静电场的环路定理习题解答
9-5-静电场的环路定理解析
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3
5-4静电场的环路定理
E
∝r
R
−2
场强分布曲线
O
r
−1
U
电势分布曲线
q 4πε0R
∝r
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O
R
r
三、由电势叠加原理求电势 例3 电荷以相同的面密度 分布在半径为 r =10cm 和 1 r2 = 20cm的两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心 的两个同心球面上。设无限远处电势为零， 处的电势为 U0 = 300V 。 （1）求电荷面密度 ） ； （2）求两球间的电势差。 ）求两球间的电势差。
等势面与电场线的关系
r r dA = q0 E ⋅ dl = q0 E ⋅ dl ⋅ cosθ = 0
正负点电荷周围电势分布特点。 正负点电荷周围电势分布特点。
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点电荷系的电势 电势叠加原理：点电荷系的电场中， 电势叠加原理：点电荷系的电场中，某点的电势 等于每个电荷单独在该点激发的电势的代数和。 等于每个电荷单独在该点激发的电势的代数和。
1 qi U =∑ πε0 ri i 4
dl
dU =
dq 4πε 0 r
1
+ + R+ o + + + + + +
r x p x
qdl = 4πε 0 2πRr
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=
qdl 8π 2ε 0 R R 2 + x 2
整个圆环在p 点的电势为U = ∫ dU Nhomakorabea=∫
2πR 2
qd qdl 8π ε 0 R R + x
2 2
0
=
q 4πε 0 R + x
02静电场的环路定理
1 1 dr ( ) 2 4 0 RA RB 4 0 r RA
RB
q
q
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
Aoc U o U c
d
0
0
q q a ( ) 4 0 3 R 4 0 R q
q
b
c
R
i
q0
b
a
b E1 dl ＋q0 E2 dl ＋
a
q i i 40
1 1 r r bi ai
静电场力做功与路径无关，静电力是保守力
二、静电场的环流定理
—静电力做功与路径无关的数学表述 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线 积分等于零。
q0 E dr
Aa b
b
a
qq0 dA 40
dr ra r 2
rb
qq 0 1 1 4 0 ra rb
推广： 任意带电体产生的电场： b Aa b q0 E dl
a
q0
b
a
( E i ) dl
例：求半径为R、带电量为Q的球面在球心O 处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 40 R 40 R 40 R
好
(2):
U
E dl 0
E dl R
R E dl R E dl 0
求：E
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
解：U p
4 r
0
63静电场环路定理电势
E2
q1
4 0 r 2
R1 r R2
E3
q1 +q2
40r 2
r R2
q1 II
I R1
R2 •
III
rE
P•
III区：U3
E dl
P
q2 q1 II III
E3 dr E3dr
r
r
I R1
R2 •
r
q1 q2
4 0 r 2
dr
q1 q2
40r
rr
P• P•
R2
II区： U3
R r
Q
4 0 R3
rdr
Q
R 4 0r 2 dr
Q
8 0 R
Qr 2
8 0 R3
Q
4 0 R
Q (3R 2 r 2 )
8 0 R3
o rp R
rp
路径的线积分为零（电场强度的环流为
零）
3. 电势能 比 重力做功 保守力 重力势能
较 静电场力做功 保守力 电势能
静电场力对电荷所做功等于电荷电势能 增量的负值
B
WAB A q0E • dl EpB EpA
令 B点为电势能零点，则可得任一点 A
的电势能
0
E p A
q0
E • dl
E dl
P
E dr
E2dr
E3dr
r
r
R2
R2 r
q1
4 0 r 2
dr
R2
q1 q2
4 0 r 2
dr
1
4 0
( q1 r
q2 R2
)
I区：
U3
E dl
10.4静电场环路定理
V Ez z
E
10-4 静电场的环路定理 V V V E ( i j k) x y z V的梯度: gradV 或
E gradV V
E 的方向与V的梯度反向.
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl qLeabharlann E cos dll l
E
环量的意义：将单位正电荷沿闭合路径 移动一周电场力做的功。
10-4 静电场的环路定理
RB
q A qB qA 1 1 ( ) 4 0 R B 40 r RB
qA qB 40 r 40 RB
（3）r RA
U
RA r
10-4 静电场的环路定理
RB E dr E dr E dr RA RB 0
V
另一方面，由于场强沿法线方向 dV dV E V n E En n n dn dn 电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线 方向的变化率（该方向电势的变化率最大），它的方 向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
10-4 静电场的环路定理
静电场力的功 b Aab q E dl qUab q(U a U b )
a
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1 eV 1.6021019 J
10-4 静电场的环路定理
点电荷电场的电势
E q e 2 r 4 πε0 r
大学物理第7章 电场题库答案(含计算题答案)
9题图第七章 电场 填空题 （简单）1、两无限大平行平面的电荷面密度分别为σ+和σ+，则两无限大带电平面外的电场强度大小为σε ，方向为 垂直于两带电平面并背离它们 。
2、在静电场中，电场强度E 沿任意闭合路径的线积分为 0 ，这叫做静电场的 环路定理 。
3、静电场的环路定理的数学表达式为 0lE dl =⎰ ，该式可表述为 在静电场中，电场强度的环流恒等于零 。
4、只要有运动电荷，其周围就有 磁场 产生；5、一平行板电容器，若增大两极板的带电量，则其电容值会 不变 ；若在两极板间充入均 匀电介质，会使其两极板间的电势差 减少 。
（填“增大”，“减小”或“不变”）6、在静电场中，若将电量为q=2×108库仑的点电荷从电势V A =10伏的A 点移到电势V B = -2伏特的B 点，电场力对电荷所作的功A ab = 92.410⨯ 焦耳。
(一般)7、当导体处于静电平衡时，导体内部任一点的场强 为零 。
8、电荷在磁场中 不一定 （填一定或不一定）受磁场力的作用。
9、如图所示，在电场强度为E 的均匀磁场中，有一半径为R 的半球面，E 与半球面轴线的夹角为α。
则通过该半球面的电通量为 2cos B R πα-⋅ 。
10、真空中两带等量同号电荷的无限大平行平面的电荷面密度分别为σ+和σ+，则两无限大带电平面之间的电场强度大小为 0 ，两无限大带电平面外的电场强度大小为σε 。
11、在静电场中，电场力所做的功与 路径 无关，只与 起点 和 终点位置 有关。
12、由高斯定理可以证明，处于静电平衡态的导体其内部各处无 净电荷 ，电荷只能分布于 导体 外表面 。
因此，如果把任一物体放入空心导体的空腔内，该物体就不受任何外 电场的影响，这就是 静电屏蔽 的原理。
(一般)13、静电场的高斯定理表明静电场是 有源 场， (一般)14、带均匀正电荷的无限长直导线，电荷线密度为λ。
它在空间任意一点（距离直导线的垂直距离为x 处）的电场强度大小为02xλπε ，方向为 垂直于带电直导线并背离它 。
高等物理静电场环路定理
dq
r
Vp
1
4 0 r
q
dq
1q
4 0 r
Ro
x
q
z
4 0 R2 x2
•x
p
2 ) 定义法:
Vp
p0 E d l
p
qx
E dl
p
x 4 0 ( R2 x 2 )3/ 2 d x
q
4 0
(R2
1 x 2 )1/ 2
x
4 0
q R2 x2
特例:
q
★若x = 0，
由Vp 40
Vp
Edl
P
p
(
E1
E2
En
)
d
l
V1 V2 Vn
VP
i
V pi
n 1 qi
i 1 4 0 ri
说明
代数和 ！
3、连续分布的带电体的电势：
1 dq dV
4 0 r
V
1
4 0
dq r
三种典型的电荷分布情况 ：
1
dV
V 4 0 r
1 dS
V 4 0 r
4、电势的计算方法：
WAB q0
E dl
AB
E pA E pB
( E pB E pA )
试探电荷q o 在电场中某一点的静电势能在数值上等于 把试探电荷q o 由该点移到零势能点静电力所作的功。
若选 B 点为电势能零点，则
B
EPA q0
A E d l q0
Ed l
AB
说明
1）静电势能是属于系统的; 2）静电势能的大小是相对的;
电势能是相对的，若选 P0 点电势能为零, 则有
大学物理习题参考解答上静电场环路定理_电势能_电势和电势差
02. 如图所示， CDEF 是一矩形，边长分别为 l 和 2l 。在 DC 延长线上 CA l 处的 A 点有点电荷 q ，在 CF 的中点 B 点有点电荷 q ，若使单位正电荷从 C 点沿 CDEF 路径运动到 F 点，则电场
力所作的功等于：
【D】
(A)
q 4ol
5 1； 5l
(B)
q 4ol
三 判断题
09. 静电场中某点电势值的正负取决于电势零点的选取。
【对】
10. 在已知静电场分布的条件下，任意两点 P1 和 P2 之间的电势差决定于 P1 和 P2 两点的位置。【 对 】
11. 正电荷在电势高的地方，电势能也一定高。 12. 电场强度的方向总是指向电势降落最快的方向。
【对】 【对】
1 4 0
4 r12 r1
1 4 0
4 r22 r2
0
——
r1 ' r2 0
XCH
第3页
20XX-3-24
大学物理教程_上_习题集参考解答
r1 r2
—— 外球面带负电
外球面应放掉电荷： Q Q Q Q 4 r22 4 r22
Q
(1
r1 r2
)
4
r22
将 r1 10 cm and r2 20 cm ， 8.85 109C / m2 代入上式得到：
13. 静电场的保守性体现在电场强度的环流等于零。
【对】
四 计算题
14. 如图所示， AB 2L ， OCD 是以 B 为中心 L 为半径的半圆， A 和 B 两处分别有正负电荷 q 和 q ，试问：
1) 把单位正电荷从 O 沿 OCD 移动到 D ，电场力对它作了多少功？
XCH
第11章(高斯定理及安培环路定理)习题答案
ò ×
S
ò
S
= 0． ”这个推理正确吗? [ B 不一定要等于零 ] 答：不正确， B d S 各自有不同的方向，B 不一定要等于零 116 如图，在一圆形电流 I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路 L，则由安培 环路定理可知 (A) (B) I L O 思考题 116 图
q 1 1 ( - ) ] 4 pe 0 r R
解；
U 1 =
q 4 peo r
+
Q 4 peo R
U 2 =
q + Q 4 peo R
U1-U2 =
q 1 1 ( - ) 4 pe 0 r R
117 [
已 知 某 静 电 场 的 电 势 分 布 为 U ＝ 8x ＋ 12x2 y － 20y2 (SI) ， 求 场 强 分 布 E .
B r r U C = U C - U B = ò E × d l = C
ò 4 pe r
o
2
115 两块面积均为 S 的金属平板 A 和 B 彼此平行放置，板间距离为 d（d 远小于板的 线度） ， 设 A 板带有电荷 q1， B 板带有电荷 q2， 求 AB 两板间的电势差 UAB. [
（1）dq =
q dl 2 L
U = ò dU = ò
dq q q x + L = ò dl = ln 4pe o ( x - l ) 4pe o 2 L ( x - l ) 8pL e o x - L
（2）E= -
¶u q 1 1 1 q r = ( ) = i 2 ¶x 8p L e o x - L x + L 4 pe 0 x 2 - L
安培环路定理
安培环路定理静电场中的环路定理为，它说明静电场是保守场。
在稳恒磁场中，磁感应强度B 沿任意闭合环路的线积分（又称B 的环流）等于什么？磁场是否为保守场？安培环路定律回答了上述问题。
设在真空中有一无限长载流直导线，其电流为I 。
取一平面与电流垂直，平面与电流相交与O 点，在平面内取以O 为圆心、r 为半径的闭合回路L ，在圆周上各点磁感强度B 的大小为若B 的方向与积分的绕行路径L 上各处dl 的方向相同，即B 与dl 的夹角θ= 0，则B 的环流为若积分的绕行方向反向，即B 与dl 方向相反,,则B 的环流为0=∙⎰dl E Ldl B L∙⎰r I B πμ20=⎰⎰==∙L L Idl r Idl B 002μπμπθ=⎰⎰-=-=∙LLI dl r Idl B )(200μπμ可把上述结果推广到闭合回路为任意形状，而且回路中包围有任意电流（包括回路中不包围电流）的情况，因而，可得B 的环流为（9-9）上式为安培环路定理的表述式。
它表明，在稳恒磁场中，磁感强度B 沿任何闭合回路L 的线积分，等于穿过这个回路所围曲面的所有电流的代数和的μ0倍。
电流的正负规定如下：取右手螺旋的旋转方向（四指弯曲方向）为积分回路L 的绕行方向，与右螺旋前进方向（拇指指向）一致的电流为正，反之为负。
如图9-9所示，则式（9-9）右侧不计入I 3 。
在图9-9所示的情况下，安培环路定理表示为当闭合回路不包围电流，或虽包围电流，但所围电流的代数和为零时，B 的环路等于零。
安培环路定理表明稳恒磁场不是保守场。
一般称环流不等于零的场为蜗旋场。
稳恒磁场是蜗旋场，这时它不同于静电场的又一特征。
⎰∑=∙LL Idl B 内）(0μ()210I I dl B L-=∙⎰μ为了更好地理解安培环路定理，作如下说明：（1）式（9-9）右方的∑I 中只包括穿过闭合回路L 的电流；（2）回路L 的绕行方向与穿过回路L 的电流的正、负符号，遵从右手螺旋法则，而∑I 为所有正、负电流的代数和；（3）式（9-9）左端的B 是环路上的磁感强度，它是空间所有电流（包括穿过L 和不穿过L 的电流）共同产生的；（4）如果，他只说明B 沿L 的环流为零（此时，L 所围电流代数和等于零或不围电流）而不能理解为回路L 上各点的B 一定等于零。
第10讲 静电场的环路定理 静电场力的功 电势能
电场力作功等于电势能增量的负值！
电势能
例题2 如图已知+q 、-q、R。求： ①单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功。 ②将单位负电荷由∞移到 o 点电场力所作的功。
d
解：① 由对称性知
Uo 0
a
q
o
b q
c
0
rR
U r E dl E dl
R r R
q
rR
P1
q r 0
2
0
4
R
q
0
r
2
dr
Ur
4
r
dr
P2
q 4 0 R
q 4 0 r
例题5 L长一节同轴圆柱面，内外半径RA 、RB，均匀 带电等量异号。①求电场分布； ②若UAB = 450V，求电荷线密度λ＝？ 解： 由高斯定理
xp
y
qxdx
2 3 2
xp
4 0 ( x R )
2
z
q 4 0 R x
2 2
R
x
□
O
例题4 求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R,q.
q
解：由高斯定理求出场强分布 E
由定义 U p E dl
P
4 0 r
2
rR rR
U 最小
r U r
U 最大
以q为球心的同一球面上各点的电势相等。
② 电势叠加原理 若场源为q1 、q2 qn构成的点电荷系，则场中任一点 的电势等于各点电荷单独存在时在该点电势的代数和。
高中物理竞赛静电场的环路定理
q
4 π0r2
答：在 r = R 处 E 不连续是
因为忽略了电荷厚度所致。 0
R
r
2
实际的带电球面总有一定的厚度, 而高斯球面是没有厚度的几何面，
因此在 r = R 处，q内、 q外 总能分清， R 处的 E 是一条很陡的斜线。
（2）令R1 = R2= R， 且 q 不变，
E q
4 π 0R2
即均匀带电球面的情形：
0(内) 0R来自E4q
π 0r 2
er
(外)
r
3
结论
均匀带电球面内部空间的场强，处处为 零。
均匀带电球面外部空间的场强，与全部 电荷 q 集中在球心的点电荷的场强一样。
4
（3）令R1=0， R2=R
r
即均匀带电球体的情形：
E
3 0 q
rˆ
(内) (外)
4 π0r2
静电场的环路定理
1
（1）E 的分布图： 连续，无突变。 当 q、R2不变时：
R1增大，层变薄，R1 < r < R2 区域的曲线变陡； 带电层厚度趋于零，场强分布不再连续。
当把电荷从体分布抽象为面分布时，在带电面
两侧的电场强度发生突变。……有普遍性
如何理解 在 r =R 处, E 值的不连续：
E q
E Ei
i
W
q0
E dl
l
i
q0 l Ei dl
结论：静电场力做功，与路径无关.
静电场是保守场
14
AB q0E dl EpA EpB (EpB EpA )
令 EpB 0
EpA AB q0E dl
A EpA
B
EpB E
大学物理练习题 静电场的环路定理 电势
3. 真空中一半径为 R 的球面均匀带电 Q， 在球心 O 处有一带电量为 q 的点电荷， 如图所示， 设无穷远处为电势零点，则在球内离球心 O 距离为 r 的 P 点处的电势为： Q q 。 q Q⎞ (A) ( B) 1 ⎛ ⎜ + ⎟。 4 πε 0 r 4 πε 0 ⎝ r R ⎠ O r • q P 1 ⎛q Q−q⎞。 R ( C) q + Q 。 (D) ⎜ + ⎟
练习四答案
一、 1. D，2. A，3. B，4. C，5. B，6. D，7. C，8. A，9.C。 二、 1. − 2 × 10 3 V ， 2. σ d ε 0 ， 3. U =
b 4. ∫a
q 4 πε 0
⎛1 1 ⎜ ⎜r − r 0 ⎝
⎞ ⎟ ⎟， ⎠
v v E ⋅ dl ，
任意路径
Q1 R1 O R r
Q • P
P • a
a
M •
A
q
O D
B C
7. 在带电量为-Q的点电荷A的静电场中，将另一带电量为q的点电荷B从a点移到b点，a、b 两点距离点电荷A的距离分别为r1 和r2 ，如图所示，则移动过程中电场力做的功为 (A)
−Q 4 πε 0 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ ⎜r − r ⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1
(A)
( B)
( C一均匀静电场，电场强度 E = 400iˆ + 600 ˆ j V⋅m 1，则点a(3，2)和点b(1，0)之间的电势 差Uab =__________________。(点的坐标x，y以米计)
(
)
2. 两平行无限大均匀带电平面，相距为 d，其面电荷密度分别为+σ 和-σ，则两平面间的电 势差为 。 3. 在电量为 q 的点电荷的电场中，若取与点电荷距离为 r0 的一点为电势零点，则与点电荷 距离为 r 处的电势为＿＿＿＿＿ 。 v 4. 在场强分布为 E 的静电场中，任意两点a和b间的电势差的表示式为Ua - Ub = 。
2023-2024学年高二物理竞赛课件：静电场的环路定理习题
势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷
的电势。
qE
4 0R2
r 2
场强分布曲线
O
R
r
电势分布曲线
V
q
4 0R
O
r 1
r
例: 设两球面同心放置，半径分别为R1和R2 ，电荷分
别为q1、q2，求其电势分布。 解：解法一： 按高斯定理可得电场强度分布
E
0
q1
4 0r 2
er
(r R1)
(R1 r R2 )
a o
r≥R2时：
V3
r E3dr
q1 q2 dr q1 q2
r 4π0r 2
4π 0 r
q2 q1
r
解法二：运用多个带电体的电势叠加法计算
V V1 V2
q1
V1
4π 0 R1
q1
4π0r
(r R1)
V2 (r R1)
q2
4π 0 R2
q2
4π0r
(r R2 ) (r R2 )
解： E
0
Q
4π 0r 2
r
(r R) (r R)
取“”为电势零点
rP r
球外：U
E dl
p
球内：U
Q
r
4π
0
r2
dr
R
Q
4πቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0r
E dl
p
r
E内 dr
积分路径： 沿矢径方向
R E外 dr
R
0 dr
r
Q
R 4π 0r 2
dr
Q
4π 0 R
结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电
08.3静电场的环路定理、电势
b
a
u 3
u 2 u 1
2.电势梯度 电势梯度 单位正电荷从 a到 b电场力的功 到 电场力的功
u+d +u
E•d = Ec sθ l =u−(u+d ) l o d u Ec sθ l =− u o d d
在 l E d 方向上的分量 电场强度沿某 一方向的分量 一般
u
E l
n
a
b
l 由电势定义得 u =∫ E•d =∫ P
r
∞
4 ε0r π
d = r
q 4 ε0r π
讨论 大小
q>0 u>0 r ↑ u↓ r → u 小 ∞ 最 q<0 u<0 r ↑ u↑ r → u 大 ∞ 最
为球心的同一球面上的点电势相等 对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
点电荷系的电势 由电势叠加原理， 的电势为 由电势叠加原理，P的电势为
单位正电荷在该点 所具有的电势能
∞
W = ∫q E•d l a 0
a
∞
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
定义电势差 a b 定义电势差 u −u 电场中任意两点 的 电势之差（电压） 电势之差（电压）
u =u −u =∫ E•d −∫ E•d =∫ E•d l l l ab a b
d q −q A =u −u =0−( ) + oc o c 4 03R 4 0R a πε πε b c q +q 0 −q = 6 0R πε R R R
② 将单位负电荷由 ∞ O电场力所作的功
A O =u −u =0 o ∞ ∞
功、电势差、电势能之间的关系 电势差、
环路定理电场强度的线积分静电场的环流为零电势环路定理
环路定理电场强度的线积分电势静电场的环流为零环路定理其实是我们熟悉的静电场是保守力场的另一种数学描述形式. 有了高斯定理和环路定理, 静电场就有了一个完整的描述.例题 17-4-1 圆环均匀带电,半径为R,电量为q,求轴线上的电势.xRr = R2 + z2zzyϕ=14πε 0ηdl∫L r=4πε 01 R2+z2∫Ldq=q4πε0 R2 + z2例题 17-4-2 求半径为R总电量为q的均匀带电球在球内外的电势分布.∞解:由例题17-3-1,可知电场强度分布为E=⎧ qr⎪⎪⎪⎨4πεq0rR3 ⎪⎩ 4πε0r3, ,r<R r>R取参考点为无穷远,电势为ϕ(r) = ∫r∞ E ⋅ dlPrR路径选为沿径向(图中橙色线), 场点在球外时,电势为ϕ(r)=∫r∞qdr4πε0r 2=q4πε0r场点在球内时，电势为ϕ(r)=∫rRqrdr4πε 0 R 3+∫R∞4πqεd0rr 2=q (3 −8πε 0 Rr2 R2)六.电场线 规定电场线上每一点的切线方向与该点的E的方向一致.-qq-q2q三个点电荷位于等边三角形的顶点上, 电荷大小都为 q .从中心附近的电场的方向可以简单的看出, 位于中心的点电荷处于不 稳定平衡. 定性上看黑色虚线所示球面上的通量为零.电场线的三条性质：(1)电场线始于正电荷或无穷远,终于负电荷或无穷远,在无 电荷处不中断.q-qS1S2S3规定过任一面元的Ｅ通量与通过该面元的电场线数目成正比，则 电场线的疏密程度能反映电场强度大小．(2)电场线不相交, 否则试探点电荷受力有两个可能的方向.(3)电场线不闭合.七.等势面 空间中电势相等的点的集合构成了等势面.点电荷的等势面 等势面与电场强度处处正交. 作业: 17-13, 17-14, 17-15《费曼物理学讲义》 R. P. Feynman第二卷是关于电磁学的.。
第七章 环路定理
c
dl
W =
=
q0 Edr
a
rb ra
b
q
r
C
E
ra
a
qq0 1 1 q qo dr = ( - ) 2 4πε0 ra rb 4πε0 r
2
下午12时44分
推广
Wab
b
q (E
0 a
b
1
+ E2 + +En ) dl
b
q0 E1 dl q0 E2 dl
q
1 4 0 ( R 2 x 2 )1 / 2 q
x
40 R 2 x 2
y
R
o
x
p
x
z
下午12时44分 18
讨论
★若x = 0， 由U p
q 4 0 R 2 x 2
q
R
o
x
得：U p
q 4 0 R
而E 0
电势分布
p
x
场强分布
例题2均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q，球面半径为R。 解∶由高斯定理得：
下午12时44分 9
（2）电势差：
p a
U ab U a U b
p
p
U ab E d l E d l a
b
b E dl E dl
p
U ab U a U b
物理意义：
b
a
E dl
将单位正电荷从a 点移到b 点静电场力作的功。 电势是相对的，与零点的选择有关。 电势差是绝对的，与零点的选择无关。
u 所以 Ex x
静电场的环路定理习题解答
2.4 静电场的环路定理习题解答1. 已知矢量函数，14x y z A xe ye ze ，24x y z A ye ze xe ，3r A re(球坐标系)，24A e(圆柱坐标系)，则下列描述正确的是( )A. 2A 和4A可能是静电场的电场强度B. 1A 和3A可能是静电场的电场强度C. 1A 、3A 和4A可能是静电场的电场强度D. 1A 和4A可能是静电场的电场强度解析：本题考查静电场的基本方程0E，基本知识点习题难度：中是否可能是静电场的电场强度，只要看矢量的旋度是否为零就行。
本题的难度在于计算3A 和4A的旋度时，要分别使用球坐标和柱坐标系中旋度的计算公式。
104x y z e e e A x y z x y z 2404xy z x y z e e e A e e e x y z y z x32sin 10sin 00re re r e A r rr4313000ze e e A z，所以1A 和3A 可能是静电场的电场强度2. 关于静电场，下列描述错误的是( ) A. 静电场是无旋场 B. 静电场是保守力场 C. 静电场的电力线可能闭合 D. 静电场中电场力做功与路径无关解析：本题考查静电场的基本方程0E，基本知识点习题难度：易静电场是无旋场，电力线不可能闭合。
总是由正电荷出发，并终止于负电荷。
3. 有一非均匀电场2x y z E ye xe e，若从M (1,0,1)到N (0.8,0.6,1)沿着一小段圆弧221x y ，1z 移动2C 电荷时，电场力所做的功为( ) A. 1.92J B. 0.96J C. 0.48J D. 0.48J解析：本题知识点：电场力做功与路径无关，即电场力做功只与两端点有关，而与移动时的具体路径无关。
习题难度：中d 2(2)(d d d )N N x y z x y z MMW q E l ye xe e xe ye ze2(d d 2d )2d()2d N NMMW y x x y z xy z(0.8,0.6,1)(1,0,1)2(2)0.96J W xy z4. 关于静电场环路定理的微分形式，下述描述正确的是( )A. 0EB. 0EC. 0ED. 0E解析：本题考查静电场基本方程0E，基本知识点习题难度：易静电场是无旋场，0E5. 已知有向闭合曲线L ，以L为边界的有向曲面为S ，L 的环绕方向与S 的法向方向满足右手螺旋法则，那么关于静电场环路定理，下述描述错误的是( )A. 0EB. d 0LE L C. ()d 0SE S D. ()d 0SE S解析：本题考查静电场环路定理的表达式，基本知识点 习题难度：中静电场环路定理的微分和积分形式分别为：0E，d 0LE L 根据斯托克斯定理可知：d ()d 0LSE L E S，所以D 错误6. 在直角坐标系中，已知电场强度2664V/m x y z E x e ye e，点M 位于(2,6,1) 、点N 位于(3,3,2) ，则MN ( )A. 101VB. 139VC. 101VD. 139V解析：本题知识点：电位的物理意义，电位差，电场力做功与路径无关 习题难度：难N N 2MN MMd (664)(d d d )x y z x y z E l xe ye e xe ye zeN (3,3,2)232MN (2,6,1)M(6d 6d 4d )(234)139V x x y y z x y z7. 在直角坐标系中，已知电场强度2664V/m x y z E x e ye e，点M 位于(2,6,1) ，若点Q(4,2,35) 为参考点，则M ( ) A. 90V B. 90V C. 120V D. 120V解析：本题知识点：电位物理意义，电位参考点，电场力做功与路径无关 习题难度：中2d (664)(d d d )Q Q x y z x y z MME l x e ye e xe ye ze232(6d 6d 4d )(234)Q Mx x y y z x y z CQ 为电位参考点，选择不同点为电位参考点，对应C 值各不相同。
电磁学练习题(环路定理 电势)
环路定理 电势－ 选择题1． 下列关于场强和电势的关系的说法中，正确的是：()A 已知某点的场强E ，就可以确定该点电势U ；()B 已知某点的电势U ，就可以确定该点场强E ；()C 在某空间内的场强不变，则U 也一定不变； ()D 在等势面上，场强E 不一定处处相等。
答案：()D下列关于静电场的说法中，正确的是：()A 电势高的地方场强就大； ()B 带正电的物体电势一定是正的；()C 场强为零的地方电势一定为零； ()D 电场线与等势面一定处处正交。
答案：()D在均匀电场中各点，下列诸物理量中：(1)电场强度、(2)电势、(3)电势梯度，哪些是大小相等的?()A (1)、(2)、(3)都相等； ()B (1)、(2)相等；()C (1)、(3)相等； ()D (2)、(3)相等。
答案：()C图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面，由图可看出：()A ,A B C A B C E E E U U U >>>>； ()B ,A B C A B C E E E U U U <<<<；()C ,A B C A B C E E E U U U >><<； ()D ,A B C A B C E E E U U U <<>>答案：()D关于静电场的保守性的叙述可以表述为：()A 静电场场强沿任一曲线积分时，只要积分路径是某环路的一部分，积分结果就一定为零；()B 静电场场强沿任意路径的积分与起点和终点的位置有关，也要考虑所经历的路径；()C 当点电荷q 在任意静电场中运动时，电场力所做的功只取决于运动的始末位置而与路径无关。
()D 静电场场强沿某一长度不为零的路径做积分，若积分结果为零，则路径一定闭合。
答案：()C静电场中，电场线为平行直线的区域内()A 场强E 处处相同，电势U 可以存在不同； ()B 场强E 可以处处不同，电势U 可以处处相同；()C 场强E 可以处处不同，电势U 可以处处不同； ()D 场强E 处处相同，电势U 也处处相同。
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W 2 (xy 2z) (0.8,0.6,1) 0.96 J (1,0,1)
4. 关于静电场环路定理的微分形式，下述描述正确的是( )
A. E 0
B. E 0
C. E 0
D. E
0
解析：本题考查静电场基本方程 E 0 ，基本知识点 习题难度：易 静电场是无旋场， E 0
2
5. 已知有向闭合曲线 L ，以 L 为边界的有向曲面为S ，L 的环绕方向与S 的法向方向
ey
ez
0
4z x
er re r sin e
A3
r2
1 sin
r
0
r0
0
e
A4 1
0
e ez
3 z
0 ，所以 A1和 A3可能是静电场的电场强度
30
1
2. 关于静电场，下列描述错误的是( ) A. 静电场是无旋场 B. 静电场是保守力场 C. 静电场的电力线可能闭合 D. 静电场中电场力做功与路径无关 解析：本题考查静电场的基本方程 E 0 ，基本知识点
7. 在直角坐标系中，已知电场强度 E 6x2 ex 6 y ey 4 eVz /m ，点 M 位于(2, 6, 1) ， 若点Q(4, 2, 35) 为参考点，则 M ( )
A. 90V
B. 90V
C. 120V
D. 120V
解析：本题知识点：电位物理意义，电位参考点，电场力做功与路径无关
习题难度：中
习题难度：易 静电场是无旋场，电力线不可能闭合。总是由正电荷出发，并终止于负电荷。
3.
有一非均匀电场 E y ex x
ey 2
，若从 ez
M
(1,0,1)
到
N
(0.8,
0.6,1)
沿着一小段圆弧
x2 y2 1， z 1移动 2C 电荷时，电场力所做的功为( )
A. 1.92J
B. 0.96J
Q
E dl M
Q M
(6x2 ex
6
yey
4ez )
(dxex dyey dz ez)
Q (6x2dx 6 ydy 4dz) (2x 3 3y 2 4z) C M
Q 为电位参考点，选择不同点为电位参考点，对应C 值各不相同。
若点Q(4, 2, 35) 为参考点，则 Q 0 ，计算可得C 0
2.4 静电场的环路定理习题解答
1. 已知矢量函数， A 1 xex 4 yey zez
， A ye 4ze xe ， A re (球坐标系)，
2
x
y
z
3
r
A4 e2 (圆柱坐标系)，则下列描述正确的是(
)
A. A2 和 A4 可能是静电场的电场强度 B. A1和 A3可能是静电场的电场强度 C. A1、 A3和 A4 可能是静电场的电场强度 D. A1和 A4 可能是静电场的电场强度
解析：本题考查静电场的基本方程 E 0 ，基本知识点 习题难度：中
是否可能是静电场的电场强度，只要看矢量的旋度是否为零就行。 本题的难度在于计算 A3和 A4 的旋度时，要分别使用球坐标和柱坐标系中旋度 的计算公式。
ex
A1
x
x
ey ez
y
z
0
4y z
ex
A2
x
y
ey ezyz源自4exC. 0.48J
D. 0.48J
解析：本题知识点：电场力做功与路径无关，即电场力做功只与两端点有关，而与
移动时的具体路径无关。
习题难度：中
W
q
N
E dl
M
2
N
M ( yex xey 2ez ) (dxex
dyey dz ez)
N
N
W 2M ( ydx xdy 2dz) 2M d(xy) 2dz
D. 139V
解析：本题知识点：电位的物理意义，电位差，电场力做功与路径无关
习题难度：难
MN
N
E dl
M
N M
(6x
2ex
6
yey
4ez
)
(dxex
dyey dz ez)
MN
N (6x 2dx 6 ydy 4dz) (2x3
M
3y2 4z) (3,3,2) 139V (2,6,1)
根据斯托克斯定理可知： L E dL S ( E) dS 0 ，所以 D 错误
6. 在直角坐标系中，已知电场强度 E 6x2 ex 6 y ey 4 eVz /m ，点 M 位于(2, 6, 1) 、 点 N 位于(3, 3, 2) ，则 MN ( )
A. 101V
B. 139V
C. 101V
M
(2x 3
3y 2
4z)
120V
(2,6,1)
3
满足右手螺旋法则，那么关于静电场环路定理，下述描述错误的是( )
A. E 0
B. L E dL 0
C. S ( E) dS 0
D. S ( E)dS 0
解析：本题考查静电场环路定理的表达式，基本知识点 习题难度：中
静电场环路定理的微分和积分形式分别为： E 0 ， L E dL 0