材料力学 (18)

例1：长为 l 的矩形截面悬臂梁，在自由端受到载荷
F 作用，该力通过横截面形心并与形心主轴 y 成夹
角 。试求梁的应力和变形。
讨论： tan tan Iz tan Iy
若 I y Iz，梁发生斜弯曲变形。 若 I y Iz，梁发生平面弯曲变形。
x
z
y
w
l
O Fz z
Fy φ x
y
F
横截面为正多边形或圆时，只要 F 通过形心且在横截面内，都发生平面弯曲。
<My > A
50 F1=2kN B
B F2=2kN
例2：图示悬臂梁承受铅垂力F1 及水平力F2 共同 作用。试求不同截面时梁的最大正应力。(1) 矩
形截面；(2) 圆形截面。
z
(3) 应力计算
y
0.5m A
0.5m F1=2kN
x
B F2=2kN
80
圆形截面：
40
y
M max
M2 y max
M
O Fz z
Fy φ x
y
F
例1：长为 l 的矩形截面悬臂梁，在自由端受到载荷
F 作用，该力通过横截面形心并与形心主轴 y 成夹
角 。试求梁的应力和变形。
（4）确定危险点
K
K
K
sin M (
Iy
z
cos Iz
y)
固定端处：Mzmax= Flcos，Mymax= Flsin
D
C
Fl ( sin Iy
Fy φ x
y
F
例1：长为 l 的矩形截面悬臂梁，在自由端受到载荷
F 作用，该力通过横截面形心并与形心主轴 y 成夹
角 。试求梁的应力和变形。
（3）分析横截面的应力
K
Myz Iy
M
sin Iy
z
K
Mzy Iz
M
cos Iz
y
K
K
K
M (sin Iy
z
cos Iz
y)
z
K(z,y)
y
x l
l
F
F
F
A
B
（a）
（b）
当梁的横截面具有对称轴，但外力不作用在对称轴与梁轴线组成的纵向对称平 面内时，梁的弯曲平面与外力作用平面不重合，发生斜弯曲。
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例1：长为 l 的矩形截面悬臂梁，在自由端平面内受 到载荷F 作用，该力通过横截面形心并与形心主轴 y 成夹角 。试求梁的应力和变形。 解：（1）将 F 沿主轴 y、z 方向分解
组合变形的概念
构件同时存在两种或两种以上基本变形组合的情形称为组合变形。 在小变形和材料服从胡克定理的条件下，力的独立作用原理成立。 基本求解方法：将组合变形分解为几种基本变形，分别求解每种基本变形的应 力和应变等，再将它们进行叠加。
斜弯曲
当梁的横截面具有对称轴，且外力作用在对称轴与梁轴线组成的纵向对称平面 内时，梁的弯曲平面与外力作用平面重合，发生平面弯曲。
Fy F cos，Fz F sin Fy 和Fz 分别使梁在xOy 和xOz 两个平面发生平面弯曲 斜弯曲是两个垂直方向平面弯曲的组合。 （2）截面法求内力
M y =Fz l x F l xsin M sin M z =Fy l x F l xcos M cos
x l
O Fz z
<Mz > A
F2 单独作用时 M y max 1kN m A 截面为危险截面。
2kNm z 1kNm
<My > A
50 F1=2kN B
B F2=2kN
例2：图示悬臂梁承受铅垂力F1 及水平力F2 共同 作用。试求不同截面时梁的最大正应力。(1) 矩
形截面；(2) 圆形截面。
z
(3) 应力计算
y
0.5m
0.5m F1=2kN
x
A y 1 F2=2kN
B
z
80
矩形截面： 角点1有最大拉应力
max
M z max Wz
M y max Wy
2 103
1103
1 40 802 109 1 80 402 109
6
6
93.8106 Pa 93.8MPa
40
y
<Mz > A
2kNm z 1kNm
zmax
cos Iz
ymax )
max
Fl(sin Iy
zmax
cos Iz
ymax )
D+ +
Mymax +
－
y
+
－
z
M－zmax －C
x l
O Fz z
Fy φ x
y
F
例1：长为 l 的矩形截面悬臂梁，在自由端受到载荷
F 作用，该力通过横截面形心并与形心主轴 y 成夹
角 。试求梁的应力和变形。
（6）分析变形
x
wy
Fyl 3 3EI z
Fl 3 3EI z
cos ,
wz
Fzl 3 3EI y
Fl 3 3EI y
sin
z
w wy2 wz2
y
w
l
tan Hale Waihona Puke Baidu wz Iz sin Iz tan tan wy I y cos I y
O Fz z
Fy φ x
y
F
总挠度发生在与中性轴垂直平面内，横截面形心不沿力的方向移动，故为斜弯曲。
例2：图示悬臂梁承受铅垂力F1 及水平力F2 共同 作用。试求不同截面时梁的最大正应力。(1) 矩
形截面；(2) 圆形截面。
z
解: (1) 受力分析
y
0.5m A
0.5m F1=2kN
x
B F2=2kN
80
梁在 F1 和 F2 单独作用时，均发生平面弯曲 (2)确定危险截面
40
y
F1 单独作用时 M z max 2kN m
（5）中性轴的位置
0,
sin Iy
z0
cos Iz
y0 0
tan y0 Iz sin Iz tan z0 I y cos I y
D
z
yC
1
z
y2
x l
O Fz z
Fy φ x
y
F
例1：长为 l 的矩形截面悬臂梁，在自由端受到载荷
F 作用，该力通过横截面形心并与形心主轴 y 成夹
角 。试求梁的应力和变形。
2 z max
12 22 2.24kN m
max
M max W
2.24 103 π 503 109 32
<Mz >
182 106 Pa 182MPa
z
A
2kNm 1kNm
圆截面在两平面弯曲合成后仍为平面弯曲。 <My > A
50 F1=2kN B
B F2=2kN