曲面特征
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
第7章 曲面特征
镜像
将现有的曲面以一个平面为镜像面， 将现有的曲面以一个平面为镜像面，镜像至 平面的另一侧。 平面的另一侧。
偏移
将一个现有曲面，偏移一定距离。 将一个现有曲面，偏移一定距离。选取面组 上的一个曲面，然后选择【编辑】 【偏移】 上的一个曲面，然后选择【编辑】/【偏移】，打 开图标板。 开图标板。 共有4种类型的偏移：标准偏移特征、 共有 种类型的偏移：标准偏移特征、具有拔 种类型的偏移 模特征、展开特征、替换曲面特征。 模特征、展开特征、替换曲面特征。
3
创建填充曲面 填充曲面 • 填充曲面也称平整曲面，从实际效果来看是平 填充曲面也称平整曲面 面，通常用于创建一个曲面两端的封口曲面 通常用于创建一个曲面两端的封口曲面。 • 【编辑】/【填充】，打开设计图标板 打开设计图标板，在设计 工作区中长按鼠标右键，在弹出的快捷菜单中 工作区中长按鼠标右键 选取【定义内部草绘】 】选项，然后选取草绘平 面，在草绘平面内绘制剖面图 在草绘平面内绘制剖面图 剖面图后，即可生成需 要的填充曲面。 必须是一封闭的图形
替换型偏移必须是曲面替换实体表面， 替换型偏移必须是曲面替换实体表面，如果两个都是 曲面替换实体表面
曲面加厚
加厚是通过对曲面面壁增加一定的厚度， 加厚是通过对曲面面壁增加一定的厚度，使其转换 为具有实际意义的实体模型。 为具有实际意义的实体模型。 选取曲面，选择【编辑】 【加厚】 选取曲面，选择【编辑】/【加厚】 一般来说，任意曲面特征都可以构建薄板特征， 一般来说，任意曲面特征都可以构建薄板特征，当 然对于特定曲面来说， 然对于特定曲面来说，不合理的薄板厚度也可能导致构 建薄板特征失败。 建薄板特征失败。
2） 与实体特征无缝接合的曲面的实体化 •
• • •
机械制图的几种直纹曲面
直纹曲面未来的发展趋势
随着计算机技术的发展，直纹曲面技术的应用范围将越来 越广泛。未来，直纹曲面技术将与计算机辅助设计、计算 机辅助制造等软件进行更深入的集成，实现更加高效、精 确的设计和制造。
详细描述
圆柱面是一种常见的直纹曲面，其特点是具有旋转对称性。在机械制图中，圆 柱面广泛应用于各种机械零件的绘制，如轴、轮毂、凸轮等。圆柱面的绘制关 键是确定圆柱面的半径和高度。
圆锥面
总结词
圆锥面是由一条直母线沿着两条固定的曲线（即导线和副导线）移动形成的曲面 。
详细描述
圆锥面也是一种常见的直纹曲面，其特点是具有轴对称性。在机械制图中，圆锥 面常用于表示钻头、车刀等机械零件的形状。绘制圆锥面时，需要确定圆锥面的 顶点和底面半径。
抛物面
总结词
抛物面是由一条直母线沿着一条曲线 （即导线）移动，同时母线本身还绕 着另一条直线（即副导线）旋转形成 的曲面。
详细描述
抛物面在机械制图中也有广泛应用， 如用于表示反射镜、天线等零件的形 状。抛物面的绘制需要确定导线的形 状和位置，以及母线旋转的轴线。
双曲面
总结词
双曲面是由两条交叉的固定曲线（即导线和副导线）形成的 曲面。
通过直纹曲面，可以精确地描 述建筑结构的几何特征，为结 构分析和优化提供基础数据。
在分析过程中，需要考虑建筑 结构的材料属性、受力情况和 稳定性等因素，选择合适的直 纹曲面进行分析。
航空航天领域的应用
直纹曲面在航空航天领域中应用 广泛，如飞机机翼、火箭发动机
第8讲proe 曲面特征
创建混 合曲面
3.3
在曲面间混合
该工具能够以曲面的边界为混合参照对象，然后在 边界之间创建出与参照曲面成相切关系的混合曲面。
选择两参 照曲面 创建混 合曲面
使用该工具，只有所指定 的参照曲面之间存在公共 切面的情况时，才可以创 建出曲面间的混合曲面
3.4
圆锥曲面和N侧曲面
1. 圆锥曲面 圆锥曲面可以定义两条曲线为曲面边界，然后添加一 条曲线为曲面凸起或凹陷的控制曲线，具有圆锥参数特征 的特殊曲面。 1.定义边 圆锥曲线效果
拉伸曲面
3.创建拉 伸曲面
拉伸曲面与实体的创建 相同，但其截面可以是 开放的或封闭的，且可 含有相交图元
2.2
1.绘制 旋转截 面草图
旋转曲面
2.定义 旋转轴
4.创建旋 转曲面
3.设置旋 转参数
旋转曲面与旋转实体的创建 相同，但其截面可以开放或 封闭，且该截面可含有相交 图元
2.3
扫描曲面
1.定义轨 迹曲线
控制网 格效果
输入两个方向 网格线号数
3. 操作 在【操作】选项中，可 以定义拖动控制点移动的方向 参照，并可以利用直接拖动控 制点或拖动滑块的方式调整所 指定控制点的移动距离、还能 够定义控制点对曲面受影响区 域的影响情况。此外，还可以 利用各类诊断工具显示曲面的 不同效果。
移动平面 在此选项组中，可以定 义控制点移动的参照平面类型。
1. 基准曲面 基准曲面是创建自由形状曲面的基 础参照曲面，该曲面可以是拉伸、边界 混合等任何形式的曲面对象。选择图中 现有的曲面即可指定参照基准曲面。 2. 网格 可以在所选基准面 的两个方向上，以输入 线号的方式定义所创建 自由曲面的控制网格， 数越大，网格越密，相 应的控制精度越高。
中文版Creo-3.0基础教程-第6章-曲面设计
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曲面造型的功能主要用于创建异型零件。对于简单、规则的零件，直接通过 实体建模的方式就可以创建。但对于一些表面不规则的异型零件，通过实体建 模方法创建就比较困难。此时便可以构建零件的轮廓曲线，由曲线创建曲面， 并将曲面转化为实体。
曲面特征设计 曲面面组控制
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பைடு நூலகம்
拉伸曲面是一种垂直于草绘平面的曲面。其中，曲面的外形由绘制的截面曲 线决定，曲面的宽度由指定的拉伸深度确定。 利用“拉伸”工具可以在垂直于草绘平面的方向上将已绘制的截面拉伸指定 深度，创建拉伸曲面。
创建拉伸曲面
创建拉伸修剪曲面
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旋转曲面是将草图截面沿中心 线旋转而创建的曲面特征。其中 ，绘制的旋转截面可以开放也可 以封闭。
切换模型树为层显示状态
隐藏所选层
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2. 为面组分配颜色 指定一种现有的自定义颜色， 并将该颜色分配到面组或曲面的 指定边，从而提高曲面面组的显 示效果。
赋予面组指定颜色
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3. 为面组和曲面设置网格显示 在创建复杂的模型时，曲面和面组的数量比较多，容易造成视图显示混 乱，影响做图的准确性。将曲面设置为网格显示，就可以加大曲面的显示 差异，提高图形的显示效果。
应用硬皱褶
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镜像自由式曲面
对齐网格元素
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利用该工具可以从边或曲线创建与曲面相切的拔模曲面即混合曲面。创建该 特征必须首先指定参照曲线（拔模曲线）和参照曲面。
创建扫描曲面
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认识简单的空间几何多面体与曲面的特征
认识简单的空间几何多面体与曲面的特征空间几何是研究物体的形态、结构以及它们之间的关系的一门学科。
而多面体和曲面则是空间几何中的两个重要概念。
多面体是由若干个平面多边形组成的立体图形，而曲面则可以理解为平面在空间中的延伸。
在本文中，我们将探讨简单的空间几何多面体和曲面的特征。
一、空间几何多面体的特征空间几何多面体是由一系列平面多边形组成的立体图形。
它们具有以下几个特征：1. 边界特征：多面体的边是由直线段连接多边形的顶点而成。
边界特征决定了多面体的外形和结构。
2. 定点特征：多面体的定点是多边形的顶点，它们是多面体中最重要的要素之一。
3. 面特征：多面体的面是由多边形围成的表面。
它们是多面体的外部边界，决定了多面体的外观。
4. 顶角特征：多面体的顶角是由三条边共同形成的角度。
顶角特征直接关系到多面体的稳定性和形状。
二、空间几何曲面的特征空间几何曲面是平面在空间中的延伸，它们具有以下几个特征：1. 局部平面特征：曲面可以局部上看作平面，与平面的性质相似，可以进行平面几何运算。
2. 曲率特征：曲面的曲率决定了曲面的弯曲程度。
曲率特征直接关系到曲面的形状和光学性质。
3. 方程特征：曲面可以通过方程进行表示，不同的曲面方程描述了不同的形状和结构。
4. 表面特征：曲面的表面是由一系列点组成，构成了曲面的外观。
表面特征决定了曲面的光滑度和质感。
三、多面体与曲面的联系与区别多面体和曲面都是空间几何中的重要概念，它们之间有着联系和区别。
1. 联系：多面体可以被看作是由一系列平面多边形组成的立体图形，而曲面可以通过平面进行延伸得到。
在某种程度上，多面体可以被看作是曲面的一种特殊情况。
2. 区别：多面体由于是由平面多边形组成的，所以它的边界是由直线段连接顶点而成的直线段。
而曲面则可以具有不同的形状，边界可以是曲线、圆弧等。
综上所述，空间几何多面体和曲面是空间几何中的两个重要概念。
多面体是由平面多边形组成的立体图形，而曲面是平面在空间中的延伸。
第三单元 拉伸特征
“使用边/偏距”用于选取使用
及
按钮所定义的参
照。
“所有无量纲的参照”用于选取所有的非尺寸参考。 “链参照”用于选取串连边参考。 “所有参照”用于选取全部参考。
图 3-15
三、创建拉伸特征的一般步骤
3.绘制特征截面
⑷绘制特征截面或调取已有截面作为当前 的特征截面，之后单击 按钮结束截面绘制。
参考平面朝向“右”
二、拉伸特征的操作功能介绍
1.拉伸特征操控面板
拉伸特征的很多操作命令都被集中到图3-4所示
拉伸特征操控板中，这样提高了操作的便捷性。
实 体 拉 伸
曲 面 拉 伸
深 度 选 项
深 度 定 义 框
反 转 特 征 创 建 方 向
去 除 材 料
薄 体 拉 伸
薄 体 厚 度 定 义 框
切 换 薄 体 厚 度 方 向
一、零件建模基本概念
2.基准显示设置
在默认基准平面的相交处有一个由3小段不同颜色 的单向线标定的旋转中心，单向线相互正交，分别与 对应的基准平面垂直，单向线端点处的小球分别位于
各自的正向端，其中红色单向线表示x方向，绿色单向
线表示y方向，蓝色单向线表示z方向。
说明：在Pro/E中，通过单击工具栏中 、 按钮来 切换各类基准特征和旋转中心显示与否。同时，选择【视图】 →【显示设置】→【基准显示】命令，利用弹出的“基准显示” 对话框对模型的各类基准特征和旋转中心的显示进行合理设置。
拉伸特征是Pro/E中最基础的特征之一，从运动规
律来说，拉伸特征的截面沿直线移动且与直线垂直。本
单元介绍了创建拉伸特征的基本方法和一般步骤。主要 介绍内容如下： 1.草绘平面和参考平面的选择方法； 2.拉伸特征操作功能介绍；
曲面特征基本操作
3
在“在轨迹起始输入节距值” 文本框和“在轨迹末端输入 节距值”文本框中各输入一 个数值，并确认
选择“定义”>“添加点” 命令
4
5
在工作区单击轨迹线上的节点 （该节点已经在扫描轨迹中定 义），然后在出现的“输入节距 值”文本框中输入数值来控制曲 线
通过输入节 点数值来控 制曲线
6
接下来绘制出螺旋扫描截面， 确认即可生成变螺距的螺旋 扫描曲面特征
“约束”上滑面板用来对 曲面的边界进行设置， 用来创建与其他曲面相 关的曲面。边界条件包 括“自由”、“切线”、 “曲率”和“垂直”等
在“控制点”上滑面板 中，可以设置同一个方 向上的曲线之间的连接 方式，比如通过点连接、 通过弧线连接等
使用“选项”上滑面板可 以添加拟合曲线，设置相 关参数，调整曲面的形状。 “平滑度”因子用来控制 曲面的平滑程度。在方向 上的曲面片的片数影响曲 面的精度
2
从工作区中单击选取一个基准平面作为草 绘平面（这里选择“FRONT”平面），弹 出菜单管理器的“方向”菜单栏
4
3
在弹出的“设置平 面”菜单栏中，保 持默认项不变
5
选择“正向”菜 单
6
在弹出的菜单管理器的 “草绘视图”菜单栏下选 择“缺省”，进入草绘模 式
7
在草绘模式下绘制出第 一个剖面图
8
选择“草绘”>“特征 工具”>“切换剖面” 菜单，然后绘制第二 个剖面
3
在草绘模式下，绘制一条中心线， 并在中心线的一侧绘制一条曲线 （即曲面的剖面图），然后单击 草绘工具栏中的“继续当前部分” 按钮，进入旋转曲面特征的生成 界面
4
在“旋转工具”控制面板中 指定曲面的旋转类型为“从 草绘平面以指定的角度值旋 转”，并在“旋转角度值” 文本框中输入“360”（默认 值）
第十三单元 边界混合曲面特征
以图13-17所示的延伸曲面，采用拉伸的方法进行修剪 操作，操作步骤见图13-17。
六、创建边界混合曲面特征注意事项
1. 创建边界混合曲面前，必须先绘制出曲面的边界线及中间影响线； 2. 选取不同方向的边界线时，其中第一方向至少要选取两根边界曲线。
允许只有第一方向的边界曲线而无第二方向的边界曲线； 3. 选取边界曲线时应注意选取的先后顺序。如果有两个方向的边界线，
零件模型创建的具体 过程如右图所示。
三、创建要点和注意事项
1.步骤2中的三段圆弧必须保持相切关系, R20圆弧的圆心必须在 FRONT面上 。
3. 步骤5所创建两段圆弧中，一段圆弧的半径为R55，另一段圆弧一端 与R55圆弧保持相切，另一端与步骤1中所创建的R6圆弧端点重合， 在草绘该圆弧前应选择R6圆弧为参照，便于准确捕捉到端点。
在相邻特征边界处的连接 形式 。
约束条件--包括自由、切线、曲率
和垂直。如图13-5所示。
(四) 【控制点】选项功能简介
功能---如边界曲线段数太多,形成的曲面可能会发生扭曲，
通过该选项选择相适应的点进行连接，可以避免 曲面发生扭曲。
如图13-7所示为不同的连接点方式产生不同的效果。
二、创建边界混合特征的操作步骤
三、曲面的合并
（一）曲面合并的主要功能
在创建复杂零件实体时，往往需要先建构多个简单曲面，然后将多 个简单曲面合并成一个面组，最后将面组实体化。
曲面合并示例
（二）曲面合并操控面板简介
（三）曲面合并的一般操作步骤
以图13-11a为例介绍曲面合并的操作步骤：
1. 选择需合并的两曲面 → 菜单【编辑】→【合并】 → 弹出合并操控面 板。
2. 单击面板上转换按钮或图形上黄色箭头，选择需保留的曲面侧。 3. 单击图标 ，完成曲面合并。
§8 特殊曲面的曲率特征
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§8 特殊曲面的曲率特征按照本章前面所建立的一般理论，本节将作一些具体讨论．一．可展曲面的曲率特征根据§5和§6的理论已经知道（参见§5例1和§6习题1），对可展曲面，直母线既是渐近曲线也是曲率线，并且过非脐点处的另一族曲率线是直母线的正交轨线；可展曲面的Gauss 曲率处处为零．换个角度来看，若按Gauss 曲率来衡量曲面的弯曲程度，则可展曲面是“平坦”的．这种看法与可展曲面局部等距对应于平面是相互印证的，这个现象的理论意义将在以后深入考虑．这里考虑其逆命题是否成立，即Gauss 曲率处处为零的曲面是否可展．定理1 若无脐点的曲面 S 的Gauss 曲率 K ≡ 0 ，则 S 可展．证法分析 不妨在正交曲率线网 (u 1, u 2) 下考虑，即设 F = M ≡ 0 ，且 W (r 1) = - n 1 = κ1r 1 ≠ 0 , W (r 2) = - n 2 = κ2r 2 ≡ 0 ,κ1 = L E ≠ 0 , κ2 = N G≡ 0 ． 由可展定义，要证明：① u 2 线是直线；② S 的切平面沿 u 2 线重合．其中若能证明第①条，则第②条是显然的．为证第①条，只要等价证明 u 2 线的单位切向与 u 2 无关，即 r 2 |r 2|只与 u 1 有关．现在容易知道的是 n 只与 u 1 有关，进而 n 1 也只与 u 1有关；由此可以考虑利用它们表示出 r 2 |r 2|． 证明 因曲面 S 无脐点，故存在正交曲率线网 (u 1, u 2) 使Weingarten 公式化为 n 1 = -κ1r 1 , n 2 = -κ2r 2 ．而Gauss 曲率 K = κ1κ2 ≡ 0 ，不妨设 κ2 ≡ 0 , κ1 ≠ 0 ，则有图4-6n1=-κ1r1≠0 , n2=-κ2r2≡ 0 ．此式说明n只与u1有关，可记为n=n(u1) ，从而n沿u2线平行，并且n1 =n1(u1) ≠0．注意到n1∥r1 , r2•r1≡ 0 , r2•n≡ 0 ，便得r2 |r2|=n⨯r1|r1|=-sgn(κ1) n⨯n1|n1|，此式右端只与u1有关，从而u2线是直线，曲面是直纹面且可展．□推论1对于无脐点的曲面，可展的充要条件是其Gauss曲率K≡ 0 ．二．曲面面积的第一变分公式肥皂膜的均匀张力通常使膜的表面达到一种极小面积值所对应的稳定状态．对于此种状态及其推广情形的研究，是近代和现代微分几何学中较为活跃和有意义的分支之一．为了考察曲面形变对于其面积的影响，可以利用变分法对于其面积进行一般化的讨论．下面将讨论较为简单的情形，对应的几何直观可以参照鼓膜的振动．考虑具有固定边界曲线的单参数正则曲面族Sβ :rβ: U→E3(u1, u2) →rβ(u1, u2) =ρ(u1, u2; β) ,β∈(-ε, ε) ，其中U⊂R2是具有光滑边界曲线的有界区域，并且假设ρ关于β∈(-ε, ε) 也是连续可微的，ε是某个正数．记曲面S=S0: r=r(u1, u2) =ρ(u1, u2; 0) ，通常称曲面族 { Sβ|β∈(-ε, ε)} 是曲面S的一个变分族．取曲面S的单位法向n=n(u1, u2) ，则曲面Sβ可表示为(8.1)ρ(u1, u2; β) =r(u1, u2) +μ(u1, u2; β) n(u1, u2) ，μ(u1, u2; 0) ≡ 0 ，其中μ(u1, u2; β) 是连续可微的，并且通常称其为曲面S的一个法向变分函数．为考虑曲面S的面积变分，首先表示出曲面Sβ的面积为(8.2)A(β) =A(Sβ) =⎰⎰U dσβ=⎰⎰U|ρ1⨯ρ2| d u1d u2，从而转化成考虑曲面S的面积的第一变分 d A(β)dβ|β= 0= ? 下列引理中的公式(8.3) 称为曲面面积的第一变分公式．引理对于上述曲面族 { Sβ|β∈(-ε, ε)} ，成立(8.3) d A(β)dβ|β= 0=-2⎰⎰U(∂μ∂β|β= 0)H dσ，其中H和 dσ分别为S的平均曲率和面积元素．证明由 (8.1) 式求导得ρi=r i+μi n+μn i=r i+μi n-μωi j r j , i= 1, 2 ，故有ρ1⨯ρ2= (r1+μ1n-μω1j r j)⨯(r2+μ2n-μω2j r j)= [(1 -μω11)r1-μω12r2+μ1n)]⨯[-μω21r1+ (1 -μω22)r2+μ2n]= [(1 -μω11)(1 -μω22) -μ2ω12ω21] r1⨯r2+ [(1 -μω11)μ2+μ1μω21] r1⨯n+ [(1 -μω22)μ1+μ2μω12] n⨯r2= [1 - 2Hμ+Kμ2] r1⨯r2+ [(1 -μω11)μ2+μ1μω21] r1⨯n+ [(1 -μω22)μ1+μ2μω12] n⨯r2．又由于μ(u1, u2; 0) ≡ 0 ，从而μ1(u1, u2; 0) ≡ 0 , μ2(u1, u2; 0) ≡ 0 ，故有(ρ1⨯ρ2)|β= 0=r1⨯r2 ,(∂∂β(ρ1⨯ρ2))|β= 0=-2 (∂μ∂β|β= 0)H r1⨯r2+ (μ2β|β= 0) r1⨯n+ (μ1β|β= 0) n⨯r2．进一步，注意到(∂∂β|ρ1⨯ρ2|)|β= 0=∂∂β(|ρ1⨯ρ2|2)2|ρ1⨯ρ2|2|β= 0=(∂∂β(ρ1⨯ρ2)•(ρ1⨯ρ2))|β= 0|r1⨯r2|=(∂∂β (ρ1⨯ρ2))|β= 0•n，则有(∂∂β|ρ1⨯ρ2|)|β= 0=-2 (∂μ∂β|β= 0)H|r1⨯r2|，d A(β) dβ|β= 0=⎰⎰U(∂∂β|ρ1⨯ρ2|)|β= 0 d u1d u2=⎰⎰U-2 (∂μ∂β|β= 0)H|r1⨯r2| d u1d u2=-2 ⎰⎰U (∂μ∂β|β= 0)H dσ．□当曲面S没有脐点时，上述计算可在曲率线网之下简化．曲面面积的第二变分公式较为复杂，有兴趣的读者可阅读相关专业文献．三．极小曲面定义若曲面的平均曲率恒为零，则称之为极小曲面．从曲面面积的第一变分公式易见，极小曲面在其任意一个变分族中达到面积变分的逗留值，从而成为变分族中具有最小面积值的曲面的候选对象．反之，若曲面S的平均曲率不恒为零，不妨设点P0∈S使H(P0) > 0 ，则存在点P0在参数平面上的小邻域U0⊂⎺U0⊂U和连续可微函数h使H(P) > 0 , ∀P∈U0 ;h(P0) > 0 ; h(P) {≥ 0 , P∈U0 ;= 0 , P∈U-U0 .构造曲面S的法向变分函数μ(P; β) =β h(P) ，则使-2 ⎰⎰U (∂μ∂β|β= 0)H dσ=-2 ⎰⎰U0hH dσ< 0 ．于是得到下列定理和推论．定理2曲面S为极小曲面的充要条件是S的面积在其任意变分族中总达到逗留值．推论2若曲面S的面积在其任意变分族中达到最小值，则S必为极小曲面．在一些特定条件下，确定极小曲面的过程可以转化为求解微分方程的过程，有时可以由平均曲率为零而得到比较容易求解的常微分方程．习题⒈证明双曲抛物面不可展．⒉证明单叶双曲面不可展．⒊对于无脐点的极小曲面S，试证：①S的Gauss曲率K< 0 ；②S的渐近曲线族构成正交参数网．⒋对于正则旋转面S: r(u, v) = ( v cos u , v sin u , f(v) ) ，试证：①若S可展，则或为平面，或为圆锥面；②若S极小，则或为平面，或为悬链面 (v cos u , v sin u , ±a ln(v+v2-a2 ) ) ．⒌对于Ennerper曲面S: r= (3(1+v2)u-u3, 3(1+u2)v-v3, 3(u2-v2)) ，试证：①S极小；②S的曲率线都是平面曲线．⒍对于正螺面S: r= ( v cos u , v sin u , b u ) , b= const. ≠ 0 ，试证：①S极小；②若极小直纹面无脐点，则必为正螺面．⒎证明直角坐标系O-xyz下的下列曲面是极小曲面：①z=a arctg yx , a= const. ≠ 0 ；②Scherk曲面z=1a lncos aycos ax , a= const. ≠ 0 ．⒏设直角坐标系O-xyz下的平移曲面z=ϕ(x) +ψ(y) 是极小曲面，证明其在相差一个常数的意义下可写为上题中的Scherk曲面．⒐已知曲面S: r=r(u1, u2) 的第一基本形式 d s2 =ρ2[(d u1)2+(d u2)2] , ρ=ρ(u1, u2) > 0 ．记∆=∂2(∂u1)2+∂2(∂u2)2，试证：曲面S极小的充要条件为∆r = 0．⒑设曲面S按Gauss映射的对应关系共形（即第一基本形式成比例）对应于单位球面．试证：S或为极小曲面，或为球面．。
Solidworks曲面造型教程
（二）使用引导线扫描曲面 1.绘制引导（一条或两条）。 2. 绘制路径线。 3.用垂直路径线曲线，生成基准面。 4.在该基准面上画轮廓图。 5.编辑引导线：定义引导线与轮廓草图上的一点 “穿透”（几何关系。) 5.扫描
建立样条曲线（引导线）的另一种方法：用一系列型值 点生成 插入——曲线——通过xyz点的曲线 输入完毕可保存为*.sldcrv文件
（三）使用中心线放样：
1.先画两个或两个以上的轮廓草图。 2.在以轮廓草图垂直的基准面上画中心线， 要与轮廓草图内部相交。 2.设置中心线参数，放样曲面。 3.预览截面形状，先可设置“截面数”， 再按显示截面按钮，按上下箭头，动态显 示截面变化步骤。
七.剪裁曲面
指沿曲面相交的边界将曲面上不需要 的部分去掉。 1.用曲面特征生成两张相交的曲面； 2.插入——曲面——剪裁； 3.设置选项 4.确定剪裁
第四讲 曲面特征造型
湖南农业大学工学院——杨文敏
一.曲面造型 工具：
拉伸曲面 旋转曲面 扫描曲面 放样曲面 平面区域 充填曲面 等距曲面 直纹曲面 删除面 替换面 缝合曲面 延伸曲面 裁剪曲面 解除裁剪曲面 圆角
二.平面区域
由一个2D草图或在零件上的一 个封闭环生成一个有限边界组成的 平面表面。
十.缝合曲面
指将两张或两张以上曲面组合在一起。 条件是：多张曲面边线必须重合且不 重叠，但不一定在同一基准面上。 与圆角混合曲面的不同：混合曲面在 多张曲面的结合处，曲面边线不重合。
十.等距曲面
复制出与源曲面各法向方向等距的曲 面
十一.加厚曲面
实质：可将曲面转化为实体。
菜：插入——基体——加厚
3.删除曲面上的孔
方法：选中孔的边界，从右键菜单，单击“删除”—— “删除孔”
曲面的概念
曲面的概念
一、曲面的定义
曲面是一种几何对象，它是一个二维的、连续的、可无限延伸的形状。
曲面在三维空间中，由其上的点集合形成，这些点在三维空间中分布并不均匀。
曲面的形状可以千变万化，包括平面、球面、环面、柱面、锥面等等。
二、曲面的分类
1. 规则曲面：由公式或者解析几何方法定义的曲面，如球面、柱面、锥面等。
2. 不规则曲面：由测量数据或者数值计算方法生成的曲面，如地形表面、零件的表面等。
三、曲面的性质
1. 连续性：曲面上的任意两点之间存在一条连续的曲线。
2. 二维性：曲面总是嵌入三维空间中，它只有两个方向。
3. 边界性：曲面总是有边界或者边缘，这些边界或者边缘可能是直线、曲线或者其他形状。
四、曲面的应用
1. 工程设计：在机械工程、汽车设计、航空航天等领域中，曲面被广泛应用于产品的外形设计和优化。
2. 计算机图形学：在计算机图形学中，曲面被用于创建各种形状的模型，包括人物、场景等。
3. 地理信息科学：在地理信息科学中，曲面被用于表示地球表面和其他地理特
征的形状。
4. 物理建模：在物理建模中，曲面被用于描述物理现象在空间中的分布，如电磁场、温度场等。
五、曲面的研究方法
1. 微积分学：通过微积分学的方法，可以研究曲面的几何性质和曲线之间的关系。
2. 解析几何：解析几何是研究曲面的重要工具，通过坐标系和方程式来描述和解析曲面的形状。
3. 数值计算：对于不规则的曲面，通常需要使用数值计算的方法来生成和模拟。
第10讲-曲面特征(一)
10-12
步骤13：将曲面模型转换为实体模型：依次选取【创建】 /【实 体】/【加材料】/【使用面组】/【实体】选项，将曲面模型转换 为实体模型
10-13
§10.2.2 由曲线创建曲面特征
例10-2 由基准曲线创建曲面：以图10-6中的6条曲线创建混 合曲面。
图10-6 例10-2题图
10-14
注意：当零件为实体模型时，【实体】/【倒圆 角】构建出“实体”的圆角特征，而【曲
偏距方向
步骤9：复制曲面：依次选取 【创建】 /【曲面】/【复制】选 项，复制零件顶面的9个面
步骤10： 偏距曲面：选取【新 建】 /【偏距】选项，选取上一 步复制的曲面作偏距，距离为 1
10-3
§10.2.1 直接创建曲面特征
在【曲面选项】菜单中列出了第 1 次创建曲面特征的方法， 其中【拉伸】、【旋转】、【扫描】、【混合】选项是与创建 实体特征的相同做法来创建曲面特征，在此不再多述。 下面介绍其它几种曲面特征的创建方法：
l【平整】：以一个实体上的平面或基准平面 作为绘图平面，绘制曲面的边界线，系统自动 将边界线内填入材料，成为一个平面式的曲面。 l【偏距】：由一个曲面偏移出新的曲面 。
注意：虽然【倒圆角】属于实体特征，【圆角】 属于曲面特征，但当零件为曲面模型时，两者都 构建出“曲面”的圆角特征。 10-7
步骤5 ：将曲面模型转换为实体模 型：当曲面模型围成一个封闭的区 域时，则可利用【创建】 /【实体】 /【加材料】/【使用面组】/【实体】 选项，然后选取曲面模型，系统将 封闭区域的内部填入材料，以构建 实体模型。从剖截面可以看出，该 零件已成为实体模型了
步骤6：建立圆角特征：用【创建】 /【实体】/【倒圆角】选项，圆角半 径为1
PROE变截面扫描、扫描混合
§ 4-5 曲面特征采用实体特征可以方便迅速的创建较为规则的三维实体。
但对于复杂程度较高的零件，单单使用实体特征来建立有时候会很困难，因为实体特征的创建方式较为固定。
这时候可以借助于曲面特征，曲面特征提供了非常弹性化的方式来创建许多单一曲面，由于曲面具有很强的可操作性，我们可以将许多单一曲面集成为完整无缝的曲面模型，最后可将一无缝曲面转为实体，或通过曲面加厚的方式创建复杂的薄壳装零件。
一、曲面特征命令简介1、以类似实体特征创建的方式创建拉伸、旋转、扫描、混合、变截面扫描、扫描混合、倒角曲面。
2、曲线的创建与编辑。
3、构造多条曲线，在此基础上利用“”工具创建边界混合曲面。
4、曲面编辑。
5、利用造型工具“”进行复杂的曲面造型设计。
例1（如图4-5-1）1、做两个拉伸曲面：2、做一个Flat曲面：“编辑→”3、通过两次曲面合并“”操作将三个曲面合并成一张封闭曲面。
4、将封闭曲面转成实体：选中封闭曲面→编辑→。
5、抽壳6、做一张偏移曲面。
7、写字。
例2（如图4-5-2）例3（如图4-5-3）图4-5-1图4-5-2图4-5-3§ 4-6 Pro/E零件模块的其他功能一、变截面扫描扫描特征能够通过一条扫描轨迹配合一个剖面扫掠出一定形状的实体，作扫描特征时，剖面必须与扫描轨迹线正交，而且在扫描轨迹的任何位置处，剖面形状都相同。
而变截面扫面功能更强，它能将单一剖面与多条外形控制轨迹线结合起来，并且使剖面外形随扫掠轨迹的变化而变化，剖面也不一定与轨迹线正交，因此有更大的弹性空间。
另外，变截面扫描除能利用多条轨迹线来控制截面外形的变化，更能利用图形（Graph）特征（基准特征之一，操作方式为插入→模型基准→图形（G）…），配合关系式（Relation）来产生更复杂实体。
例：显示器外形设计，如图4-6-1。
1.作5条控制曲线。
2.变截面扫描特征工具栏“可变剖面扫描工具”（或主菜单：插入→可变剖面扫描…）→出现操控板（如图4-6-2）→选取中间一条曲线作为原点轨迹线→按住Ctrl键，选取其他四条曲线作为控制轨迹线→点选操控板中的按钮，绘制扫描剖面，剖面由四段弧组成，弧的端点分别落在四条轨迹线的起点，→Ö→按下鼠标中键（或点选操控板中的Ö）3．做抽壳（Shell）。
平面和球面的特征
空间两种特殊曲面——平面和球面的特征摘要：本文对平面和球面的特征进行了简要介绍，讨论了平面和球面的方程、它们的第一、第二基本形式以及法曲率特征，对两种曲面上的渐近线、曲率线和测地线进行了分析，并对平面和球面的判定与可展性问题、平面曲线与球面曲线的性质进行了一定的讨论。
关键词：平面；球面；渐近线；曲率线；可展曲面平面和球面是空间两种特殊曲面，平面不弯曲，球面均匀弯曲，形状优美、性质特殊，很有研究必要。
研究平面和球面特征，平面和球面上曲线性质等有利于加深对曲面特征理解。
1．平面的特征1．1 平面的方程 {},),,0x y r r x y ==（1．2 平面的第一与第二基本形式 {}1,0,0x r = {}0,1,0y r = {}0,0,0xx r = {}0,0,0xy r ={}0,0,0yy r = 平面的第一类基本量：1x x E r r =⋅=0x y F r r =⋅=1y y G r r =⋅=平面的第二类基本量：0=⋅=n r L xx 0xy M r n =⋅=0yy N r n =⋅=平面的第一基本形式 22I dx dy =+ 平面的第二基本形式 Ⅱ＝０1．3 平面上一点处的法曲率0n k ==ⅡⅠ,几何意义：法曲率是刻画曲面在已知点邻域的弯曲性，平面的法曲率 0n k =说明平面不弯曲。
1．4 平面上的渐近线、曲率线和测地线定理1：平面上的每一条曲线都是渐近线。
证明：因为平面上一点处的法曲率 0=n k ，而曲面上一点使0=n k 的方向称为曲面在该点的渐近方向，所以平面上任意一点的任何方向都是渐近方向。
则平面上任意一条曲线上任意点的切方向都是渐近方向，于是平面上的每一条曲线都是渐近线。
定理2：平面上的每一条曲线都是曲率线。
证明：因为对于平面有NG M F L E ==且L=M=N=0，所以 022=-NM L G F Edu dudv dv 是恒等式，且平面上的点都是平点，所以平点处的任何方向都是主方向。
曲面特征一
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10-8
确定材料 去除方向
步骤7：建立圆角特征： 用【创建】 /【曲面】/ 【新建】/【圆角】选项， 圆角半径为1
步骤8：以圆角曲面特征切去实体模型：依次 选取【创建】 /【实体】/【去除材料】/【使 用面组】/【实体】选项，然后选取圆角曲面 特征，确定材料移除方向，切除左边实体
注意：当零件为实体模型时，【实体】/【倒圆 角】构建出“实体”的圆角特征，而【曲面】/ 【圆角】则构建出“曲面”的圆角特征。
曲线5
曲线4 曲线3
曲线7 曲线6
曲线2
曲线1
由边界建立的曲面
步骤2：在【第一方向】选项下，选 取曲线1至曲线5作为第1个方向的曲 线；在【第二方向】选项下，选取 曲线6和曲线7作为第2个方向的曲线
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10-18
平整曲面
平整曲面
平整曲面
步骤3：将曲面的前、后、底分别建立3个平整曲面，以形成一个封 闭的曲面
步骤5 ：将曲面模型转换为实体模
型：当曲面模型围成一个封闭的区 域时，则可利用【创建】 /【实体】 /【加材料】/【使用面组】/【实体】 选项，然后选取曲面模型，系统将 封闭区域的内部填入材料，以构建 实体模型。从剖截面可以看出，该 零件已成为实体模型了
步骤6：建立圆角特征：用【创建】 /【实体】/【倒圆角】选项，圆角半 径为1
§10.1 曲面特征的基本概念
曲面的线条有下列两种颜色：
l 黄色：代表曲面的边界线，亦称为单侧边。黄色边的一侧 为此特征的曲面，另一侧即不属于此特征的曲面。
l 紫红色：代表曲面的棱线，亦称为双侧边。紫红色边的两 侧都为此特征的曲面。
棱线 （紫红色）
曲面特征的
创建常需依赖二 基准曲线 维或三维曲线作 （暗红色） 为曲面的边界曲
空间曲面认识空间曲面的特征与方程
空间曲面认识空间曲面的特征与方程空间曲面是指在三维空间中由曲线无限延伸而成的图形。
它是几何学中一个重要的研究对象，具有丰富的特征和方程。
本文将围绕空间曲面的特征与方程展开论述。
一、空间曲面的特征空间曲面的特征主要包括形状、表达方式和性质等方面。
1. 形状：空间曲面可以有各种形状，如平面、球面、圆柱面、锥面等。
其中，平面是一种特殊的曲面，它是无限大的、无弯曲的。
而球面是一种曲率相等的曲面，它的每一点到球心的距离都相等。
2. 表达方式：空间曲面可以通过方程、参数方程和隐函数方程等方式来表示。
其中，方程法是最常用的表达方式之一。
通过将空间曲面的特征用数学方程表达出来，可以更直观地描述曲面的几何性质。
3. 性质：空间曲面具有各种几何性质，如曲率、切平面和法向量等。
曲率是描述曲面弯曲程度的量，切平面是与曲面相切且与曲面法线垂直的平面，法向量是垂直于曲面的一个向量。
二、空间曲面的方程类型根据空间曲面的特征不同，可以将空间曲面的方程分为若干类型，常见的有点法向式方程、参数方程和球面方程等。
1. 点法向式方程：点法向式方程是一种常用的描述曲面的方式。
它通过给出曲面上的一点和该点的法向量来表示曲面方程。
例如，对于球心在坐标原点、半径为r的球面，其点法向式方程可以表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a,b,c)为球心坐标。
2. 参数方程：参数方程是把曲面上的点用参数的形式表示出来。
通常，参数方程是由两个参数u和v的关系所决定的。
例如，对于圆柱面，其参数方程可以表示为x = r*cos(u), y = r*sin(u), z = v，其中r为圆的半径，(u,v)为参数。
3. 球面方程：球面方程是一种特殊的曲面方程，用于描述球面的几何性质。
球面方程可以表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a,b,c)为球心坐标，r为球的半径。
三、空间曲面的方程应用空间曲面的方程在实际应用中具有广泛的应用价值。
正则曲面的定义-概述说明以及解释
正则曲面的定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述正则曲面是几何学中的基本概念，它在数学和物理学领域中都具有重要的应用价值。
正则曲面可以简单地理解为在局部范围内与平面相似的曲面，具有光滑连续的性质。
通过对曲面上的曲线、切线、法向量等性质进行研究，可以更好地理解曲面的特征和性质。
本文将从定义、特征和应用三个方面介绍正则曲面，希望读者能通过本文对正则曲面有一个全面的了解，进而在相关领域中更深入地探究其应用和意义。
1.2 文章结构本文将分为三个部分来讲解正则曲面的定义。
在引言部分，我们将对正则曲面这一概念进行概述，并介绍本文的结构和目的。
接着在正文部分，我们将详细解释正则曲面的概念，探讨其特征以及介绍其在实际应用中的意义。
最后在结论部分，我们将总结正则曲面的重要性，展望其未来的发展，并得出结论。
通过这三个部分的内容，读者将能够全面了解正则曲面的定义及其重要性。
1.3 目的：本文旨在详细介绍正则曲面的定义及其重要性，使读者能够深入了解正则曲面在数学和工程领域中的应用。
通过对正则曲面的概念、特征和应用进行分析和讨论，希望能够帮助读者加深对正则曲面的理解，并促进正则曲面研究在科学技术领域的发展和应用。
同时，本文也旨在引起读者对正则曲面领域的兴趣，激励更多人投身于正则曲面研究，推动该领域的进一步发展与创新。
2.正文2.1 正则曲面的概念在几何学中，正则曲面是指在每一点处都具有良好定义的曲率的曲面。
换句话说，正则曲面是一种光滑且连续的曲面，在其中每个点都存在一个唯一的切平面，并且曲面在该点处的法线存在且唯一。
这种特性使得正则曲面具有一定程度的可微性和连续性，使得我们能够用数学方法来研究和描述它们的性质。
正则曲面的概念是微分几何学中一个重要的概念，它为我们研究曲面的性质和特征提供了一种有效的数学工具。
通过对正则曲面的曲率、法向量和切平面等性质进行研究，我们可以更深入地了解曲面的几何特征和形态。
在数学和物理学中，正则曲面广泛应用于曲面积分、曲面积分、流形和微分几何等领域。
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面特征本章讲述Pro/ENGINEER Wildfire曲面建模的基本概念和一般方法，包括怎样通过草绘或参照已有几何建立新面组定义、修改已有面组定义以及如何利用曲面进行实体建模，通过对本章的学习，读者能够基本掌握Pro/ENGINEER Wildfire中强大而灵活的曲面建模功能。
本章要点：✧零件“实体”、“面组”、“面”和“面特征”的概念✧建立新面组定义的多种基本方法✧修改已有面组定义的多种基本方法✧由面组建立实体几何的基本方法及曲面建模的思路8.1 面组8.1.1面组相关概念Pro/E中与面组有关的基本概念包括面(Surface)、实体(Solid)、面组(Quilt)、面特征(Surface feature),前三个概念属于几何元素范畴，后一概念属于特征范畴。
一个面(Surface)几何体由同一数学方程描述其形状，由位于该面上的边(Edge)来限制其范围，面是构成零件实体或面组的基本单元，Pro/E零件模型中的面必定属于零件实体或某个面组，其不能单独存在。
面有形状、边界、大小但没有厚度，可以将它想象为一张“皮”，通过缝合若干张“皮”，即可得到零件实体或面组。
实体(Solid)几何体是由若干面几何体相连接围成的封闭体积并定义为其中“灌满”材料，一个零件模型中只有一个实体几何体，仅仅由若干个面相连接形成封闭体积并不一定就是实体，也可能是封闭的面组，必须由用户指定建立实体特征方能建立实体几何体。
面组(Quilt)几何体顾名思义是将若干面几何体(只有一个面亦可)组合在一起形成的集合，组成面组的各个面之间可以相连接(面连接时两个面共用一条边)，亦可间断，但不能相交叉，面组定义包括面组含有哪些面、这些面的形状和边界定义、面间如何连接等，面组各组成面具有统一的正反面定义并可令其反向。
一个零件或装配模型可包含无穷个面组几何体。
面特征是一种特征类型，该类特征的操作对象是面组，用户直接操作的是面特征，再由面特征建立新面组定义或修改已有面组定义。
8.1.2面组、面的名称每个面组和组成面组的每个面都可为其确定唯一的标识名称。
命名步骤：从下拉菜单中选【编辑】|【设置】命令→系统在图形窗口右侧弹出【零件设置】或【装配设置】菜单→选【名称】|【其它】命令→系统弹出【选取】对话框→在图形窗口中选择需要命名的面或面组→系统在提示栏提示输入新名称→用户键入新名称并回车或单击按钮确认→单击【完成】命令退出设置菜单。
注意： 面/面组名称可由A ～Z 二十六个字母、0～9十个数字及“-”、“_”等字符组成，不能使用“！、@、#、$、%、&、*、（、）、？、<、>”等特殊字符，名称长度不得多于32个字符，首字符必须是字母、数字或“_”。
面和面组取名后若需选择它们时，无须一定通过图形窗口直接单击选中，可将鼠标箭头放在同类几何体上待其预选加亮后单击右键弹出快捷菜单并选【从列表中拾取】项，系统弹出相应对话框并列出所有可选几何，用户单击右键或对话框中/按钮进行逐项查询，再单击对话框中【确定】按钮或鼠标中键确认选择。
8.1.3 面组、面的显示在线框、隐藏线、无隐藏线显示模式下，位于面组各组成面之间的连接(共享)边(Inner Edge)和面组的轮廓“边”(Silhouette Edge)将以紫色(老版本为洋红色)显示,面组边界(Quilt Outer Edge/Quilt Boundary)，即各组成面上不属于连接边的其它所有边链将以洋红色(老版本为淡黄色)显示，零件实体边则以白色显示，所谓轮廓“边”是指在某个角度下观察时的模型图8.0 零件实体、面组、面、边的示例面组可以通过层(Layer)加以显示控制，可将面组直接加入层中,或将面特征加入层中从而面特征所建立的面组亦将受层控制，当设定层【遮蔽】时，属于该层的面组将不显示。
另一种控制面组显示与否的方法是直接隐藏或取消隐藏面特征，在图形窗口或模型树中选面特征→从下拉菜单中选【视图】|【可见性】|【隐藏】/【取消隐藏】命令或从快捷菜单中选【隐藏】/【取消隐藏】命令→相应面组在图形窗口中消失或显示，模型树中特征节点变灰或恢复正常。
与层控制相比，直接隐藏功能仅在本次Pro/E 进程中起效。
8.2 创建面组8.2.1绘制草图创建新面组如同建立拉伸(Extrude)、旋转(Revolve)等实体特征一样，用户可建立拉伸、旋转、填充(Fill)等形式的面特征及相应形状的面组。
1. 拉伸面特征该特征由草绘图形沿垂直草图平面方向拉伸而成，生成的面组包含柱面和平面。
建立步骤：从下拉菜单中选【插入】|【拉伸】命令或从工具栏中单击按钮，系统弹出拉伸特征操作栏(Dashboard)→在特征操作栏中单击按钮进入草图环境→绘制开放或封闭的草图实体链→结束草图返回特征操作栏，单击按钮，拉伸特征将生成面组而非实体→单击【】按钮控制特征深度→单击按钮令特征生长方向反向→单击【】按钮输入特征名称→单击按钮预览，单击按钮生成特征，单击按钮退出。
图8.1 拉伸特征操作栏做面组时草图中允许绘制多个连续实体链，各个实体链必须全部为开放链或封闭链，不能混用，否则系统将给出警告，其它草绘技术同拉伸实体特征。
实体链中包含的实体数即为面组的组成面数量，若封闭两端则组成面数量再加2。
图8.2 拉伸面特征【】滑出面板面组可长在草图平面一侧或两侧，单击【】按钮弹出图8.2所示【】滑出面板：●在滑出面板【】框中选择【对称】，则面组对称生长于草图平面两侧；●在【】框中选择【对称】以外的选项，【】框中选择【无】，面组生长于草图平面一侧，单击操作栏按钮或在图形窗口中单击特征方向箭头可切换生长方向；●在【】框中选择【对称】以外的选项，【】框中选择【无】以外的选项，面组生长于草图平面两侧，此时需分别确定两侧的生长深度。
面组生长深度可由给定数值或参照其它几何确定，在【】滑出面板的【】、【】框或操作栏按钮中选择：● 【盲孔】：由用户在滑出面板内输入草图平面某一侧深度值；或在图形窗口双击尺寸后键入深度值；或在图形窗口拖拉深度控制柄(白色小方块)给出深度值，拉伸面生长至距离草图平面为该值的深度平面；● 【对称】(只用于【】框)：用户给定总深度值并对称分布于草图平面两侧； ● 【到选定的】：用户可选择顶点(Vertex)、基准点(Datum Point)、平行草图平面的直边或直基准线(Datum Curve)，系统经过所选几何元素并平行草图平面作假想深度平面，亦可选择平行草图平面的面(Surface)或基准平面(Datum plane)作深度平面，面组将生长到上述深度平面为止。
在【】滑出面板中有一【】复选框，当草图实体链封闭时，选中该复选框后将在拉伸面组的两端加上端平面形成封闭的面组。
当鼠标箭头位于图形窗口或特征操作栏时，单击右键可弹出相应快捷菜单，提供操作栏内各按钮的功能。
2. 旋转面特征该特征由草绘图形围绕一条草绘中心线旋转而成，生成的面组包含旋转面和平面。
建立步骤：从下拉菜单中选【插入】|【旋转】命令或从工具栏中单击按钮，系统弹出旋转特征操作栏→在特征操作栏中单击按钮进入草图环境→绘制开放或封闭的草图实体链→结束草图返回特征操作栏，单击按钮→单击【】按钮控制特征包角→单击按钮令特征生长方向反向→单击【】按钮输入特征名称→单击按钮生成特征。
做面组时草图中允许绘制多个封闭实体链，开放实体链只能有一个，开放链和封闭链不能混用，否则系统将给出警告，其它草绘技术同旋转实体特征。
若特征包角<360°，实体链中包含的实体数即为面组的组成面数量，若特征包角=360°，组成面数量为2倍实体数(此时每个草图实体生成两个包角180°的旋转面)，若再封闭两端则组成面数量再加2。
面组可生长于草图平面一侧或两侧，操作同拉伸面特征。
图8.4 旋转面特征【】滑出面板图8.3 旋转特征操作栏面组生长包角可由给定数值或参照其它几何确定，在【】滑出面板的【】、【】框或操作栏按钮中选择： ● 【变量】：由用户在滑出面板内输入草图平面某一侧包角值；或在图形窗口双击尺寸后键入包角值；或在图形窗口拖拉角度控制柄(白色小方块)给出包角值，旋转面生长至过旋转中心线且与草图平面成该值的角度平面；● 【对称】(只用于【】框)：用户给定总包角值并对称分布于草图平面两侧； ● 【到选定的】：用户可选择顶点(Vertex)、基准点(Datum Point)，系统经过所选几何元素和旋转中心线作假想角度平面，亦可选择过旋转中心线的面(Surface)或基准平面(Datum plane)作角度平面，面组将生长到上述角度平面为止。
在【】滑出面板中有一【】复选框 ，当草图实体链封闭且特征包角 <360°时，选中该复选框后将在旋转面组的两端加上端平面形成封闭的面组。
3. 填充特征该特征是在平面上草绘边界图形而成，面组仅含单个平面，它可具有多个边界环(面片)。
建立步骤：从下拉菜单中选【编辑】|【填充】命令，系统弹出填充特征操作栏→在特征操作栏中单击按钮进入草图环境→绘制封闭的草图实体链→结束草图返回特征操作栏→单击【】按钮输入特征名称→单击按钮生成特征。
草图中允许绘制多个封闭实体链，各实体链不得相交，每个实体链都将形成平面的边界环。
8.2.2 参照已有面几何创建新面组1. 复制特征(Copy)该特征将选中的面实体准确地在原位置复制出来组成新面组，复制面与被复制的“源”面形状、位置、边界大小相同并保持关联，当“源”面定义改变时，复制面定义随之变化。
建立步骤：首先选中若干面，单击按钮或从下拉菜单中选【编辑】|【复制】命令，系统弹出复制特征操作栏→继续选取需复制的面→在操作栏中单击【】按钮选择所需的复制特性并进行相应操作→单击【】按钮输入特征名称→单击按钮生成特征。
复制特征选面时只能从一个零件实体或一个面组上进行，同一特征中用户可建立若干个面选择组，各选择组可使用不同的选面方式，共有5种：(1) 【单个曲面】方式：逐个选中单独的面，在选中第一个面后，保持CTRL 键按下再选图8.5 填充特征操作栏图8.6 复制特征操作栏择其它面，各个选中的面以红色网格显示。
【单个曲面】方式只能运用一次，但用户可以不断向该选择组中添加新的面参照；(2)【环曲面】方式：选中一个“参照”面(若已有其它选择组存在，则选该“参照”面时需同时按下CTRL键)，然后保持SHIFT键按下并将鼠标箭头移到“参照”面的某个边界环处，系统弹出提示“边：F#”并将该“参照”面沿其边界的环面以青色高亮显示，此时单击鼠标左键将所有环面选中并以红色网格显示(“参照”面不被选中)。
【环曲面】方式是“非智能”的，它并未记住“参照”面，而只是记下了复制时的那些环面，如果以后修改模型导致“参照”面形状及其周围环面发生变化，【环曲面】方式选中的面仍保持不变。