概率论与数理统计第九章区间估计

( X Y ) ( 1 2 ) S 1 1 n1 n2
其中
2 2 ( n 1 ） S ( n 1 ) S 2 1 2 2 S 1 n1 n2 2
得
的置信水平为1-a置信区间为
( X - Y S 1 1 t (n1 n2 2） ) n 1 n2 2
( X Y ) ( 1 2 )
的置信区间
2 2
12
所以

2 1
n1


2 2
~ N (0,1)
n2
从而可得
(X Y
的置信水平为1-a置信区间为
12
n1
2 2
n2
z )
2
一、均值差
2. 由
2 1
的置信区间

2 2
2
但是 2为未知，
~ t (n1 n2 2)
2
2.1315 解： 1-a=0.95，a/2=0.025，n-1=15， t 2 (n 1) t 0.025 （15）
由给出的数据算得 x =503.75 ，s=6.2022，得到均值
的置信水平为0.95的置信区间为 (500.4,
507.1 )
这说明估计袋装糖果重量均值在500.4克与507.1克之间 的可信程度为95%，若以此区间内的任一值作为 的近似
2
所以， 的一个置信水平为1-a的置信区间为
(X

n
z ,
2
X

n
z )
2
（， ） 一、单个正态总体 N 均值 的置信区间
2
例1
（， 8）,某 某灯泡厂生产的灯泡的寿命服从正态分布 N
天从生产的灯泡中抽取10只进行寿命试验，得数据如下： 1050，1100，1080，1120，1200， 1250，1040，1130，1300，1200。 求该天生产的灯泡平均寿命 的置信水平为99%的置信区间。
2
2. 未知
2
当 2 未知时，可以用其无偏估计量 S 2 代替 2 ，而 T= X ~ t (n 1)
S n
由t分布的上侧分位点可得
P{t (n 1)
2
X t (n 1)} 1 2 S/ n
（， ） 一、单个正态总体 N 均值 的置信区间
2
1.
2
已知
2
n
（， ） ，故 由于样本均值 X ~ N
X -

n
~ N (0,1)
根据标准正态分布上侧分位点的定义有
X z } 1
2
P{

n
（， ） 一、单个正态总体 N 均值 的置信区间
2
从而有
P{ X

n
z X
2

n
z } 1
2
(n 1) S 2
2
2 (n 1 ） } 1 2
（， ） 二、单个正态总体 N 方差 的 置信区间（ 未知）
2
2
即
(n 1) S 2 （n 1 ）S 2 2 P{ 2 2 } 1 (n 1） 1（n 1)
2 2
于是得两个总体样本方差比 2 2 的置信水平为0.90 1 2 0.34 1 0.34 置信区间为 （ ， 2.38） 0.29 2.59 0.29
即
（0.45 ，
2.79 ）
Thank you
2 S S 1.1688
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故所求的两个体样本均值差 信区间为
( x1 x2 S 1 1 t 0.025 (28)) 10 20
的置信水平为0.95置 即 (3.07, 4.93)
二、.方差比 的置信区间
2 1 2 2
由F=
2 S12 S 2 2 12 2
~ F（n 1 1, n2 1)
概率论与数理统计
第九章 区间估计
第九章 区间估计
1 置信区间 2 单个正态总体均值与方差的置信区间
3 两个正态总体均值与方差的置信区间
第一节 置信区间
1
置信区间
2
置信区间求解步骤
一、置信区间概念
定义1 设总体X的分布函数 F (x; ) 含有一个未知参数
, （ 是 的可能取值范围），对于给定值 （0 1)
ˆ, ) b 等价变形为 4. 将 a g (
，
其中 和 只与
有关，则
就是 的1-a置信区间。
第二节 单个正态总体均值与方差 的置信区间
1
2 单个正态总体 单个正态总体 均值 N （， 2） 的置信区间 （ 未知）
N （， 2） 方差 2的置信区间
（， ） 一、单个正态总体 N 均值 的置信区间
2
即
P{ X t (n 1)
2
S S X t (n 1) } 1 2 n n
因此均值
的置信水平为1-a的置信区间为
(X S n t (n 1 ） ,
2
X
S n
t (n 1))
2
（， ） 一、单个正态总体 N 均值 的置信区间
一、均值差
例4
的置信区间
为比较Ⅰ，Ⅱ两种型号的步枪子弹的枪口速度，随
机地取Ⅰ型子弹10发，得到枪口速度的平均值为
x1 =500(m/s)，标准差 s1 =1.10(m/s), 随机地取Ⅱ型
子弹20发, 得到枪口速度的平均值为 x 2 =496(m/s)，标 准差 s2 =1.20(m/s),假设两总体都可认为近似地服从正 态分布。且由生产过程可认为方差相等。求两总体均值 差 的置信水平为0.95的置信区间。
20.9764 ， 4.58 ，
92.16
9.60
从而总体标准差 的置信水平为0.95的置信区间为
第三节 两个正态总体均值与方差 的置信区间
1
均值差
的置信区间
2
2 2 方差比 1 2 的置信区间
一、均值差
1 因为 均为已知
X Y～N ( 1 2， ） n1 n2
ˆ ˆ（X ,, X ) 1 n
ˆ, ) ，此函 2.通过 ˆ 的分布，构造一个随机变量函数 g (
数除了含有未知参数
外，不含有其它的未知参数，并
且它的分布是已知的或可确定的；
二、置信区间求解步骤
3.确定 a, b(a b) ，使得
ˆ, ) b} 1 P{a g (
由F分布上侧分位点，可得
P{F1 (n1 1, n2 1)
2 2 S12 S 2

2 1
2 2
F (n1 1, n2 1)}
2
即
S12 12 S12 1 1 P{ 2 2 2 } 1 S 2 F1 (n1 1, n2 1) 2 S 2 F (n1 1, n2 1)
（， ） 一、单个正态总体 N 均值 的置信区间
2
解：1-a=0.99，a=0.01
U ( ) 2.576 ， 2

,
的置信水平为95%
而 x =1147，n=10, 8 的置信区间为
故

（1144.70，1149.30）。
（， ） 一、单个正态总体 N 均值 的置信区间
6.2022 2.1315 2 6.61 (克) 16
值，其误差不大于
，这个误差
估计的可信程度为95%。
（， ） 二、单个正态总体 N 方差 的 置信区间（ 未知）
2
2
因为 为
的无偏估计，且
（n - 1 ）S 2
2
~ 2 (n 1)
2 由 分布的上侧分位点可得
P{12（n 1)
因此 2 的置信水平为1-a的置信区间为
(n 1) S 2 （ 2 ， (n 1）
2
（n 1 ）S 2 ） 2 1（n 1)
2
（， ） 二、单个正态总体 N 方差 的 置信区间（ 未知）
2
2
例3 求例1中总体标准差 的置信水平为0.95的置信区
间。 解：由（3）得 2 的置信水平为0.95的置信区间为
一、均值差
的置信区间
解：根据实际情况，可认为分别来自两个总体的样本是
相互独立的。又因为假设两总体的方差相等，但数值未 知，故可用（5）式来求均值差的置信区间。 由于 1-a=0.95，
2 (n1 1 ）S12 (n2 1)S2 9 1.102 19 1.202 S n1 n2 2 28 2
设两样本相互独立，且设由机器A和机器B生产的管子内 径分别服从正态分布 N（1，12）和 N（ 2， 2 2），这里
i , i2 (i 1,2)
2 2 均未知，试求两个总体样本方差比 1 2
的置信水平为0.90置信区间.
二、.方差比 的置信区间
2 1 2 2
解：
1 1 F1（n1 1, n2 1) F0.95 (17,12) 2 F0.05 (12,17) 2.38
， ）是 的置信水平为1-a的置信区间 则称随机区间（
(Confidence interval)。
一、置信区间概念
和 分别称为 的置信水平为1-a的双侧置信区间
的置信下限和置信上限，1-a称为置信度，或置信水平 (Confidence level)。
二、置信区间求解步骤
1.求出 的一个点估计（通常为最大似然估计）
2 2
2 因此方差比 12 2 的置信水平为1-a置信区间为
二、.方差比 的置信区间
2 1 2 2
例5
研究由机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取
2
机器A生产的管子18只，测得样本方差 s1 =0.34(
2
)；
抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差 s 2 =0.29( m m2)，
2
例2
有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量
（以克计）如下： 506 508 514 505 499 493 503 496 504 506 510 502 497 509 512 496
设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，求总体均值 的
置信水平为0.95的置信区间。
（， ） 一、单个正态总体 N 均值 的置信区间
（X 1 , X 2 ,, X n ) 如果由样本 X 1 , X 2 ,, X n 确定的两个统计量
和 （X 1 , X 2 ,, X n ) （ ），对于任意 满足
（X 1 , X 2 ,, X n )} 1 P{ （X 1 , X 2 ,, X n )