应力应变关系

应力应变关系

我所认识的应力应变关系

一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。

在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即

,E ,,XX

在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律

本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。

(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下

(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下

(3)各向同性弹性体的本构方程

各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足:

,,,,,，，CCCxxyz111213

,,,,,，，CCCyxyz212223

,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3)

,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有

,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为:

CCCa==,112233

CCCCCCb=====,122113312332 (2-4)

所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。

广义胡可定律如下式

,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz

2GE,,

,1,zx,,,,，[()]zx,,,,,,,zzxy,2GE,,

EGv泊松比剪切模量 E:弹性模量/杨氏模量 ,2(1),，

,,,E虎克定律 ,G,,

对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。 2 屈服条件拉伸与压缩时的应力——应变关系曲线

P,,A0

,ll0,,l

BC:屈服阶段,

,CD:强化阶段塑性阶段,

,DE:局部变形阶段,

弹性变形时应力应变关系的特点

1.应力与应变完全成线性关系;即应力主轴与全量应变主轴重合

2.弹性变形是可逆的，与应变历史(加载过程)无关，即某瞬时的物体形状、尺寸只与该瞬时的外载有关，而与该瞬时之前各瞬间的载荷情况无关。

单向拉伸塑性变形下的应力-应变关系

1.应力、应变为非线性关系

2.塑性变化不可逆——无单值一一对应关系

3.对于应变硬化材料，卸载后的屈服应力比初始屈服应力高

弹塑性力学常用的简化模型

1. 理想弹性力学模型

,,,E

2. 理想弹塑性力学模型

E,,,,,s ,,,,,,, ss,

3. 线性强化弹塑性力学模型(双线性强化力学模型)

E,,,,,s ,,, ()，,,E,,,,,1sss,

4. 幂强化力学模型

n,,,A

n:强化指数:0 , n , 1

5. 理想塑性力学模型(刚塑性力学模型)

,,,s

6. 线性强化刚塑性力学模型

,,,,，Es1

塑性变形时应力和应变的关系

弹性力学是以应力与应变成线性关系的广义Hooke定律为其基础的;而在塑性力学的范围内，一般来说，应力与应变间的关系是非

线性的，同时这种非线性的特征，又与所研究的具体材料和塑性应变有关。

塑性变形过程中的应力应变关系十分复杂，相关的理论较多，但可将它们分为两大类，即增量理论和全量理论。

增量理论

在弹性极限范围内，弹性全量应变与当时的应力状态有确定的一一对应关系，而与加载的历程无关。但由于塑性变形的不可恢复性，塑性全量应变与当时的应力状态不是单值关系，而与加载的历史有关。因此，当材料发生塑性变形时，即使应

力水平相同，不同加载历程所对应的应变值也会不同。同样，对于同一应变值，不同加载历程所对应的应力值也会不同。因此，只有明确了加载历程，才能得到应力应变间的对应关系。

既然塑性变形时的应变与加载历史有关，而且也不容易得到全量应变与应力状态间的对应关系，人们自然想到建立塑性变形每一瞬时应变增量与当时应力状态之间的关系，又因为金属塑性变形过程中体积的变化可以忽略，人们又会想到建立每一瞬时应变增量与当时应力偏量之间的关系，增量理论便建立了这样的关系，这里的“增量”指的是应变增量，是相对全量应变而言的。

增量理论又称流动理论，是历史上最早提出来的阐述塑性变形过程应力应变关系的理论，代表性的有Levy-Mises(列维,米赛斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特,劳斯)理论。

需要说明的是，Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论都只能在加载的情况下使用，卸载时须按Hooke定律计算。

全量理论

全量理论又称形变理论，它所建立的是应力与应变全量之间的关系，这一点和弹性理论极为相似，但全量理论要求变形体受简单加载，即要求各应力分量在加载过程中按同一比例增加，因而变形体内各点的应力主轴方向不发生变化，显然，这一要求限定了全量理论的应用范围。

有代表性的全量理论是Hencky(汉基)理论和Ильющин(依留辛)简单加载定理。

在Hencky和Nadai(纳代依)工作的基础上，A.Ильющин于1943年将形变理论的形式和所必须满足的条件进行了整理，提出了物体内每个单元都处于简单加载的具体条件，并认为物体处于简单加载状态，即当外荷载从一开始即按同一比例系数增加时，由形变理论计算的结果是正确的。