高考数学一轮总复习 6.7数学归纳法课件

A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
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解析 k为偶数，则k＋2为偶数，故选B. 答案 B
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4．设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋3n1－1(n∈N*)，则f(n＋1)－f(n) ＝________.
解析 ∵f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋3n1－1， ∴f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋3n1－1＋31n＋3n1＋1＋3n1＋2. ∴f(n＋1)－f(n)＝31n＋3n1＋1＋3n1＋2. 答案 31n＋3n1＋1＋3n1＋2
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＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立． 由(1)(2)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) ＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
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【规律方法】 用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中 验证n0的值，如本题要取n0＝2，在第(2)步的证明中应在归纳假设 的基础上推证n＝k＋1等式也成立，但必须用上归纳假设．
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那么当n＝k＋1时，
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋…＋
1 2k2k＋2
＋
1 2k＋1[2k＋1＋2]
＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12
＝4k＋k＋11k＋2 2＝4[k＋k＋11＋1]，
即n＝k＋1时等式成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．
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考点二
用数学归纳法证明不等式
【例2】 (2015·潍坊模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已 知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r 均为常数)的图象上．
(1)求r的值．
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n ∈N*，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1> n＋1成立．
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问题2 归纳假设有什么特征？ (1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上 归纳假设． 问题3 数学归纳法中第二步的证明有什么技巧？ 在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳 假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关 系，在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．
答案 2k
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R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
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问题探究 问题1 (1)第一个值n0是否一定为1呢？ (2)数学归纳法两个步骤有何关系？ (1)不一定，要看题目中n的要求，如当n≥3时，则第一个值 n0应该为3. (2)数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基 础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推．两者 缺一不可．
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5．用数学归纳法证明：“1＋
1 2
＋
1 3
＋…＋
1 2n－1
<n(n>1)”，
由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项
数是________．
解析
由n＝k(k>1)到n＝k＋1时，不等式左端增加的项为
1 2k
＋
2k＋1 1＋…＋2k＋11－1，共增加(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项．
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变式思考 1 用数学归纳法证明下列等式： 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2＝4nn＋1.
证明 (1)当n＝1时，等式左边＝2×1 4＝18， 等式右边＝411＋1＝18，∴等式成立． (2)假设n＝k时等式成立， 即2×1 4＋4×1 6＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1成立，
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J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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5
知识梳理
知识点
数学归纳法
1.数学归纳法的适用对象 数学归纳法是用来证明关于与 正整数n 有关命题的一种方
法，若n0是起始值，则n0是 使命题成立的最小正整数 ．
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2．数学归纳法证题的步骤 (1)证明当n取 第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立； (2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时 命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正 整数n都成立．
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高频考点
考点一
用数学归纳法证明等式
【例1】 设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)． 求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
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听 课 记 录 (1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1. 右边＝2[1＋12－1]＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设n＝k时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－k＋1 1]－k
第六章 不等式、推理与证明
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1
第七节 数学归纳法
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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2
高考明方向
1.了解数学归纳法的原理． 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
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3
备考知考情 高考对数学归纳法较少单独考查，一般和合情推理、数列、 不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇点处命题，题型以解 答题为主，难度中等偏上.
)
A．1
1 B.5
C．1＋12＋13＋14＋15
D．非以上答案
解析 f(1)＝1＋12＋13＋14＋15，故选C.
答案 C
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3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－
1 2
＋
1 3
－
1 4
＋…－
1 n
＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命
题为真，则还需要用归纳假设再证( )
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对点自测
知识点
数学归纳法
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为
1 2
n(n－3)条时，
第一步检验n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.
答案 C
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2．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋6n1－1(n∈N*)，则f(1)为(