双曲线的渐近线和离心率问题
双曲线离心率常见求法整理归纳
1双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a =>，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -=(a >)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为 .3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .4．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e .5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 .6．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 .8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线12222=-by a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 .10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ．方法二、构造,a c 的齐次式，解出e1．过双曲线22221x y a b-=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．2．设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________．3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形1．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________．2．双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________．3．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________．4．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为________．6．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，离心率为e ，若12||||PF e PF =，此离心率的取值范围为________．方法四、双曲线离心率取值范围问题例1.(本题需要使用双曲线的第二定义解决)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．例2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．例 4.已知点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上，双曲线两焦点为12,F F ，2221||||PF PF 最小值是8a ，则此双曲线的离心率的取值范围是 ． 例 5.双曲线2222222211x y y x a b b a-=-=与的离心率分别是12,,e e 则12e e +的最小值为 ．与准线有关的题目1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 .2．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 . 3.设点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左支上，双曲线两焦点为12,F F ，已知1PF 是点P 到左准线l 的距离d 和2PF 的比例中项，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．4．已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是_______.。
圆锥曲线离心率问题解题技巧梳理
圆锥曲线离心率问题解题技巧梳理一．焦点三角形中的离心率 1.椭圆（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为α、β，则sin()sin sine(正弦定理)。
12122sin sin()2sin sin sin sin F F c c e a a PF PF θαβαβαβ+=====+++222121212212121221212221212212212(2)2cos =()22cos =()2(1cos ) ()2()(1cos )21=()[1(1cos )]21=()(F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθθθθ=+-+--+-++≥+-++-++12222222cos )==2111144(cos )cos (12sin )sin 222222sin2PF PF P c c a a e θθθθθθ-∴≥-≥-=--=∴≥（当且仅当取，即在短轴端点处）即2.双曲线：利用焦点三角形两底角,αβ来表示:sin()sin sine。
12122sin sin()2sin sin sin sin +=====---F F c c e a a PF PF θαβαβαβ二．双曲线的渐进线与离心率关系 直线与双曲线相交时，两个交点的位置（1）两个交点在双曲线的两支：b k e a >⇔=（2）两个交点在双曲线的同一支:b k e a <⇔=（3）两个交点在双曲线的左支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪+<⎨⎪>⎪⎩（4）两个交点在双曲线的右支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩三．焦点弦与离心率关系BF AF λ=，则有11cos +-=λλθe (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
技巧1 焦点三角形中的离心率【例1】(1)．已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x轴垂直，12tan FMF ∠=E 的离心率为（ ） A ．B ．2CD（2）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若在椭圆E 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆E 的离心率的取值范围为（ ）A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎛ ⎝⎭C．⎫⎪⎪⎣⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【举一反三】1．已知点P 在以12,F F 为左，右焦点的椭圆()2222:102x y C b b b +=>上，在12PF F △中，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，则()sin sin sin αβαβ+=+（ ）A ．12B ．2C ．2D2．已知点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，若12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A B ．13C ．23D ．123．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，P 是圆上一动点，则12cos F PF ∠的最小值是（ ）A ．13-B ．3-C ．1-D ．0技巧2 点差法中的离心率【例2】（1）过点()1,2M 作直线16y x m =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则该椭圆的离心率是（ ）A ．23B C ．1112D （2）已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为()A ．3B ．3C ．23D ．3【举一反三】1．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BCD ．32．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.A ．1(0)2， B ．(0)2， C ．1(22，D ．1)23．若1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A 1B ．3C 1D ．2技巧3 渐近线与离心率【例3】已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞ 【举一反三】1．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与直线y x =无公共点，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．(]1,2D ．()1,22．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点O C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A 1 C ．2D ．2技巧4 焦点弦与离心率【例4】已知椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率=（ ）A ．3B ．2C ．2D ．3【举一反三】1．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 2．已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B ．2C 或．2或3．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43BC D ．2巩固练习1．已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB的中点，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．32D 2．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞3．已知1F ，2F 分别是椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 是此椭圆上一点，若为12F PF △直角三角形，则这样的点P 有（ ）. A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个4．已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P 使12F PF ∠为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是A ．2⎛⎫⎪⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知椭圆 22221(0)x y a b a b +=>> ，点M,N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使1(,0)2MH NH k k ∈- ,则离心率e 的取值范围为A ．B ．(0,2C ．D ．6．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若F ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12 B C －1 7．已知椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2．P 是椭圆上一点．PF 1F 2为以F 2P 为底边的等腰三角形，当60°<PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（0）8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为,A B ，P 是椭圆上异于,A B 的一点，若直线PA的斜率PA k 与直线PB 的斜率PB k 乘积14PA PB k k =-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．29．）已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，直线)y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D 111．若A 、B 为椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)长轴的两个端点，垂直于x 轴的直线与椭圆交于点M 、N ，且14AM BN k k ⋅=，则椭圆C 的离心率为______ 12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作倾斜角60°的直线l 交C 于A ，B 两点（A 在第一象限），则AF BF=________.13．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得122PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是____.14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线2AF 交椭圆于另一点P ，若1PF PA =，则椭圆的离心率为15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若12(0,)3PF F π∠∈，则该椭圆的离心率的取值范围是16．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为17．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -，过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12//l l ，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为18．已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为。
双曲线的性质离心率渐近线
与抛物线关系比较
离心率的特性
01
抛物线的离心率e=1，处于椭圆和双曲线之间。
焦点和准线
02
抛物线有一个焦点和一条准线，而双曲线有两个焦点和两条渐
近线。
对称性
03
抛物线和双曲线都关于其对称轴对称。
不同圆锥曲线间转换条件
焦点位置变化
随着焦点位置的变化，圆锥曲线的形状也会发生变化。当 焦点沿实轴移动时，双曲线可以转换为椭圆或抛物线。
渐近线与双曲线位置关系
渐近线与双曲线无限接近但永不相交 。
双曲线上的点无限接近于渐近线，但 永远不会落在渐近线上。
利用渐近线判断双曲线开口方向
01 当$a > b$时，双曲线的开口方向沿着$x$轴方向。 02 当$a < b$时，双曲线的开口方向沿着$y$轴方向。 03 可以通过观察渐近线的斜率来判断双曲线的开口
渐近线
双曲线的渐近线方程为 $y = pm frac{b}{a}x$。当x趋近于无穷大 时，双曲线趋近于这两条直线。
离心率与形状
离心率越大，双曲线开口越宽 ；离心率越小，双曲线开口越
窄。
02 离心率及其意义
离心率定义与计算公式
定义
离心率是双曲线的一个重要参数 ，用于描述双曲线与其焦点之间 的距离关系。
对于标准方程 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)，若a>b，则焦点在y轴上；若 a<b，则焦点在x轴上。
结合图像进行直观判断
观察双曲线图像，若图像关于y轴对称且开口方向沿x轴，则焦点在x轴上。
观察双曲线图像，若图像关于x轴对称且开口方向沿y轴，则焦点在y轴上。 以上判断方法可以帮助我们快速确定双曲线在坐标系中的位置，进而研究 其性质和特点。
双曲线知识点归纳总结例题分析
双曲线知识点归纳总结例题分析双曲线基本知识点补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（⼀般⽽⾔是a=b ，但有些地区教材版本不同，不⼀定⽤的是a,b 这两个字母）；（2）其标准⽅程为x^2-y^2=C ，其中C≠0；（3）离⼼率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意⼀点到中⼼的距离是它到两个焦点的距离的⽐例中项；（6）等轴双曲线上任意⼀点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分；（7）等轴双曲线上任意⼀点处的切线与两条渐近线围成三⾓形的⾯积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中⼼以逆时针⽅向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
所以反⽐例函数y=k/x 的图像⼀定是等轴双曲线。
例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满⾜126PF PF -=，则点P 的轨迹⽅程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习⼀:如果双曲线的渐近线⽅程为34y x =±，则离⼼率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离⼼率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习⼆:双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离⼼率为．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线⽅程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准⽅程为。
浅议双曲线离心率与渐近线斜率的关系
浅议双曲线离心率与渐近线斜率的关系
王红涛
【期刊名称】《中学生数理化（高二高三版）》
【年(卷),期】2006(000)011
【摘要】@@ 双曲线在历年高考中都有着重要的地位.而双曲线的离心率和渐近线作为反映双曲线图形特点的基本几何性质,它们之间的关系更应成为我们关注的焦点.
【总页数】2页(P33-34)
【作者】王红涛
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.双曲线的渐近线与离心率的转化解题例说 [J], 刘运松
2.双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论 [J], 刘俊勋
3.把握渐近线与双曲线的关系巧解题 [J], 刘祥兵
4.双曲线与其渐近线方程间的关系 [J], 梁延堂
5.双曲线渐近线与离心率问题 [J], 郑春霞
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双曲线的焦点与离心率的计算方法
双曲线的焦点与离心率的计算方法双曲线是经典的数学曲线之一，具有特殊的性质和形态。
焦点和离心率是描述双曲线的重要参数，能够帮助我们深入理解和分析双曲线的性质。
本文将介绍双曲线的定义、焦点与离心率的计算方法，并探讨它们在几何和物理中的应用。
一、双曲线的定义双曲线是具有以下几何性质的曲线：1. 定义域：双曲线的定义域为实数集，即曲线上的每一个点都对应一个实数，而且实数可以取任意值。
2. 对称轴：双曲线有两条对称轴，分别为纵轴和横轴。
对称轴是曲线的镜像轴，将曲线分为两个对称的部分。
3. 四个分支：双曲线由四个分支组成，分别位于对称轴及其延长线的两侧。
4. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别靠近其两个对称轴。
渐近线与双曲线在无穷远处趋于平行。
二、焦点的计算方法焦点是双曲线上的一个特殊点，具有重要的几何和物理意义。
双曲线的焦点计算方法如下：1. 横轴双曲线：设双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点距离原点的距离为c，离中心最近的点为F1，离中心最远的点为F2。
则焦点的坐标为F1(c,0)和F2(-c,0)。
2. 纵轴双曲线：设双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点距离原点的距离为c，离中心最近的点为F1，离中心最远的点为F2。
则焦点的坐标为F1(0,c)和F2(0,-c)。
三、离心率的计算方法离心率是双曲线的一个重要参数，用来描述双曲线的形态特征。
离心率的计算方法如下：1. 横轴双曲线：设双曲线的焦点为F1(c,0)和F2(-c,0)，顶点为V(a,0)，则离心率e的计算公式为 e = c / a。
2. 纵轴双曲线：设双曲线的焦点为F1(0,c)和F2(0,-c)，顶点为V(0,a)，则离心率e的计算公式为 e = c / a。
离心率e是一个大于1的实数，可以反映出双曲线的独特形状。
当离心率e趋近于1时，双曲线的形状趋近于抛物线；当e大于1时，双曲线的形状更加尖锐。
四、焦点和离心率的应用焦点和离心率是双曲线的重要参数，在几何和物理中具有广泛的应用。
双曲线渐近线方程与离心率的关系
双曲线渐近线方程与离心率的关系
双曲线渐近线是几何中一类特殊的曲线，它以一个实数Ω为离心率，满足
方程x²/a²-y²/b²=1。
其中a为渐近线长轴，b为短轴，以a和b为直径，以Ω来描述曲线的弯曲程度，当Ω>1时，曲线内角钝角交替，被称为双曲线；当Ω=1时，曲线成圆，为椭圆时，称为椭圆渐近线；而当Ω<1时，曲线内角锐角交替，叫做反椭圆渐近线。
关于双曲线渐近线与离心率Ω之间的关系，当离心率Ω大于1时，椭圆渐近线就变为双曲线。
另外，椭圆的长轴和短轴的长度和离心率Ω有关。
Ω越大，椭圆的长轴越长，短轴越短，双曲线的弧度越大。
反过来，当Ω越小时，长轴越短，短轴越长，双曲线的弧度越小。
双曲线的渐近线与离心率的关系主要有三点：一是随着离心率Ω的增大，双曲线的形状由椭圆向双曲线化变；二是随着离心率Ω的增大，双曲线长轴和短轴的长度有相应的变化；三是随着离心率Ω的增大，双曲线的弧度也会发生变化。
从上面的情况可以看出，长轴、短轴长度以及曲线弧度均和离心率Ω有关联，在双曲线渐近线的形状变化规律上也得出了一定的结果。
此外，它还在很多规律数学中扮演重要的角色，其形状在实际中也有广泛的应用。
双曲线的渐近线与焦点
双曲线的渐近线与焦点双曲线是高等数学中的一个重要概念，它与渐近线和焦点有着密切的关系。
本文将围绕双曲线的渐近线和焦点展开讨论，详细介绍它们的定义、性质以及它们在数学和实际生活中的应用。
同时，我们将探讨如何通过双曲线的渐近线和焦点来解决相关的问题。
一、双曲线的定义与性质双曲线是由一个动点P与两个焦点F1和F2之间的距离之差恒为常数的点的轨迹。
对于双曲线而言，与其相对应的还有一个重要的参数，即离心率e。
离心率决定了双曲线的形状，当离心率大于1时，双曲线呈现拉长的形态，当离心率等于1时，双曲线退化为一对直线。
双曲线除了具有曲线本身的性质外，还有两个重要的特征：渐近线和焦点。
二、双曲线的渐近线双曲线的渐近线是指在双曲线的两侧，与双曲线趋于无限远时的直线。
具体来说，有两种情况需要考虑：当离心率e大于1时，双曲线的两个渐近线呈现斜线形态，而当离心率等于1时，双曲线的渐近线则是两条垂直交于曲线的渐近线。
另外，渐近线还有一个重要的性质，即双曲线的切线与渐近线的夹角在趋于无穷大时趋于零。
三、双曲线的焦点双曲线的焦点是指在双曲线上具有特殊意义的两个点，它们与双曲线上的其他点具有不同的性质。
对于离心率大于1的双曲线而言，焦点是由公式c = √(a^2 + b^2)计算得出的点，它们与双曲线的中心相距为c个单位。
而对于离心率等于1的双曲线，焦点是曲线的两个端点。
双曲线的焦点在数学学科中有着广泛的应用，尤其是在几何、物理、工程和光学等领域。
例如，在天文学中，双曲线的焦点可以用来描述天体的运动轨迹；在建筑工程中，双曲线的焦点可以用来设计拱顶等结构。
四、双曲线焦点与渐近线的应用举例1. 天文学应用：通过双曲线的焦点和渐近线，我们可以研究近地小行星或彗星的运动轨迹，进而了解它们与地球的相对关系，并预测可能的撞击风险。
2. 工程应用：在建筑设计中，通过双曲线的渐近线和焦点，可以用来构造特殊形状的拱顶或者设计照明设备，优化室内或室外的照明效果。
双曲线的渐近线和离心率问题
3．求一条渐近线方程是 3x＋4y＝0 且过点( 15，3)的双曲线
的标准方程，并求此双曲线的离心率．
数学 选修 2-1(配人教版)
探究2：离心率问题
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求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法： e＝ac＝ 1＋ba22求解． (2)方程法：根据条件确定 a，b，c 之间的关系，利用方 程思想
∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
数学 选修 2-1(配人教版)
的四个顶点都在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，
且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离心率是________.
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2．已知 F1，F2 是双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的两个焦
点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦，如果
双
曲
线x 2 a2
y2 b2
1共
渐
近
线
的
双
曲
线方Biblioteka 程可以设为x 2 a2
y2 b2
(
0)
双曲线的渐近线 课前·自主学习
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(1)已知 a>b>0，椭圆 C1 的方程为xa22＋by22＝1，双曲线 C2 的方 程为xa22－by22＝1，C1 与 C2 的离心率之积为 23，则 C2 的渐近线
与渐近线有关的结论：
1.把 双 曲 线 标 准 方 程 的 “1” 改 为 “0”,即 求 出 渐 近 线
2.渐 近 线 为y
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是一个非常重要且有趣的数学概念，它在许多科学领域中都具有广泛的应用。
双曲线的离心率和渐近线是研究双曲线性质时的两个重要方面。
本文将深入探讨双曲线的离心率和渐近线，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
在概率统计学、物理学和工程学等领域，双曲线经常用于描述一些特定的曲线形状。
它具有许多独特的性质，如非对称、无中心和无界等，这使得双曲线在一些特定情况下成为研究对象。
首先，我们将介绍双曲线的离心率。
离心率是用来衡量双曲线扁平程度的一个参数，它决定了双曲线的形状。
通过研究离心率，我们可以更好地理解双曲线的特性，并在实际问题中应用它们。
其次，我们将深入探讨双曲线的渐近线。
渐近线是指曲线在无穷远处趋近于某一直线的情况。
对于双曲线而言，它具有两条渐近线，分别与曲线的两个分支在无穷远处平行。
渐近线的性质可以帮助我们更好地理解双曲线的走向和特征。
本文将通过详细的推导和实例分析，阐明双曲线的离心率和渐近线的定义、性质和应用。
我们将探讨它们在物理学、工程学和数学模型中的应用案例，以及如何利用这些概念来解决实际问题。
在结论部分，我们将总结双曲线的离心率和渐近线的重要性，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。
通过深入理解和应用双曲线的离心率和渐近线，我们可以更好地解决各种问题，并在科学研究和工程实践中取得更好的成果。
在接下来的章节中，我们将逐步展开双曲线的离心率和渐近线的详细内容，希望读者能够跟随我们的步伐，深入了解这些有趣且具有应用价值的数学概念。
1.2文章结构文章结构是指文章的章节安排和组织方式。
对于这篇文章，可以按照以下方式组织文章结构：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 双曲线的离心率2.2 双曲线的渐近线3. 结论3.1 总结双曲线的离心率和渐近线3.2 对双曲线性质的应用和意义在引言部分，可以首先对双曲线的概念进行简要说明，包括其定义和特点。
标准方程离心率及双曲线的渐近线通用课件
已知双曲线的标准方程为 $frac{y^2}{4} - frac{x^2}{3} = 1$， 且渐近线方程为$y = pm frac{4}{3}x$，求rac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，离心率$e = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}}$， 渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$，求证：$a^2 = b^2 - c^2$。
03 双曲线的渐近线
渐近线的定义
渐近线是双曲线的一种特殊直线，它 与双曲线的两个分支无限接近，但永 远不相交。
渐近线的位置由双曲线的标准方程决 定，不同的双曲线有不同的渐近线。
渐近线的求法
根据双曲线的标准方程，可以求出渐近 线的方程。
对于标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 的双曲线，其渐 近线方程为 $y = pm frac{b}{a}x$。
综合习题2
已知双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，离心率$e = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}}$， 渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$，求证：焦点到渐近线的距离等于$frac{bc}{sqrt{a^2 + b^2}}$。
定义公式
$e = frac{c}{a}$，其中 $c$ 是焦 点到中心的距离， $a$ 是顶点到 中心的距离。
离心率与双曲线的关系
01
双曲线的离心率 $e > 1$ ，表示 双曲线与中心的距离大于其顶点 到中心的距离。
02
随着离心率 $e$ 的增大，双曲线 的开口会变得更开阔，反之则会 变得更狭窄。
活用渐近线 巧求离心率
2020年第10期 中学数学教学参考（下甸）'高考频迫活用渐近线巧求离心率杨宝兰（河北易县中学)摘要：渐近线方程离不开相应的双曲线方程，又在一定程度上决定着双曲线方程。
通过双曲线方程一条 渐近线的倾斜角确定双曲线方程的离心率，通过探究与变式拓展总结规律，充分挖掘高考题的内涵，揭示 双曲线的渐近线与离心率之间的联系。
关键词：双曲线；渐近线；离心率；倾斜角 文章编号：1002-2171 (2020) 10-0060-02渐近线是双曲线方程特有的几何性质，表明双曲 线在开口方向无限延伸时，相应的曲线无限靠近渐近 线。
渐近线方程直接决定对应双曲线方程的离心率， 两者可以进行有效转化与应用。
下面笔者结合一道 高考题进行说明。
1问题呈现(2019年高考数学全国卷I 文科第10题）双曲线C :^ —$ = l(a>0,6>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则双曲线C 的离心率为（）。
A . 2sin 40° B. 2cos 40°C —~— D -sin 50〇cos 50。
2解法分析解法1:(直接求解法）由题可知双曲线C :bx 2 _y 21U >0,6>0)的渐近线方程为3；=士二:r ，又由于双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，可得btan 130。
c2-a2-tan 50°，而 tan 50° = Sin ，可得^sin2 50°cos2 50° cos2 50*cos 50—1，所以丨，即f;。
故选D 。
cos^ 50° …cos 50解法2:(公式变形法）由题意得双曲线C 的一条渐近线的斜率为一l = tan 130°,则双曲线C 的离心a率<'1+a /1 + tan2130°:sin2130°cos2130°j —= —^5。
巧解双曲线的离心率
巧解双曲线的离心率离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。
经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。
下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值（1）利用离心率公式ace =，先求出c a ,，再求出e 值。
（2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出ab，再求出e 值。
例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为__________.分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得34=a b解答：由已知可得34=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e .（3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。
例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。
解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b c ba b所以215+=e （负舍） 2、求离心率的取值范围求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。
例3 若双曲线22221x y a b-=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________.分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=⇒>>⇒>>ab e a b b a（2）利用平面几何性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。
双曲线离心率与渐近线的关系
双曲线离心率与渐近线的关系双曲线离心率与渐近线的关系1、什么是双曲线离心率：双曲线离心率（eccentricity）是指一个椭圆及其形状的程度。
它是描述一个椭圆或其它椭圆曲线的形状的一种特殊比例。
其值的取值范围被约束在 0～1 之间，离心率e 就是在这一范围内，椭圆曲线的圆心和焦点之间的距离与大圆的半径的比。
离心率的取值越大，椭圆的形状就越扁。
2、什么是渐近线:渐远线（Asymptote）是指椭圆或其它椭圆曲线的某一总体方向的线段。
它是定义在曲线上但在某一程序趋近无穷大，任何直线与这条曲线趋近时，直线与曲线的距离都会变为无穷小，最终消失的椭圆上的一种总体方向的直线。
3、双曲线离心率与渐近线的关系:（1）双曲线离心率与渐近线的关系有助于理解双曲线的形状。
由于双曲线上有两个焦点，所以它有两个渐近线，都以椭圆的圆心为中心，斜率自然也不同。
（2）由于双曲线的离心率为0到1之间的一个数值，当离心率越大时，椭圆轮廓更扁，渐近线也会越远离椭圆的形心。
当离心率越接近1时，椭圆轮廓变得更扁，而两条渐近线也越来越远离椭圆的圆心。
（3）此外，双曲线的离心率也与渐近线之间的距离存在关系。
双曲线的离心率越大，两个焦点分别处于曲线的最远点，椭圆轮廓变得更扁，而两条渐近线之间的距离也越远。
反之，当离心率越接近0时，椭圆的形状越圆，渐近线之间的距离也越短。
4、结论:总的来说，双曲线离心率与渐近线之间存在着诸多关系，离心率越大，渐近线之间的距离就越远；反之，离心率越小，渐近线之间的距离就越短。
它们的关系彼此之间密不可分，它们对于双曲线的性质和形状分析具有重要意义。
巧用不同方法破解双曲线渐近线相关
巧用不同方法破解双曲线渐近线相关问题俞㊀纲(云南省昆明市第三中学㊀６５００００)摘㊀要:文章通过举例剖析解决双曲线渐进线相关问题的策略ꎬ代数上运用二次方程的运算技巧ꎬ几何上运用特征三角形㊁角平分线等几何性质.关键词:双曲线渐近线ꎻ代数计算ꎻ几何问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－０００７－０５收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:俞纲ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学解题研究.㊀㊀渐进线是双曲线的重要性质ꎬ在历年高考的选择题㊁填空题中多次出现ꎬ而且基础题和难题都有涉及ꎬ如何针对性地选择适当方法来巧妙解决相关问题ꎬ尽量避免复杂的代数计算值得我们研究.１用二次方程解决双曲线渐近线的代数计算㊀㊀渐近线方程与双曲线的位置有关ꎬ由于双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的两条渐近线方程ｙ＝ʃｂａｘ可写为(ｙ＋ｂａｘ)(ｙ－ｂａｘ)＝０ꎬ可以看作ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０因式分解所得ꎻｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１的两条渐近线方程ｙ＝ʃａｂｘ恰好可以看作ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝０因式分解所得ꎬ因此双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)的两条渐近线方程可等价于二次方程Ａｘ２－Ｂｙ２＝０ꎬ对于与渐近线有关的一些代数计算ꎬ可以借助该二次方程进行方便计算.１.１双曲线方程与渐近线方程的相互转化例１㊀(２０１３年高考江苏卷第３题)双曲线ｘ２１６－ｙ２９＝１的两条渐近线的方程为.分析㊀不用单独求出ａꎬｂ后再代入渐近线方程ꎬ直接由ｘ２１６－ｙ２９＝０因式分解可得渐近线方程为ｙ＝ʃ３４ｘ.㊀例２㊀(２０１５年高考全国Ⅱ卷第１５题)已知双曲线过点(４ꎬ３)ꎬ且渐近线方程为ｙ＝ʃ１２ｘꎬ则该双曲线的标准方程为.分析㊀虽然不知道双曲线焦点位置ꎬ但不用分类设双曲线方程ꎬ把两渐近线方程可写为(ｙ＋１２ｘ) (ｙ－１２ｘ)＝０ꎬ即ｙ２－ｘ２４＝０ꎬ从而双曲线方程可以设为ｙ２－１４ｘ２＝λꎬ把点Ｍ(４ꎬ３)代入ꎬ解得λ＝－１ꎬ该双曲线的方程为ｘ２４－ｙ２＝１.例３㊀(２０１４年高考北京卷第１１题)设双曲线Ｃ经过点(２ꎬ２)ꎬ且与ｙ２４－ｘ２＝１具有相同渐近线ꎬ７则Ｃ的方程为ꎬ渐近线方程为.分析㊀与ｙ２４－ｘ２＝１共渐近线的双曲线可设为ｙ２４－ｘ２＝λꎬ把点(２ꎬ２)代入得λ＝－３ꎬ则Ｃ的方程为ｘ２３－ｙ２１２＝１.令ｙ２４－ｘ２＝０ꎬ得渐近线方程为ｙ＝ʃ２ｘ.小结㊀上述三题都属于基础中等题ꎬ通过方程的代数特征直接设双曲线渐近线的方程进行研究ꎬ避免了对两种位置的双曲线分别研究的麻烦.当然ꎬ不是所有条件都适合代数方法直接设方程ꎬ归纳言之ꎬ以下三个代数结论可直接运用:双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)的渐近线方程可直接由Ａｘ２－Ｂｙ２＝０因式分解得到ꎻ以ｙ＝ｋｘ为一条渐近线的双曲线方程必定可以写为(ｙ＋ｋｘ) (ｙ－ｋｘ)＝λ(λʂ０)ꎬ即ｙ２－ｋ２ｘ２＝λ(λʂ０)的形式ꎻ与双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)有相同渐近线的双曲线方程必定可以写为Ａｘ２－Ｂｙ２＝λ的形式.１.２直线与双曲线的两渐近线相交的问题一条直线与双曲线两渐近线交于两点的问题ꎬ一般需要把该直线分别与两条渐进线方程联立ꎬ通过解两个二元一次方程组ꎬ得到两个交点坐标后再进行相应的表示与计算ꎬ如果把两条渐进线看作一个整体ꎬ借助二次方程来表示它ꎬ则可以借助直线与二次曲线位置关系的研究方法ꎬ运用 设而不求 的思想进行整体计算ꎬ避免直接表示交点坐标ꎬ达到事半功倍的效果.例４㊀过点Ｍ(３ꎬ１)作斜率为２的直线ꎬ与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的两条渐近线分别交于ＡꎬＢ两点ꎬ若Ｍ恰好为ＡＢ的中点ꎬ则双曲线的离心率为.分析㊀此题可以把直线方程写出ꎬ再与两渐近线分别联立得到ＡꎬＢ两点的坐标ꎬ运用中点坐标公式得到等量关系ꎬ但计算相对繁琐ꎬ运用二次方程理论则能简化运算.双曲线两渐近线方程设为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)为其上两点ꎬ由点差法ꎬ得ｘ２１ａ２－ｙ２１ｂ２＝０ꎬｘ２２ａ２－ｙ２２ｂ２＝０ꎬìîíïïïï即(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)ａ２＝(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)ｂ２.则２ｘＭ２ｙＭ＝ａ２ｂ２ ｋＡＢ.所以３２＝ａ２ｂ２.从而ｅ＝ｃａ＝１５３例５㊀(２０１４年高考浙江卷第１６题)设直线ｘ－３ｙ＋ｍ＝０(ｍʂ０)与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)两条渐近线分别交于ＡꎬＢ两点ꎬ若点Ｐ(ｍꎬ０)满足｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜ꎬ则该双曲线的离心率是.解析㊀设双曲线两渐近线方程为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬ直线ｌ与其交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ由ｘɪ－１ꎬ１[]ꎬ得(ｘ１－ｍ)２＋ｙ２１＝(ｘ２－ｍ)２＋ｙ２２.整理ꎬ得ｘ１＋ｘ２－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)ｙ２－ｙ１ｘ１－ｘ２.即ｘ１＋ｘ２－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)(－ｋＡＢ).亦即３ｙ１－ｍ＋３ｙ２－ｍ－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)(－１３).即１０(ｙ１＋ｙ２)＝１２ｍ.由ｘ＝３ｙ－ｍꎬｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬìîíïïï联立得(９ｂ２－ａ２)ｙ２－６ｂ２ｍｙ＋ｂ２ｍ２＝０.由韦达定理ꎬ得ｙ１＋ｙ２＝６ｂ２ｍ９ｂ２－ａ２.代入１０(ｙ１＋ｙ２)＝１２ｍꎬ得ａ２＝４ｂ２.则ｅ＝５２.小结㊀由于双曲线及渐近线都含有未知字母ꎬ８直线与两条渐近线联立两次分别表示出两交点坐标再计算相对繁琐ꎬ若能借助韦达定理巧用 设而不求 的思想进行整体转化ꎬ则能简化运算.例６㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２４－ｙ２３＝１ꎬ过点Ｐ(２ꎬ１)作直线ｌ交双曲线的两渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝４ꎬ求此时直线的斜率.解析㊀设直线的倾斜角为αꎬ参数方程为ｘ＝２＋ｔｃｏｓαｙ＝１＋ｔｓｉｎα{(ｔ为参数)ꎬ双曲线的渐进线方程为ｘ２４－ｙ２３＝０ꎬ把直线参数方程代入化简ꎬ得(３ｃｏｓ２α－４ｓｉｎ２α)ｔ２＋(１２ｃｏｓα－８ｓｉｎα)ｔ＋８＝０.由韦达定理ꎬ得ｔ１ｔ２＝８７ｃｏｓ２α－４.则｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝｜ｔ１ｔ２｜＝８｜７ｃｏｓ２α－４｜＝４.得ｃｏｓ２α＝６７或２７.则ｓｉｎ２α＝１７或５７.从而ｋ＝ʃ６６或ʃ１０２.２用几何性质解决双曲线渐近线的几何问题双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａꎬｂ>０)的渐进线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ其几何含义可直观体现在如下两个直角三角形中:如图１ꎬ过焦点Ｆ作渐近线的垂线ＦＭꎬ垂足为点Ｍꎬ过顶点Ａ作实轴垂线ＡＮꎬ交渐近线于点Ｎ.记øＦＯＭ＝θꎬ在ＲｔәＯＦＭ中ꎬ｜ＯＦ｜＝ｃꎬ｜ＭＦ｜＝ｂꎬ｜ＯＭ｜＝ａꎬｔａｎθ＝ｂａꎬｓｉｎθ＝ｂｃꎬｃｏｓθ＝ａｃ.在ＲｔәＯＡＮ中ꎬ｜ＯＡ｜＝ａꎬ｜ＡＮ｜＝ｂꎬ｜ＯＮ｜＝ｃ.借助这两个直角三角形ꎬ可以更直观地理解渐近线斜率的几何意义ꎬ并且可以得到一些常用结论ꎬ如:焦点到渐近线的距离为ｂꎻ以Ｏ为圆心ꎬ实轴长２ａ为直径的圆与渐近线相交ꎬ交点与焦点的连线恰好与渐近线垂直ꎻ以Ｏ为圆心ꎬ焦距长２ｃ为直径的图１圆与渐近线相交ꎬ交点与顶点的连线恰好与实轴垂直ꎻ两渐近线的夹角被坐标轴平分等性质ꎬ运用这些几何性质ꎬ可以灵活解决一些相关的问题.例７㊀(２０１８年高考全国新课标卷第１１题)已知双曲线Ｃ:ｘ２３－ｙ２＝１ꎬＯ为坐标原点ꎬＦ为Ｃ的右焦点ꎬ过点Ｆ的直线与两渐近线交于ＭꎬＮ两点ꎬ若әＯＭＮ为直角三角形ꎬ则｜ＭＮ｜＝(㊀㊀).Ａ.３２㊀㊀Ｂ.３㊀㊀Ｃ.２３㊀㊀Ｄ.４分析㊀由题意得ꎬＯＭʅＭＮꎬ即直线ＭＮ与渐近线垂直ꎬ从而可以写出直线ＭＮ的方程ꎬ再分别与两渐近线方程联立就得ＭꎬＮ两点坐标ꎬ最后借助两点间距离公式求出｜ＭＮ｜ꎬ但显然求出交点再算距离的代数运算相对复杂ꎬ用几何方法则可简化运算.由题意ꎬＯＭʅＭＦꎬ则根据性质可知｜ＦＭ｜＝ｂ＝１ꎬ｜ＯＭ｜＝ａ＝３.又由øＭＯＮ＝２θ＝π３ꎬ则在ＲｔәＭＯＮ中ꎬ｜ＭＮ｜＝｜ＯＭ｜ ｔａｎπ３＝３ꎬ故选Ｂ.例８㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的右焦点关于一条渐近线的对称点恰好在另一条渐近线上ꎬ则双曲线的离心率为.图２分析㊀如图２ꎬ根据题意ꎬ可以求出焦点Ｆ关于９渐进线ｙ＝ｂａｘ的对称点Ｐ的坐标ꎬ再代入另一条渐近线方程ｙ＝－ｂａｘ中ꎬ但求对称点的代数运算相对复杂ꎬ会导致此题 小题大做 .若能运用几何性质ꎬ根据点Ｆ与点Ｐ关于渐近线对称ꎬ则øＰＯＨ＝øＦＯＨꎬ再由两渐近线关于ｘ轴对称ꎬ则øＦＯＨ＝π３ꎬ则ｋ＝３ꎬ即ｂａ＝３ꎬ所以ｅ＝２ꎬ题目实现 秒杀 .例９㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的右焦点为Ｆ２ꎬ点ＭꎬＮ在双曲线的同一条渐近线上ꎬＯ为坐标原点.若直线Ｆ２Ｍ平行于另一条渐近线ꎬ且ＯＦ２ʅＦ２Ｎꎬ｜Ｆ２Ｍ｜＝５２｜Ｆ２Ｎ｜ꎬ则双曲线的渐近线方程为.图３分析㊀根据题意ꎬ可以求出ＭꎬＮ两点的坐标ꎬ进而表示出｜Ｆ２Ｍ｜与｜Ｆ２Ｎ｜的长度ꎬ再列式求解ꎬ但计算比较复杂.若用几何方法ꎬ如图３ꎬ根据两渐近线与ｘ轴夹角相同且Ｆ２Ｍ平行于另一条渐近线ꎬ可得øＦ２ＯＭ＝øＭＦ２Ｏꎬ即әＭＯＦ２为等腰三角形ꎬ过点Ｍ作ＭＥʅＯＦ２于点Ｅꎬ则点Ｅ为ＯＦ２中点且ＮＦ２ʊＭＥꎬ则｜ＮＦ２｜＝２｜ＭＥ｜.从而根据｜Ｆ２Ｍ｜＝５２｜Ｆ２Ｎ｜可得到｜ＯＭ｜＝５｜ＭＥ｜ꎬ即ｔａｎøＭＯＥ＝１２ꎬ渐近线方程为ｙ＝ʃ１２ｘꎬ问题得到巧妙化简.例１０㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左焦点为Ｆꎬ过Ｆ作一条渐近线的垂线ꎬ与两渐近线交于点ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＦң＝２ＦＢңꎬ则双曲线Ｃ的离心率ｅ为.分析㊀根据题意ꎬ由ＡＦң＝２ＦＢңꎬ可得到ｙ１＝－２ｙ２ꎬ可以由直线与两条渐近线方程联立ꎬ求出两点的纵坐标后再列式求解ꎬ但显然求交点的代数运算相对复杂.用几何方法ꎬ由性质可知ꎬ｜ＦＢ｜＝ｂꎬ｜ＯＢ｜＝ａꎬ由于ＯＦ是øＢＯＡ的平分线ꎬ根据角平分线性质ꎬ则｜ＦＢ｜｜ＦＡ｜＝｜ＯＢ｜｜ＯＡ｜ꎬ从而在ＲｔәＡＯＢ中ꎬ｜ＡＢ｜＝３ｂꎬ｜ＯＡ｜＝２ａꎬ｜ＯＢ｜＝ａꎬ由勾股定理可得４ａ２＝９ｂ２＋ａ２ꎬ从而ｅ＝２３３ꎬ问题得到巧妙解答.３根据题目特点选择合适的方法进行求解例１１㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左焦点为Ｆꎬ过点Ｆ作斜率为１的直线交双曲线的渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＦң＝２ＦＢңꎬ则双曲线Ｃ的离心率ｅ为.分析㊀此题为例１０变式ꎬ我们分别用三种方法求解ꎬ对比运算复杂程度的差异.方法１㊀(直接求交点法)双曲线两渐近线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ直线ＡＢ方程为ｙ＝ｘ－ｃꎬ由ａ>ｂ>０可知ꎬＡꎬＢ位于ｘ轴两侧ꎬ则由ＡＦＢＦ＝２１得ｙＡ＝－２ｙＢ.由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｙ＝ｂａｘꎬìîíïïï解得ｙ＝ｂｃａ－ｂ.由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｙ＝－ｂａｘꎬìîíïïï解得ｙ＝－ｂｃａ＋ｂ.根据ｙＡ＝－２ｙＢꎬ得ｂｃａ－ｂ＝２ｂｃａ＋ｂ.从而得到ａ＝３ｂꎬ则ｅ＝１０３.方法２㊀(韦达定理整体化简)设双曲线两渐近线方程设为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬ直线方程为ｙ＝ｘ－ｃꎬ直线与其交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ由题得ｙ１＝－２ｙ２.０１由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝０ꎬ{联立得(ｂ２－ａ２)ｙ２－２ｂｃ２ｙ＋ｂ２ｃ２＝０.由韦达定理ꎬ得ｙ１＋ｙ２＝２ｂ２ｃｂ２－ａ２ꎬｙ１ｙ２＝ｂ２ｃ２ｂ２－ａ２ꎬìîíïïïï根据ｙ１＝－２ｙ２ꎬ得－ｙ２＝２ｂ２ｃｂ２－ａ２ꎬ－２ｙ２２＝ｂ２ｃ２ｂ２－ａ２.ìîíïïïï从而得到ａ２＝９ｂ２.则ｅ＝１０３.图４方法３㊀(几何法)如图４ꎬ作点Ｂ关于ｘ轴的对称点Ｄꎬ则ＦＢ＝ＦＤꎬøＢＦＯ＝øＤＦＯ＝π４.由此øＡＦＤ＝π２.在ＲｔәＡＦＤ中ꎬＡＦ＝２ＦＤꎬ则ｔａｎøＦＡＤ＝１２.而øＦＯＤ＝π４－øＦＡＤꎬ则ｔａｎøＦＯＤ＝１３.则ｂａ＝１３.从而ｅ＝ｃａ＝１０３.小结㊀第一种方法因为直线的方程比较简单ꎬ所以其与两渐近线联立求交点运算不太复杂ꎻ第二种方法二次方程根与系数关系式法由于韦达定理表示ｙ１㊁ｙ２的不对称式较麻烦ꎬ所以计算没有优势ꎻ用几何法通过转化运算相对较少ꎬ同时在求解过程中我们还可以发现ꎬ点Ｆ的位置没有实质的影响ꎬ由此我们可以得到该问题的一般化描述:已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()ꎬＭ为ｘ轴上一点ꎬ过点Ｍ作斜率为ｋ的直线交双曲线的渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＭＢＭ＝λꎬ求双曲线Ｃ的离心率ｅ.显然当直线的倾斜角不是特殊角时ꎬ几何方法的运算也将变得复杂ꎬ这时三种方法的复杂程度差别不大ꎬ则方法１的思路更简单直接一些.例１２㊀已知Ｐ为双曲线Ｃ:ｘ２３－ｙ２１＝１上一动点ꎬ点Ｐ到双曲线两渐近线的距离分别为ｍꎬｎꎬ则ｍ＋ｎ的最小值为.分析㊀此题几何法不方便解决ꎬ回归到坐标法进行一般化的研究ꎬ设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上的一个动点ꎬ其两条渐近线方程分别为ｙ＝ʃｂａｘꎬ即ｂｘʃａｙ＝０ꎬ则Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)到两渐近线的距离分别为ｍ＝｜ｂｘ０－ａｙ０｜ａ２＋ｂ２ꎬｎ＝｜ｂｘ０＋ａｙ０｜ａ２＋ｂ２ꎬ可以发现ｍ ｎ＝｜ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０｜ａ２＋ｂ２＝ａ２ｂ２ａ２＋ｂ２ꎬ则ｍ＋ｎȡ２ｍｎ＝２ａｂａ２＋ｂ２ꎬ当ｍ＝ｎ时取等号ꎬ则ｍ＋ｎ的最小值为２ａｂａ２＋ｂ２ꎬ此题答案为３.渐近线作为双曲线的重要性质ꎬ其相关问题蕴含了丰富的数形结合㊁等价转化的思想ꎬ对数学运算也有较高的要求ꎬ这就需要我们一方面要锻炼运算能力ꎬ总结运算技巧ꎻ另一方面要多对比一个问题的代数思路与几何思路的差异ꎬ关注不同方法运算复杂程度的区别ꎬ选择合适的方法来针对性解决相关问题.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]１１。
双曲线的像及其性质
双曲线的像及其性质双曲线，作为解析几何中的一个重要概念，具有独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨双曲线的像及其性质，以便更好地理解和应用双曲线。
一、双曲线的定义双曲线是平面上到给定点F1、F2的距离之差等于常数2a的点P的轨迹。
其中F1和F2称为焦点，2a称为双曲线的离心率。
二、双曲线的基本形状双曲线的形状取决于焦点之间的距离和离心率。
当离心率小于1时，双曲线为压缩型，形状接近于两个离心率为1的焦点构成的直线，被称为实双曲线。
当离心率大于1时，双曲线为拉伸型，形状类似于两个离心率为1的焦点构成的直线，被称为虚双曲线。
三、双曲线的像双曲线的像是通过某种变换将双曲线映射到平面上的另一个图形。
常见的双曲线像包括直线、抛物线、椭圆等。
下面将介绍几种常见的双曲线像及其性质。
1. 直线当双曲线的焦点重合于一点时，所得像为直线。
这是双曲线特殊情况的一种，其离心率为0。
直线像具有无限远点的性质，可以无限延伸。
2. 抛物线当双曲线的离心率趋近于1时，所得像为抛物线。
这种情况下，双曲线的形状与抛物线相似，但两者具有不同的焦点和离心率。
3. 椭圆当双曲线的离心率小于1时，所得像为椭圆。
椭圆是双曲线的一种特殊情况，其焦点重合于一点，且离心率小于1。
椭圆像具有封闭形状，且具有对称性。
四、双曲线的性质除了上述介绍的双曲线像外，双曲线还具有许多其他性质，下面将介绍其中几个重要的性质。
1. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与双曲线无穷远处的分支趋于平行。
这两条渐近线的斜率分别为正负无穷大，与双曲线的离心率有关。
2. 双曲线的对称轴双曲线具有对称性，其对称轴与双曲线的中心垂直且通过中心点。
双曲线的对称轴将双曲线分为两个对称的部分。
3. 双曲线的焦点和直径双曲线的焦点与双曲线的离心率及形状有关。
焦点与双曲线的离心率之和等于双曲线的直径。
4. 双曲线的切线双曲线上任意一点处的切线与该点到两个焦点的距离之差等于常数2a的两倍。
切线的斜率与双曲线上该点的导数有关。
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第30练 双曲线的渐近线和离心率问题[题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.常考题型精析题型一 双曲线的渐近线问题例1 (1)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________.(2)(2014·江西)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点).①求双曲线C 的方程；②过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MFNF 恒为定值，并求此定值.点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y ＝±b a x ⇔x a ±y b ＝0⇔x 2a 2－y 2b 2＝0，所以可以把标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程：y ＝b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线方程.变式训练1 (2014·山东改编)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为______________________. 题型二 双曲线的离心率问题例2 (1)(2015·湖北改编)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则下列命题正确的是________. ①对任意的a ，b ，e 1>e 2；②当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2； ③对任意的a ，b ，e 1<e 2；④当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2.(2)已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为________. 点评 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.同时注意双曲线方程中x ，y 的范围问题.变式训练2 (2014·湖南)如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 3、F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且F 2F 4＝3－1. (1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.题型三 双曲线的渐近线与离心率的综合问题例3 (2014·福建)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x . (1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，请说明理由.点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练3 (2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足P A ＝PB ，则该双曲线的离心率是________.高考题型精练1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是__________.2.(2015·镇江模拟)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的________相等.(填序号)①实轴长；②虚轴长；③离心率；④焦距.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为______________.4.以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是________________.5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________.6.(2015·镇江模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________. 7.已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________.8.已知双曲线C 的中心在原点，且左，右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为底边作正三角形，若双曲线C 与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C 的离心率为________. 9.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是____________.10.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝14a 2的切线，切点为E ，直线EF交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是______.11.已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积.12.(2015·盐城模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率.答案精析第30练 双曲线的渐近线和离心率问题常考题型典例剖析 例1 (1)±1解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a,0)，易求B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，则 kA 2C ＝b 2aa －c ，kA 1B ＝b 2aa ＋c ，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即b 2aa ＋c ·b 2aa －c＝－1，∴b 4a 2c 2－a 2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±ba＝±1.(2)解 ①设F (c,0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B (c 2，－c2a)．又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A (c ，ca )，k AB ＝c a －(－c 2a )c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a )＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.②由①知a ＝3，则直线l 的方程为 x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M (2，2x 0－33y 0)；直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)．则MF 2NF 2＝(2x 0－3)2(3y 0)214＋(32x 0－3)2(3y 0)2＝(2x 0－3)29y 204＋94(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)23y 20＋3(x 0－2)2. 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1， 代入上式得MF 2NF 2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)24x 20－12x 0＋9＝43， 即所求定值为MF NF ＝23＝233.变式训练1 x ±2y ＝0解析 由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ，∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2， ∴c 21＝a 2－b 2， ∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－(b a)4， 即1－(b a )4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y 2b 2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0. 例2 (1)④ (2) 2解析 (1)由题意e 1＝ a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ，离心率e 2＝(a ＋m )2＋(b ＋m )2(a ＋m )2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2. 因为b ＋m a ＋m －b a ＝m (a －b )a (a ＋m )，且a >0，b >0，m >0，a ≠b ，所以当a >b 时，m (a －b )a (a ＋m )>0，即b ＋m a ＋m >ba .又b ＋m a ＋m>0，ba >0，所以由不等式的性质依次可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>⎝⎛⎭⎫b a 2,1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，即e 2>e 1；同理，当a <b 时，m (a －b )a (a ＋m )<0，可推得e 2<e 1.综上，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2.(2)如图，设OF 的中点为T ，由(AO →＋AF →)·OF →＝0可知AT ⊥OF ， 又A 在以OF 为直径的圆上，∴A ⎝⎛⎭⎫c 2，c 2， 又A 在直线y ＝ba x 上，∴a ＝b ，∴e ＝ 2.变式训练2 解 (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝F 2F 4＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)， 故可设直线AB 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.易知此方程的判别式大于0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根， 所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M (－2m 2＋2，mm 2＋2)，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x .由⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2，从而PQ ＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ， 则点B 到直线PQ 的距离也为d ， 所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧， 所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0， 于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2| ＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|， 从而2d ＝(m 2＋2)|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4.故四边形APBQ 的面积S ＝12·PQ ·2d ＝22·1＋m 22－m 2＝22·－1＋32－m 2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2. 例3 解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a＝2， 所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ， 从而双曲线E 的离心率e ＝c a＝ 5. (2)方法一 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则OC ＝a ，AB ＝4a .又因为△OAB 的面积为8，所以12·OC ·AB ＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C (－mk ，0)．记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k ，同理，得y 2＝2m 2＋k . 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得 12|－mk |·|2m 2－k －2m2＋k |＝8，即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)．又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1. 方法二 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1. 设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得－12<m <12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t 1－2m ， 同理，得y 2＝－2t 1＋2m. 设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)．由S △OAB ＝12·OC ·|y 1－y 2|＝8，得 12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8. 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a 2＝1，得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1. 变式训练3 52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm 3b －a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b )， 所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a2)． 设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为P A ＝PB ，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52. 常考题型精练1.⎝⎛⎭⎫－33，33 解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 2．③解析 双曲线C 1：e 21＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ，双曲线C 2：e 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ， ∴C 1，C 2的离心率相等．3.x 25－y 24＝1 解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ， 圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1. 4．x 2＋y 2－10x ＋9＝0解析 由于右焦点(5,0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝205＝4， 所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆．即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0. 5.233或2 解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a ＝c 2a 2＝ a 2＋b 2a 2 ＝1＋(b a )2＝233或2. 6. 2解析 取双曲线的渐近线y ＝b a x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－a b(x －c )，可解得点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝c a＝ 2. 7．x 2－y 23＝1 解析 由y 2＝8x,2p ＝8，p ＝4，∴其准线方程为x ＝－2，即双曲线的左焦点为(－2,0)，c ＝2，又e ＝2，∴a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 8.3＋1解析 设以F 1F 2为底边的正三角形与双曲线C 的右支交于点M ，则在Rt △MF 1F 2中，可得F 1F 2＝2c ，MF 1＝3c ，MF 2＝c ，由双曲线的定义有MF 1－MF 2＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 9．(2，＋∞)解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，设直线方程为y ＝b a(x －c )，与y ＝－b a x 联立求得M ⎝⎛⎭⎫c 2，－bc 2a ，因为M 在圆外，所以满足MF 1→·MF 2→>0，可得－34c 2＋⎝⎛⎭⎫bc 2a 2>0，解得e ＝c a>2. 10.102解析 设双曲线的右焦点为F 1，连结PF 1.由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP 的中点． 又O 是FF 1的中点，∴OE ∥PF 1，且OE ＝12PF 1，易知OE ⊥FP ，∴PF 1⊥FP ，∴PF 2＋PF 21＝FF 21，PF 1＝a ，PF ＝2a ＋PF 1＝3a ，∴9a 2＋a 2＝(2c )2，∴c a ＝102. 11．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m >0，n >0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n . 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45. 又OA ＝5m ，OB ＝5n ，∴S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin 2θ＝2mn ＝2. 12．解 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0.① 依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ， ∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，c 2，代入双曲线方程得 34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2.② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0.∵e >1，∴e ＝2， ∴双曲线的离心率为 2.。