九年级数学上册第二十四章圆数学活动__圆的探究活动导学案新版新人教版
人教版数学九年级上册导学案：24.1 .1 圆
24．1 .1 圆（总第一课时）计划上课时间主备审阅审批一、学习目标：1、了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．2、从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．3、利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．二、教学重点：1．重点：垂径定理及其运用．2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题。
三、复习和预习案：1、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做．固定的端点O叫做，线段OA叫做．2、圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到的图形．3、①连接圆上任意两点的线段叫做，如图线段AC，AB；②经过圆心的弦叫做，如图线段既是弦又是直径；③圆上任意两点间的部分叫做，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做，•小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做．垂径定理内容：①、②、③、四、讨论与展示、点评、质疑：C1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．C2、．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，正常水位下水面宽AB=•60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时,水面到拱顶距离是多少？请说明理由．五、自我检测案：C1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DEB ．BC BD C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD(1) (2) (3)C2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8CC3．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．AD BD D ．PO=PDB4．如图4，AB 为⊙O 直径∠C 是直角，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．(4) (5)B5．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为______ __；•最长弦长为_______．B6．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的圆心O 到弦AB 、CD 的距离，如果OE=OF ，那么____ ___（只需写一个正确的结论）A7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过C 、D 分别作CN ⊥CD 、DM•⊥CD ，•分别交AB 于N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．A8．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．B A。
第24章圆章末数学活动探究四点共圆的条件(教案)2022-2023学年人教版九年级数学上册
然而，我也注意到，在小组讨论中，有些学生显得比较被动，可能是因为他们对自己的想法不够自信，或者是在小组中缺乏发言的机会。在未来的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与，增强他们的自信心。
4.培养学生的合作交流能力，在小组讨论与分享中，促进学生对四点共圆条件的理解，学会倾听、表达与协作，形成良好的学习习惯和团队精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-四点共圆的定义及其性质：理解四点共圆的概念，掌握其性质，如圆内接四边形对角互补、圆外接四边形对角相等。
-四点共圆的判定方法：掌握利用圆内接四边形、圆外接四边形的性质来判定四点共圆的方法。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与四点共圆相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示四点共圆的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“四点共圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于四点共圆的概念和性质的理解整体上是积极的。他们在课堂上能够跟随我的思路，对于我提出的案例和问题也能够给出恰当的回应。我尝试通过生动的例子引入新课，这样做的效果不错，学生们明显对于这个话题产生了兴趣。
在讲授过程中，我注意到了一些学生对于四点共圆判定方法的掌握还不够熟练。这可能是因为这个部分需要较强的逻辑思维和空间想象能力。我意识到，对于这样的难点，仅仅通过理论讲解是不够的，还需要结合更多的图形展示和实际操作来帮助他们理解。
原(秋季版)九年级数学上册 24 圆导学案 (新版)新人教版
原(秋季版)九年级数学上册 24 圆导学案 (新版)新人教版24、1 圆的有关性质24、1、1 圆1、了解圆的基本概念，并能准确地表示出来、2、理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等、重点：与圆有关的概念、难点：圆的有关概念的理解、一、自学指导、(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题、探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__、②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合、③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__、二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视、(3分钟)1、以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆、点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小、2、到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆、一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果、(5分钟)1、⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__、点拨精讲：直径是圆中最长的弦、2、⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__、点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型、3、如图，点A，B，C，D都在⊙O上、在图中画出以这4点为端点的各条弦、这样的弦共有多少条？解：图略、6条、二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路、(15分钟)1、(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形、判断这个四边形的形状，并说明理由、解：矩形、理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形、作图略、点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2、一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm或7_cm__、点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况、3、如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条、点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数、 ,第3题图),第4题图)4、如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__、点拨精讲：注意紧扣弦的定义、5、如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数、解：24、点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系、,第5题图),第6题图)6、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC 的中点，若AC＝10 cm，求OD的长、解：5 cm、点拨精讲：这里别忘了圆心O是直径AB的中点、学生总结本堂课的收获与困惑、(2分钟)1、圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件、2、圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧、学习至此，请使用本课时对应训练部分、(10分钟)24、1、2 垂直于弦的直径1、圆的对称性、2、通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论、3、能运用垂径定理及其推论进行计算和证明、重点：垂径定理及其推论、难点：探索并证明垂径定理、一、自学指导、(10分钟)自学：研读课本P81～83内容，并完成下列问题、1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心、2、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB经过圆心O且与圆交于A，B两点；②AB⊥CD交CD于E，那么可以推出：③CE＝DE；④＝；⑤＝、3、平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧、点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径、(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个、二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视、(6分钟)1、在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则弦AB的长为 __8_cm__、2、在⊙O中，直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为__3_cm__、点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个、3、⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为__3_cm__、点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线、4、某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个、一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果、(6分钟)1、AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的长、解：6、点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形、2、⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为__3__，最大值为__5__、点拨精讲：当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM最大、3、如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB、求证：AC＝BD、证明：作OE⊥AB于E、则CE＝DE、∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE，∴AE－CE＝BE－DE、即AC＝BD、点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线、二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路、(10分钟)1、在直径是20 cm的⊙O中，∠AOB的度数是60，那么弦AB 的弦心距是__5__cm、点拨精讲：这里利用60角构造等边三角形，从而得出弦长、2、弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为____cm、3、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点、求证：AC＝BD、证明：过点O作OE⊥AB于点E、则AE＝BE，CE＝DE、∴AE－CE＝BE－DE、即AC＝BD、点拨精讲：过圆心作垂径、4、已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离、解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F、由AB∥CD，则OF⊥CD、(1)当AB，CD在点O两侧时，如图①、连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm、由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm、∴EF＝OE＋OF＝22 (cm)、即AB与CD之间距离为22 cm、(2)当AB，CD在点O同侧时，如图②，连接AO，CO、则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm、由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm、∴EF＝OE－OF＝8 (cm)、即AB与CD之间距离为8 cm、由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm、点拨精讲：分类讨论，①AB，CD在点O两侧，②AB，CD在点O同侧、学生总结本堂课的收获与困惑、(3分钟)1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴、2、垂径定理及其推论以及它们的应用、学习至此，请使用本课时对应训练部分、(10分钟)24、1、3 弧、弦、圆心角1、通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系、2、运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题、重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理、难点：探索推导定理及其应用、一、自学指导、(10分钟)自学：自学教材P83～84内容，回答下列问题、探究：1、顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__、2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__、3、在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等、4、在⊙O 中，AB，CD是两条弦，(1)如果AB＝CD，那么__＝，__∠AOB＝∠COD__；(2)如果＝，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD；(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，＝__、二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视、(6分钟)1、如图，AD是⊙O的直径，AB＝AC，∠CAB＝120，根据以上条件写出三个正确结论、(半径相等除外)(1)__△ACO_≌_△ABO__；(2)__AD垂直平分BC__；(3)＝、2、如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC、证明：∵＝，∴AB＝AC、又∵∠ACB＝60，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC、,第2题图),第3题图)3、如图，(1)已知＝、求证：AB＝CD、(2)如果AD＝BC，求证：＝、证明：(1)∵＝，∴＋＝＋，∴＝，∴AB＝CD、(2)∵AD＝BC，∴＝，∴＋＝＋，即＝、一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果、(7分钟)1、⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的，则弦AB所对的圆心角为__90__、点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角、2、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为__120__、3、如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝75，求∠BAC的度数、解：30、,第3题图),第4题图)4、如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M，N分别是AB，CD的中点，AB＝CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM，ON具备垂径定理推论的条件、(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等、解：∠AMN＝∠CNM、∵AB＝CD，M，N为AB，CD中点，∴OM＝ON，OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠OMA＝∠ONC，∠OMN＝∠ONM，∴∠OMA－∠OMN＝∠ONC－∠ONM、即∠AMN＝∠CNM、二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路、(10分钟)1、如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝35，求∠AOE的度数、解：75、,第1题图),第2题图)2、如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE＝DF，连接OE，OF，它们的延长线交⊙O于点A，B、(1)试判断△OEF的形状，并说明理由；(2)求证：＝、解：(1)△OEF为等腰三角形、理由：过点O作OG⊥CD于点G，则CG＝DG、∵CE＝DF，∴CG－CE＝DG－DF、∴EG＝FG、∵OG⊥CD，∴OG为线段EF的垂直平分线、∴OE＝OF，∴△OEF为等腰三角形、(2)证明：连接AC，BD、由(1)知OE＝OF，又∵OA＝OB，∴AE＝BF，∠OEF＝∠OFE、∵∠CEA＝∠OEF，∠DFB＝∠OFE，∴∠CEA＝∠DFB、在△CEA与△D FB中，AE＝BF，∠CEA＝∠BFD，CE＝DF，∴△CEA≌△DFB，∴AC＝BD，∴＝、点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC，BD，通过证弦等来证弧等、3、已知：如图，AB 是⊙O的直径，M，N是AO，BO的中点、CM⊥AB，DN⊥AB，分别与圆交于C，D点、求证：＝、证明：连接AC，OC，OD，BD、∵M，N为AO，BO中点，∴OM＝ON，AM＝BN、∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90、在Rt△CMO与Rt△DNO中，OM＝ON，OC＝OD，∴Rt△CMO≌Rt△DNO、∴CM＝DN、在Rt△AMC和Rt△BND中，AM ＝BN，∠AMC＝∠BND，CM＝DN，∴△AMC≌△BND、∴AC＝BD、∴＝、点拨精讲：连接AC，OC，OD，BD，构造三角形、学生总结本堂课的收获与困惑、(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法、学习至此，请使用本课时对应训练部分、(10分钟)24、1、4 圆周角1、理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角、2、能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论、重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题、难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理、一、自学指导、(10分钟)自学：阅读教材P85～87，完成下列问题、归纳：1、顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角、2、在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半、3、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__、4、半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90的圆周角所对的弦是__直径__、5、圆内接四边形的对角__互补__、二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视、(8分钟)1、如图所示，点A，B，C，D在圆周上，∠A＝65，求∠D的度数、解：65、,第1题图),第2题图)2、如图所示，已知圆心角∠BOC＝100，点A为优弧上一点，求圆周角∠BAC的度数、解：50、3、如图所示，在⊙O中，∠AOB＝100，C为优弧AB的中点，求∠CAB的度数、解：65、,第3题图),第4题图)4、如图所示，已知AB是⊙O的直径，∠BAC＝32，D是AC的中点，那么∠DAC的度数是多少？解：29、一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果、(7分钟)1、如图所示，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB，若∠ABO ＝25，则∠C＝__65__、 ,第1题图),第2题图)2、如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32，则∠COB＝ __64__、3、如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长、解：∵AB 为直径，∴∠ACB＝90、∴BC＝＝8 (cm)、∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD、由AB为直径，知AD⊥BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴A D2＋BD2＝2AD2＝2BD2＝AB2，∴AD＝5 cm，BD＝5 cm、点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形、二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路、(8分钟)1、如图所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD＝5 cm，则BE＝__10_cm__、点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线、 ,第1题图),第2题图)2、如图所示，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60，则∠CAO ＝__30__、3、OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC、求证：∠ACB＝2∠BAC、证明：∵∠AOB是劣弧所对的圆心角，∠ACB是劣弧所对的圆周角，∴∠AOB＝2∠ACB、同理∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC、点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角、4、如图，在⊙O中，∠CBD＝30，∠BDC＝20，求∠A、解：∠A＝50点拨精讲：圆内接四边形的对角互补、学生总结本堂课的收获与困惑、(2分钟)圆周角的定义、定理及推论、学习至此，请使用本课时对应训练部分、(10分钟)24、2 点和圆、直线和圆的位置关系24、2、1 点和圆的位置关系1、结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系、2、理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用、3、了解三角形的外接圆和三角形外心的概念、4、了解反证法的证明思想、重点：点和圆的位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用、难点：反证法的证明思路、一、自学指导、(10分钟)自学：阅读教材P92～94、归纳：1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P 在圆外⇔__d＞r__；点P在圆上⇔__d＝r__ ；点P在圆内⇔__d ＜r__ 、2、经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B 可以作__无数__个圆；它们的圆心__在线段AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一个__圆、3、经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心、任意三角形的外接圆有__一个__，而一个圆的内接三角形有__无数个__、4、用反证法证明命题的一般步骤：①反设：__假设命题结论不成立__；②归缪：__从假设出发，经过推理论证，得出矛盾__；③下结论：__由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立__、二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视、(6分钟)1、在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点__P在圆内__、2、在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是__4或6__、3、△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28，则∠C的度数是__62或118__、一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果、(7分钟)1、经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？(用反证法证明)2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P 与⊙O的位置关系是怎样的？点拨精讲：利用数量关系证明位置关系、3、如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线l上有A，B，C三点，AD＝6，BD＝8，CD＝9，问A，B，C三点与⊙O的位置关系是怎样的？点拨精讲：垂径定理和勾股定理的综合运用、4、用反证法证明“同位角相等，两直线平行”、二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路、(10分钟)1、已知⊙O的半径为4，OP＝3、4，则P在⊙O的__内部__、2、已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足__0<r<5__、3、已知⊙O的半径为5，M为ON的中点，当OM＝3时，N点与⊙O的位置关系是N在⊙O 的__外部__、4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求△ABC 的外接圆半径、解：连接AO并延长交BC于点D，再连接OB，OC、∵AB＝AC，∴∠AO B＝∠AOC、∵AO＝BO＝CO，∴∠OAB＝∠OAC、又∵△ABC为等腰三角形，∴AD⊥BC，∴BD＝BC＝6、在Rt△ABD中，∵AB＝10，∴AD＝＝8、设△ABC的外接圆半径为r、则在Rt△BOD中，r2＝62＋(8－r)2，解得r＝、即△ABC的外接圆半径为、点拨精讲：这里连接AO，要先证明AO垂直BC，或作AD⊥BC，要证AD过圆心、5、如图，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm、(1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系是怎样的？(2)若以A点为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；(2)3＜r＜5、点拨精讲：第(2)问中B，C，D三点中至少有一点在圆内，必然是离点A最近的点B在圆内；至少有一点在圆外，必然是离点A最远的点C在圆外、学生总结本堂课的收获与困惑、(2分钟)1、点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则2、不在同一条直线上的三个点确定一个圆、3、三角形外接圆和三角形外心的概念、4、反证法的证明思想、学习至此，请使用本课时对应训练部分、(10分钟)24、2、2 直线和圆的位置关系(1)1、理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系及相关概念、2、能根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系、重点：判断直线与圆的位置关系、难点：理解圆心到直线的距离、一、自学指导、(10分钟)自学：阅读教材P95～96、归纳：1、直线和圆有__两个__公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__、2、直线和圆有__一个__公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__、3、直线和圆有__零个__公共点时，直线和圆相离、二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视、(6分钟)1、设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l和⊙O相交⇔__d＜r__；直线l和⊙O相切⇔__d＝r__；直线l和⊙O相离⇔d＞r__、2、在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3 cm，AB＝6 cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为____cm、3、已知⊙O的半径r＝3 cm，直线l和⊙O有公共点，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d≤3__、4、已知⊙O的半径是6，点O到直线a的距离是5，则直线a与⊙O的位置关系是__相交__、一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果、(7分钟)1、已知⊙O的半径是3 cm，直线l上有一点P到O的距离为3 cm，试确定直线l和⊙O的位置关系、解：相交或相切、点拨精讲：这里P到O的距离等于圆的半径，而不是直线l到O的距离等于圆的半径、2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？解：r＝或3＜r≤4、点拨精讲：分相切和相交两类讨论、3、在坐标平面上有两点A(5，2)，B(2，5)，以点A为圆心，以AB的长为半径作圆，试确定⊙A和x轴、y轴的位置关系、解：⊙A与x轴相交，与y 轴相离、点拨精讲：利用数量关系证明位置关系、二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路、(10分钟)1、在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r 为半径作圆、①当r满足__0＜r＜__时，⊙C与直线AB相离、②当r满足__r＝__时，⊙C与直线AB相切、③当r满足__r＞__时，⊙C与直线AB相交、2、已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线a的距离为3 cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相交、直线a 与⊙O的公共点个数是__2个__、3、已知⊙O的直径是6 cm，圆心O到直线a的距离是4 cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相离、4、已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且|d－3|＋(6－2r)2＝0、试判断直线与⊙O的位置关系、解：相切、5、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，d，r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，且直线l与⊙O相切，求m 的值、解：m＝0或m＝－8、学生总结本堂课的收获与困惑、(2分钟)1、直线与圆的三种位置关系、2、根据圆心到直线的距离d 与半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系、学习至此，请使用本课时对应训练部分、(10分钟)24、2、2 直线和圆的位置关系(2)1、理解掌握切线的判定定理和性质定理、2、判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线、3、会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题、重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目、难点：切线的判定和性质及其运用、一、自学指导、(10分钟)自学：阅读教材P97～98、归纳：1、经过__半径的外端__并且__垂直于这条半径__的直线是圆的切线、2、切线的性质有：①切线和圆只有__1个__公共点；②切线和圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径、3、当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心__和切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线、二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视、(7分钟)1、如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O 于C，AB＝3 cm，PB＝4 cm，则BC＝____cm、2、如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O的切线AD，BA⊥DA 于点A，BA交半圆于点E，已知BC＝10，AD＝4，那么直线CE与以点O为圆心，为半径的圆的位置关系是__相离__、3、如图，AB 是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于点D，DE⊥AC于E，连接AD，则下面结论正确的有__①②③④__、①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC; ④DE是⊙O的切线、4、如图，AB 为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D，若AD＝2，TC＝3，则⊙O的半径是____、一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果、(7分钟)1、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E 是BC边上的中点，连接PE，则PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由、解：相切；证明：连接OP，BP，则OP＝OB、∴∠OBP＝∠OPB、∵AB为直径，∴BP⊥PC、在Rt△BCP中，E为斜边中点，∴PE＝BC＝BE、∴∠EBP＝∠EPB、∴∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB、即∠OBE＝∠OPE、∵BE为切线，∴AB⊥BC、∴OP⊥PE，∴PE是⊙O的切线、2、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，连接CD、求证：(1)点E是的中点；(2)CD是⊙O的切线、证明：略、点拨精讲：(1)连接OD，要证弧等可先证弧所对的圆心角等；(2)在(1)的基础上证△ODC与△OBC全等、二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路、(9分钟)1、教材P98的练习、2、如图，∠ACB＝60，半径为1 cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是____cm、,第2题图) ,第3题图)3、如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30，半径为1 cm 的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P与直线CD相切、4、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10 cm，小圆半径为6 cm，则弦AB的长为__16__cm、,第4题图),第5题图)5、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O 于点C，若∠A＝25，则∠D＝ __40__、学生总结本堂课的收获与困惑、(2分钟)圆的切线的判定与性质、学习至此，请使用本课时对应训练部分、(10分钟)24、2、2 直线和圆的位置关系(3)1、理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题、2、了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆、重点：切线长定理及其运用、难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题、一、自学指导、(10分钟)自学：阅读教材P99～100、归纳：1、经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的__线段长__叫做切线长、2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线的夹角，这就是切线长定理、3、与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆、4、三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__、二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视、(7分钟)1、如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP 交⊙O于点D，E，交AB于点C，图中互相垂直的直线共有__3__对、,第1题图),第2题图)2、如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60，则∠P＝__60__度、3、如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是__4__、,第3题图),第4题图)4、⊙O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点，∠DOB＝73，∠DOF＝120，则∠DOE＝__146，∠C＝__60__，∠A＝__86__、一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果、(7分钟)1、如图，直角梯形ABCD中，∠A＝90，以AB为直径的半圆切另一腰CD于P，若AB＝12 cm，梯形面积为120 cm2，求CD的长、解：20 cm、点拨精讲：这里CD＝AD＋BC、2、如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90)的内切圆，切点分别为D，E，F、(1)求证：四边形ODCE是正方形、(2)设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求⊙O的半径r、解：(1)证明略；(2)、点拨精讲：这里(2)的结论可记住作为公式来用、3、如图所示，点I 是△ABC的内心，∠A＝70，求∠BIC的度数、解：125、点拨精讲：若I为内心，∠BIC＝90＋∠A；若I为外心，∠BIC＝2∠A、二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路、(9分钟)1、如图，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝__2__、,第1题图),第2题图)2、如图，AD，DC，BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝__90__、3、如图，AB，AC与⊙O相切于B，C两点，∠A＝50，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC＝__65__、,第3题图) ,第4题图)4、如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140，则∠BIC＝__125__、学生总结本堂课的收获与困惑、(2分钟)1、圆的切线长概念；2、切线长定理；3、三角形的内切圆及内心的概念、学习至此，请使用本课时对应训练部分、(10分钟)。
九年级数学第二十四章圆导学案
EDCBAAD CDBC AB BE E DC人教版九年级上册圆导学案 课题：弧、弦、圆心角学习目标：1. 理解并掌握弧、弦、圆心角的定义2.掌握同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系学习重点：同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系学习难点：同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系定理的推导 学习过程： 一、预习案1．定义： 叫做圆心角。
2．定理：在 中，相等的圆心角所对的 ，所对的 。
3．推论1：在 中，如果两条弧相等，那么它们所对的 ，。
4．推论2：在 中，如果两条弦相等，那么它们所对的 ，所对的 。
5．定理及推论的综合运用：在同圆或等圆中， 也相等。
二、探究案1．如图，弦AD=BC ，E 是CD 上任一点（C ，D 除外），则下 列结论不一定成立的是（ ） A. = B. AB=CDC. ∠ AED=∠CEB.D. =2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C ，D 是上的三等ODCB AAAAB CD 分点，∠AOE=60 ° ，则∠COE 是（ ）A ． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °3. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC ⌒ =BD ⌒ , ∠A=25°， 则∠BOD= °.4.在⊙O 中, AB⌒ =AC ⌒ , , ∠A=40°,则∠C= °.5. 在⊙O 中, AB ⌒ =AC ⌒ , ∠ACB=60°.求证: ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC.6.小结在运用定理及推论时易漏条件“在同圆或等圆中”，导致推理不严密，如半径不等的两个同心图，显然相等的圆心角所对的弧、弦均不等。
三、练习案1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等。
B 这两个圆心角所对的弧相等。
C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等。
D 以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则 与 的关系是（ ）BABA AB⌒ =2CD ⌒ B. AB ⌒ ＞ CD ⌒ C. AB ⌒ ＜2CD ⌒ D. 不能确定 3. 在同圆中，AB ⌒ =⌒BC,则（ ） A AB+BC=AC B AB+BC ＞AC C AB+BC ＜AC D. 不能确定 4．下列说法正确的是（ ）A ．等弦所对的圆心角相等 B. 等弦所对的弧相等C. 等弧所对的圆心角相等D. 相等的圆心角所对的弧相等5．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、 N 在⊙O 上。
新人教版九年级数学上册 24《圆》导学案(18课时)
圆导学目标知识点：理解圆的定义及弧、弦、半圆、直径等相关的概念，能与师生合作分析它们之间的区别与联系。
课时：1课时导学方法：探究法导学过程：一、课前导学圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象，那你知道车轮为什么要做成圆形吗？二、课堂导学1、圆的定义观察教材画图的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？定义：在一个平面内，线段OA所形成的图形叫做圆，记作：，读作：其中叫圆心，选段OA叫。
思考：从画圆的过程可以看出，圆上各点到定点（圆心）的距离都等于；到定点的距离等于的点都在同一个圆上。
因此：以O为圆心，以r为半径的圆，可以看成是的点的集合。
想一想：如果车轮不做成圆形，做成正方形，坐车的人会是什么感觉？做一做：①画两个半径相等的圆（等圆）②画两个圆的相同半径不等的圆（同心）圆。
体会：是确定圆的两个要素：确定圆的位置，确定圆的大小。
2、圆的有关概念。
［课堂导学］：叫做弦，叫做直径。
叫做弧，以A、B为端点的弧记作，读作：，叫做半圆，叫劣弧，叫优弧。
优弧一般用个字母表示。
叫等圆，叫等弧。
［讨论交流］直径与弦及弧与优弧、劣弧的区别与联系。
［反馈练习］1、如图是直径，弦，劣弧，优弧。
2、若a、d分别是同一圆的弦和直径，则a、d的大小关系是3、以O为圆心可以画个圆，这些圆叫，以2cm为半径可以画个圆，这些圆是。
4、教材P80练习1、2三、展示点评1、本节学习的数学知识是圆的定义和圆的有关概念。
2、本节学习的数学方法是转化思想。
四、当堂训练1、与已知点P的距离为3cm的所有点组成的平面图形是，2、若⊙O中的最长的弦长是10cm，则⊙O的半径是。
3、如图，点C在以AB为直径的半圆上，若∠AOC=400，则∠ABC= 。
4、一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的直径是 。
5、如图，已知BD 、CE 是△ABC 的高，试说明，B 、C 、D 、E 四点在同一圆上。
拓展延伸 ：一．选择题：1．以点O 为圆心作圆，可以作（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个2．一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的直径是（ ）A ．2.5cm 或6.5cmB ．2.5cmC ．6.5cmD ．5cm 或13cm3．确定一个圆的条件为（ ）A ．圆心B ．半径C ．圆心和半径D ．以上都不对.4．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知DE AB 2=，若COD ∆为直角三角形，则E ∠的度数为（ ）A ．︒5.22B ．︒30C ．︒45D ．︒15二．填空：5.弧分为、和。
第二十四章+圆数学活动+活动2+探究四点共圆的条件课件++2023—2024学年人教版数学九年级上册
A D
判定3：外角等于内对角的四边形四点共圆
ABE D ABCD 四点共圆
E B
A
D
E
B
C C
探究新知
三.四点共圆的判定
A D
B
C
判定4：张角相等，四点共圆
ACB ADB ABCD 四点共圆
A D
B
C
探究新知
三.四点共圆的判定
C D
B
A
判定5：共斜边的两直角三角形，四点共圆
探究新知
三.四点共圆的判定
判定1（定义判别法）：到定点的距离等于定长的四点共圆
OA OB OC OD ABCD 四点共圆
A
D B
O
A
D B
O
C C
探究新知
三.四点共圆的共圆
A C 180 ，B D 180 ABCD 四点共圆
A
D B
B
C
探究新知
典例分析
例5：如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是 CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG， 求AG长的最小值．
课堂小结
1.四点共圆的性质 2.四点共圆的判定
性质1：四点共圆，对角互补
性质2：四点共圆，张角相等
判定1（定义判别法）：到定点的距离等于定长的四点共圆 判定2：对角互补的四边形四点共圆 判定3：外角等于内对角的四边形四点共圆 判定4：张角相等，四点共圆 判定5：共斜边的两直角三角形，四点共圆
典例分析
例3：如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、 DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点， 求PA+PG的最小值.
人教版九年级数学第24章《圆》24(24)导学案
, 则该三角形是 ______.
3. △ABC的三边为 2,3, 13 , 设其外心为 O,三条高的交点为 H, 则 OH的长为 _____.
4. 三角形的外心是 ______的圆心 , 它是 _______的交点 , 它到 _______的距离相等 .
5. 已知⊙ O的直径为 2, 则⊙ O的内接正三角形的边长为 _______.
为△ ABC的外接圆 , 如果 BD的长为 6, 求△ ABC的外接圆⊙ O的面积 .
A
B
C D
O
16．已知△ ABC内接于⊙ O， OD⊥ BC，垂足为 D，若 BC=2 3 ， OD=1，求∠ BAC的度数．（注意：分类讨
论）
24.2.2 直线和圆的位置关系（ 1）
新知导学
1．直线与圆的位置关系
（二）新知导学
圆与圆的五种位置关系的性质与判定
如果两圆的半径为 R、r ，圆心距为 d，那么
则∠ EDF等于（
）A.45 0
B.55
0 C.65 0
D.70
0
3. 边长分别为 3、 4、5 的三角形的内切圆与外接圆半径之比为（
）
A.1:5
B.2:5
C.3:5
D.4:5
4. 如图， PA、 PB是⊙ O的两条切线，切点是 A、B. 如果 OP＝ 4， PA 2 3 ，那么∠ AOB等于（
A. 90 °
；
直线与圆相切
；
直线与圆相离
.
【合作探究】 1．在△ ABC中，∠ A=450， AC=4,以 C 为圆心， r 为半径的圆与直线 AB有交点，试确定
r 的范围 .
【自我检测】
一、选择题
1．命题：“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（
九年级数学上册 第24章 圆数学活动—圆的探究活动教案 (新版)新人教版
数学活动——圆的探究活动一、活动导入1.导入活动:日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的？请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢？能否做成长方形或正方形？（板书课题）2.活动目标:（1）通过活动理解车轮做成圆形的数学道理.（2）探究能过四边形的四个顶点作圆的条件.（3）以圆和正多边形为基本图形设计图案.3.活动重、难点：重点：探究能过四边形的四个顶点作圆的条件；以圆和正多边形为基本图形设计图案.难点：设计图案.二、活动过程活动1 车轮做成圆形的数学道理1.活动指导：（1）活动内容：教材第118页活动1.（2）活动时间：6分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①按照课本活动1的要求，用笔画出下面两个图形中圆和正方形运动时的中心的运动轨迹.②车辆在平坦的路面行驶时，圆形车轮的中心经过的路线是直线，正方形车轮的中心经过的路线是曲线.③坐在圆形车轮的车上会很平稳.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生画圆和正方形的中心的运动轨迹等方面的情况.②差异指导：对困难学生制作纸板和跟踪图形中心的运动轨迹等方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：（1）圆在直线上滚动时，圆心的轨迹是直线.（2）正方形在直线上翻滚时，其中心的轨迹是一段段以对角线长的一半为半径，90°的弧连接而成的曲线.活动2 探究四点共圆的条件1.活动指导：（1）活动内容：教材第119页活动2.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①怎样作三角形的外接圆？找其外心，再以外心到顶点的长为半径作圆即可.②过平行四边形，矩形，正方形，菱形的四个顶点能作圆吗？如果能，这个四边形相对的两个内角之间有何关系？过平行四边形、菱形的四个顶点不能作圆，过矩形和正方形的四个顶点可以作圆.相对的两个内角和为180°.③如果过四边形的四个顶点不能作圆，那么这个四边形的对角和与180°之间有何关系？试用教材第119页图4分两种情况给予证明.④如果一个四边形对角互补，那么过这个四边形的四个顶点可以作一个圆.⑤请自己查找资料，归纳证明四点共圆的方法.证明：如图，(1)连接对角两点，以其中一个三角形(ABC)作圆.(2)分别连接对的两(上述)点与圆心，根据圆心角等于圆周角两倍.则∠2=2∠A,∠1+∠2=360°∠1=360°-∠2,因为∠D=180°-∠AA,所以∠1=2∠D,所以，∠D是∠1.对应的圆周角，即PD也在圆上.命题得证.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学:（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会表示四个顶点不共圆的四边形的对角和与180°之间的不等关系.②差异指导：根据学情分类指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：四点共圆的条件和证明方法.活动3 设计图案1.活动指导：（1）活动内容：教材第119页至第120页的活动3.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①通过等分圆周设计图案(仿照图6).②利用正多边形平面镶嵌的性质设计图案.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会等分圆周，是否了解哪些正多边形组合可以平面镶嵌.②差异指导：为困难学生提供等分圆周、正多边形组合平面镶嵌等方面的知识和方法.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：等分圆周的方法，正多边形组合平面镶嵌的条件.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时设计了三个活动，分别探究了车轮做成圆形的数学道理、四点共圆的条件、设计与圆有关的图案，能够激发学生的探究兴趣，教师给予适当的引导，让学生知道从哪里入手，运用什么具体知识.设计图案活动则要鼓励学生大胆动手操作，培养他们思维的灵活性与空间想象能力.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠B∶∠C=7∶6∶3，则∠D等于(B)A.36°B.72°C.144°D.54°2.（10分）下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（D）A B C D3.（10分）现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等.同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（B）A.2种B.3种C.4种D.5种4. （10分）如图（1）是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图（2）所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图（1）中的圆与扇环的面积比为4∶9.5.（10分）如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为4πcm.6.（10分）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 8 .第6题图 第7题图 7.（10分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 2π-4 .二、综合应用（20分）8. （20分）如图，在△ABC 中， AD ⊥BC ， DE ⊥AB ， DF ⊥AC.求证： B 、E 、F 、C 四点共圆.证明：∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,∴∠AED+AFD=180°.∴A 、E 、D 、F 四点共圆.∴∠DEF=∠DAF.又AD ⊥DC,∴∠DAF+∠C=90°.∴∠DEF+∠C=90°.∴∠BEF+∠C=∠BED+∠DEF+∠C=180°.∴B 、E 、F 、C 四点共圆.三、拓展延伸（10分）9.（10分）如图， E 、F 、G 、H 分别是菱形ABCD 各边的中点.求证： E 、F 、G 、H 四点共圆.证明：连接OE 、OF 、OG 、OH.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD.又∵E 、F 、G 、H 分别是菱形ABCD 的各边中点,∴OE=OF=OG=OH=12AB=12BC=12CD=12DA. ∴E 、F 、G 、H 四点共圆.。
人教版九年级数学第24章《圆》24.1.1-4导学案
⼈教版九年级数学第24章《圆》24.1.1-4导学案第1课时 24.1.1 圆⼀、新知导学1.圆的定义:把线段op 的⼀个端点O ，使线段OP 绕着点O 在旋转，另⼀端点P 运动所形成的图形叫做圆，其中点O 叫做，线段OP 叫做 .以O 为圆⼼的圆记作 .2.圆的集合定义：圆是到的点的集合. 3、从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆⼼O ）的距离都等于____ __；②到定点的距离等于定长的点都在____ _.4、圆的表⽰⽅法：以O 点为圆⼼的圆记作______，读作______.5、要确定⼀个圆，需要两个基本条件，⼀个是______，另⼀个是_____，其中_____确定圆的位置，______确定圆的⼤⼩.6；如图1，弦有线段，直径是，最长的弦是，优弧有；劣弧有。
⼆、合作探究1．判断下列说法是否正确，为什么？（1）直径是弦.（）（2）弦是直径.（）（3）半圆是弧.( ) (4) 弧是半圆.( )(5) 等弧的长度相等.( ) (6) 长度相等的两条弧是等弧.( )2．⊙O 的半径为2㎝，弦AB 所对的劣弧为圆周长的61，则∠AOB ＝，AB ＝3．已知：如图2，OAOB 、为O 的半径，C D 、分别为OA OB 、的中点，求证：（1）;A B ∠=∠ (2)AE BE =4.对⾓线互相垂直的四边形的各边的中点是否在同⼀个圆上？并说明理由.三、⾃我检测1.到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以为圆⼼，为半径的圆.2.正⽅形的四个顶点在以为圆⼼，以为半径的圆上.3.⼀个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm ，则圆的半径是4．下列说法正确的有（）①半径相等的两个圆是等圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③过圆⼼的线段是直径；④分别在两个等圆上的两条弧是等弧. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5.如图3，点A O D 、、以及点B O C 、、分别在⼀条直线上，则圆中有条弦. 6、下列说法正确的是（填序号）①直径是弦②弦是直径③半径是弦④半圆是弧，但弧不⼀定是半圆⑤半径相等的两个半圆是等弧⑥长度相等的两条弧是等弧⑦等弧的长度相等 7.圆O 的半径为3 cm ，则圆O 中最长的弦长为8.如图4，在ABC ?中，90,40,ACB A ∠=?∠=?以C 为圆⼼，CB 为半径的圆交AB 于点D ，求ACD ∠的度数.9、已知：如图5，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数．（图1）（图2）（图4）（图3）（图5）第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径⼀、新知导学1．阅读教材p80有关“赵州桥”问题，思考能⽤学习过的知识解决吗？2. 阅读教材p80“探究”内容，⾃⼰动⼿操作，发现了什么？由此你能得到什么结论？归纳：圆是__ __对称图形，____________ ________都是它的对称轴；3. 阅读教材p80“思考”内容，⾃⼰动⼿操作：按下⾯的步骤做⼀做：（如图1）第⼀步，在⼀张纸上任意画⼀个⊙O ，沿圆周将圆剪下，作⊙O 的⼀条弦AB ；第⼆步，作直径CD ,使CD AB ⊥，垂⾜为E ；第三步，将⊙O 沿着直径折叠. 你发现了什么？归纳：（1）图1是对称图形，对称轴是 .（2）相等的线段有，相等的弧有 .⼆、合作探究活动1：（1）如图2，怎样证明“⾃主学习3”得到的第（2）个结论. 叠合法证明：(2)垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且的两条弧.定理的⼏何语⾔：如图2 CD 是直径（或CD 经过圆⼼），且CD AB ⊥____________,____________,_____________∴推论：___________________________________________________________________________．活动2 ：垂径定理的应⽤垂径定理的实际应⽤怎样求p80赵州桥主桥拱半径？解：如图3⼩结：（1）辅助线的常⽤作法：连半径，过圆⼼向弦作垂线段。
人教版九上数学导学案第24章圆
九年级上学期导学案数学自主探究合作创新班级：姓名：24．1 圆【学习目标】1.探索圆的两种定义。
2. 理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，并能够从图形中识别【自主学习】（阅读教材P79-80，自主完成下列题目，然后师友互查，互助完善）知识点1：圆的两种定义（1）动态：在一个平面内，线段OA绕着它______________旋转一周，_________形成的图形叫做圆。
如图，从画圆的过程可以看出：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于_________________；②到定点的距离等于_______________的点都在同一个圆上。
（2）静态：圆心为O、半径为r的圆可以看作是________________。
例如：半径是3cm的圆可以看作____________________________.知识点2：圆中相关概念（1）_____________叫做圆心，__________叫做半径，以O为圆心的圆记做_____。
（2）连接圆上任意两点的线段叫做____；过圆心的弦叫做____；圆中最长的弦是_____；（3）圆上任意两点之间的部分叫做______，弧AB记做______；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做______；比半圆长的弧叫做_____，比半圆短的弧叫做____.（4）能够重合的圆叫做_________；能够重合的弧叫做_____________。
【尝试应用】（先自主完成，然后师友交流，简单的知识学友讲给师傅听，较难理解的问题，师傅给学友讲解，师友探究后仍有疑问的问题与组内其他师友交流.师友展示.）例：已知：如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O.求证：点A、B、C、D在以O为圆心的圆上.1．下列说法正确的是①直径是弦 ②弦是直径 ③半径是弦 ④半圆是弧，但弧不一定是半圆 ⑤半径相等的两个半圆是等弧 ⑥长度相等的两条弧是等弧 ⑦等弧的长度相等 2．以点O 为圆心作圆，可以作（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个3．一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的直径是（ ） A ．2.5cm 或6.5cm B ．2.5cm C ．6.5cm D ．5cm 或13cm 4．确定一个圆的条件为（ ）A ．圆心B ．半径C ．圆心和半径D ．以上都不对. 【拓展提高】（先自主完成，然后师友交流，师友交流后仍有问题的再与小组其他师友交流解决） 1．若AB 是⊙O 弦，且⊙O 的半径为3，则弦AB 的长为：（ ）A.3＜AB ＜ 6B.3≤AB ≤6C.0＜AB ＜ 6D.0＜AB ≤62．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上 ，∠BOD=1100，AC∥OD，则∠AOC 的度数( ) A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°BC DOOEDCBA3.如图，已知CD 是⊙O 的直径，∠EOD=78°，AE 交⊙O 于点B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
九年级数学上册第二十四章圆教案新人教版
九年级数学上册第二十四章圆教案新人教版第一篇：九年级数学上册第二十四章圆教案新人教版第二十四章圆教案单元要点分析教学内容1．本单元数学的主要内容．（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．（3）正多边形和圆．（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积． 2．本单元在教材中的地位与作用．学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．教学目标1．知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．（5）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．教学重点1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．6．直线L和⊙O相交 dr及其运用．7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．10．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离⇔d>r1+r2；外切⇔d=r1+r2；相交⇔│r2-r1│11．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．nπR2nπR 12．n°的圆心角所对的弧长为L=，n°的圆心角的扇形面积是S扇形=及其180360运用这两个公式进行计算．13．圆锥的侧面积和全面积的计算．教学难点1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题． 3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用． 4．点与圆的位置关系的应用．5．三点确定一个圆的探索及应用．6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．7．切线的判定定理与性质定理的运用． 8．切线长定理的探索与运用．9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．10．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ的关系的应用．nπR2nπR 11．n的圆心角所对的弧长L=及S扇形＝的公式的应用．180360 12．圆锥侧面展开图的理解．教学关键1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、•性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，•发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．单元课时划分本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：24．1 圆3课时24．2 与圆有关的位置关系 4课时 24．3 正多边形和圆 1课时24．4 弧长和扇形面积 2课时教学活动、习题课、小结 3课时第二篇：九年级数学上册圆教案九年级《数学》上册《圆》教案教学内容：正多边形与圆第二课时教学目标：（1）理解正多边形与圆的关系；（2）会正确画相关的正多边形（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．教学重点：会正确画相关的正多边形（定圆心角与弧长）教学难点：会正确画相关的正多边形（定圆心角与弧长）教学活动设计：（一）观察、分析、归纳：实际生活中，经常会遇到画正多边形的问题，举例（见课本如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角星等等。
九年级数学上册第24章圆教案共23套新人教版
九年级数学上册第24章圆教案（共23套新人教版）第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆※教学目标※【知识与技能】探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别.【过程与方法】体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系．2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．【情感态度】在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．【教学重点】圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题．【教学难点】圆的集合定义方法．※教学过程※一、情境导入（课件展示图片）观察下列图形，从中找出共同特点．学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．二、探索新知1.圆的定义（课件展示）观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作界定：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．于是得到圆的第二定义：所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．思考为什么车轮是圆的？把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．2.圆的有关概念弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.直径：经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫做优弧.劣弧：小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等.等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧.三、巩固练习1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由.2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?3.如图,一根5m长的绳子,一端拴在柱子上,另一端拴着一只羊,请画出羊的活动区域.答案：1.首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.2.23÷2÷20=0.575(cm) ,故这棵红衫树的半径每年增加0四、归纳小结师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点．2.通过这节课的学习，你还有那些收获？※布置作业※从教材习题24.1 中选取．※教学反思※本节课是从学生感受生活中圆的应用开始，到通过学生动手画圆，培养学生动手、动脑的习惯，在操作过程中观察圆的特点，加深对所学知识的认识吗，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的成就感，激发他们的学习兴趣.24．1.1 圆01 教学目标1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2．理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．02 预习反馈阅读教材P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．1．如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．2．圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．3．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．以点A为圆心，可以画无数个圆；以已知线段AB 的长为半径，可以画无数个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画1个圆．【点拨】确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．5．到定点O的距离为5的点的集合是以O为圆心，5为半径的圆．03 新课讲授例1 (教材P80例1)矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以点O 为圆心的同一个圆上．【思路点拨】要求证几个点在同一个圆上，即需要证明这几个点到同一个点(即圆心)的距离相等．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD.∴OA＝OC＝OB＝OD.∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上(如图)．例2 (教材P80例1的变式)△ABC中，∠C＝90°.求证：A，B，C三点在同一个圆上．【解答】证明：如图，取AB的中点O，连接OC. ∵在△ABC中，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴OC＝OA＝OB＝12AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．∴A，B，C三点在同一个圆上．【跟踪训练1】(例1的变式题)(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：(1)作图略．(2)矩形．理由：因为该四边形的对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．【思考】由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？例3 已知⊙O的半径为2，则它的弦长d的取值范围是0d≤4．【点拨】直径是圆中最长的弦．例4 在⊙O中，若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB 的形状是等边三角形．【点拨】与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．【跟踪训练2】如图，点A，B，C，D都在⊙O 上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．04 巩固训练1．如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条．【点拨】这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．2．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数为2．3．(24.1.1习题)点P到⊙O上各点的最大距离为10 cm，最小距离为8 cm，则⊙O的半径是1或【点拨】这里分点在圆外和点在圆内两种情况．4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点．若AC＝10 cm，则OD的长为5__cm．【点拨】圆心O是直径AB的中点．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，则∠A的度数为24°．【点拨】连接OB构造三角形，从而得出角的关系．05 课堂小结1．这节课你学了哪些知识？2．学会了哪些解圆的有关问题的技巧？。
第二十四章圆导学案1(最新人教版数学九年级上册)
CB最新人教版数学九年级上册 第二十四章圆导学案（五）24．1．4 圆周角（2）一．学习目标：1、掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质， 并能运用此性质解决问题.2、经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力3、激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活二．学习重点、难点：重点：圆周角的推论学习 难点：圆周角推论的应用 三．学习活动 （一）导学驱动1、圆周角定义：_________________________________。
2、圆周角定理：_________________________________。
3、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠BAC=40°，则（1）∠BOC= °,理由是 ； （2）∠BDC= °,理由是 。
（二）探究交流1、如图,点A 、B 、C 在⊙O 上，若BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角∠BAC 是多少？为什么？ 若∠BAC=90°，弦BC 经过圆心吗？为什么？由此，你能得出的结论是：_____________________________________。
2、如图，四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上， 求证：∠A+∠C=180°ODCBA（三）释疑内化已知：如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D 点， 求BC 、AD 、BD 的长。
（四）巩固迁移 课堂检测1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.2、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.3、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上的任意一点(不与点A 、B 重合)，延长BD 到点C ，使DC=BD ，判断△ABC 的形状：__________。
新人教版九年级数学上册24.1圆导学案
新人教版九年级数学上册24.1圆导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、圆的有关概念（弦、弧、圆心角、圆周角）2、圆的有关性质（旋转不变性、轴对称性）3、圆的重要定理（圆周角定理、垂径定理）【重点难点】1、圆的有关概念（弦、弧、圆心角、圆周角）2、圆的有关性质（旋转不变性、轴对称性）3、圆的重要定理（圆周角定理、垂径定理）知识概览图弦：连接圆上任意两点的线段弧：圆上任意两点之间的部分圆的有关概念圆心角：顶点在圆心的角圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角圆旋转不变性：绕圆心旋转任意角度，都与自身重合圆的有关性质轴对称性：对称轴有无数条，是直径所在的直线圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧新课导引2012年7月27日第三十届奥林匹克运动会将在伦敦隆重开幕，世界各国人民都将目光聚焦在伦敦，下面是几个参加奥运会的国家的国旗，你能观察出它们有什么共同的特征吗?【问题探究】这几面国旗的共同特征不能仅从一个角度去考虑，角度不同，得到的答案也不同，但从几何图形这一角度考虑，易于得出结论．【解析】这几面国旗的共同特征中，最明显的是都有圆形图案．教材精华知识点1 圆的有关概念圆：如图24—l所示，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”．拓展(1)圆上各点到圆心的距离都等于半径．(2)到圆心的距离等于半径的点都在圆上．(3)圆可以看做是到定点的距离等于定长的点的集合．(4)圆是一条封闭的曲线，是指圆周而不是指圆面，圆由圆心确定位置，由半径确定大小．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．如图24—2所示，线段AB，AC，BC都是O的弦，且线段AB是O的直径．拓展(1)弦是一条线段，它的两个端点都在圆上．(2)直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．如图24—3所示，像AB，BC，这样小于半圆的圆弧叫做劣弧，像BAC这样大于半圆的圆弧叫做优弧，一般用弧的两个端点及弧上的任一点(放在中间)表示，有时在优弧的中间标一个小写字母m，记为优弧BmC.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．实质上，等弧是全等的，不仅弧长相等，形状大小也一样．知识点2圆的对称性圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．在O中，将圆周绕圆心O旋转180 ，能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心O．将圆周绕圆心O旋转任意一个角度，都能与自身重合．经过圆心O画任意一条直线，并沿此直线将O对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，因为圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．拓展因为圆是轴对称图形，所以在圆内任意作一条直径就可以把圆2等分，作两条互相垂直的直径就可以把圆4等分，再作两条互相垂直的直径的两组对角的平分线，可以把圆8等分，进而进行16等分、32等分……如图24—4所示．知识点3 垂直于弦的直径（垂径）定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.拓展（1）由垂径定理可以得到以下结论：①若直径垂直于弦，则直径平分弦及其所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弧.③垂直且平分一条弦的线段是直径．④连接弦所对的两弧的中点的线段是直径．(2)利用垂径定理及其推论可以证明平分弧，平分弦，证垂直，证一条线段是直径．(3)利用垂径定理的推论，可以确定圆心的位置：在圆中找出两条不平行的弦，分别作两弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆心．(4)由于垂直于弦的直径平分弦，所以可以在圆中构造直角三角形，利用勾股定理列方程求弦长(或半径)．知识点4 圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．在同圆或等圆中：(1)如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等，(2)如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，(3)如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等.拓展(1)圆心角、弦、弧之间的关系的结论必须是在同圆或等圆中才能成立．(2)利用同圆(或等圆)中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等．知识点5圆周角圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.2、半圆（直径）所对的圆周是直角；90°的圆周角所对的弦是圆的直径.拓展此性质介绍了一种常见的引辅助线的方法：有直径，通常构造直径所对的圆周角；反过来，有90 的圆周角，通常构造直径.3、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧相等.拓展“同弧或等弧所对的圆周角相等”常用来证明两角相等或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到解题的目的.知识点6 圆内接多边形（1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.（2）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.探究交流1、下列说法正确吗?为什么?①直径是弦，弦也是直径．②半圆是弧，弧也是半圆．③两条等弧的长度相等，长度相等的弧是等弧．解析①②③都不正确．直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，半圆是一条特殊的弧，但弧不一定是半圆，等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，它们的长度相等，形状大小一样，但长度相等的弧，只确定了长度相等，形状表必相同，所以不一定是等弧．2、下列说法正确吗?为什么?①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；②弦的垂线平分它所对的两条弧；③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．解析①②③都不对，过弦的中点且垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．①中缺少垂直于弦的条件；②中缺少平分弦的条件；③中“过弦的中点”中的弦一定要强调“不是直径”，否则不对．只有④正确．课堂检测基本概念题1、下列命题正确的有（）①顶点在圆周上的角为圆周角；②顶点在圆心的角为圆心角；③弦是直径；④直径是弦；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑥圆的对称轴是它的直径.A.2个B.3个C.4个D.5个基础知识应用题=，那么AB与CD的关系是（）2、在同圆或等圆中，如果AB CDA.AB＞C DB.AB CD=C.AB CD=AB CD＜ D.23、如图所示，已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点⊥.（填写一个你认为适当的条件）E，当时，CD AB4、如图所示，AB为O的直径，从圆上一点C作弦CD AB∠的平分线⊥，OCD=.交O于点P，求证AP BP综合应用题5、如图所示，在O 中，AB 为弦，OC AB ⊥，垂足为C ，若5AO =，3OC =，则弦AB 的长为 ( )A ．10B ．8C ．6D ．46、如图所示，一圆弧形门拱的拱高AB 为1 m ，跨度CD 为4m ，这个门拱的半径为 m ．探索创新题7、如图所示，AD BC ⊥于点D ，且5,3,42,AC CD AB ===则O 的直径等于____.体验中考1、若O 的半径为4cm,点A 到圆心O 的距离为3cm ，则点A 与O 的位置关系是 （ ）A.点A 在圆内B.点A 在圆上C.点A 在圆外D. 不能确定2、如图所示，在ABC 中，AB 为O 的直径，60,70B C ∠=︒∠=︒，则BOD ∠的度数是 度.3、如图所示，AB 是O 的直径，,C D 是O 上的两点，且.AC CD = （1）求证//OC BD ；（2）若BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状.学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、B 本题主要考查圆的有关概念.根据圆周角的定义，顶点在圆周上，两边与圆相交的角为圆周角，两个条件缺一不可，故①错误；由圆心角的定义可知②正确；由弦、弧、直径及半圆的定义易知③错误，④⑤均是正确的；圆的对称轴为其直径所在的直线，故⑥错误.故选B.2、 B 本题主要考查的是同圆或等圆中弧与弦的关系.在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以AB CD =.故选B.3、分析 本题考查垂径定理的应用，根据圆的对称性，若AB CD ⊥，则将O 沿AB 对折，可知点C 与点D 重合，所以有CE DE =，AC AD =，BC BD =，反之也对，填上一个即可.4、分析 本题考查垂径定理的应用，连接OP ，证弧相等，只需证明OP 垂直平分AB即可.证明： 连接OP ，,.OC OP OCP OPC =∴∠=∠CP 是OCD ∠的平分线，.DCP OCP ∴∠=∠.//.OPC DCP OP CD ∴∠=∠∴ 又,.CD AB OP AB ⊥∴⊥ 又,OA OB OP =∴垂直平分ABAP BP ∴=.【解题策略】 本题是利用垂径定理证明弧相等，垂径定理是证弧相等的常用方法之一.5、分析 本题主要考查垂径定理的应用．解答此题的关键是对“OC AB ⊥”的理解．OC 经过圆心且垂直于弦AB ，由垂径定理可知12AC BC AB ==，由勾股定理，得2222-5-34AC OA OC ===所以28AB AC ==．故选B ．规律·方法 (1)在关于“垂直于弦的直径”的题目中，很多情况下不直接给出直径，而只给出直径的一部分，如半径或圆心到弦的距离等，此时要注意灵活运用．(2)圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距是圆中联系直径(半径)和弦的重要纽带，同时也是一条十分重要的辅助线．6、分析 本题主要考查的是垂径定理在实际问题中的应用．解答本题的关键是理解题中的“拱高”和“跨度”，拱高是指弧的中点到弦的中点的线段长，跨度是指弦长，根据垂径定理及其相关结论“平分弦且平分弦所对的一条弧的直线垂直于弦并且过圆心”，需利用圆的半径及弦心距，故设CD 所在的圆的圆心为O ，连接,OC OB ，则OBC 为直角三角形，,,A B O 三点共线，且12BC CD =＝2m ，设半径为x m ，那么(1)OB x =-m ，利用勾股定理，得222OC OB BC =+，即222(1)2x x =-+，解得 2.5x =，即门拱的半径为2.5 m ．故填2.5．【解题策略】（1）图中由CD 及弦CD 围成的图形叫弓形，AB 是弓形的高.（2）在解答有关弓形的问题时，常利用解直角三角形的方法求解，所以首先应找到弓形的弧所在的圆的圆心，然后利用垂径定理与勾股定理等求半径、弦长的一半和圆心到弦的距离.7、52分析 由AD BC ⊥可知ADC 为直角三角形，又知5,3,AC CD ==所以4,AD =又由42AB =4BD =，从而得出ABD 是等腰直角三角形，所以45B ∠=︒，所以AC 所对的圆心角为90︒，若连接,OA OC ，则OAC 是等腰直角三角形，且斜边5AC =，通过勾股定理可求出半径522OA OC ==，所以O 的直径为52故填52体验中考1、A 分析 本题考查点和圆的位置关系，由于点A 到圆心的距离小于半径，所以点A 在O 内.故选A .2、100分析 本题综合考查三角形内角和定理及同圆中同弧所对的圆心角、圆周角的关系，由60,70B C ∠=︒∠=︒，可知50A ∠=︒，由同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半可知2250100BOD A ∠=∠=⨯︒=︒.故填100.3、分析 本题考查弦、弧以及圆周角、圆心角之间的关系.证明：（1）,AC CD =∴弧AC 与弧CD 相等，.ABC CBD ∴∠=∠又,,OC OB OCB OBC =∴∠=∠,//.OCB CBD OC BD ∴∠=∠∴解：（2）由（1）知//,OC BD 不防设平行线OC 与BD 间的距离为h ， 又O 11,22BCDBCSOC h S BD h =⨯=⨯, BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形， 即OBCDBCSS=，,OC BD ∴=∴四边形OBDC 为平行四边形.又,OC OB =∴四边形OBDC 为菱形.【解题策略】本题利用了相等的弦所对应的劣弧相等，相等的弧所对的圆周角相等这一性质，还利用了“面积相等的两个三角形，若它们的高相等，则它们的底边长相等”这一性质证线段相等.24.2 点、直线的位置关系学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握点与圆的位置关系（点P在圆外、圆上、圆内）及形成条件；2、掌握直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）及形成条件；3、掌握并能灵活运用切线的判定和性质、切线长定理；；【重点难点】1、掌握点与圆的位置关系（点P在圆外、圆上、圆内）及形成条件；2、掌握直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）及形成条件；3、掌握并能灵活运用切线的判定和性质、切线长定理；知识概览图①点P 在圆外 d ＞r点与圆的位置关系 ②点P 在圆上 d ＝r③点P 在圆内 d ＜r①相离 d ＞r切线的判定和性质：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，圆的切线垂直于过切点的半径直线与圆的位置关系 ②相切 d ＝r 切线长定理：从圆外一点外圆的两与圆有关的 条切线，它们的切线位置关系 长相等，这一点与 圆心的连线平分两切线的夹角③相交 d ＜r外离 d ＞12r r + ①相离 内含 d ＜12r r +（2r ＞1r ） 外切 d ＝12r r +圆与圆的位置关系（附加） ②相切 内切 d ＝21r r -（2r ＞1r ）③相交 21r r -＜d ＜12r r +（2r ≥1r ）新课导引奥运五环中的五个圆之间有怎样的位置关系呢？在射击靶上，射击弹着点与靶上各圆上之间存在几种位置关系呢？还有哪些图形与圆之间存在一定的位置关系？【解析】 奥运五环中的五个圆有相交，也有相离，射击弹着点可能在某个圆内，也可能在圆周上，还可能在圆外，我们常研究的有点与圆、直线与圆及圆与圆之间的位置关系.教材精华知识点1 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种，设点到圆心O 的距离为d ，圆的半径为r ，如图24-55所示.点在圆的外部：点到圆心的距离大于半径，1OP d =＞r ； 点在圆上：点到圆心的距离等于半径，2OP d =＝r ； 点在圆的内部：点到圆心的距离小于半径，3OP d =＜r . 在图24-55中，点1P 在圆外，点2P 在圆上，点3P 在圆内.拓展（1）圆心是圆内的特殊点，它到圆上各点的距离都相等.（2）除圆心外，圆内各点与圆上各点的距离都有最大值和最小值，如图24-59所示，过点P 作直径,DE PD 的长是点P 到圆上各点的最长距离，PE 的长是点P 到圆上各点的最短距离.（3）圆外各点到圆上各点的距离也有最大值和最小值.如图24-60所示，连接PO并延长，交于O于D，,E PD的长是点P到圆上各点的最短距离，PE的长是点P到圆上各点的最长距离.（4）过圆内一点作最长弦与最短弦，如图24-61所示，过圆内一点P的最长弦是直径AB，过P点的最短弦是上述直径垂直的弦DE.不在同一直线上的三个点确定一个圆.拓展（1）过同一直线上的三点不能作圆，要注意“过三点的圆”中的“三点”不在同一直线上，故“三点确定一个圆”这种说法是不对的.（2）“确定”一词指不仅能作出圆，而且只能作出一个圆，即“有且只有”的意思.知识点2三角形的外接圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.圆的内接三角形：在圆上任取三点首尾顺次连接组成的三角形叫做圆的内接三角形.拓展(1)任意三角形都有且只有一个外接圆.（2）三角形的外心不仅是三角形外接圆的圆心，它还是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等.（3）圆的内接三角形有无数个，它可以是任意的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.知识点3 反证法探究交流中证明“过同一直线上的三点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明方法不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法.在某些情形下，反证法是很有效的证明方法.知识点4 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种，设圆心O到直线l的距离为d，O的半径为r，如图（1）（2）（3）所示.相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线，两个公共点是直线与圆的交点.如图（1）所示，直线l与O有两个公共点,A B，此时d＜r.相切：直线和圆有一个公共点，这时我们说条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图（2）所示，直线l与O有唯一的公共点A，此时d＝r.相离：直线和圆设没有公共点，这时我们说条直线和圆相离.如图（3）所示，直线l与O没有公共点，此时d＞r.拓展（1）已知一条直线到圆心O的距离为d，O的半径为r.①当d＜r时，直线l 与O相交，l是O的割线；②当d＝r时，直线l与O相切，l是O的切线；③当d＞r时，直线l与O相离.（2）判定直线和圆的位置关系有两个途径：一是通过直线与圆的交点的个数来判定.二是通过圆心到直线的距离与半径的大小来判定.方法一是直观的，方法二是通过计算、推理才能得出结论的.证明时往往用方法二.（3）点（圆心）到直线的距离是指从这点（圆心）向直线所作的垂线段的长度.知识点5 切线切线的判定定理.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图24-65所示，直线l与O相切，切点为点A.拓展（1）判定一条直线是圆的切线的方法：①定义：直线与圆只有一个公共点，则直线是圆的切线.②圆心到直线的距离等于半径，则直线是圆的切线.③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）利用切线的判定定理需满足两个条件：①经过的外端.②和半径垂直.两个条件缺一不可，否则不一定是切线，如图24-66所示，这里的直线l都不是圆的切线.（3）由切线的判定定理可以得出画切线的准确方法：已知圆心和圆上一点，先画出半径，然后过圆上的点作半径的垂线，即为圆的切线.（4）如果知道圆的切点和切线，可以确定直径，进而确定圆心，只需过切点作切线的垂线，则垂线和圆相交所成的线段即为直径，直径的中点即为圆心.切线的性质定理.圆的切线垂直于过切点的半径.此性质可能用反证法证明如下：如图24-67所示，假设OA 与l 不垂直，过点O 作OM l ⊥，垂足为M ，根据垂线段最短的性质有OM ＜OA ，这说明圆心O 到直线l 的距离小于半径OA ,于是直线l 就要与圆相交，而这与直线l 是O 的切线矛盾.因此，假设不成立，OA 与直线l 垂直.规律方法小结 “有切线，连半径，得垂直”，这是已知圆的切线时常用的辅助线的作法.切线长的定义及切线长定理.（1） 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图24-68所示，P 是O 外一点，,PA PB 是O 的切线，,A B 是切点，线段,PA PB 的长为线长.（2） 切线长定理.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角.如图24-68所示，从圆外一点P 可以引圆的两条切线,,,PA PB A B 是切点，根据切线长定理，我们知道P ,OA A OB PB ⊥⊥，而,,OA OB OP OP ==所以Rt OAP Rt OBP ≅，所以,PA PB APO BPO =∠=∠.拓展 （1）从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切线.（2）由,PA PB 是O 的切线，得出,PA PB APO BPO =∠=∠的结论可以直接运用，不必再证明. （3）在图24-68中，若连接AB ，则不难得出1180,,2AOB APB AOP BOP AOB OP ∠+∠=︒∠=∠=∠垂直平分AB ，这三个结论也可以直接运用.（4）此定理主要用于证明线段相等、角相等及垂直关系，应重点掌握.知识点6 三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.规律方法小结(1)数形结合思想是数学中常用的思想方法，在很多题目中都配有相应的图形，结合图形探索数量关系是解答许多问题的重要手段，在没有给出图形的问题中，很多情况下要根据题中条件画出尽可能精确的图形，借图形加深对问题的理解，从而加快解决问题的速度.（2）①直线和圆的位置关系和相应概念.②三角形内心、外心的比较名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心三角形三条边的垂直平分线的交点（1）到三个顶点的距离相等；OA OB OC==（2）外心不一定在三角形的内部内心：三角形（1）到三边的距离相等；OE OF OD==（2）,,BO CO AO分别平分直线和圆的位置关系公共点个数2个1个0个d与r的关系d＜r d＝r d＞r 公共点名称交点切点直线名称割线切线内切圆的 圆心三角形三条平分线 的交点,,ABC ACB BAC ∠∠∠（3）内心一定在三角形的内部探究交流1、经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗？解析 假设过同一直线l 上,,A B C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P ，如图24-63所示，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线1l 上，又在线段BC 的垂直平分线2l 上，即点P 为1l ，2l 的交点，而122,l l l l ⊥⊥，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以经过同一直线上的三点不能作圆.2、钝角三角形的内切圆心一定在三角形的外部吗？解析 三角形的内心一定在三角形的内部，此题易受钝角三角形的外心在三角形的外部的影响.拓展（1）设直角三角形两直角边为,a b ，斜边为c ，内切圆半径为r ，则1()2r a b c =+-.（2）三角形的内心一定在三角形的内部，是三角形三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等.（3）一个三角形只有一个内切圆.课堂检测基本概念题1、已知O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP 满足下列条件时，分别指出点A 与O 的位置关系.（1）OP ＝6cm ； （2）OP ＝10cm ； （3）OP ＝14cm.基础知识应用题2、在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心、1为半径的圆必与 （ ） A.x 轴相交 B.y 轴相交 C.x 轴相切 D.y 轴相切3、如图27-24所示，两个同心圆中，大圆的弦,AB CD 相等，且AB 与小圆相切于点E .试判断CD 与小圆的位置关系，并说明理由.4、如图所示，ABC 的内切圆O 与BC ，,CA AB 分别相切于点D ，,E F ，且AB =9cm ，14BC =cm ，13CA =cm ，求,BD,AF CE 的长.综合应用题5、如图所示，A 是O 上一点，半径OC 的延长与过点A的直线交于B 点1,.2OC BC AC OB ==（1）求证AB 是O 的切线；（2）若45,2ACD OC ∠=︒=，求弦CD 的长.探索创新题6、（1）如图24-79（1）所示，,OA OB是O的两条半径，且OA AB⊥，点C是OB 延长线上任意一点，过点C作CD切O于点D，连接AD交OC于点E，试说明CD CE=;（2）若将图24-79（1）中的半径OB所在的直线向上平移交OA于F，交O于'B，其他条件不变，如图24-792（2）所示，那么CD CE=还成立吗？为什么？（3）若将图24-79（1）中的半径OB所在的直线向上平移到O外的CF，点E是DA 的延长线与CF的交点，其他条件不变，如图24-79（3）所示，那么上述结论还成立吗？为什么？体验中考1、如果一个圆的半径是8cm ，圆心到一条直线的距离也是8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是 （ ）A.相离B.相交C.相切D.不能确定2、已知1O 和2O 的半径分别为2cm 和3cm ，两圆的圆心距为5cm ，则两圆的位置关系是（ ）A.外切B.外离C.相交D.内切3、已知圆1O ，圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为3，若圆2O 上的点A 满足13AO ，则圆1O 与圆2O 的位置关系是 （ ）A.相交或相切B.相切或相离C. 相交或内含D.相切或内含4、如图所示，王在爷家屋后有一块长12m 、宽8m 的矩形空地，他在以BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A 处，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用 （ ）A.3mB. 5mC. 7mD. 9m5、如图所示，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为（,0a ），半径为5.如果两圆内含，那么a 的取值范围是 .学后反思。
九年级数学上册二十四章圆部分导学案人教新课标版
圆的有关概念知识点p页画圆的过程，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另1、观察78一个端点A所形成的图形叫做，固定的端点O叫做。
2、什么是弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧、优弧、劣弧？连接圆上任意两点间的线段叫；过圆心的弦是，圆中最长的弦是；圆上任意两点间的部分叫；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做；半径相等的圆叫；能互相重合的两条弧叫Array；比半圆长的弧是；比半圆短的弧是。
练习1、判断正误：（1）弦是直径。
（）（2）过圆心的线段是直径。
（）（3）半圆是最长的弧。
（）（4）等弧就是拉直以后长度相等（）2、下列说法正确的是（）A、弦比直径短B、弧包括优弧和劣弧C、半径的两倍是直径D、直径也是一条弦。
3、下列说法正确的是（）A、两个半圆是等弧B、同圆中优弧与半圆的差是劣弧C、长度相等的弧是等弧D、同圆中优弧与劣弧的差是优弧4、如图，已知圆O中，AB为弦，C、D为AB上的点，且AC=BD，请猜想 COD的形状并证明。
垂直于弦的直径学习目标和要求：1、研究圆的对称性，掌握垂径定理及其推论。
2、学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。
学习重难点：重点：垂径定理及其推论。
难点：运用垂径定理及其推论解决有关的问题。
学习过程：一．温故知新：1、（对称）点)3,2(-p 关于原点对称的点,p 的坐标为 。
2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、正六边形C 、等腰三角形D 、直角梯形3、确定圆的条件是 和 ，其中圆心确定 ，半径确定 。
4、（最新中考题）如图，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若∆AFB 经过逆时针旋转角θ后与AED ∆重合，则θ的取值为（ ）A 、090B 、060C 、040D 、050 5、思考：如果四边形ABCD 是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪里？二、走进新课：1、探究：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么?由此你能得到什么结论？如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ,使AB CD ⊥,垂足为E 。
九年级数学上册24圆导学案新人教版
第二十四章圆24．1圆的有关性质24. 1. 1圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm 或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图) ,第4题图) 4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图) ,第6题图)6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10 cm，求OD的长．解：5 cm.点拨精讲：这里别忘了圆心O是直径AB的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论． 难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm __． 2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm __． 点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个． 3．⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为__3_cm __． 点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米) 点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，E 为垂足，若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长． 解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形． 2．⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB.求证：AC ＝BD. 证明：作OE⊥AB 于E.则CE ＝DE. ∵OA ＝OB ，OE⊥AB， ∴AE ＝BE ，∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是__53__cm . 点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm .3．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．求证：AC ＝BD.证明：过点O 作OE⊥AB 于点E.则AE ＝BE ，CE ＝DE. ∴AE －CE ＝BE －DE. 即AC ＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB ＝40 cm ，CD ＝48 cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．解：过点O 作直线OE⊥AB 于点E ，直线OE 与CD 交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD. (1)当AB ，CD 在点O 两侧时，如图①.连接AO ，CO ，则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm . ∴EF ＝OE ＋OF ＝22 (cm )． 即AB 与CD 之间距离为22 cm .(2)当AB ，CD 在点O 同侧时，如图②，连接AO ，CO.则AO ＝CO ＝25 cm ，AE ＝20 cm ，CF ＝24 cm .由勾股定理知OE ＝15 cm ，OF ＝7 cm . ∴EF ＝OE －OF ＝8 (cm )． 即AB 与CD 之间距离为8 cm .由(1)(2)知AB 与CD 之间的距离为22 cm 或8 cm .点拨精讲：分类讨论，①AB ，CD 在点O 两侧，②AB ，CD 在点O 同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24． 弧、弦、圆心角1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理． 难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P 83～84内容，回答下列问题． 探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，(1)如果AB ＝CD ，那么__AB ︵＝CD ︵，__∠AOB＝∠COD __； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么__AB ＝CD__，__∠AOB＝∠COD； (3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB ＝CD__，AB ︵＝CD ︵__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO _≌_△ABO __； (2)__AD 垂直平分BC__；(3)AB ︵＝AC ︵.2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC ＝∠AOC. 证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC. 又∵∠ACB＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，∴∠AOB ＝∠BOC＝∠AOC.,第2题图),第3题图)3．如图，(1)已知AD ︵＝BC ︵.求证：AB ＝CD. (2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵. 证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵， ∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵， ∴DC ︵＝AB ︵，∴AB ＝CD. (2)∵AD＝BC ， ∴AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．⊙O 中，一条弦AB 所对的劣弧为圆周的14，则弦AB 所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数． 解：30°.,第3题图) ,第4题图)4．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件． (2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等． 解：∠AMN＝∠CNM.∵AB ＝CD ，M ，N 为AB ，CD 中点， ∴OM ＝ON ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴∠OMA ＝∠ONC，∠OMN ＝∠ONM， ∴∠OMA －∠OMN＝∠ONC－∠ONM. 即∠AMN＝∠CNM.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数． 解：75°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，它们的延长线交⊙O 于点A ，B.(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)△OEF 为等腰三角形． 理由：过点O 作OG⊥CD 于点G ， 则CG ＝DG.∵CE＝DF ， ∴CG －CE ＝DG －DF. ∴EG ＝FG.∵OG⊥CD，∴OG 为线段EF 的垂直平分线． ∴OE ＝OF ，∴△OEF 为等腰三角形．(2)证明：连接AC ，BD. 由(1)知OE ＝OF ， 又∵OA＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE.∵∠CEA ＝∠OEF，∠DFB ＝∠OFE， ∴∠CEA ＝∠DFB. 在△CEA 与△DFB 中，AE ＝BF ，∠CEA ＝∠BFD，CE ＝DF ， ∴△CEA ≌△DFB ，∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦等来证弧等． 3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是AO ，BO的中点．CM⊥AB，DN ⊥AB ，分别与圆交于C ，D 点．求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接AC ，OC ，OD ，BD. ∵M ，N 为AO ，BO 中点， ∴OM ＝ON ，AM ＝BN. ∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠CMO ＝∠DNO＝90°. 在Rt △CMO 与Rt △DNO 中， OM ＝ON ，OC ＝OD ， ∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴CM ＝DN.在Rt △AMC 和Rt △BND 中， AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND，CM ＝DN ， ∴△AMC ≌△BND. ∴AC ＝BD.∴AC ︵＝BD ︵.点拨精讲：连接AC ，OC ，OD ，BD ，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24． 圆周角1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 85～87，完成下列问题． 归纳：1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__． 5．圆内接四边形的对角__互补__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．如图所示，点A ，B ，C ，D 在圆周上，∠A ＝65°，求∠D 的度数． 解：65°.,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，求圆周角∠BAC 的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB 的中点，求∠CAB 的度数． 解：65°.,第3题图) ,第4题图)4．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC 的中点，那么∠DAC 的度数是多少？解：29°.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO＝25°，则∠C＝__65°__．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠COB＝ __64°__．3．如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.∴BC ＝AB 2－AC 2＝8 (cm )．∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD ＝∠BCD， ∴AD ＝BD.由AB 为直径，知AD⊥BD， ∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD 2＋BD 2＝2AD 2＝2BD 2＝AB 2，∴AD ＝5 2 cm ，BD ＝5 2 cm .点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝__10_cm __．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．,第1题图) ,第2题图)2．如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠B ＝60°，则∠CAO＝__30°__． 3．OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC .求证：∠ACB＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角， ∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝2∠ACB.同理∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB ＝2∠BOC，∴∠ACB ＝2∠BAC.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．4．如图，在⊙O 中，∠CBD ＝30°，∠BDC ＝20°，求∠A.解：∠A＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆周角的定义、定理及推论．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2点和圆、直线和圆的位置关系24．点和圆的位置关系1. 结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．重点：点和圆的位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．难点：反证法的证明思路．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P92～94.归纳：1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d＞r__；点P 在圆上⇔__d＝r__ ；点P在圆内⇔__d＜r__ .2.经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆；它们的圆心__在线段AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一个__圆．3．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．任意三角形的外接圆有__一个__，而一个圆的内接三角形有__无数个__．4．用反证法证明命题的一般步骤：①反设：__假设命题结论不成立__；②归缪：__从假设出发，经过推理论证，得出矛盾__；③下结论：__由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点__P在圆内__．2．在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是__4或6__．3．△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的度数是__62°或118°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？(用反证法证明)2．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是怎样的？点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．3．如图，⊙O 的半径r ＝10，圆心O 到直线l 的距离OD ＝6，在直线l 上有A ，B ，C 三点，AD ＝6，BD ＝8，CD ＝9，问A ，B ，C 三点与⊙O 的位置关系是怎样的？点拨精讲：垂径定理和勾股定理的综合运用．4．用反证法证明“同位角相等，两直线平行”．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．已知⊙O 的半径为4，OP ＝，则P 在⊙O 的__内部__．2．已知点P 在⊙O 的外部，OP ＝5，那么⊙O 的半径r 满足__0<r<5__．3．已知⊙O 的半径为5，M 为ON 的中点，当OM ＝3时，N 点与⊙O 的位置关系是N 在⊙O 的__外部__．4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，求△ABC 的外接圆半径．解：连接AO 并延长交BC 于点D ，再连接OB ，OC.∵AB ＝AC ，∴∠AOB ＝∠AOC.∵AO ＝BO ＝CO ，∴∠OAB ＝∠OAC.又∵△ABC 为等腰三角形，∴AD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中， ∵AB ＝10，∴AD ＝AB 2－BD 2＝8.设△ABC 的外接圆半径为r.则在Rt △BOD 中，r 2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254. 即△ABC 的外接圆半径为254. 点拨精讲：这里连接AO ，要先证明AO 垂直BC ，或作AD⊥BC，要证AD 过圆心．5．如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm .(1)以点A 为圆心，4 cm 为半径作⊙A，则点B ，C ，D 与⊙A 的位置关系是怎样的？(2)若以A 点为圆心作⊙A，使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？解：(1)点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外，点D 在⊙A 上；(2)3＜r ＜5.点拨精讲：第(2)问中B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，必然是离点A 最近的点B 在圆内；至少有一点在圆外，必然是离点A 最远的点C 在圆外．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r.2．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)直线和圆的位置关系(1)1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系及相关概念．2．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．重点：判断直线与圆的位置关系．难点：理解圆心到直线的距离．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 95～96.归纳：1．直线和圆有__两个__公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__．2．直线和圆有__一个__公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__．3．直线和圆有__零个__公共点时，直线和圆相离．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．设⊙O 的半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔__d ＜r__；直线l 和⊙O 相切⇔__d ＝r__；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r__．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，AB ＝6 cm ，以点C 为圆心，与AB 边相切的圆的半径为__332__cm . 3．已知⊙O 的半径r ＝3 cm ，直线l 和⊙O 有公共点，则圆心O 到直线l 的距离d 的取值范围是0≤d ≤3__．4．已知⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离是5，则直线a 与⊙O 的位置关系是__相交__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．已知⊙O 的半径是3 cm ，直线l 上有一点P 到O 的距离为3 cm ，试确定直线l 和⊙O 的位置关系．解：相交或相切．点拨精讲：这里P 到O 的距离等于圆的半径，而不是直线l 到O 的距离等于圆的半径．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？解：r ＝125或3＜r≤4. 点拨精讲：分相切和相交两类讨论．3．在坐标平面上有两点A(5，2)，B(2，5)，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作圆，试确定⊙A 和x 轴、y 轴的位置关系．解：⊙A 与x 轴相交，与y 轴相离．点拨精讲：利用数量关系证明位置关系． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以C 为圆心，r 为半径作圆．①当r 满足__0＜r ＜125__时，⊙C 与直线AB 相离． ②当r 满足__r ＝125__时，⊙C 与直线AB 相切． ③当r 满足__r ＞125__时，⊙C 与直线AB 相交． 2．已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是__相交．直线a 与⊙O 的公共点个数是__2个__．3．已知⊙O 的直径是6 cm ，圆心O 到直线a 的距离是4 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是__相离．4．已知⊙O 的半径为r ，点O 到直线l 的距离为d ，且|d －3|＋(6－2r)2＝0.试判断直线与⊙O 的位置关系．解：相切．5．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，d ，r 是一元二次方程(m ＋9)x 2－(m＋6)x ＋1＝0的两根，且直线l 与⊙O 相切，求m 的值．解：m ＝0或m ＝－8.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．直线与圆的三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24． 直线和圆的位置关系(2)1. 理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．难点：切线的判定和性质及其运用．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 97～98.归纳：1．经过__半径的外端__并且__垂直于这条半径__的直线是圆的切线．2．切线的性质有：①切线和圆只有__1个__公共点；②切线和圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心__和切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于C ，AB ＝3 cm ，PB ＝4 cm ，则BC ＝__125__cm .2．如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上一点，过点D 作⊙O 的切线AD ，BA ⊥DA于点A ，BA 交半圆于点E ，已知BC ＝10，AD ＝4，那么直线CE 与以点O 为圆心，52为半径的圆的位置关系是__相离__．3．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于点D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下面结论正确的有__①②③④__．①AD ⊥BC ； ②∠EDA＝∠B；③OA ＝12AC; ④DE 是⊙O 的切线．4．如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ，若AD ＝2，TC ＝3，则⊙O 的半径是__10__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，E 是BC 边上的中点，连接PE ，则PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．解：相切；证明：连接OP ，BP ，则OP ＝OB.∴∠OBP ＝∠OPB.∵AB 为直径，∴BP ⊥PC.在Rt △BCP 中，E 为斜边中点，∴PE ＝12BC ＝BE. ∴∠EBP ＝∠EPB.∴∠OBP ＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB.即∠OBE＝∠OPE.∵BE 为切线，∴AB ⊥BC.∴OP ⊥PE ，∴PE 是⊙O 的切线．2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD∥OC，连接CD.求证：(1)点E 是BD ︵的中点；(2)CD 是⊙O 的切线．证明：略．点拨精讲：(1)连接OD ，要证弧等可先证弧所对的圆心角等；(2)在(1)的基础上证△ODC 与△OBC 全等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．教材P 98的练习．2．如图，∠ACB ＝60°，半径为1 cm 的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__3__cm .,第2题图) ,第3题图)3．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝30°，半径为1 cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6 cm ，如果⊙P 以1 cm /s 的速度沿A 向B 的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P 与直线CD 相切．4．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若大圆半径为10 cm ，小圆半径为6 cm ，则弦AB 的长为__16__cm .,第4题图),第5题图)5．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A＝25°，则∠D＝ __40°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆的切线的判定与性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24． 直线和圆的位置关系(3)1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P 99～100.归纳：1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的__线段长__叫做切线长．2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线的夹角，这就是切线长定理．3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C ，图中互相垂直的直线共有__3__对．,第1题图) ,第2题图)2．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点E 是⊙O 上一点，且∠A EB ＝60°，则∠P＝__60__度．3．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是__4__．,第3题图) ,第4题图)4．⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∠DOB ＝73°，∠DOF ＝120°，则∠DOE＝__146°，∠C ＝__60°__，∠A ＝__86°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB ＝12 cm ，梯形面积为120 cm 2，求CD 的长．解：20 cm .点拨精讲：这里CD ＝AD ＋BC.2．如图，已知⊙O 是Rt △ABC (∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D ，E ，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形．(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明略；(2)a ＋b －c 2. 点拨精讲：这里(2)的结论可记住作为公式来用．3．如图所示，点I 是△ABC 的内心，∠A ＝70°，求∠BIC 的度数．解：125°.点拨精讲：若I 为内心，∠BIC ＝90°＋12∠A；若I 为外心，∠BIC ＝2∠A. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝__2__．,第1题图) ,第2题图)2．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD∥BC，则∠DOC＝__90°__．3．如图，AB ，AC 与⊙O 相切于B ，C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B ，C 的一动点，则∠BPC ＝__65°__．。
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数学活动——圆的探究活动
一、活动导入
1.导入活动:日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的？请同学们思考一个问题,为什么车轮要做成圆形呢？能否做成长方形或正方形？（板书课题）
2.活动目标:
（1）通过活动理解车轮做成圆形的数学道理.
（2）探究能过四边形的四个顶点作圆的条件.
（3）以圆和正多边形为基本图形设计图案.
3.活动重、难点：
重点：探究能过四边形的四个顶点作圆的条件；以圆和正多边形为基本图形设计图案.
难点：设计图案.
二、活动过程
活动1 车轮做成圆形的数学道理
1.活动指导：
（1）活动内容：教材第118页活动1.
（2）活动时间：6分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
①按照课本活动1的要求,用笔画出下面两个图形中圆
和正方形运动时的中心的运动轨迹.
②车辆在平坦的路面行驶时,圆形车轮的中心经过的
路线是直线,
正方形车轮的中心经过的路线是曲线.
③坐在圆形车轮的车上会很平稳.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生画圆和正方形的中心的运动轨迹等方面的情况.
②差异指导：对困难学生制作纸板和跟踪图形中心的运动轨迹等方面进行指导.
（2）生助生：学生同桌之间互相交流.
4.强化：
（1）圆在直线上滚动时,圆心的轨迹是直线.
（2）正方形在直线上翻滚时,其中心的轨迹是一段段以对角线长的一半为半径,90°的弧连接而成的曲线.
活动2 探究四点共圆的条件
1.活动指导：
（1）活动内容：教材第119页活动2.
（2）活动时间：10分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
①怎样作三角形的外接圆？
找其外心,再以外心到顶点的长为半径作圆即可.
②过平行四边形,矩形,正方形,菱形的四个顶点能作圆吗？如果能,这个四边形相对的两个内角之间有何关系？
过平行四边形、菱形的四个顶点不能作圆,过矩形和正方形的四个顶点可以作圆.相对的两个内角和为180°.
③如果过四边形的四个顶点不能作圆,那么这个四边形的对角和与180°之间有何关系？试用教材第119页图4分两种情况给予证明.
④如果一个四边形对角互补,那么过这个四边形的四个顶点可以作一个圆.
⑤请自己查找资料,归纳证明四点共圆的方法.
证明：如图,(1)连接对角两点,以其中一个三角形(ABC)作圆.
(2)分别连接对的两(上述)点与圆心,根据圆心角等于圆周角两倍.
则∠2=2∠A,∠1+∠2=360°
∠1=360°-∠2,因为∠D=180°-∠AA,所以∠1=2∠D,所以,∠D是∠1.
对应的圆周角,即PD也在圆上.命题得证.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学:
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会表示四个顶点不共圆的四边形的对角和与180°之间的不等关系.
②差异指导：根据学情分类指导.
（2）生助生：学生同桌之间互相交流.
4.强化：四点共圆的条件和证明方法.
活动3 设计图案
1.活动指导：
（1）活动内容：教材第119页至第120页的活动3.
（2）活动时间：10分钟.
（3）活动方法：完成活动参考提纲.
（4）活动参考提纲：
①通过等分圆周设计图案(仿照图6).
②利用正多边形平面镶嵌的性质设计图案.
2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会等分圆周,是否了解哪些正多边形组合可以平面镶嵌.
②差异指导：为困难学生提供等分圆周、正多边形组合平面镶嵌等方面的知识和方法.
（2）生助生：学生同桌之间互相交流.
4.强化：等分圆周的方法,正多边形组合平面镶嵌的条件.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你有什么收获？有哪些不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生回答问题,课堂的注意力等方面进行评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：本课时设计了三个活动,分别探究了车轮做成圆形的数学道理、四点共圆的条件、设计与圆有关的图案,能够激发学生的探究兴趣,教师给予适当的引导,让学生知道从哪里入手,运用什么具体知识.设计图案活动则要鼓励学生大胆动手操作,培养他们思维的灵活性与空间想象能力.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（70分）
1.（10分）四边形ABCD内接于⊙O,∠A∶∠B∶∠C=7∶6∶3,则∠D等于(B)
A.36°
B.72°
C.144°
D.54°
2.（10分）下述美妙的图案中,是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（D）
A B C D
3.（10分）现有四种地面砖,它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形,且它们的边长都相等.同时选择其中两种地面砖密铺地面,选择的方式有（B）
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
4. （10分）如图（1）是某公司的图标,它是由一个扇环形和圆组成,其设计方法如图（2）所示,ABCD是正方形,⊙O是该正方形的内切圆,E为切点,以B为圆心,分别以BA、BE 为半径画扇形,得到如图所示的扇环形,图（1）中的圆与扇环的面积比为4∶9.
5.（10分）如图,正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置,若正六边形的边长为2cm,则正六边形的中心O运动的路程为4πcm.
6.（10分）如图,AB,CD是⊙O的两条互相垂直的直径,点O1,O2,O3,O4分别是
OA,OB,OC,OD的中点,若⊙O的半径为2,则阴影部分的面积为 8 .
第6题图第7题图
7.（10分）如图,小方格都是边长为1的正方形,则以格点为圆心,半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为2π-4 .
二、综合应用（20分）
8. （20分）如图,在△ABC中, AD⊥BC, DE⊥AB, DF⊥AC.求证： B、E、F、C四点共圆.
证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°,∴∠AED+AFD=180°.∴A、E、D、F四点共
圆.
∴∠DEF=∠DAF.又AD⊥DC,
∴∠DAF+∠C=90°.
∴∠DEF+∠C=90°.
∴∠BEF+∠C=∠BED+∠DEF+∠C=180°.
∴B、E、F、C四点共圆.
三、拓展延伸（10分）
9.（10分）如图, E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点.求证： E、F、G、H四点共圆.
证明：连接OE、OF、OG、OH.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.
又∵E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边中点,
∴OE=OF=OG=OH=1
2
AB=
1
2
BC=
1
2
CD=
1
2
DA.
∴E、F、G、H四点共圆.。