第二章有理数及其运算知识点梳理

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第二章有理数及其运算(知识归纳+题型突破)(解析版)

第二章有理数1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；5.理解有理数乘方定义及运算；6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想8.进一步掌握有理数的五则混合运算；9.理解科学记数法，了解近似数；10.能运用科学记数法表示较大的数.知识点1 正数和负数1.概念正数：大于0的数叫做正数。

负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。

注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。

）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

知识点2：有理数1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。

分数：正分数、负分数统称分数。

（有限小数与无限循环小数都是有理数。

）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。

2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

（注意不带“+”“—”号）知识点3 ：相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。

（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。

(五四制)六年级上册数学第二章有理数及其运算知识点

六年级上册数学期末复习知识梳理第二章有理数及其运算2.1 有理数重点：有理数的意义，用正负数表示相反数意义的量难点：按不同的标准对有理数进行分类解题技巧在用正数和负数表示一对具有相反意义的量时,“正”和“负”是相对而言的,用“正”来表示其中的一个量,就用“负”来表示另一个与之意义相反的量,但我们一般把“增加”“上涨”“盈利”“高于”等记为“正”,把与它们有相反意义的量记为“负”此外,在用正负数表示一对具有相反意义的量时,不要少了后面的单位。

知识点拨。

③相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义要相反;二是它们都是数量。

④意义相反的量中的两个量必须是同类量,如节约汽油3t与浪费1t水就不是具有相反意义的量。

2.2 数轴重点：用数轴表示有理数难点：利用数轴表示有理数的大小解题方法1.在数轴上表示有理数的方法:在数轴上,对于不为零的有理数,可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一边,再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度,然后标上相应的点。

2.找出数轴上的点对应的有理数的步骤:(1)确定点与原点的位置关系(负左正右);(2)确定点与原点的距离。

知识方法要点：1.数轴上表示的两个数，右边的总是比左边大。

2.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

2.3 绝对值重点：相反数和绝对值的概念及应用。

难点：利用绝对值的概念比较两个负数的大小。

a （a>0）|a| 0 （a=0）互为相反数的两个数绝对值等于0a （a<0）解题方法1.利用数轴确定一个数的绝对值时,首先确定这个数在数轴上表示的点,然后确定这个点到原点的距离即可。

2.对于绝对值的计算,首先要判断这个数是正数、零,还是负数.如果绝对值里面的数是非负数,那么这个数的绝对值就是它本身;如果绝对值里面的数是负数,那么这个数的绝对值就是它的相反数。

知识点拨比较两个负数的大小,可以运用绝对值法,根据“两个负数,绝对值大的反而小”来比较大小;也可以运用数轴法,把要比较大小的两个负数在数轴上表示出来,右边的数总大于左边的数”来判断。

有理数及其运算要点整理

有理数及其运算要点整理1. 有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，它们可以是正数、负数或零。

有理数包括整数、分数和小数。

2. 有理数的运算2.1 加法与减法有理数的加法和减法遵循以下规则：- 同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。

- 异号相减：一个正数减去一个负数，相当于两个正数相加；一个负数减去一个正数，相当于两个负数相加。

- 异号相减取相反数：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

2.2 乘法与除法有理数的乘法和除法遵循以下规则：- 同号相乘：两个正数相乘，结果仍为正数；两个负数相乘，结果仍为正数。

- 异号相乘：两个不相等的有理数相乘，结果为负数。

- 除法是乘法的逆运算：一个数除以另一个数，等于将被除数乘以除数的倒数。

3. 有理数运算的要点3.1 加法与减法的要点- 将有理数按照同号、异号分类进行计算，遵循同号相加、留号不变；异号相减，取相反数相加的原则。

- 确保有理数的运算过程中，将同种类型的数进行运算，如整数与整数相加，分数与分数相加，小数与小数相加。

3.2 乘法与除法的要点- 乘法的结果符号由乘数和被乘数决定，同号得正，异号得负。

- 除法的结果符号由被除数和除数决定，同号得正，异号得负。

- 乘法和除法都要注意化简分数，使结果尽量简化。

4. 示例4.1 加法与减法示例例1：计算 -5 + (-3)。

解：两个负数相加，结果仍为负数，所以 -5 + (-3) = -8。

例2：计算 -4 - 2。

解：一个负数减去一个正数，相当于两个负数相加，所以 -4 -2 = -6。

4.2 乘法与除法示例例3：计算 -2 × 3。

解：两个不相等的有理数相乘，结果为负数，所以-2 ×3 = -6。

例4：计算 12 ÷ (-4)。

解：一个正数除以一个负数，结果为负数，所以 12 ÷ (-4) = -3。

以上是有理数及其运算的要点整理，希望对你理解有理数的运算有所帮助。

北师大版七年级上册数学第二章有理数及其运算讲义(学生、家长、教师必备)

第二章有理数及其运算■通关口诀：学好有理并不难；基本概念要通关。

整分统称有理数；小数有理也无理。

数轴加上反绝倒。

还有负数非负数。

六个概念先学好；五种运算无漏洞。

科学记数表大数；寻找规律有方法。

■正奇数学学堂第一讲：有理数与数轴【知识点一】正数、负数和0。

1．相反意义的量：由具有相反意义的词表示的两个量叫做具有相反意义的量。

2．具有相反意义的两个量：规定其中一个量用正数表示；另一个量就用负数表示。

3．正负数：正数：大于0的数；负数：小于0的数。

其中正数的正号可省略不写。

负数的负号必须写出。

4．0：不仅表示“没有”，它还是正数与负数的分界。

同时也是具有相反意义的量的基准量。

既不是正数又不是负数。

5．正数与负数的分界：数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号。

6．重新认识两个符号——⑴“+”：运算符号表示加；性质符号表正数。

⑵“-”：运算符号表示减；性质符号表负数。

★正奇点睛：1．其实上述两个符号还有“自己”和“相反”的意思。

学了相反数自会明白。

2．注意“负负得正”与“双重否定变肯定”的关系。

〖母题示例〗1．任意写出5个正数：________________；任意写出5个负数：_______________．2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．3．已知下列各数：51-，432-，3.14，+3065，0，-239．则正数有_____________________；负数有____________________．4．如果向东为正，那么 -50m表示的意义是（）A．向东行进50m C．向北行进50mB．向南行进50m D．向西行进50m5．下列结论中正确的是（）A．0既是正数，又是负数B．O是最小的正数C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数6．给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，21-，2004，+2008．其中是负数的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如果规定向东为正，那么从起点先走+40米，再走－60米到达终点，问终点在起点什么方向多少米？应怎样表示？一共走过的路程是多少米？8．10筐橘子，以每筐15㎏为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数。

有理数及其运算知识归纳及练习

第二章有理数及其运算班级**〔一〕有理数知识点1：正数和负数1、设上升为正，上升200米记作米，则下降300米应记作，不升不降应记作.200+2、〔2021·〕如果零上记作，则零下可记作〔〕.5C o 5C +o 7C oA. B. C. D. 7C -o 7C +o 12C +o 12C -o知识点2：有理数及其分类3、大于零的数叫______，在正数前面加上“﹣〞〔读作负〕的数叫______；____既不是正数，也不是负数。

4、〔2021•〕如果收入50元，记作+50元，则支出30元记作( )元. A.+30 B.-30 C.+80 D.-805、把以下各数填在相应的大括号：1，－0.1，－789，25，0，－20，－3.14，52正整数集｛…｝；非负整数集｛ …｝正分数集｛…｝；负分数集｛ …｝正有理数集｛ …｝；负有理数集｛ …｝〔二〕数轴知识点1：数轴的定义6、数轴的三要素：______，________，_________.知识点2：数轴上的点与有理数的关系7、比拟有理数的大小： ①数轴上右边的数总比左边的数__；②正数都______零；③负数都_____零；④正数______一切负数.8、〔1〕数轴上和原点距离等于4.3个单位的点所表示的数是________；〔2〕和表示的点距离等于4个单位的点所表示的数是_________；5-9、〔2001•呼和浩特〕在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是〔〕A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数10、〔2021•莱芜〕如图，在数轴上点A 表示的数可能是〔〕A ．1.5B ．－1.5C ．－2.4D ．2.411、数轴上A 、B 两点表示的数分别为a 、b ，且点A 在点B 的左边，以下结论正确的选项是( )A ．a ＋b ＜0B ．a ＋b ＞0C ．a －b ＜0D ．a －b ＞012、以下说法错误的选项是〔〕A ．数轴是一条直线 B ．数轴上的原点表示数0C ．数轴上表示数－a 的点在原点的左边 D ．0是正数与负数的分界点〔三〕绝对值知识点1：相反数13、只有符号不同的两个数互为_______；数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离且分别在原点的两边；0的相反数是___；a 的相反数是_____；互为相反数的两个数相加和为_____.14、〔2005•〕如果□+2=0，则“□〞应填的实数是〔〕A ．﹣2B ． C. D.2212115、以下关于相反数、数轴的说法，不正确的选项是〔〕A ．符号相反的两个数互为相反数 B ．假设a=－a ，则数轴上表示a 的点是原点C ．数轴上关于原点对称的两个点表示相反数 D ．假设a ＋b=0，则a 、b 互为相反数16、写出以下各数的相反数，并在数轴上把这些相反数表示出来：知识点2：绝对值17、(1)数a 的点与原点的距离叫做，数a 的绝对值记作∣a∣；(2)意义：假设a ＞0，则∣a∣＝. 假设a ＝0，则∣a∣＝____. 假设a ＜0，则∣a∣＝___ ；两个负数比拟大小,绝对值越大的负数反而____；两个点a 与b(a ＜b)之间的距离为：______。

第二章有理数及其运算知识点

第二章有理数及其运算一、有理数1.用正、负数表示具有相反意义的量2.有理数的分类(1)按定义分类(2)按符号分类【典型例题】例1 下列叙述正确的有()①零是整数中最小的数；②有理数中没有最大的数；③正数的绝对值是负数；④正数的相反数是负数．A．3个B．4个C．1个D．2个例2把下列各数填在相应的括号内：－16，26，－12，－0.92,35，0，314，0.1008，－4.95.正数集合：{…}；负数集合：{…}；整数集合：{…}；正分数集合：{…}；负分数集合：{…}．【针对练习】1.判断:①不带“－”号的数都是正数（）②如果a是正数，那么－a一定是负数（）③不存在既不是正数，也不是负数的数（）④一个有理数不是正数就是负数（）⑤０℃表示没有温度（）2.将下列各数分别填入下列相应的集合内：3.5，-3.5，0，|-2|，-2，−135，−13，0.5正数集合：{ ...}；负数集合：{ ...}；整数集合：{ ...}；分数集合：{ ...}；非负整数集合：{ ...}.二、数轴1.数轴的概念规定了、、的直线叫做数轴.2.用数轴上的点表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点不都是有理数3.比较有理数的大小(1)数轴上两个点表示的数，的总比的大．(2)正数大于0，0大于负数，正数大于负数．三、绝对值1.相反数的概念及性质（1）的两个数叫做互为相反数（2）互为相反数的两个数相等2.绝对值的概念及性质（1）一个数在数轴上对应的点叫做这个数的绝对值（2）一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0.3.比较两个负数的大小两个负数，绝对值大的反而小【典型例题】例3 设a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，用“＜”号把a,-a,b,-b连接起来.【针对练习】3.请你将下面的数用“＞”连接起来13-----3.5, 3.5,0,2,2,,1,0.535四、有理数的运算1.有理数的加法(1)加法法则：(2)加法的运算律：2.有理数的减法减法法则：3.有理数的乘法(1)乘法法则：(2)乘法的运算律：4.有理数的除法除法法则：5.有理数的乘方乘方运算规律：(1)正数的任何次幂都是_______．(2)负数的偶次幂是_______，负数的奇次幂是____．(3)0的任何正整数次幂都是___．(4)a 的偶次幂是_________，即a n ≥0(其中n 为偶数)．6.有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：先算，再算，最后算；如果有括号，先算括号里面的．五、科学记数法1.科学记数法的概念一个大于10的数可以表示成的形式，其中，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法．2.a 与n 的取法在a ×10n 形式中，n 的值是原数整数位数减1，a 则是将原数保留一位整数得来的．【典型例题】例4 在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米，数字194亿用科学记数法表示正确的是( )A ．1.94×1010B ．0.194×1010C ．19.4×109D ．1.94×109例5 计算：2342(1)2;93⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭ ()241(2)123;6⎡⎤--⨯--⎣⎦5285(3)(2);2514⎛⎫-+÷-⨯- ⎪⎝⎭ ()3(4)3510.52.5⎡⎤⎛⎫---+-⨯÷- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦例6 计算：()311252525.424⨯--⨯+⨯例7 有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是______，依次继续下去，…，第2016次输出的结果是______．【针对练习】4.2015年末上海市常住人口总数为2415．27万人，用科学记数法表示为人.5.将数13 445 000 000 000km 用科学记数法表示为 m.6.计算：()11(1)2;1212⎛⎫⎛⎫-÷-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()224211(2)2250.5.326⎛⎫⎛⎫-÷+⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.计算：()7355(1)36;124618⎛⎫-+-+⨯- ⎪⎝⎭ 3(2) 1.530.750.53 3.40.75.4-⨯+⨯-⨯8.某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报1+11⎛⎫ ⎪⎝⎭，第2位同学报1+12⎛⎫ ⎪⎝⎭，第3位同学报1+13⎛⎫ ⎪⎝⎭……这样得到的20个数的积为______．。

北师大版七年级数学上册第二章知识点整理

北师大版七年级数学上册第二章知识点整理北师大版七年级数学上册第二章知识点整理七年级上册第二章有理数及其运算1.有理数:有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数有理数=正有理数+0+负有理数正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数l 正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数，形如+1，+0.5，+10.1，0.001…l 负数的概念：数轴上0左边的数，形如-3，-0.2，-100…（负号不能省略）. l 0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数.① 正负数的表示方法：盈利，亏损；足球比赛胜，负；收入，支出；提高，降低；上升，下降；② 不投入不支出，不盈也不亏，海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示；2.数轴：概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点，正方向，单位长度；画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.3. 相反数：（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，并且到原点的距离相等），0的相反数是0；a,b互为相反数 a+b=0;（2）求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-”；下面的a,b即可以是数字，字母，也可以是代数式；（3）一般地，数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0.4. 绝对值：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；（2）代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）对于任何有理数a，都有a的绝对值≥0 ,即绝对值非负性；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数同时为0；（4）比较两个负数，绝对值大的反而小；5.倒数：（1）乘积为1的两个数互为倒数，所以数a(a≠0) 的倒数是 1/a，0没有倒数；（2）求一个整数的倒数，写成这个整数分之一；求一个小数的倒数，先将其化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先将其化为假分数，再求出倒数.（3）用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数.6. 有理数的四则运算：⑴ 加法法则：① 同号两数相加，符号不变，把绝对值相加；② 异号两数相加，绝对值相等时（即互为相反数的两个数）相加得0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③ 一个数同0相加，仍得这个数；有理数加法运算律：交换律和结合律（互为相反数的可先相加；相加可得整数的可先相加；同分母的分数可先相加；符号相同的可先相加；易于通分的可先相加）.⑵ 减法法则：① 减去一个数，等于加上这个数的相反数，依据加法法则② 加减混合运算，通过减法法则将减法转化为加法，统一成只含有加法运算的和式；减法没有交换律.⑶ 乘法法则：① 两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；② 任何数同0相乘，得0；（另外1乘任何数都等于这个数本身；-1乘以任何数都等于这个数的相反数.）③ 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正.乘法的运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.⑷ 除法法则：① 两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除；② 0除以任何非0的数都得0.③ 除以一个数，等于乘上这个数的倒数，即 .⑸ 乘方：① 求几个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂；，表示n个相同因数乘积的运算；② 负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来；当指数是1时，可省略不写；③ 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（奇次幂 2n+1,2n-1; 偶次幂 2n）；0的正整数次幂都是0.⑹ 混合运算：① 从左到右的顺序进行；② 先乘方，再乘除，后加减；如有括号，应先算括号里面的；7. 科学记数法（1）把一个大于10的数表示成的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1，），这种记数方法叫科学记数法；（2）准确数与近似数：与实际完全相符的数是准确数；与实际相接近的数是近似数；（3）精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示；一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位；所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量；（4）有效数字：在近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数；。

第二章有理数及其运算知识点总结

第二章有理数及其运算知识点一、有理数的定义与分类： 1、像5，1.2，12，… 这样的数叫做正数，可以在正数前加“+”号，如：5+， 1.2+，12+，… 在正数前面加上“－”号的数叫做负数，如：10-，3-，… 2、0既不是正数，也不是负数。

3、整数、分数和有理数：（1）整数：正整数、零和负整数。

（2）分数：正分数和负分数统称分数。

（3）有理数：整数和分数统称有理数。

4、有理数的分类：（1）按定义分：（2）按性质分：正数和0统称非负数；正整数和0统称非负整数。

负数和0统称非正数；负整数和0统称非正整数。

二、数轴1、规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。

2、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。

注意：数轴上的点不都表示有理数。

3、数轴的三要素：、、。

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

最小的正整数是 1 ，最大的负整数是 -1 。

三、相反数1、如果两个数只有符号不同，那么我们称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。

本质：只有符号不同，其它不变。

※ x ＋y 的相反数是 -（x+y ），a －b 的相反数是 b-a2、正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，相反数等于它本身的数是 0 。

3、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧且与原点的距离相等。

4、若a 与b 互为相反数，则有0a b +=。

5、相反数的代数意义：a>0时，－a 0； a<0时，－a 0； a ＝0时，－a 0.（a 可以代表任意有理数）6、相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点位于原点的，且到原点的相等。

⎪ ⎪⎪⎩⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧⎩⎪ ⎨ ⎧ 有理数四、有理数比较大小的各种方法：（1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

五、绝对值1、在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

第2章有理数及其运算小结与复习 (课件)北师大版(2024)数学七年级上册)

例 2 把下列各数填在相应的括号内：－16，26，
－12，－0.92, 35，0，314，0.1008，－4.95.
正数集合：{ 26, 3 ,3 1 , 0.1008, 54
…}；
负数集合：{ 26, 12, 0.92, 4.95, …}；
整数集合：{ 26, 26, 12, 0,
…}；
正分数集合：{ 3 ,3 1 , 0.1008, 54
大的数，也没有最小的数；正数的绝对值是正数，正数的相反数是负
数．因此只有②④正确．
针对训练
1.判断:
①不带“－”号的数都是正数（）
×
②如果a是正数，那么－a一定是负数（） √
③不存在既不是正数，也不是负数的数（）
×
④一个有理数不是正数就是负数（）
×
⑤ ０℃表示没有温度
（） ×
考点二有理数的分类
A．1.94×10A10
B．0.194×1010
C．19.4×109
D．1.94×109
解析：194亿=19 400 000 000，根据科学记数法表示数的规律，当原数大于 10时，10的幂指数n＝原数整数位数－1，则194亿＝1.94×1010.故选A.
[归纳总结]
用科学记数法表示一个大于10的数，就是把这个数表示为a×10n(其中a是整数位数只有一位的数，n是正整数)的形式．因此，准确地理解科学记数法的概念，紧紧抓住a，n的条件是解决此类题的关键．
（1）一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值
5.比较两个负数的大小两个负数，绝对值大的反而小．
三、有理数的运算
1.有理数的加法
(1)加法法则 (2)加法的运算律 2.有理数的减法

七年级数学第二章有理数及其运算知识总结+教师用

有理数及其运算知识总结一、本章知识概述本章所学习的是有理数及其运算，我们可以将本章的内容分为三大部分：第一部分：主要内容是有理数的有关概念.首先是理解有理数的意义及分类，判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意义的量．其次是认识数轴，用数轴上的点表示有理数，借助数轴认识相反数的概念及互为相反数的一对数在数轴上的位置关系，利用数轴比较有理数的大小．第三是理解绝对值的概念及求一个数的绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小，通过应用题解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.第二部分：学习有理数的加减法运算，通过探索有理数加法法则和运算律的过程，理解有理数的加法法则和运算律，利用有理数的加法法则进行有理数的加法运算，并利用运算律简化运算；通过探索有理数减法法则的过程，理解有理数的减法法则，利用有理数的减法法则进行有理数的减法运算；利用有理数的加、减法法则进行包括整数、分数或小数的有理数的加减混合运算，并适当利用运算律简化运算；综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系．第三部分：主要内容是有理数的乘、除、乘方运算及有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算．经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力 .根据有理数乘法法则进行有理数的乘法运算，运用乘法运算律简化计算；根据有理数除法法则进行有理数的除法运算，求有理数的倒数；根据有理数乘方的意义进行有理数的乘方运算，通过实例感受当底数大于1时，乘方运算结果的快速增长．根据有理数混合运算顺序的规定，进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，在运算过程中，合理使用运算律简化运算；使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，使用计算器进行实际问题的复杂运算．二、重点知识归纳及讲解1、正数和负数的概念比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数.为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略.对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和负整数；负整数包括负整数和负分数．到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为 1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数.通常把正整数和零统为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数.3、数轴的概念及画法规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.画数轴的步骤：（1）画一条直线，一般画成水平的直线；（2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上0；（3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正；（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数.4、相反数的概念如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意义.一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“－”号就可以了.相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同.5、绝对值的概念在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“|a|”.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：6、绝对值的有关性质（1）对任意有理数a，都有|a|≥0；（2）若|a|=0，则a=0；（3）若|a|=|b|，则a=b或a=－b；（4）若|a|=b（b>0），则a=±b；（5）若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；（6）对任意有理数a，都有|a|=|－a|.7、有理数大小的比较法则在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于 0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小 .8、有理数加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 .异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同 0相加，仍得这个数.9、有理数加法运算律加法交换律： a＋b=b＋a加法结合律： (a＋b)＋c=a＋(b＋c)10、有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即： a－b=a＋(－b).11、代数和的意义几个正数或负数的和叫做代数和，代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示，代数和不仅表示有理数相加的结果，而且还可表示加法运算.12、有理数加减混合运算步骤（1）把加减混合运算统一成加法；（2）写成省略加号、括号的代数和；（3）利用加法法则及运算律进行计算.13、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都得0．14、多个非零因数相乘，积的符号规律n个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．n个数相乘，有一个因数为0，积就为0．15、有理数乘法的运算律(1)交换律：两个因数相乘，交换因数的位置，积不变．即a·b＝b·a；(2)结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即(a·b)·c＝a·(b·c)；(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把所得的积相加．即a(b ＋c)＝ab＋ac．16、倒数的概念乘积为1的两个有理数互为倒数.即当a·b＝1时，a与b互为倒数．由于任何一个有理数与0的积为0，不可能是1，所以0没有倒数.倒数还可以说成是：1除以一个数(除数不等于0)的商叫做这个数的倒数，如a≠0，a的倒数为1a．17、有理数的除法法则除以一个数等于乘以这个数的倒数．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0．18、利用除法化简分数除法可以写成几种不同的形式，例如：6÷3可以写成63，还可写成6∶3.说明除法可以表示成分数和比的形式;反过来,分数和比可化为除法,由于除法、分数和比可以互化，所以可以利用除法化简分数.19、乘方的概念求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，即在n a中，a叫做底数，n叫做指数，n a叫做幂．na的读法有两种：(1)读作a的n次幂．(2)读作a的n次方．20、有理数的乘方法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．21、学记数法a 的形式，其中a的整数位数只有一位，这种记数的方法，叫做学记数把一个大于10的数记成10n法．22、有理数的混合运算有理数的运算中，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方（及开方——乘方的逆运算，以后将讲到）为三级运算.对于有理数的混合运算，要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号.有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行.如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的.如果能利用运算律简化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理.三、难点知识剖析1、负数的产生及其意义随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，为了满足实际需要，引入了负数、负数是由于实际需要产生的，负数也是客观存在的数 .正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .2、数集的概念把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集、所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等 .3、多重符号的化简规律单独一个有理数前面的“＋”号和“－”号，一般都是性质符号，读作“正”号或“负”号 .括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数不变，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，括号内的数就变成它的相反数 .在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数 .4、两个负有理数的大小比较两个负有理数的大小比较与其它数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大 .两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小 .5、有关绝对值的计算及化简灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质 .6、积的符号的确定方法有理数乘法与算术中的乘法的区别在于积的符号.几个正数与负数相乘时积的符号法则：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数有偶数个数，积为正；几个数相乘，有一个因数为0，积为0，根据积的符号法则，在有理数乘法中，不管有多少个不为0的数相乘，都应该首先根据负因数的个数一次性地先确定积的符号，这样做的好处是既简练又准确.7、几个非0的有理数相除，商的符号的确定几个非0的有理数相除，商的符号由负数的个数决定：当负数的个数为奇数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正．如： (－12)÷(－2)÷(－3)——三个负数：负＝－(12÷2÷3)＝－2(－12)÷2÷(－3)——两个负数：正＝＋(12÷2÷3)＝28、有理数混合运算中应注意的问题（1）要注意运算顺序；（2）要灵活运用运算定律进行简便运算，不要搞错符号，特别是乘方的符号；（3）要灵活进行小数、分数的互化；（4）互为相反数的和，互为倒数的积，有因数为零，特殊运算先行结合.典型例题例1：一个物体沿着南北两个相反方向运动，如果把向南的方向规定为正，那么走 6km，走－4.5km，走0km的意义各是什么？分析：正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向南运动，则负数表示向北运动 .0表示原地不动，0表示正数与负数的分界，在实际问题中也有确定的意义.解：走 6km表示物体向南走6km；走－ 4.5km表示物体向北走4.5km；走 0km表示物体原地不动.例2：某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：＋ 10、－5、0、＋8、－3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？分析：由题意先求出这五位同学的实际成绩，如简记为＋ 10的学生实际成绩为100，然后再求平均成绩.解：依题意知，五位同学在实际成绩分别为：100、85、90、98、87，其平均成绩为：1(10085909887)92().5++++=分例3：如图所示的数轴上， A、B、C、D、E各点分别表示什么数？分析：根据各点在原点的左侧，右侧还是在原点上，来确定数是负数，正数还是 0，根据各点距离原点多少个长度单位，来确定数的值.解：点A表示数132；点B表示数12；点C表示数0；点D表示－3；点E 表示数142-. 例4：在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”连接起来；分析：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“<”连接起来.解：这些数在数轴上的表示如图所示.它们从小到大的排列为：111132101242242<-<-<<<< 例5：利用绝对值比较下列有理数的大小 .（1）－0.6，－60234(2) ,,345--- 分析：比较负数的大小，先求出各数的绝对值，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而小，比较分数大小，一般要化成同分母的分数来比较 .解：（1）|－0.6|=0.6, |－60|=60∵ 0.6<60，∴ －0.6>－60.224033454448(2) ||||||336044605560404548 ,606060234 .345---<<∴->->-＝＝，＝＝，＝＝，例6：已知 |a ＋2|＋|b －3|=0，求a 和b 的值.分析：由绝对值的非负性可知， |a ＋2|≥0，|b －3|≥0，而且只有当|a ＋2|和|b －3|都等于0时，|a ＋2|＋|b －3|=0才成立，因为只有0的绝对值等于0，所以a=－2，b=3.解：∵ |a ＋2|＋|b －3|=0，又 ∵ |a＋2|≥0，|b －3|≥0，∴ |a ＋2|=0，|b －3|=0．∴ a ＋2=0，b －3=0．∴ a=－2，b=3．例7：计算分析：进行有理数加减混合运算时，应先把加减运算统一成加法运算，再写成省略加号和括号的代数和，最后运用有理数的加法法则及运算律进行计算，能够简化运算的尽量简化运算 .解：（1）原式=（－5）＋（－3）＋（－9）＋（＋7）=－5－3－9＋7=（－5－3－9）＋7=－17＋7=－1034210(2)()()()()10757++++-+-原式＝例8：计算题：2322232183(1)(1)(1)(0.51);362141(2)(3)12(2).3(2)÷-+⨯------÷--- 268491(1)()()3721168471 76834922 (2)29(8)1⨯-+⨯---++-⨯-----解：原式＝＝121＝1684-6原式＝＝＝＝-1 注：（1）要按运算顺序进行计算.（2）乘方时要看清楚底数与指数，先确定幂的符号.例9：计算题：242112518(1){[(2)]()(2)}();23639131(2)0.25()(1)(12 3.75)24.283--÷---÷--÷-⨯-++-⨯112518(1){[2)]()2)}()23639251 []631 3 3131 (2)16(1)124224 3.7521683+÷-+÷-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-+⨯+⨯-⨯解：原式＝169＝（-）+2（-）589＝（-5+2）（-）889＝（-）（-）38＝原式＝4 1+33+56-900＝＝注：第（1）小题先由里及外逐层去掉括号，同时把除法转化为乘法进行运算，第（2）小题应用乘法分配律使运算得以简化.例10：用学记数法表示下列各数．(1)270．3； (2)3870000；(3)光的速度约为300 000 000米/秒；(4)0．5×9×1000000； (5)10．解：(1)270．3＝2．703×100＝2．703×102．(2)3870000＝3．87×1000000＝3．87×106．(3)300000000＝3×100000000＝3×108．(4)0．5×9×1000000＝4．5×106．(5)10＝1×10．说明：学记数法a ×10n 中，a 是小于10且大于等于1的数，n 比原数位的整数位数少1，比如：3870000000是10位数，指数n 就是9．这就是说n 等于原数的整数位数减1，而不是比所有的数位和少1．如179．4＝1．794×102，而不是179．4＝1．794×103．例11：某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6 ℃，若该地地面温度为21 ℃，高空某处温度为－39 ℃，求此处的高度是多少千米？解： 1×｛［21－（－39）］÷6｝=1×（60÷6）=10（千米）因此：此处的高度是10千米．。

有理数及其运算知识点总结

有理数及其运算知识点总结
1. 有理数是可以表达为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及可以用分数表示的数。

2. 有理数的加法和减法运算：
- 相同符号的有理数相加减，绝对值相加减，结果带相同符号。

- 不同符号的有理数相加减，绝对值相减，结果带绝对值大的符号。

3. 有理数的乘法和除法运算：
- 相同符号的有理数相乘、相除，结果为正数。

- 不同符号的有理数相乘、相除，结果为负数。

4. 有理数的乘法：
- 非零有理数相乘，绝对值相乘，符号由乘法规则决定。

- 0乘以任何数等于0。

5. 有理数的除法：
- 非零有理数相除，绝对值相除，符号由除法规则决定。

- 0不能作为除数。

6. 有理数的乘方：
- 正数的乘方：底数不变，指数相乘。

- 零的非负整数次幂为0，零的负整数次幂没有定义。

- 1的任何整数次幂仍为1。

- 负数的偶次幂为正数，奇次幂为负数。

7. 有理数的相反数是指与其绝对值相等，但符号相反的数。

8. 有理数的倒数是指其倒数等于它的分子和分母互换位置后的比值。

9. 有理数的绝对值是指其去掉符号的值。

10. 有理数的大小比较：
- 两个有理数绝对值相等，但符号相反时，负数较大。

- 两个正数比较大小，绝对值大的数较大。

- 两个负数比较大小，绝对值小的数较大。

这些是有理数及其运算的基本知识点总结，能够帮助理解有理数的概念和规则。

数学第二单元有理数及其运算知识点汇总

3. 数轴上的点与有理数的关系： ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示， 0 用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π 不是有理数） 4. 利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于 0；负数都小于0；正数大于一切负数。
七年级-上册
七年级上册-第二章有理数及其运算
七年级上册-第二章有理数及其运算
1.有理数 2.数轴 3.绝对值 4.有理数的加法 5.有理数的减法 6.有理数的加减混合运算 7.水位的变化 8.有理数的乘法 9.有理数的除法 10.有理数的乘方 11.科学记数法
七年级上册-第二章有理数及其运算
思维导图
七年级上册-第二章有理数及其运算
正数和负数的概念
⒈正数和负数的概念负数：比 0 小的数正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数。注意： ①字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时，-a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a, -a 就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2. 具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8℃表示为： +8℃；零下 8℃表示为： -8℃ 3. 0 表示的意义 ⑴0 表示“ 没有”，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人； ⑵0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。

第二章有理数及其运算知识点精华版

第二章有理数及其运算知识点一、有理数：整数和分数统称为有理数。

正整数（非负整数）正整数整数0正有理数负整数（非正整数）正分数有理数正分数有理数 0 负整数分数负有理数负分数负分数注意：正负数表示具有相反意义的量（具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量一定相等，负号“-”本身就表示意义相反的意思）。

0既不是正数也不是负数。

二、数轴三要素：原点、单位长度、正方向。

1、两方向无限延伸；三要素缺一不可；原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际情况需要规定的。

2、画法：一条直线——取一点为原点——正方向，用箭头表示（一般规定向右）3、所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不是都表示有理数数。

4、数轴上的点，右边的数 > 左边的数。

正数 > 0 > 负数三、绝对值1、相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数。

0的相反数是0.表示方法：a的相反数可表示为-a。

（根据相反数的意义，只改变原来的符号即可得到原来的相反数，在一个数前面加负号，即求它的相反数。

）-(-2)=2,-(+2)=-22、绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作∣a∣。

a (a>0) 正数的绝对值是它本身∣a∣= 0 (a=0) 0的绝对值是0-a (a<0) 负数的绝对值是的相反数（注意：∣a∣≥ 0）3、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

四、有理数的加法同号相加，取相同符号，∣∣+∣∣。

a+0=a.绝对值不等——取∣∣大的加数的符号，∣大∣-∣小∣异号相加绝对值相等——互为相反数的两个数相加得04、加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)5、简便原则：①互为相反数的两数先相加②同号数先相加③能凑成整数(整十、整百)的数先相加④同分母的分数线相加五、有理数的减法（注意符号的改变）减法是加法的逆运算。

(加数=和-另一加数)减去一个数等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b)减法运算时，先把减号变加号，把减数变加数六、有理数的加减混合运算1、运用减法法则将有理数混合运算中的减法变加法。

有理数及其运算知识点

有理数及其运算知识点一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数比的数，形式为a/b，其中a和b是整数，且b不为零。

有理数集合包括所有整数、分数和它们的负数。

二、有理数的分类1. 整数：包括正整数、零和负整数，如1, 0, -2等。

2. 分数：分子和分母都是整数的比值，如3/4, -5/2等。

3. 混合数：包含整数部分和分数部分的数，如1 3/4。

三、有理数的性质1. 封闭性：有理数集合在加法、减法、乘法和除法（除数不为零）运算下是封闭的。

2. 有序性：任何两个有理数都可以比较大小。

3. 加法和乘法的交换律、结合律：有理数的加法和乘法满足交换律和结合律。

4. 加法和减法的逆元：任何有理数a都有加法逆元（-a），使得a + (-a) = 0；任何非零有理数a都有减法逆元（-a/a = -1）。

四、有理数的运算规则1. 加法：a. 同号相加，取相同的符号，并将绝对值相加。

b. 异号相加，取绝对值较大的数的符号，并将绝对值相减。

c. 任何数与零相加，结果为原数。

2. 减法：a. 减去一个数等于加上它的相反数。

b. a - b = a + (-b)。

3. 乘法：a. 同号得正，异号得负，并将绝对值相乘。

b. 任何数与零相乘，结果为零。

c. 乘法满足交换律和结合律。

4. 除法：a. 除以一个非零数等于乘以它的倒数。

b. a / b = a * (1/b)。

c. 除数不能为零。

5. 混合运算：a. 在混合运算中，先进行乘除运算，再进行加减运算。

b. 同级运算应按照从左到右的顺序进行。

五、有理数的运算律1. 加法交换律：a + b = b + a2. 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)3. 乘法交换律：a * b = b * a4. 乘法结合律：(a * b) * c = a * (b * c)5. 分配律：a * (b + c) = a * b + a * c六、有理数的比较1. 正数大于零，零大于所有负数。

《第二章有理数及其运算》归纳总结

②异号相加若a>0,b<0,︱a︱>︱b︱, 则a+b=︱a︱-︱b︱若a>0,b<0,︱a︱<︱b︱, 则a+b= - (︱b︱-︱a︱)
若a、b互为相反数，则a+b= 0 ③与0相加 a是任一个有理数，则a+0= a
2)有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
即 a-b=a+(-b)
课后作业
完成练习册本课时的习题
例：分别求出数轴上两点间的距离： ①表示2的点与表示-7的点； ②表示-3的点与表示-1的点.
解：①︱2-（-7）︱=︱2+7︱=︱9︱=9 ②︱-3-（-1）︱=︱-3+1︱=︱-2︱=2
3）有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数同0相乘，都得0.
① 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.
2.运算顺序
1）有括号，先算括号里面的； 2）先算乘方，再算乘除，
最后算加减； 3）对只含乘除，或只含加减的
运算，应从左往右运算.
3.有理数的运算律
1)加法交换律 a+b=b+a
2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
3)乘法交换律
ab=ba
4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) 5)分配律 a(b+c)=ab+ac
一、有理数的基本概念
1.负数 2.有理数 3.数轴 4.互为相反数 5.互为倒数 6.有理数的绝对值 7பைடு நூலகம்有理数大小的比较 8.科学记数法、近似数与有效数字

第二章有理数、数轴、绝对值知识点汇总

非负整数第二章《有理数及其运算》知识点汇总§2.1~2.3、2.10一．有理数学习目标：会判断一个数是正数还是负数，能用正、负数表示具有相反意义的量；理解有理数的意义，会将有理数正确分类. 学习重点：正、负数的意义学习难点：有理数的分类1．定义：和统称有理数. 注意： π不是有理数 2．分类分类一：依据：先确定数的性质（类型），再确定数的符号有理数分类二：依据：先确定数的符号，再确定数的性质(类型)正有理数有理数 0 3．比较：法一：依据符号：0>正数， 0负数<，所以负数正数>。

法二：数形结合：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

特别地：两个负数比大小，绝对值大的反而小。

整数正整数负整数零分数正分数负分数非正整数负有理数正整数正分数负整数负分数4．特殊的0 : 0既不是正数也不是负数；0的相反数是0；0没有倒数.5．两数之间的特殊关系：若两个数的和为0，则它们互为相反数. 若a+b=0，则a、b互为相反数，反之也成立.若两个数的乘积为1，则它们互为倒数. 若ab=1，则a、b互为倒数，反之也成立.若两个数的乘积为-1，则它们互为负倒数. 若ab=-1，则a、b互为负倒数，反之也成立.）的倒数是_______.-a是a的_______. a（a06．最小的正整数是____，最大的负整数是____，最小的非负数是____.习题整理：二．数轴学习目标：认识数轴，会用数轴上的点表示有理数；能利用数轴比较连个有理数的大小；体会数形结合的思想学习重点：能将已知数在数轴上表示出来，说出数轴已知点所表示的数学习难点：利用数轴比较有理数的大小1．定义：具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴.2．三要素：原点、正方向、单位长度 .3．画法：画一条水平直线，在这条直线上任取一点作为_______，选取某一长度作为_______，规定直线上向右的方向为_______.4．数轴上的点与实数（有理数和无理数）一一对应.任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，反之不成立.三.相反数、绝对值学习目标：能借助数轴理解相反数的概念，会求一个数的相反数；能借助数轴理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值；会利用绝对值比较负数的大小；理解绝对值的非负性；体会数形结合和分类讨论的思想学习重点：正确理解绝对值的含义，求一个数的绝对值学习难点：比较两个负数的大小，去绝对值1．相反数的定义：只有的两个数互为相反数.2．在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的______，且与原点的距离_______. 3．绝对值的定义：几何：在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫做该数的绝对值数a 的绝对值写作： a ；读作：a 的绝对值.代数：正数的绝对值是，负数的绝对值是，0的相反数是 . a （a 0）即：a = 0（a=0）-a （a 0） 4．绝对值的非负性： 0≥a5．互为相反数的两个数的绝对值 . 即a a -= ，因为它们到原点的距离相同。

北师大版初一上册第二章有理数概念及其运算知识点总结

北师大版初一上册第二章有理数概念及其运算知识点总结一、有理数有理数包括正整数、负整数、0和分数。

其中正整数和负整数统称为整数。

有理数可以用分数的形式表示，即分子、分母都是整数，并且分母不为0。

二、有理数的比较两个有理数的大小关系取决于它们的大小和符号，具体规则如下：- 同号，比大小；- 异号，比绝对值大小，正数大于负数。

三、有理数的加减运算有理数的加减运算遵循以下规则：- 同号相加，不改变符号，绝对值相加；- 异号相加，绝对值相减，符号与绝对值较大的数相同。

例如：- $2-3=-1$- $-2+3=1$- $-2-(-3)=1$- $-2+(-3)=-5$四、有理数的乘法有理数的乘法运算遵循以下规则：- 同号相乘得正，异号相乘得负；- 0乘任何数都得0。

例如：- $2\times 3=6$- $-2\times 3=-6$- $-2\times (-3)=6$- $0\times 5=0$五、有理数的除法有理数的除法其实就是乘以倒数，即$\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}$。

其中$b\neq 0$，$c\neq 0$。

例如：- $\dfrac{2}{3}\div \dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{6}$- $(-2)\div \dfrac{3}{4}=(-2)\times \dfrac{4}{3}=-\dfrac{8}{3}$六、绝对值一个数的绝对值表示这个数到0点的距离，记作$|a|$。

其中：- 若$a>0$，则$|a|=a$；- 若$a<0$，则$|a|=-a$；- 若$a=0$，则$|a|=0$。

例如：$|-5|=5$，$|6|=6$，$|0|=0$。

七、有理数的混合运算有理数的混合运算是指有理数的加减乘除四则运算的有理数表达式计算。

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第二章《有理数及其运算》知识点梳理
正整数
零
1、有理数整数负整数
正分数
分数负分数注意：小数归在分数之内，但小数≠分数。

练习：把下列个数填入相应的集合中：
7，-9.25，10
9-，-301，274，31.25，157，-3.7, 0，418-， -1. 正数集合{ }；负数集合{ }；
整数集合{ }；分数集合{ }；
正整数集合{ }；正分数集合{ }；
负整数集合{ }；负分数集合{ }。

2、数轴：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

3、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

4、画数轴时要注意以下四点：
（1）画直线.（2）在直线上取一点作为原点.
（3）确定正方向，并用箭头表示.（4）根据需要选取适当单位长度.
5、数轴上两点表示的数，右边的数总比左边的大，正数大于0，负数小于0，正数大于负数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

练习：（1）下列命题正确的是（）
A ：数轴上的点都表示整数.
B ：数轴上表示5与-5的点分别在原点的两侧，并且到原点的距离都等于5个单位长度。

C ：数轴包括原点与正方向两个要素.
D ：数轴上的点只能表示正数和零.
（2）数轴上表示－2的点在原点的侧，距原点的距离是，表示6的点在原点的侧，距原点的距离是。

6、相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

0的相反数是0。

如：3的相反数是，-5的相反数是。

3.5的相反数是，5
2的相反数是。

7、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。

一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条竖线，如+2的绝对值等于2，记作|+2|＝2。

数a 的绝对值记作|a|。

8、互为相反数的两个数的绝对值相等。

9、绝对值的性质：
（1）正数绝对值是它本身：如（2）负数的绝对值是它的相反数:如（3）0的绝对值是0，如
练习：(1) 绝对值是10的数有（）
(2) |+15|=( )；(3) |–4|=( )；(4) | 0 |=( )；(5) | 4 |=( )
5
5=5
5=-00=
（6）一个数的绝对值是它本身,那么这个数一定是__________.
10、比较两个数的大小：
（1）利用数轴比较两个负数的大小：右边的数总是大于左边的数
（2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小
练习：（1）比较87-和76-的大小；（2）比较6
5-和-2.7的大小。

11、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。

一个数与0相加，仍得这个数。

12、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

13、可利用加法的交换律和结合律进行简化运算。

14、有理数的乘法法则：两数相乗，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘，积仍为0。

注：解题步骤：（1）判断符号（2）计算
小结：多个有理数相乘，当有奇数个负因数时，积为负数；当有偶数个负因数时，积为正数；当有因数为0时，积为0.
15、求倒数的方法：
（1）非零整数——直接写成这个数分之一；
（2）分数 ——把分子与分母的位置颠倒即可，带分数要化成假分数，小数要化成分数再求。

注意：（1）倒数为本身的数1，-1；（2）0没有倒数。

16、有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何非0的数都得0。

注意：0不能做除数（即分母不能为零）
除法法则2：除以一个数等于乘这个数的倒数。

17、有理数的乘方：求n 个相同因数a 的积的运算。

一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作:n
a ，乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数，读作：a 的n 次方（或a 的n 次幂）。

18、注意:当底数是负数或分数时,底数一定要加上括号,这也是辩认底数的方法.如：32)5
2(;)3(--。

19、（1）正数的偶次幂为正；负数的偶次幂为正,奇次幂为负。

（2）对于n 10，1后面就有n 个0。

（3）对于n 1.0，1前面就有n 个0。

练习:说说下列各数的意义,它们一样吗? （1）32；2
3；23⨯；（2）（3）。

20、有理数的混合运算顺序：按照从左到右的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

21、把一个大于10的数，写成 a ×n 10的形式，其中1≤a ＜10，n 是_______，这种方法叫做科学记数法。

注意:（1）a 必须是1≤a ＜10 ，（2） n 等于原数的整数位数减1。

22、科学记数法表示的数还原的规律: 原数的整数数位应比n 大1，数位不够时，用0补。

练习:
1、用科学记数法表示下列各数. 44(2)2--和；　
2
222()33和
（1）水星的半径为2440000米.
（2）木星的赤道半径约为71400000米.
（3）地球上的陆地面积约为149000000千米2 .
（4）光的速度约为3亿米/秒.
（5）我国的信息工业总产值将达到 3830亿元。

2、下列科学记数法表示的数,原来各是什么数?
（1）人体中约有2.5X1012个红细胞.
（2）水星和太阳的平均距离约为5.79X107千米.
（3）地球上的海平面面积约为3.61X108平方千米.
（4）北京故宫的占地面积约为7.2X105平方米. 计算：（1）
21)43(41--+；（2）2141)49(-+-；（3）（-11.5）-(4.5)-3；
(4）)52()352()71(---
+-；（5）33.1-(-22.9)+(-10.5)；（6）(-8)-(-15)+(-9)-(-12)；
（7）)21()54()32(21-+---+；（8）
)127()65()411(310-+---+；（9）2)3121(36-⨯；
（10）0)198(7.12⨯-
÷；（11）6)3(42+-⨯；（12）)31328()43(-+-⨯-；
（13）)21(13)2(3-÷--；（14）8
1)4(2033--÷-；（15）223)2()6.1(5.0)2(-÷--⨯-；
（16）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-232)23(2；（17）)2(])5()3[(22-÷---；（18）)4()81()2(163-⨯---÷；
（19）54)1.3()53(4.2+
-+--；（20）)6
543()60(+⨯-.。