数学建模参数拟合题目土豆施肥量
数学建模案例分析土豆施肥量效果分析
R SR ST 293.33 0.95 328
由此观之，此多项式回归模型的拟合效果显然大大优 于线性回归模型。
注意：至此为止，我们并没有考虑两种肥料（氮和钾）的交叉作用，若要 反映交互作用，则公式中应该出现交叉项 x1 x2 。
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( yi y) 328
2 i
ˆ i y ) 108 .33 ( y
2 i
ˆ i ) 219.67 ( yi y
2 i
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1、线性回归模型
复相关系数：
R SR ST 108.33 0.57 328
显然，模型（1）对所给数据的拟合效果较差，由对数据 的直观观察亦可以看出，用线性模型去拟合所给数据是不合 适的。
由公式：
Fj uj S E /(n p 1) ~ F (1, n p 1) ， j 1,2,, p
计算得：
F1 10.11， F2 12.63， F3 0.94 ， F4 37.87 ， F5 4.26
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偏差平方和： ST ( yi y) 328
2 i
ˆ i y) 293.33 回归平方和： S R ( y
2 i
ˆ i ) 34.67 残差平方和： S E ( yi y
2 i
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2、多项式回归模型
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2. 多项式回归模型
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农场生产计划 数学建模
农场生产计划 数学模型问题重述某农场有3万亩农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物．各种作物每亩需施化肥分别为0.12 吨、0.20吨、0.15 吨．预计秋后玉米每亩可收获500千克，售价为0.24 元/千克，大豆每亩可收获200千克，售价为1.20 元/千克，小麦每亩可收获350 千克，售价为0.70 元/千克．农场年初规划时考虑如下几个方面：第一目标：年终收益不低于350万元；第二目标：总产量不低于1.25万吨；第三目标：玉米产量不超过0.6万吨，大豆产量不少于0.2万吨，小麦产量以0.5 万吨为宜，同时根据三种农作物的售价分配权重；第四目标：农场现能提供5000 吨化肥；若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购量愈少愈好．模型假设与建立模型假设：1、假设农作物的收成不会受天灾的影响2、假设农作物不受市场影响，价格既定用321,,x x x 分别表示用于种植玉米、大豆、小麦的农田（单位：亩）++---++++++=6455433_22_11*)10735*10735*10760*10712(**min d p d d d d p d p d p z 模型建立约束条件（1）刚性约束30000321<=++x x x （2）柔性约束第一目标：年终收益不低于350万元；{}⎪⎩⎪⎨⎧=-++++--3500000245240120min 113211d d x x x d第二目标：总产量不低于1.25万吨；{}⎪⎩⎪⎨⎧=-++++--12500000350200500min 223212d d x x x d 第三目标：玉米产量不超过0.6万吨，大豆产量不少于0.2万吨，小麦产量以0.5 万吨为宜，{}⎪⎩⎪⎨⎧=-++-+6000000500min 3313d d x d {}⎪⎩⎪⎨⎧=-++--2000000200m in 4424d d x d{}⎪⎩⎪⎨⎧=-+++-+-500000035min 55255d d x d d第四目标：农场现能提供5000 吨化肥；若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购量愈少愈好．{}⎪⎩⎪⎨⎧=-++++-+500000015.02.012.0min 663216d d x x x d 模型求解：（见附件）种植面积：玉米：5915.714亩土豆：9798.571亩小麦：14285.71亩能够得到一个满足条件的种植计划附件：model :sets :L/1..4/:p,z,goal;V/1..3/:x;HN/1..1/:b;SN/1..6/:g,dp,dm;HC(HN,V):a;SC(SN,V):c;Obj(L,SN):wp,wm;endsetsdata:p=;goal=0;b=30000;g=3500000 12500000 6000000 2000000 5000000 5000000;a=1,1,1;c=120 240 245500 200 350500 0 00 200 00 0 350120 200 150;wp=0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0.24 0 0.7 00 0 0 0 0 1;wm=1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 1.2 0.7 00 0 0 0 0 0;enddatamin=@sum(L(i):p(i)*z(i));@for(L(i):z(i)=@sum(SN(j):wp(i,j)*dp(j)+wm(i,j)*dm(j)));@for(HN(i):@sum(V(j):a(i,j)*x(j))<=b(i));@for(SN(i):@sum(V(j):c(i,j)*x(j))+dm(i)-dp(i)=g(i));@for(L(i)|i#lt#@size(L):@bnd(0,z(i),goal(i)));No feasible solution found.Total solver iterations: 10Variable Value Reduced CostP( 1) 0.000000 0.000000P( 2) 0.000000 0.000000P( 3) 0.000000 0.000000P( 4) 1.000000 0.000000Z( 1) 0.000000 0.000000Z( 2) 0.000000 -0.1250000E+09 Z( 3) 2417143. -3125000.Z( 4) 0.000000 0.000000GOAL( 1) 0.000000 0.000000GOAL( 2) 0.000000 0.000000GOAL( 4) 0.000000 0.000000X( 1) 5915.714 0.000000X( 2) 9798.571 0.000000X( 3) 14285.71 0.000000B( 1) 30000.00 0.000000G( 1) 3500000. 0.000000G( 2) 0.1250000E+08 0.000000G( 3) 6000000. 0.000000G( 4) 2000000. 0.000000G( 5) 5000000. 0.000000G( 6) 5000000. 0.000000DP( 1) 3061543. 0.000000DP( 2) -2582429. 0.1250000E+09 DP( 3) 0.000000 0.3750000E+08 DP( 4) 0.000000 0.1875000E+09 DP( 5) 0.000000 0.1629464E+09 DP( 6) 0.000000 1.000000DM( 1) 0.000000 0.000000DM( 2) 0.000000 0.000000DM( 3) 3042143. 0.000000DM( 4) 40285.72 0.000000DM( 5) 0.000000 0.5580357E+08 DM( 6) 187542.9 0.000000A( 1, 1) 1.000000 0.000000A( 1, 2) 1.000000 0.000000A( 1, 3) 1.000000 0.000000C( 1, 1) 120.0000 0.000000C( 1, 2) 240.0000 0.000000C( 1, 3) 245.0000 0.000000C( 2, 1) 500.0000 0.000000C( 2, 2) 200.0000 0.000000C( 2, 3) 350.0000 0.000000C( 3, 1) 500.0000 0.000000C( 3, 2) 0.000000 0.000000C( 3, 3) 0.000000 0.000000C( 4, 1) 0.000000 0.000000C( 4, 2) 200.0000 0.000000C( 4, 3) 0.000000 0.000000C( 5, 1) 0.000000 0.000000C( 5, 2) 0.000000 0.000000C( 5, 3) 350.0000 0.000000C( 6, 1) 120.0000 0.000000C( 6, 2) 200.0000 0.000000WP( 1, 1) 0.000000 0.000000 WP( 1, 2) 0.000000 0.000000 WP( 1, 3) 0.000000 0.000000 WP( 1, 4) 0.000000 0.000000 WP( 1, 5) 0.000000 0.000000 WP( 1, 6) 0.000000 0.000000 WP( 2, 1) 0.000000 0.000000 WP( 2, 2) 0.000000 0.000000 WP( 2, 3) 0.000000 0.000000 WP( 2, 4) 0.000000 0.000000 WP( 2, 5) 0.000000 0.000000 WP( 2, 6) 0.000000 0.000000 WP( 3, 1) 0.000000 0.000000 WP( 3, 2) 0.000000 0.000000 WP( 3, 3) 12.00000 0.000000 WP( 3, 4) 0.000000 0.000000 WP( 3, 5) 35.00000 0.000000 WP( 3, 6) 0.000000 0.000000 WP( 4, 1) 0.000000 0.000000 WP( 4, 2) 0.000000 0.000000 WP( 4, 3) 0.000000 0.000000 WP( 4, 4) 0.000000 0.000000 WP( 4, 5) 0.000000 0.000000 WP( 4, 6) 1.000000 0.000000 WM( 1, 1) 1.000000 0.000000 WM( 1, 2) 0.000000 0.000000 WM( 1, 3) 0.000000 0.000000 WM( 1, 4) 0.000000 0.000000 WM( 1, 5) 0.000000 0.000000 WM( 1, 6) 0.000000 0.000000 WM( 2, 1) 0.000000 0.000000 WM( 2, 2) 1.000000 0.000000 WM( 2, 3) 0.000000 0.000000 WM( 2, 4) 0.000000 0.000000 WM( 2, 5) 0.000000 0.000000 WM( 2, 6) 0.000000 0.000000 WM( 3, 1) 0.000000 0.000000 WM( 3, 2) 0.000000 0.000000 WM( 3, 3) 0.000000 0.000000 WM( 3, 4) 60.00000 0.000000 WM( 3, 5) 35.00000 0.000000 WM( 3, 6) 0.000000 0.000000 WM( 4, 1) 0.000000 0.000000WM( 4, 3) 0.000000 0.000000WM( 4, 4) 0.000000 0.000000WM( 4, 5) 0.000000 0.000000WM( 4, 6) 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 161401.8 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 -0.1250000E+094 0.000000 -3125000.5 0.000000 -1.0000006 0.000000 0.6250000E+117 0.000000 0.0000008 0.000000 -0.1250000E+099 0.000000 0.00000010 0.000000 -0.1875000E+0911 0.000000 -0.5357143E+0812 0.000000 0.000000。
施肥效果的具体分析
施肥效果分析一问题的分析对于研究土豆和生菜的施肥量和产量两个变量之间的关系。
我们运用Excel分别将土豆的产量与N，P，K的施肥的关系图作了出来，如图一所示：图一（a）分别将生菜的产量与N，P，K的施肥的关系图作了出来，如图一（b）所示：图1（b）从图1（a）与（b）中第一个图形中很明现的看出是一元二次线性方程，在P，K的施肥量一定的情况下，随着N的施肥量的增加，作物的产量也跟着增加，但N的施肥量到达一定的程度的时候，作物的产量就不在在增加，相反的会以一定的速度减少，作物的产量与N的施肥量的关系可以建立模型：y=a0+a1*N+a11*NN 从（a）与（b）的第二，第三个图形中我们不能一下看出它们是什么样的方程，在一定的范围内，随着P，K肥料的增加，作物的产量是相对增加的，K肥料的施用量与生菜的产量的波动性较大，这种情况在实际的作物中也是不可避免的，我们可以看做是误差现象。
具有这种特色的图形，我们可以根据数学知识运用二次多项式就能够很好的表现出来，我们可以姑且假设为二次的方程。
作物的产量与P的施肥量的关系可以建立模型：y=a0+a2*P+a22*PP作物的产量与K的施肥量的关系可以建立模型：y=a0+a3*P+a33*PP 这样我们仍然能够看出P，K的施肥量与作物产量的关系。
这种对作物产量的影响通常是这三种肥料的共同的作用，而不是单一的某一种肥料对作物的影响所以我们可以知道作物的产量与N，P，K的施肥量都有关，我们初步建立模型如下所示：y=a0+a1*N+a2*P+a3*K+a11*NN+a22*PP+a33*KK我们运用Excel来进行土豆与生菜的线性回归处理。
我们以生菜为例：在处理之前，我们需要特别说明的是由于N，P，K的施肥数量变化幅度比较大，所以我们进行了特别处理：将施肥数量以及产量放在（0,1）的范围内，每一个施肥量或产量除以给出施肥量或产量数据中的最大值，这样我们可以更加方便快捷的运行下去。
【全国大学生数学建模竞赛获奖优秀论文作品学习借鉴】1992年A题 施肥效果分析
K 施肥量
(kg/ha) 0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
产量
(t/ha) 18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22
K 施肥量
(kg/ha) 0 47 93 140 168 279 372 465 554 651
N 施肥量
(kg/ha) 0 28 56 84 112 168 224 280 336 392
产量
(t/ha) 11.02 12.70 14.56 6.17 17.25 22.59 21.63 19.34 16.12 14.11
P 施肥量
(kg/ha) 0 24 49 73 98 147 196 245 294 342
产量
(t/ha) 15.75 16.76 16.89 16.24 17.56 19.20 17.97 15.84 20.11 19.40
１９９２ 年题 Ａ 施肥效果分析
某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N),磷(P),钾(K) 某作物研究所在该地区对土豆 与生菜作乐一定数量的实验 实验数据如下列表格所示 其中 ha 表示公顷 t 表示吨 kg 表示公斤 当一个营养素的施肥量变化时 总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上 如对土豆产量关于 N 的施肥量做实验时 P 与 K 的施肥量分别取为 195kg/ha 与 372kg/ha
试分析施肥量与生产量之间关系 并队所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估 价
土豆:
生菜
Nห้องสมุดไป่ตู้施肥量
(kg/ha) 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
数学建模课程设计报告---施肥效果分析
数学建模课程设计报告---施肥效果分析设计报告标题：施肥效果分析一、问题描述：在农作物种植过程中，施肥是提高农作物产量和质量的重要手段之一。
然而，在实际操作中，由于施肥的时间、剂量和方法等因素的不同，施肥效果也会有所差异。
本课程设计旨在通过数学建模的方法，分析施肥对农作物产量的影响，找出最佳施肥方案。
二、问题分析：1. 施肥时间：不同时间段施肥对农作物产量的影响不同，需要确定最佳的施肥时间；2. 施肥剂量：过少的施肥剂量无法满足农作物的生长需要，过多的施肥剂量可能造成浪费和环境污染，需要确定最佳的施肥剂量；3. 施肥方法：不同施肥方法对农作物产量的影响也不同，需要确定最佳的施肥方法；4. 施肥效果评价：需要建立一个评价指标体系来评价不同施肥方案的效果。
三、数学模型的建立：1. 施肥时间模型：假设农作物生长过程分为若干个时期，每个时期的生长速度是不同的。
我们可以建立一个函数来描述农作物在不同施肥时间下的生长速度变化，通过求函数的最大值或最小值来确定最佳的施肥时间。
2. 施肥剂量模型：假设农作物的生长速度与施肥剂量是线性相关的。
建立一个方程，使得农作物的生长速度最大化，然后通过求解该方程来确定最佳的施肥剂量。
3. 施肥方法模型：假设农作物的生长速度与施肥方法有关，可以建立一个函数来描述农作物在不同施肥方法下的生长速度变化。
通过求函数的最大值或最小值来确定最佳的施肥方法。
4. 施肥效果评价模型：建立一个评价指标体系，包括农作物产量、养分利用率、土壤质量等指标，通过加权计算得到一个综合评分来评价不同施肥方案的效果。
四、数据分析与结果验证：根据实际的农作物生长数据和施肥实验数据，进行数据分析，验证所建立的数学模型的有效性和准确性。
五、结论与改进：根据数学模型的分析结果得出最佳的施肥方案，同时提出改进意见和建议，为农作物种植提供科学的施肥指导。
附录：1. 农作物生长数据和施肥实验数据的详细信息；2. 用于建模和计算的数学公式和算法的详细说明；3. 模拟计算和数据分析的代码和程序。
施肥效果分析
施肥效果分析本文研究了营养素对作物的产量的影响，分析了不同营养素对不同作物生长产量的差异，建立了施肥效果模型。
并采用控制变量法和计算机数据拟合法建立了营养素对作物生长影响的模型。
根据研究所所得的营养素与作物产量的数据，运用MATLAB得到营养素与作物产量关系的散点图。
进一步运用拟合工具进行拟合数据，得到多项式的二次，三次函数和正弦函数一项，两项和三项函数。
利用方差比较，得到N在三次多项式时拟合度最好，而P和K 在二次多项式时拟合度最好。
本文最后总结了模型的优点和不足之处，并对施肥效果改进意见。
关键词：散点图，方差比较，拟合方程，控制变量一．问题重述作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。
为研究三种营养素对作物生长的影响，某作物研究所在该地区选取土豆与生菜做了一定数量的实验，实验过程中当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在最适宜植物生长状态。
分析数据得出施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。
二．问题分析氮元素可促进植株茎叶的生长，更好的进行光合作用。
磷元素具有一部分促根发育的作用还具有促进开花的作用。
钾元素主要是促进果实的干物质积累，用来膨大果实。
增加产量。
由施肥量与产量的关系表格可得营养素对土豆生菜的产量有明显的促进作用。
根据农业期刊《Biology and fertility of soils》，一般来说，产量W可以用营养素施肥量的多项正弦函数表示，故做拟合曲线并代入试验数据求得关系表达式；同时联想到Logistic函数的导函数曲线为二次多项式（也是随着自变量先增后减），因此作一次二次以及三次多项式拟合，并进行比较。
三．基本假设①每次试验独立且试验条件（如环境条件，种植密度，土壤条件）相同；②由于数据由研究所提供，所以假设试验数据不会出现较大误差；③三种元素的使施用量同作物产量有一定的函数关系，同一种元素对不同作物的作用表现为同一类的函数关系；④忽略土壤中原有的N、P、K对作物生长的影响；⑤三种元素对作物增长的作用是相互独立的；四．名词解释和符号说明名词解释:种植密度：单位面积作物种植量符号说明：①pi（i=1,2,3.....)多项式系数②ai，bi，ci正弦函数各项系数和常数项五.模型建立和求解采用MATLAB2021b中配置的curve fitting tool（曲线拟合工具），直接输入数据，进行曲线拟合。
建模
7.3.5
y = b0 + b1 n + b2 n 2 + ε ， ε ~ N (0, σ 2 )
由 MATLAB 得：
ˆ = 0.197, b ˆ = −0.00034, b ˆ = 14.8 b 1 2 0
因此，氮肥对土豆的效应方程（回归方程）为：
y = 14.80 + 0.197 n − 0.00034n 2
P 施肥量（kg/ha）
24
49
73
98
147
196
245
294
K 施肥量（kg/ha）
47
93
140
186
279
372
465
558
生菜： N 施肥量（kg/ha） 392 产量（t/ha） 11.02 14.11 0 6.39 0 651 产量（t/ha） 15.75 19.40 16.76 16.89 16.24 17.56 19.20 17.97 15.84 20.11 12.70 14.56 16.27 17.75 22.59 21.63 19.34 16.12 0 28 56 84 112 168 224 280 336
1）实验是在相同的正常实验条件下进行的，产量的变化是由施肥量的改变引起的； 2）土壤本身已含有一定数量的氮、磷、钾肥，即具有一定的天然肥力； 3）每次实验是独立进行的，互不影响。 4 模型建立 1）氮肥 从散点图上看，不论对土豆还是生菜，氮肥对其贡献大致呈抛物线；再结合 Nickolas 和 Miller 理论知， 氮肥的施用量 n 对土豆、 生菜产量 y 的关系可用下述模型来描述：
它为第二非线性回归，采用高斯—牛顿法，可确定参数 a, b, c ，有
ˆ = 0.01, c ˆ = 42.17, b ˆ = −0.641 a
农作物施肥效果分析
关于施肥对农作物生长影响的数学模型摘要：查阅资料，将促进作用分成两类：一种是一开始促进作用随施肥量增大而增大，达到最大值之后促进作用下降。
另一种是一开始促进作用明显，之后将趋于稳定的类型。
整理数据，通过matlab 进行数据拟合得出方程与图像。
分析土豆和生菜两组函数，可以看出氮磷钾肥料对两种作物促进程度不相同。
由此得出施肥量对产量的促进程度与作物种类有关。
但是两组实验，都是氮肥促进程度先上升后下降，磷肥、钾肥的促进程度基本一直上升。
通过查阅资料得出N P K 三种元素之间无相互影响，由此得出初等模型：)()()(z K c y P b x N a W ⨯+⨯+⨯=（其中a b c 为常数）。
进一步考虑，回归系数可能与施肥量有关，由此可以改进得出完善模型：)()()()y ()()('z K z c y P b x N x a W ⨯+⨯+⨯=。
最后，对模型进行分析，所得数据结果与题目所给数据结果接近。
说明完整模型适合农作物施肥效果分析。
在实际生活当中，氮磷钾肥相互之间是有影响的，所以通过类比《龙须草氮磷钾配方施肥的数学模型》【1】中的数学模型，将我们的模型便跟为：k mz ny lx jyz ixz hxy fz ey dx W +---+++++=222''（其中d 、e 、f 、h 、i 、j 、k 、l 、n 、m 都为常数）。
关键字：二次函数 对数函数 回归分析一、问题分析研究所分别对土豆和生菜进行了三组实验，由此研究N、P、K三种肥料对两种作物的作用。
实验中将每种肥料的施用量分为10个水平在考察其中一种肥料的施用量与产量关系是，总是将另外两种肥料固定在第7个水平上（实验数据见附录一）。
增施氮肥对促进植物生长健壮有明显作用。
但是氮肥用量不宜过多，过量施用氮肥时，有延长生长期、贪青晚熟的趋势。
钾与氮磷不同，它不是植物体内有机化合物的成分，钾呈离子状态溶于植物汁液当中，其主要功能与植物新陈代谢有关。
高等数学MATLAB实验四 数据拟合问题 实验指导书
实验四 数据拟合问题实验目的：1、加深对函数基本概念的理解；2、掌握利用函数解决实际问题的方法；3、掌握MA TLAB 软件中有关函数、绘图等命令实验要求：掌握函数基本知识，熟悉MA TLAB 中绘图命令plot 。
实验内容：某研究所为了研究氮肥（N ）的施肥量与土豆产量的关系，做了十次实验，实验数据见表1-1，其中hm 表示公顷，t 表示吨，kg 表示千克，试分析氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系。
表1-1 氮肥施肥量与土豆产量关系的实验数据实验方案设y 代表土豆产量，x 代表氮肥的施肥量。
显然，y 与x 之间应该有某种关系，假设y 与x 之间的关系为函数关系，则问题就转化为已知数据点(,)i i x y ，寻找函数()y y x =，这就是数据拟合问题。
所谓数据拟合，就是从一组实验数据点(,)i i x y 出发，寻找函数()y y x =的一个近似表达式()y f x =（称为经验公式）。
从几何上看，就是希望根据给定的这些数据点(,)i i x y ，求曲线()y y x =的一条近似曲线()y f x =。
近似曲线()y f x =不必过每一个数据点，但如果近似曲线的效果要好的话，那么数据点(,)i i x y 离近似曲线的距离应该尽量小，用偏差平方和函数2(())i i iW f x y =-∑来刻画近似曲线的效果，偏差平方和函数越小则近似曲线的拟合效果越好，因此最好的近似曲线应该满足2min(())iiif x y -∑。
多项式函数由于性质良好，计算方便，常常用来进行数据拟合。
可以考虑采用2{1,,}x x 作为基函数来拟合这组数据（即用二次多项式函数2012a a x a x ++作为经验公式），此时偏差平方和函数为22012()i iW a a x a x y =++-∑，其中n 为数据点的数目，要使偏差平方和函数W 最小，需要201211123012111123420121111n n ni i ii i i n n n ni i i i i i i i i n n n n i i i i ii i i i na a x a x y a x a x a x x y a x a x a x x y ===========⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（该方程组称为法方程组），将实验数据(,)i i x y 代入上式，解得014.7391a =， 10.1973139a =， 20.000339492a =-，即拟合函数为214.73910.19731390.000339492y x x =+-。
11520-数学建模-1992年A题《施肥的效果分析》题目、论文、点评
1992年A题《施肥的效果分析》题目、论文、点评
回归模型
题目：1992年A题施肥效果分析.pdf (8.11 KB)
出题人：北京理工大学叶其孝
主要建模方法：回归模型
优秀论文：1、《施肥方案对作物、蔬菜的影响》
作者：北京师范大学喻梅、金青松、唐福明，
指导老师：刘来福;
论文摘要：对土豆和生菜,分别建立了产量与施肥水平之间的多元二次回归模型.运用SAS/STAT 软件依次采用全回归、逐步回归和二次响应面回归.在确认模型具完美适度性基础上,进行线性相关、交互作用、最佳响应水平、强影响变量、回归曲面形状等分析.同时,将两种作物进行比较,得出一系列颇有实用价值的结论.分析结果表明:土豆的产量对 N 具有强线性依赖性,而生菜是对 P;施肥的交互作用对土豆影响较大,对生菜则无强影响;最佳施肥方案中 N,P,K 的用量土豆为292,246,542(公斤/公顷),生菜为213,667,427(公斤/公顷)对应产量为45.18和23.13吨/公顷,且均在试验范围内达到,可信性强;对土豆,强影响因子依次为N→K→P,对生菜为P→N→K;回归曲面上凸,沿(N,P,K)=(1,0,0)方向下降迅速.
因此,施肥中应特别注意 N 的使用量.
论文下载：施肥方案对作物_蔬菜的影响.pdf (381.06 KB)
专家点评：《关于施肥效果分析问题的评注》
作者：项可风，中国科学院系统科学研究所
点评下载：关于施肥效果分析问题的评注.pdf (234.18 KB)。
数学建模matlab土豆施肥量与产量
数学建模matlab土豆施肥量与产量篇一：数学建模是通过建立数学模型来描述和解决实际问题的方法。
在农业领域中，数学建模可以帮助农民优化农作物的生长和产量。
土豆是一种重要的农作物，其产量受到许多因素的影响，如施肥量、水分、土壤质量等。
在土豆种植中，施肥是提高产量的重要因素之一。
合理的施肥量可以提供土壤中所需的养分，促进土豆的生长和发育。
然而，过量或不足的施肥都可能产生负面影响，对土壤质量和环境造成损害。
为了确定适宜的土豆施肥量，可以使用数学建模方法。
一种常用的方法是利用回归分析，通过收集土壤样本和相关数据，建立土壤养分含量与土豆产量之间的数学模型。
然后，可以使用这个模型来预测不同施肥量下的土豆产量，并找到最佳的施肥量。
在使用MATLAB进行数学建模时，可以利用其强大的数据分析和统计工具。
首先，收集土壤样本和相关数据，并进行数据预处理。
接下来，可以使用MATLAB的回归分析工具，如线性回归或多项式回归，建立土壤养分含量与土豆产量之间的模型。
然后，可以使用该模型来预测不同施肥量下的土豆产量，并选择最佳的施肥量来最大化产量。
除了施肥量，数学建模还可以考虑其他因素，如水分管理和土壤质量等。
通过综合考虑这些因素，可以建立更加准确的数学模型，为农民提供更好的决策依据。
总而言之，数学建模可以帮助农民确定适宜的土豆施肥量，从而提高土豆的产量。
使用MATLAB进行数学建模，可以更方便、快捷地进行数据分析和模型建立，为农业生产提供科学的指导。
篇二：土豆是世界上最重要的农作物之一，土豆的产量与施肥量之间存在着复杂的关系。
为了最大限度地提高土豆的产量，农民需要确定最合适的施肥量。
数学建模是一种有效的方法，可以帮助农民确定最佳的施肥量。
首先，我们可以使用数学建模来分析土豆的生长过程。
土豆的生长受到许多因素的影响，包括气候条件、土壤质量、灌溉水量等。
我们可以收集这些数据，并使用统计分析的方法来确定这些因素对土豆产量的影响。
通过建立数学模型，我们可以量化不同因素对土豆产量的贡献程度，从而帮助农民更好地管理土豆的生长环境。
农作物施肥效果分析
农作物施肥效果分析摘要我们通过研究氮、磷、钾三种肥料对土豆和生菜的作用，來建立施肥量与产量关系的模型。
通过回归分析的方法，将所给的数据进行MATLAB L具箱拟合，并利用残差分析的方法，建立反映施肥量与产量关系的模型并检验分析,找到产量的最优解以及氮、磷、钾三种肥料的最优配合比，在耕地面积一定的情况下研究土豆或生菜可以达到得最大收益值。
由此我们建立的土豆产量模型为M = -12.8361 + 0.1903n + 0.0842p + O.O735^-O.OOO3n2一0.0002p2-0.0001k2 生菜产量模型为W2 = -0.4938 + 0.07561? + 0.0234p + 0.0067k 一0.0002??求解得到土豆产量的最值,当n= 317.1667, p = 210.5000, k = 367.5000时,得^imax = 39.71,氮磷钾肥料的最优配合比为1.5:1:1.74, 土豆是喜钾作物。
我们可以得出生菜的最值，当n = 224, p = 685, k= 372时，得w? = 24.53,可以看出生菜是喜磷作物。
在应用方面，为了直观的展示最大的利润以及最优配合比，设计了一个GUI人机交互界而，这样可以清晰明了表示获得的最大收益值。
关键词：回归分析MATLAB拟合残差分析最优配合比GUI人机交互界面一问题重述俗话说“民以食为天”，我们的生活与农作物的供应息息相关。
近年来，随着人口增多，耕地减少，所以化肥对农作物的生长、提高农作物的产量具有重耍的意义。
农作物除了吸收水分和空气屮二氧化碳以获得碳、氢、氧等元素外，还必须从土壤再吸收氮、磷、钾和其他矿质养分，并在太阳能的帮助下合成有机物质，以建造自己的有机机体，但土壤中的常量营养元素氮、磷、钾和其他矿质养分一般不能满足作物生长的需求，需要施用含氮、磷、钾的化肥來补充。
在本问题中，某研究所通过研究氮、磷、钾三种肥料对土豆和生菜的作用，來建立施肥最与产最关系的模型。
全国大学生数学模型联试题的解课程.doc
1992年全国大学生数学模型联试题(1992年11月27-29日)A题施肥效果分析某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N),钾(K),磷(P)｡某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验,实验数据如下列表格所示,其中ha表示公顷,t表示吨, kg 表示公斤,当一个营养素的施肥量变化时,总将另二个营养素的施肥量固定在第7个水平上,例如N做实验时,P与K 的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha.试分析施肥量与产量之间关系,并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价｡本题是由理工大学应用数学系叶其孝建议的,可参看Tony Barnes, Estimating fertilizer roquirements of vegetable crops, Mathematical Modelling——A Source Book of Case Studeies,Edited by I.D.Huntley and D.J.G.James, Oxford University Press, 1990,341~356.全国一等奖论文本题用回归模型解决,让我们看一个例子｡例对8个学生调查其智商iq和课后复习某门课时间t,该门课考试成绩g,得下表试建立由智商和复习时间预测该课程考试成绩的公式｡表 8个学生学习成绩这个问题中,学生考试成绩g受他的智商iq和复习某门课时间t影响,3个变量g,iq,t 间存在密切关系｡但是它们的关系不是确定性关系而是相关关系｡对本例我们假设分数是可连续取值的,并且认为:智商越高,成绩越好;复习时间越多,学习成绩越好;并且假设智商与复习时间对考试成绩的影响是线性的｡但每个人会遇到其它方面的影响,如精力旺盛与否,学习积极性,亲友对该课程知识的介绍,报纸杂志对该课程的介绍等｡因此g与iq与t的关系只能是相关关系,于是对一般的学生成绩建立数学模型εbbgiq=t+++b21用计算机软件却可以方便地完成回归计算,SAS的REG,RSREG,ORTHOREG和GLM过程都可以用来作回归｡其中REG过程具有许多功能,例如模型选择､回归诊断等,所以一般情况下总用REG作线性回归｡REG过程主要有两个语句:PROC REG语句和MODEL语句,其功能如下(1)PROC REG语句用以调用REG过程,同时可以加上若干选项,其中DATA=…用以说明线性回归所用的数据集,如果没有这一选项,就用最新产生的数据集作回归｡(2)MODEL语句中有等号,等号前的变量被指定为响应变量,等号后的变量被指定为自变量｡对于上例可以采用如下SAS程序data score;input iq t g;cards;105 10 75110 12 79120 6 68116 13 85122 16 91130 8 79114 20 98102 15 76;procreg data=score;/*调用reg过程*/model g=iq t;/*解释变量是iq和t,应变量是g*/run;执行程序后计算机打出2个数表:方差分析表(表头Analysis of Variance),参数估计表(表头Parameter Estimate)｡以下分别介绍这2个表所反映的信息｡Analysis of VarianceSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > FModel 2 596.11512 298.05756 32.57 0.0014Error 5 45.75988 9.15198Corrected Total 7 641.87500Root MSE 3.02522 R-Square 0.9287Dependent Mean 81.37500 Adj R-Sq 0.9002Coeff Var 3.71763表的上半部分是方差分析表,即表,第1列指出各行平方和来源:第2行是回归平方和;第3行是残差平方和;第4行是前两行之和｡第2列(DF)表示自由度,分别是2,5和2+5=7;第3列是平方和:SSR=596.11512, SSE=45.75988,SST=SSR+SSE=641.87500｡第4列是平均平方和298.05756=596.11512/2,9.15198=45.75988/5｡第5列是F 值:32.57=298.05756/9.15198｡第6列是自由度为2,5的F 分布随机变量大于32.57的概率,这概率小于0.01等价于F 大于0.99分位数点,因而线性关系是显著的｡表的下半部分给出9002.0,9287.0%71763.3,375.81,02522.322=====∧R R y 修正的变异系数σParameter EstimatesParameter StandardVariable DF Estimate Error t Value Pr > |t|Intercept 1 0.73655 16.26280 0.05 0.9656 iq 1 0.47308 0.12998 3.64 0.0149 t 1 2.10344 0.26418 7.96 0.0005各列各行含义如下:第1列为变量,从中可见第2行是0b (intercept), 第3行是1b (iq 的系数),第4行是2b (t 的系数)｡第2列为自由度,各变量自由度都是1｡第3列为参数估计值:∧0b =0.73655,∧1b =0.47308,∧2b =2.10344｡第4列为标准误2628.16)(0=∧b STDERR ,12998.0)(1=∧b STDERR ,26418.0)(2=∧b STDERR ｡第5列为t 值)(/i i i b STDERR b t ∧∧=:05.00=t ,64.31=t ,96.72=t ｡第6列为n-m-1=5个自由度t 分布随机变量大于这些t 值的概率:P(T>0.05)=0.9656,P(T>3.64)=0.0149),P(T>7.96)=0.0005｡概率小于0.05表明变量的作用显著｡由此可见智商和复习时间对得分的作用是显著的;而常数的作用是不显著的｡常数反映教师的作用,由检验可以看出教师的教学效果是不好的｡ 让我们回到1992试题｡查文献可知:土豆产量是N,P,K 产量的二次多项式｡于是建立回归模型ε++++++++++=pk b nk b np b kk b pp b nn b k b p b n b b w 9876543210用土豆-N,P,K 数据代入,得SAS 程序data npk;input n p k w;nn=n*n;pp=p*p;kk=k*k;np=n*p;nk=n*k;pk=p*k;cards;0 196 372 15.1834 196 372 21.3667 196 372 25.72101 196 372 32.29135 196 372 34.03202 196 372 39.45259 196 372 43.15336 196 372 43.36404 196 372 40.83471 196 372 30.75259 0 372 33.46259 24 372 32.47259 49 372 36.06259 73 372 37.96259 98 372 41.04259 147 372 40.09259 196 372 41.26259 245 372 42.17259 294 372 40.36259 342 372 42.73259 196 0 18.98259 196 47 27.35259 196 93 34.86259 196 140 38.52259 196 186 38.44259 196 279 37.73259 196 372 38.43259 196 465 43.87259 196 558 42.77259 196 651 46.22;procreg data=npk;model w=n p k nn pp kk np nk pk;run;执行後出现“Model is not full rank. Least-squares solutions for the parameters are not unique”说明模型不满秩,可用逐步回归筛选主要因子｡采用程序data npk;input n p k w;nn=n*n;pp=p*p;kk=k*k;np=n*p;nk=n*k;pk=p*k;cards;0 196 372 15.1834 196 372 21.3667 196 372 25.72101 196 372 32.29135 196 372 34.03202 196 372 39.45259 196 372 43.15336 196 372 43.36404 196 372 40.83471 196 372 30.75259 0 372 33.46259 24 372 32.47259 49 372 36.06259 73 372 37.96259 98 372 41.04259 147 372 40.09259 196 372 41.26259 245 372 42.17259 294 372 40.36259 342 372 42.73259 196 0 18.98259 196 47 27.35259 196 93 34.86259 196 140 38.52259 196 186 38.44259 196 279 37.73259 196 372 38.43259 196 465 43.87259 196 558 42.77259 196 651 46.22;procreg data=npk;model w=n p k nn pp kk np nk pk/selection=stepwise;run;得到输出Stepwise Selection: Step 7Analysis of VarianceSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > FModel 5 1588.02719 317.60544 52.46 <.0001 Error 24 145.30671 6.05445Corrected Total 29 1733.33390Parameter StandardVariable Estimate Error Type II SS F Value Pr > FIntercept 34.21183 1.51322 3094.73186 511.15 <.0001 nn -0.00032100 0.00003116 642.51487 106.12 <.0001 pp -0.00020621 0.00004702 116.45852 19.24 0.0002 kk -0.00007747 0.00001300 215.00773 35.51 <.0001 np 0.00037276 0.00005818 248.56345 41.05 <.0001 nk 0.00030883 0.00003063 615.31969 101.63 <.0001Bounds on condition number: 10.342, 202.73由此可得回归方程nk npkk ppnnw00030883.000037276.000007747.0 00020621.0000321.021183.34++---=若再加上市场价格就能寻求最佳施肥方案｡练习题为了制造猪饲料,采用4种辅料,使用量分别是X1-X4,相应的猪饲料产量是y,试验16次,得到结果如下表｡找出X1-X4的最好二次多项式,用来预报Y｡。
数学建模参数拟合题目土豆施肥量
土豆生长所需的主要营养素是氮(N).磷(P).钾(K). 某作物研究所在某地对土豆做了一定数量的实验，取得的实验数据如表1.16所示,其中ha表示公顷，t 表示吨，kg表示公斤. 当一个营养素的施肥量变化时，总将另外两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P 与K的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha. 请分析土豆的施肥量与产量之间的关系，要说明选择什么函数模型，为什么选择这些函数模型；要给出拟合参数、误差平方的计算结果，并展示拟合效果图.表1.16 土豆的施肥量和产量实验数据问题分析：绘制土豆和生菜与三种营养素之间的散点图可以看出，N肥的用量对有些农作物产量的影响是：当N肥的使用量较少时，随着N肥的用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大值，然后，当N肥的用量继续增加时，农作物的产量反而会降低。
而在一定的范围内，P 肥和K 肥的用量对农作物产量的影响将随着其用量的增加而一直增加，只是当P 肥和K 肥用量较少时，随着其用量的增加，农作物的产量增加不大。
种特点的函数关系应该用二次多项式。
模型建立：可以确定土豆产量与各营养素施用水平之间的函数关系为:11211a y c n b n ++=221a py b p +=k c e b 3331a y +=}i i i c b a ,,等为待拟合常数。
计算结果：对上述拟合问题进行求解0003.01-=a 1971.01=b 7416.141=c 0222.02=a 6675.02=b6644.423=a 3945.233-=b 009.03-=c从而所拟合的函数为：`氮肥：416.714971.10003.00-(y 21++=n n N ）磷肥：675.602220.0pP y 1+=p ）（钾肥：ke 09.001945.323644.624K y --=）（ 2.生菜产量的求解利用SPSS 曲线估计对上述拟合问题进行求解,由数据分析可得拟合函数为三次函数时2R 均比较大，因此三个图的拟合曲线均可利用三次函数表示： 令i i i i d n c n b n a +++=23y84859.1a --=e 0b 4= 099.0c 4= 357.10d 4= 75064.1a -=e 0b 5= 88.0c 5= 661.5d 5=·86423.5a -=e 5691.25b --=e 18.00c 6= 11.715d 6=氮肥: 375.10099.0859.1)(y 382++-=-n n e N 磷肥：661.588.0064.1)(y 372++=-n n e P钾肥：711.15018.0291.5423.5)(y 27382++-=--n n e n e K分析结果表明：土豆的产量对N 具有强线性依赖性, 而生菜是对P ；最佳施肥方案中N 、P 、K 的用量土豆为292, 246,542（ 公斤/公顷）, 生菜为213,667 ,427（公斤/公顷）。
数学建模氮磷钾配比
摘要农作物的生长所需营养素主要是氮、磷、钾，肥料的选择及施用量的选取对作物的生长有着重要的影响，针对该地区的土豆与菜做了一定的数量实验，当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，结合各变量的散点图可以判断土豆产量与氮肥施用量之间应该可以用二次函数关系来拟合。
利用SPSS进行曲线估计考察选择曲线拟合函数的类型，用MATLAB编制相应的程序进行计算，并得出相应的结论对施肥的效果做出分析，给予田间生产一定的参考作用关键字：曲线拟合、散点图、施肥效果、SPSS土豆：N P K 一、问题的提出随着经济的发展人们的饮食发生了改变，从营养学的观点看，为了保证平衡膳食、满足机体需要，又不致营养过剩，营养师提倡大家多吃绿色植物，因此农作物中的营养元素越来越少到是消费者的关注，而保持农作物中的营养元素也越来越重要。
某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。
某作物研究所在某地区对土豆与菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。
当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P与K的施肥量分别取为196kg／ha与372kg／ha。
试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估计。
菜：N P K施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)二、模型假设1.两种植物在相同的温度、适宜的水分、充足的光照等外界环境下生长2.两种植物的施肥量相同，不同的营养元素对两种植物的影响3.两种植物的营养元素相同，不同的施肥量对两种植物的影响三、符号说明N1—土豆含N的施肥量Y1—施N后土豆的产量N2—菜含N的施肥量Y12—施N后菜的产量P1—土豆含P的施肥量Y2—施P后土豆的产量P2—菜含P的施肥量Y22—施P后菜的产量K1—土豆含K的施肥量Y3—施K后土豆的产量K2—菜含K的施肥量Y32—施K后菜的产量四、模型分析利用散点图,对所拟合问题的曲线类型做出判断当需要拟合两个变量之间的函数关系时,首先需要确定所求函数对应曲线的类型,然后根据曲线类型对所求函数的对应关系进行假设,并利用已知数据计算所需参数,从而形成对两个变量之间函数关系的最终确定.考虑函数所对应曲线的类型,通常有三个参照指标1.是绘制两个变量的散点图,从图象的角度判断函数关系的类型;2.是根据给出变量的数据关系以及数据走向来判断3.是根据所考虑变量之间内在的规律来讨论.本问题中,我们需要考察的是土豆产量与各营养素之间的函数关系应用Matlab程序得下图绘制土豆和生菜与三种营养素之间的散点图如下：土豆产量与氮肥、磷肥、钾肥施用量之间关系的散点图从散点图中我们可以看到：N肥的用量对有些农作物产量的影响是：当N肥的使用量较少时，随着N肥的用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大值，然后，当N肥的用量继续增加时，农作物的产量反而会降低。
数学建模—农作物施肥的优化设计
大学生数学建模题目：施肥效果分析学院__________ 电气工程学院班级_________________________ 组号_________________________农作物施肥的优化设计摘要本文在合理的假设之下，通过对实验数据的分析，建立了能够反映施肥量与农作物产量的关系模型，据此求得在保证一定产量的同时，施用肥料最少。
首先是对实验数据进行了较为直观的分析，可知N肥、P肥、K肥施加不同量均对土豆、生菜的产量造成一定影响，且施N肥过多会烧苗，会使土豆和生菜减产。
其次，模型一，我们对实验数据运用Excel进行拟合，得到各肥料的施肥量与产量的拟合曲线，从而获得对应函数表达式。
但由于无法对模型进行误差分析，我们再次运用一元多项式回归方法建立模型进行求解，此时得到不同肥料的施肥量与产量的关系。
然后，模型二，利用Matlab软件建立模型，求出N肥、P肥、K肥的施肥量关于土豆及生菜的最优解：当氮的施肥量为290.2542时使得土豆产量达到最优解为43.34615; 当磷的施肥量为303时使得土豆产量达到最优解为42.7423：当钾的施肥量为36.0742时使得土豆产量达到最优解为44.51718o当氮的施肥量为290.2542时使得生菜产量达到最优解为43.34615：当磷的施肥量为290.2542时使得生菜产量达到最优解为43.34615：当钾的施肥量为290.2542时使得生菜产量达到最优解为43.34615。
最后我们就应用价值方面对模型做出改进。
山于实验数据中各个自变量与因变量之间并不是一一对应的关系，所以没有得出各肥料的施肥量与产量的交义关系，仅得到单一变量的对应关系。
关键字：一元多项式回归Excel拟合Matlab一、问题的提出某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。
某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中ha 表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。
农作物施肥分析
农作物施肥分析2120N N N y b x b x b ε=+++现将上述模型线性化，算出2N x 令值为2N x 则上述模型可以简化为：2012N N N y b b x b x =++在计算多元线性回归方程时，假设回归方程为:01122p p y b b x b x b x ε=+++++ ()20,N εσ(4.1) 其中0b ，1b ，，p b ，2σ都是12,,,p x x x 无关的未知参数.设11121112(,,,,),,(,,,,)p n n np n x x x y x x x y (4.2)是一个样本，和一元线性回归的情况一样，我们用最大似然估计法来估计参数.即取01ˆˆˆ,,,p b b b 使当0011ˆˆˆ,,,p pb b b b b b === 时 210111()ni p ip i Q y b b x b x ==----∑(4.3)达到最小.求Q 分别关于01,,,p b b b 的偏导数，并令它们等于零，得011101112()0,2()0,1,2,,ni i p ip i n i i p ip ij i j Qy b b x b x b Qy b b x b x x b j p ==∂⎧=-----=⎪∂⎪⎪∂=-----=⎨∂⎪⎪=⎪⎩∑∑(4.4)化简（4.4）式得011221111201112121111111120112211111,,n n n ni i p ip i i i i i n n n n ni i i i p i ip i i i i i i n n n n nip ip i ip i p ip ip ii i i i i b n b x b x b x y b x b x b x x b x x x y b x b x x b x x b x x y =============⎧++++=⎪⎪⎪++++=⎪⎨⎪⎪⎪++++=⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （4.5）我们将式（4.5）称为正规方程组. 为了求解的方便，将式（4.5）写成矩阵形式. 为此，引入矩阵：111212122212111p p n n np x x x xx x X x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，01p b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ . 因1111112121121121222111111121221111111111nni ip i i p n nnn p i i i ip T i i i ppnp n n np nnnipip i ip i i i n x x x x x x x x x x x x xx x X X x x x x x x xxxx ========⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑∑1111211211121111n i i nn i i T i p p np n n ip ii y y x x x y x y X Y x x x y x y ===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 于是（4.5）式可写成T T X XB X Y = （4.5）’ 这就是正规方程组的矩阵形式. 在()4.5’式两边左乘T X X 的逆矩阵()1TX X -（设()1TX X - 存在）得到()4.5’ 的解.011ˆˆˆ()ˆT T p b b B X X X Y b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 这就是我们需要求的01(,,)T p b b b 的最大似然估计. 我们取011ˆˆˆˆp pb b x b x y ++= 作为12011(,,,)p p p x x x b b x b x μ=+++的估计. 则可以得到p 元线性回归方程方程：011ˆˆˆˆp py b b x b x =++经计算得正规方程组的解为0112ˆ14.74164ˆˆ()0.00034ˆ0.19715T T b B b X X X Y b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦则求的原假设模型为20.000340.1971514.74164N NN y x x =-++ 用2R 来检验模型的拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得氮肥施肥量与土豆产量拟合图形如下：计算得20.986R = 拟合度良好，可以较好的反映氮肥施肥量与土豆产量的关系.1.1 磷肥施肥量改变时对土豆产量的影响由现有数据画出磷肥施肥量与土豆产量关系的散点图：图 1 磷肥施肥量与土豆产量关系散点图y = -0.0003x 2 + 0.1971x + 14.742R² = 0.98630 10 20 30 40 50 0100200300400500土豆产量 氮肥施肥量由图 1 磷肥施肥量与土豆产量关系散点图可以看出磷肥施肥量与土豆产量大致成二次关系，故可建立磷肥施肥量与土豆产量关系的模型如下：2012P P P y b b x b x =++为简化计算，计算出2p x 令之为2P x ，则上述假设模型可化为：2120p p p y b x b x b =++经计算得正规方程组的解为0112ˆ32.916ˆˆ()0.000138ˆ0.071859T T b B b X X X Y b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦则假设模型可解得：20.0001380.07185932.916P p p y x x =-++用2R 来检验模型的拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得磷肥施肥量与土豆产量拟合图形如下：经计算得20.864R = ，模型拟合程度良好，可以较好的反映磷肥施肥量与土豆产量之间的关系.1.2 钾肥施肥量改变时对土豆产量的影响由现有钾肥施肥量与土豆产量的数据画出如下钾肥施肥量与土豆产量关系散点图y = -0.0001x 2 + 0.0719x + 32.916R² = 0.86450 10 20 30 40 50 0100200 300400土豆产量 磷肥施肥量图 2 钾肥施肥量与土豆产量关系散点图由图 2 钾肥施肥量与土豆产量关系散点图可以初步看出钾肥的施肥量与土豆的产量大致成对数关系，我们因此假设土豆的产量与钾肥的施肥量模型如下：13ln K k y c x ε=+为简化计算令ln ln k k x x = 先将全部的ln k x 计算出来用lnk x 来代换，则假设模型可化为：ln k k y a bx ε=++求一元线性回归的解法如下： （1）模型假设()20,y a bx N εεσ=++⎧⎪⎨⎪⎩（2）参数估计i i i y a bx ε=++()i i i y a bx ε-+= ，()20,iN εσ()()2211,nni i i i i y a bx Q a b ε===-+=⎡⎤⎣⎦∑∑()(),0,0Q a b aQ a b b∂⎧=⎪⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎩112111n ni i i i n n ni i i i i i i na b x y x a x b x y=====⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩∑∑∑∑∑()221111211ninn n i ni i i ni i i ii i i xnn x x n x x x x ======⎛⎫=-=-≠ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑故方程有唯一解：()()()121niii nii x x y y b x x a y bx==⎧--⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑（3）得到回归方程为：y a bx =+经计算得ˆ 5.811ˆ7.021b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 则假设模型为：ln 5.8117.021k k y x =+因此可以得出原假设模型为：5.811ln 7.021k k y x =+用2R 检验模型拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得钾肥施肥量与土豆产量拟合图形如下：经计算得模型20.865R = ，因此模型拟合度良好，可以较好的反映钾肥施肥量与土豆产量之间的关系.1.3 氮、磷、钾肥施肥量共同改变时对土豆产量的影响氮肥、磷肥、钾肥三种肥料对土豆的产量的影响模型组如下：220.000340.1971514.741640.0001380.07185932.9165.811ln 7.021N N N P P P KK y x x y x x y x ⎧=-++⎪=-++⎨⎪=+⎩ 由以上模型组可以假设土豆产量（y ）与氮肥、磷肥、钾肥三种肥料的施肥量的关系模型如下：2222ln N N N P P p k N P y a x a x b x b x c x ε=+++++将30组数据汇总在一起，在没有其他肥料的施肥量数据的地方填上对应的肥料的第七水平的施肥量，分别计算出2N x 、2p x 、ln k x ，然后做多元线性回归分析，经计算得：220.0003130.18380.0001470.07536.066729.7174N NP P a a b b c ε=-⎧⎪=⎪⎪=-⎨=⎪⎪=⎪=-⎩ 因此解出假设模型为：220.0003130.18380.0001470.0753 6.0667ln 29.7174N N P P K y x x x x x =-+-++-计算2R 来检验模型拟合度，得20.953R =，接近1拟合度很好，可以很好的反映氮肥、磷肥、钾肥的施肥量对土豆产量的影响.计算出最大产量时的氮磷肥三种肥料的施肥量如下表（MATLAB 代码见附录）：表 1 氮磷钾肥施肥量对应土豆产量表氮肥施肥量（/kg ha ） 磷肥施肥量 （/kg ha ） 钾肥施肥量 （/kg ha ）土豆产量（t/ha ） 293.6104256.125065146.2116由表 1 氮磷钾肥施肥量对应土豆产量表得当氮肥施肥量为293.6104/kg ha ，磷肥施肥量256.1250/kg ha ，钾肥施肥量651/kg ha 时土豆的产量最大值为46.2116t/ha .1.4 氮肥施肥量改变时对生菜产量的影响由现有氮肥施肥量的改变对生菜产量的影响数据，建立氮肥施肥量与生菜产量关系的散点图如下：图 3 氮肥施肥量与生菜产量关系散点图由图 3 氮肥施肥量与生菜产量关系散点图可以看出生菜的产量与氮肥的施肥量大致成二次关系，故假设生菜的产量与氮肥施肥量之间的模型为：2120=b n n y x b x b ε+++生为了简化计算先计算出2n x 用2n x 代换，则原模型可化为：2120=b n n y x b x b ε+++生经计算得正规方程组的解为：011210.229ˆ()0.0002380.10132T T b B b X X X Y b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则原假设模型解得：2=-0.0002380.1013210.229nn y x x ++生 对模型进行2R 检验，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得氮肥施肥量与生菜产量拟合图形如下：经计算得20.925R = 拟合度较好，可以较好的反映氮肥施肥量与生菜产量之间的关系.1.5 磷肥施肥量改变时对生菜产量的影响为了初步分析生菜产量在仅有磷肥改变时所受的影响，在现有数据的基础上建立磷肥施肥量与生菜产量关系的散点图如下：y = -0.0002x 2 + 0.1013x + 10.229R² = 0.92490 5 10 15 2025 0100 200 300 400 500生菜产量氮肥施肥量图 4 磷肥施肥量与生菜产量关系散点图由图 4 磷肥施肥量与生菜产量关系散点图初步可以看出磷肥的施肥量与生菜产量之间大致呈现二次关系，故建立如下模型：2012=b +b p p y x b x ε++生计算出2p x 用2p x 代换则原假设模型可以化为如下多元线性回归方程：2012=b +b p p y x b x ε++生经计算得正规方程组的解为0112 6.87566ˆ()0.0000550.060597T T b B b X X X Y b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 则模型为：2=0.0000550.060597 6.87566p p y x x -++生用2R 检验模型拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得磷肥施肥量与生菜产量拟合图形如下：经计算的20.959R ，模型拟合度较好，故可以较好的反映磷肥的施肥量与生菜产量之间的关系.1.6钾肥施肥量改变时对生菜产量的影响由已知钾肥施肥量与生菜产量关系数据，画出钾肥施肥量与生菜产量关系散点图如下：图 5 钾肥施肥量与生菜产量关系散点图由图 5 钾肥施肥量与生菜产量关系散点图可以看出第八组数据与其他数据存在较大差异，为了保证数据的准确性，对本次实验数据进行残差检验，残差分析图如下：图 6 钾肥施肥量对生菜产量影响的残差分析图从残差图可以看出数据的残差离零点的远近，除了第八组数据的95%残差置信区间不包含零点，其他组数据的残差95%置信区间均包含零点，则第八组数据可视为异常点剔除.在剔除异常点后画出钾肥施肥量与生菜产量关系的修正散点图如下：图 7 钾肥施肥量与生菜产量关系修止散点图由图 7 钾肥施肥量与生菜产量关系修止散点图可以看出钾肥的施肥量与生菜的产量之间大致呈现二次关系，故建立模型如下：2012=b +b k k y x b x ε++生同理将2k x 计算出来，用2k x 代换，进行多元线性回归分析.经计算得正规方程组的解为011215.836ˆ()0.0000070.11T T b B b X X X Y b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 则原假设模型为：2=-0.000007+0.01115.836k k y x x +生用2R 检验模型的拟合度，将所得模型与现有数据的散点绘制在同一张图上得钾肥施肥量与生菜产量拟合图形如下：计算得20.830R =模型的拟合度良好，可以较好的反映钾肥施肥量与生菜产量之间的关系.1.7 氮、磷、钾肥施肥量共同改变时对生菜产量的影响由4.5，4.6，4.7得氮肥、磷肥、钾肥三种肥料对生菜的产量的影响模型组如下：22=-0.0002380.1013210.229=0.0000550.060597 6.87566=0.00594916.227n n N p p p k k y x x y x x y x ⎧++⎪-++⎨⎪+⎩生生生 根据上述模型组，我们可以建立生菜产量（y ）与氮肥（n x ）、磷肥（p x ）、钾肥（k x ）之间的模型：2220123456n n p p k k y b b x b x b x b x b x b x ε=+++++++经计算得正规方程组的解为： 4.8154250.0002320.098706ˆ0.0000380.0487480.0000300.027461B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则可以解出模型为:2220.0002320.0987060.0000380.0487480.0000300.027461 4.815425n n p p k k y x x x x x x =-+-+-+-用2R 检验模型拟合度，计算得20.866R =接近于1，拟合度较高，可以较好的反映氮、磷、钾三种肥料同时施肥时对生菜产量的影响.经计算得出上述模型的最大产量时的氮磷钾的施肥量如下表（代码见附录）：表 2 氮磷钾肥施肥量对应生菜产量表氮肥施肥量（/kg ha ） 磷肥施肥量 （/kg ha ） 钾肥施肥量 （/kg ha ） 生菜产量 （t/ha ） 212.8283641.4227457.685523.5586由表 2 氮磷钾肥施肥量对应生菜产量表可知当氮肥施肥量为213/kg ha ，磷肥施肥量641/kg ha ，钾肥施肥量458/kg ha 时生菜的产量最大值为23.56t/ha （为了方便施肥，对小数点数据后进行四舍五入）.2 模型的评价与改进我们种植农作物时，不能单一的只考虑高产量，同时还需考虑作物的售价和肥料价格，以达到收益的最大化.目前各种作物价格以及肥料价格如下表表 3 作物及肥料价目表种类 价格（元/kg ）土豆 3.6 生菜 6.0 氮肥 1.6 磷肥 0.7 钾肥3.5用1w 、2w 分别表示土豆、生菜的利润，t p 、s p 分别表示土豆、生菜的价格，n z 、p z 、k z 分别表示氮、磷、钾三种肥料的单价.2.1 土豆最佳施肥根据上述价格及方程则可以建立土豆的利润模型为:221(0.0003130.18380.0001470.0753 6.0667ln 29.7174)N N P P K tn n p p k kw x x x x x p x z x z x z =-+-++----带入单价得上述模型为（MATLAB 代码见附录）：2213600(0.0003130.18380.0001470.0753 6.0667ln 29.7174)1.60.7 3.5N N P P K n p kw x x x x x x x x =-+-++----经计算得：表 4 土豆最佳施肥计算结果表氮肥的施肥量(kg/ha)磷肥的施肥量(kg/ha)钾肥的施肥量(kg/ha)利润/ha)(元 292.9003 255.4611 651.0000163430由表 4 土豆最佳施肥计算结果表可知道当土豆的施肥量为氮肥293kg/ha ，磷肥255kg/ha ，钾肥651kg/ha ，可获得最大利润163430/ha 元.2.2 生菜最佳施肥根据上述价格及方程则可以建立生菜的利润模型为:22226000(0.0002320.0987060.0000380.0487480.0000300.027461 4.815425) 1.60.7 3.5n n p p kk n p kw x x x x x x x x x =-+-+-+----经计算得（MATLAB 代码见附录）：附录土豆计算最大产量的MATLAB 代码 M 文件：function f=fun3(x)f=-(-0.000313*x(1)*x(1)+0.1838*x(1)-0.000147*x(2)*x （2）+0.0753*x(2)+6.0667*log(x(3))-29.7174);主程序：x0=[1;1;1];A=[ 1 0 0;0 1 0;0 0 1]; b=[471;342;651]; Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0;0]; VUB=[];x0=[0;0;0];[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)结果：x =293.6104 256.1250 651.0000 fval =-46.2116即293.6104256.125065146.2116npkxxxy=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩生菜计算最大产量的MATLAB代码：M文件：function f=fun3(x)f=-(-8.858450+0.098706*x(1)+0.048748*x(2)+0.027461*x(3)-0.000232*x(1) *x(1)-0.000038*x(2)*x(2)-0.000030*x(3)*x(3))主程序：x0=[1;1;1];A=[ 1 0 0;0 1 0;0 0 1]; b=[392;685;651];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0;400]; VUB=[];x0=[0;0;0];[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)结果:x =212.7283641.4227457.6855fval =-23.5586土豆最佳施肥计算代码：M文件function f=fun3(x)f=-(3600*(-0.000313*x(1)*x(1)+0.1838*x(1)-0.000147*x(2)*x(2)+0.0753*x (2)+6.0667*log(x(3))-29.7174)-1.6*x(1)-0.7*x(2)-3.5*x(3));主程序x0=[1;1;1];A=[ 1 0 0;0 1 0;0 0 1]; b=[471;342;651];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0;0]; VUB=[];x0=[0;0;0];[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)结果x =292.9003255.4611651.0000 fval =-1.6343e+05。
土豆生菜
产量与施肥量关系模型摘要：关键字：土豆生菜曲线图拟合一：问题分析题目分别给出了土豆和生菜各自的产量与N ,P, K,三种元素的施肥量的对应数据表格。
可以由matlab画出两种农作物各自产量与三种元素量的曲线图，由图形判断各自的函数类型。
然后用matlab最小二乘法求出每种元素分别与土豆，生菜作用的函数。
二：符号说明三:模型建立及求解1：现由matlab分别求出各自的曲线图：N对土豆产量的影响P对土豆产量的影响K对土豆产量的影响N对生菜产量的影响P对生菜产量的影响K对生菜产量的影响2：由土豆曲线图可看出，当N施肥量小于259kg时，土豆的产量随着施肥量的增加而增加；当N施肥量大于259kg时，土豆的产量随着施肥量的增加而减小，可得此为一个二次函数。
观察P的施肥量对土豆产量的影响，为由两个二次函数与一个线性函数组成的分段函数。
K的施肥量对土豆产量的影响为一个指数函数与一个二次与一个线性函数组成的分段函数。
同理可得生菜产量与N为二次函数，与P为一个二次函数与一个线性函数组成的分段函数，与K为三个二次函数组成的分段函数。
3：由matlab拟合求解出各函数如下N对土豆：-+=xxy.02+003.141971.07416P 对土豆：⎪⎩⎪⎨⎧<≤+<≤++-<≤++-=)342294(8364.250494.0)294147(42.102684.0006.0)1470(0864.321045.00003.022x x x x x x x x yK 对土豆：⎪⎩⎪⎨⎧<≤+<≤-+-<≤=-)651558(07.220371.0)558372(7300.483749.00004.0)3720(6121.2520015.0x x x x x x e y xN 对生菜：3178.101004.00002.02++-=x x y P 对生菜⎩⎨⎧<≤+<≤++-=)685498(3351.70251.0)4980(8455.50780.00001.02x x x x x y K 对生菜：⎪⎩⎪⎨⎧<≤++-<≤++-<≤+=)651456(5484.100443.00001.0)456186(7765.150314.00001.0)1860(9938.150078.022x x x x x x x x y。
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土豆生长所需的主要营养素是氮(N).磷(P).钾(K). 某作物研究所在某地对土豆做了一定数量的实验，取得的实验数据如表1.16所示,其中ha表示公顷，t 表示吨，kg表示公斤. 当一个营养素的施肥量变化时，总将另外两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做实验时，P 与K的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha. 请分析土豆的施肥量与产量之间的关系，要说明选择什么函数模型，为什么选择这些函数模型；要给出拟合参数、误差平方的计算结果，并展示拟合效果图.
表1.16 土豆的施肥量和产量实验数据
问题分析：绘制土豆和生菜与三种营养素之间的散点图可以看出，N肥的用量对有些农作物产量的影响是：当N肥的使用量较少时，随着N肥的用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大值，然后，当N肥的用量继
续增加时，农作物的产量反而会降低。
而在一定的范围内，P 肥和K 肥的用量对农作物产量的影响将随着其用量的增加而一直增加，只是当P 肥和K 肥用量较少时，随着其用量的增加，农作物的产量增加不大。
种特点的函数关系应该用二次多项式。
模型建立：可以确定土豆产量与各营养素施用水平之间的函数关系为:
11211a y c n b n ++=
2
21a p
y b p +=
k c e b 3331a y +=
}
i i i c b a ,,等为待拟合常数。
计算结果：
对上述拟合问题进行求解
0003.01-=a 1971.01=b 7416.141=c 0222.02=a 6675.02=b
6644.423=a 3945.233-=b 009.03-=c
从而所拟合的函数为：
`
氮肥：416.714971.10003.00-(y 21++=n n N ）
磷肥：675
.602220.0p
P y 1+=p ）
（
钾肥：k
e 09.001
945.323644.624K y --=）（ 2.生菜产量的求解
利用SPSS 曲线估计对上述拟合问题进行求解,由数据分析可得拟合函数为三次函数时2R 均比较大，因此三个图的拟合曲线均可利用三次函数表示： 令i i i i d n c n b n a +++=23y
84859.1a --=e 0b 4= 099.0c 4= 357.10d 4= 75064.1a -=e 0b 5= 88.0c 5= 661.5d 5=
·
86423.5a -=e 5691.25b --=e 18.00c 6= 11.715d 6=
氮肥: 375.10099.0859.1)(y 382++-=-n n e N 磷肥：661.588.0064.1)(y 372++=-n n e P
钾肥：711.15018.0291.5423.5)(y 27382++-=--n n e n e K
分析结果表明：土豆的产量对N 具有强线性依赖性, 而生菜是对P ；最佳施肥方案中N 、P 、K 的用量土豆为292, 246,542（ 公斤/公顷）, 生菜为213,667 ,
427（公斤/公顷）。
对应产量为43.18和23.13吨/公顷, 且均在试验范围内达到, 可信性强；对土豆, 强影响因子依次为N、K、P, 对生菜为P、N、K；
1．N与产量的关系应用程序如下：
N1=[0 34 67 101 135 202 259 336 404 471];Y1=[]15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75];
{
plot (N1,Y1,’+’)
N2=[0 28 56 84 112 168 224 280 336 392]; Y12=[11.02 12.70 14.56
16.27 17.75 22.59 21.63 19.34 16.12 14.11];
Plot(N2,Y12,’+’)
2．P与产量的关系应用程序如下：
P1=[0 24 49 73 98 147 196 245 294 342];Y2=[0 47 93 140 186 279 372
465 558 651];
plot (P1,Y2,’*’)
P2=[0 49 98 147 196 294 391 489 587 685];Y22=[6.39 9.48 12.46 14.33 17.10 21.94 22.64 21.34 22.07 24.53];
Plot(P2,Y22,’*’)
3．K与产量的关系应用程序如下：
K1=[0 47 93 140 186 279 372 465 558 651];Y3=[18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22];
plot(K1,Y3,’*’)
K2=[0 47 93 140 186 279 372 465 558 651];Y32=[15.75 16.76 16.89 16.24 17.56 19.2017.97 15.84 20.11 19.40]
plot(K2,Y32,’*’)。