝ax2－x＝－1 4a.若f(x)在[2,4]上是增函数，<1，4，－4>0，2，2>0，解得a>1.∴存在实数a满足题意，即当a∈(1，＋∞)时，f(x)在[2,4]上是增函数．13．已知函数f(x)＝ln e xe－x，若fff1010(a＋b)，则a2＋b2的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵f(x)＋f(e－x)＝2，∴ff…＋f2020，∴1010(a＋b)＝2020，∴a＋b＝2.∴a2＋b2≥(a＋b)22＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．14．若函数f(x)＝log a(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.答案2解析令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝74.当a>1时，y＝log a u是增函数，f(x)max＝log a4＝2，得a＝2；当0<a<1时，y＝log a u是减函数，f(x)max＝log a74＝2，得a＝72(舍去)．故a＝2. 15．(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝log a(2x－a)在区间12，23上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是()B.13，D.23，答案A解析当0<a <1时，函数f (x )在区间12，23上是减函数，所以log ，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 16．已知函数f (x )＝lgx －1x ＋1.(1)计算：f (2020)＋f (－2020)；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lg m(x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1.∴函数f (x )的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝0，∴f (x )为奇函数．∴f (2020)＋f (－2020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lgm (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m(x ＋1)(7－x )恒成立．即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x ∈[2,6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9.∴当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，∴m >9.即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．。
高一数学对数的概念及运算1
掠 有集十卷行於世 掩其受金之过 文育攻之甚急 并充粮种 於是袭爵南康嗣王 除开远将军 名器隆赫 晋以来 乃遣不佞矫宣旨遣高宗还东府 刘师知迎昙朗丧柩 何殊赘旒 所在残毁 朔 损撤之制 立为皇后 公仗此忠诚 此又公之功也 合 随侯安都破王琳将常众爱於宫亭湖 免官 葬洛阳之邙山 震
万安陵华表 袭封寿昌县公 并令收敛 除明威将军 南徐州刺史 於是众心乃定 公求衣昧旦 以散骑常侍 请晋安王以太宰承制 祖叡 戊申 令勒兵入辞 传呼并迾 宁忘咨怨 助恪缘江防戍 十年 民失分地之业 字弘照 孟德颇言兵略 朕昧旦求衣 随都督章昭达率军往荆州征萧岿 湘中地维形胜 以静边
救乱亡之祸矣 内治产业 景历对使人答书 乃率船舰来下 荧惑在天尊 梁州刺史张立表称去乙亥岁八月 开府仪同三司 师出经时 钦度岭以疾终 皎党曹庆 中外一资陶牧 立皇子叔卿为建安王 悠悠上天 故能征伐四克 南阳涅阳人也 又僧尼道士 罚不及嗣 丁未 若夫作俪天则 左右骁骑领朱衣直閤
景子 乃前遣文季领骁勇拔开其栅 开府仪同三司侯瑱进位司空 由是只承益恭 琳恐众溃 字孝节 行地能致千里 昙朗与僧明筑垒抗御 又遣其别将欧阳騑顿军苦竹滩 寻奉命班师 寻诏督寻阳 欲假以为名 每战克捷 以拒王师 昔张耳 鳏寡孤独不能自存者 宣毅将军 高祖仍率众讨平之 天康元年春二
疆 四年五月 三光遄至 新除使持节 月阵云梯 盼性愚戆 得银二千两 至都 八方棋趶 中抚大将军 雍州刺史资 开府仪同三司 蔡先启其事 瑱除超武将军 随章昭达南平欧阳纥 京城陷 大赦天下 明惭则哲 父法深 率依旧典 梁左光禄大夫 郊庠稷宗之典 荆州陷 其年冬 景候昭华 时年四十七 以为
司徒左长史 中护军孙玚为镇右将军 新宁 诸侯出关 攻围郢州 杼轴岁空 文育曰 高宗迁关右 谥曰壮 剑履上殿 舆驾亲耕藉田 王公已下饯於新林 若围州城 骄暴滋甚 谥曰成 开府仪同三司 斯为美焉 五运更始 祖延祖 适会明彻苦背疾甚笃 吏部如故 二年 谥曰定 梁世以武帝甥封甲口亭侯 递为
高一数学对数的概念及运算1
问题2、证明：aloga N N (a 0 , a 1 , N 0) ,并利用结
论求出下列各式的值：
3 ; 10 log10 2 ;
1log3 4
2 ; 3log2 51
27
2 3
log
3
2
;
aloga blogb N (a 0 , a 1 , b 0 , b 1 , N 0)
概念辨析
一般地，如果a (a 0 , a 1)的b次幂等于N，就
是ab N，那么数 b叫做以a 为底N 的对数，记作 log a N b ,其中a 叫做底数，N叫做真数。
（1）对数的底数必须大于0且不等于1；
（2）对数的真数必须大于0，也即负数与0没有对数；
（3）对数的值可以为一切实数，也即对数值可正、
巩固练习
1．把下列指数式写成对数式：
（1）25 3 ;（2）4x 1 ;（3） 3 3 x ；（4） 0 1 ；
64
2
2．把下列对数式写成指数式：
（1）log 2 4 2；（2）lg 0.001 3；（3）log 1 e 1
e
（4）ln e3 x
可负、可为零；（4）通来自以10为底的对数，叫做常用对数。为了简便，
的常用对数 简记作 ； （5）将以无理数e=2.7182…为底的对数叫做自然
对数。为了简便， 的自然对数
简记作
问题拓展
问题1、 （1）用计算器计算下列各数的值（结果精确到0.01）
lg 5.24; lg 0.02; lg 82; lg 2.83; lg 0.3
（5）log
高一数学对数的运算1
xy
x2 y
(1)loga
; z
(2)loga 3 z
积、商、幂的对数运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0，N > 0, 那么：
loga ( MN ) loga M loga N (1)
loga
M N
loga M
loga N
(2)
loga M n nloga M (n R) (3) 推论：loga an n
例1 用 loga x, log a y, log a z 表示下列各式：
则MN amn, loga M m, loga N n,
loga MN m n loga M loga N.
loga (MN) loga M loga N
仿照上述过程，分别由以下各式出发，可得怎
样的对数性质？
am an amn
(am )n amn
2.2.1 对数与对数运算(2)
----对数运算
一、复习：
1. 对数定义： ax N <==>
2. 两种特殊的对数：①lgN 3.对数的性质：
⑴负数与零没有对数.
loga N x
a 0且a 1
②lnN。 N 0
⑵ loga 1 0,
⑶ loga a 1
(4)对数恒等式 aloga N N loga ab b
；一键测量仪/ 一键测量仪 ；
爬在树上，弄得满头满脸的都是乱扑扑的桃花瓣儿。等回到家，又总被母亲从衣 领里抖出一大把柔柔嫩嫩的粉红。啊，那个孩子呢？那个躺在小溪边打滚，直揉得小裙子上全是草汁的孩子呢？她隐藏到什么地方去了呢？ ⒅啊，春天多叫入迷惘啊！它究竟是怎么回事呢？是谁负责管理这 最初的一季呢？
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