L25-2 二阶电路的零输入响应-过阻尼和欠阻尼
二阶电路响应的三种状态轨迹和特点
二阶电路响应的三种状态轨迹和特点二阶电路是指由两个电感和两个电容元件构成的电路，它是电路中的一种常见类型。
在二阶电路中，电感和电容的存在导致电路的自然频率，从而影响电路的响应特性。
在电流或电压变化的情况下，二阶电路的响应可以分为三种状态：欠阻尼、过阻尼和临界阻尼。
下面将详细介绍这三种状态的轨迹和特点。
1.欠阻尼状态：
欠阻尼状态的特点包括：
-振荡幅度逐渐减小，最终稳定在一些特定值。
-振荡周期较长。
-被激励信号的频率在自然频率的附近。
2.过阻尼状态：
过阻尼状态的特点包括：
-响应快速收敛到稳定状态，没有振荡。
-没有振荡的存在使得响应更加平滑。
-被激励信号的频率通常远离自然频率。
3.临界阻尼状态：
临界阻尼状态的特点包括：
-响应最快地收敛到稳态，没有振荡。
-没有过冲和回弹的存在。
-被激励信号的频率通常接近自然频率。
综上所述，二阶电路的响应可以分为欠阻尼、过阻尼和临界阻尼三种状态。
每种状态具有不同的响应轨迹和特点，这取决于电路的自然频率和被激励信号的频率。
深入了解这些状态对于分析和设计电路至关重要。
二阶电路的零输入响应
§5.6 二阶电路的零输入响应5.6.1 二阶电路的初始条件初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。
第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压C u 的极性和流过电感电流L i 的方向；第二，电容上的电压总是连续的，即)0()0(-+=C C u u （5-31） 流过电感的电流也总是连续的，即)0()0(-+=L L i u （5-32） 确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。
5.6.2 R L C 串联电路的零输入响应如图5-37所示为RLC 串联电路。
开关S 闭合前，电容已经充电，且电容的电压0U u C =，电感中储存有电场能，且初始电流为0I 当0=t 时，开关S 闭合，电容将通过L R 放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R 转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。
+-L u C图5-37 RLC 串联电路的零输入响应由图5-37所示参考方向，据KVL 可得0=++-L R C u u u且有dtdu C i C C -=，dt du RC Ri u C R ==，dt u d LC dt di L u CL 2-==。
将其代入上式得022=++C CC u dtdu RC dt u d LC 式（5-33）是RLC 串联电路放电过程以C u 为变量的微分方程，为一 个线性常系数二阶微分方程。
如果以电流i 作为变量，则RLC 串联电路的微分方程为022=++i dtdi RC dt i LC d （5-34）在此，仅以C u 为变量进行分析，令Aeu ptC =，并代入（5-33），得到其对应的特征方程012=++RCp LCp 求解上式，得到特征根为LCL R L R P LC L R L R P 1221222221-⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= （5-35）因此，电容电压C u 用两特征根表示如下：t p tp C e A eA u 2121+= （5-36）从式（5-35）可以看出，特征根1p 、2p 仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。
二阶电路的零输入响应讲义
L ), C
s1s2实重根
3.R ? 0,? ? ? 0 (R ? 2
L ),
C
s1s2为一对共轭复根
4.R ? 0, s1s 2为一对共轭虚根
u(t ) ? A1e s1t ? A2es2t
初始条件为
u(0? ) ? u(0? ) ? 0
u?(0? ) ?
i(0? ) C
?
I0 C
二阶电路的零输入响应 代入初始条件得
C
s1s2为一对共轭复根
4.R ? 0, s1s2为一对共轭虚根
? d ? ? 0 cos?
? ? ? 0 sin ?
? ? arccos ? d ?0
? ? u(t) ? I0
e ? ? t e j? d t ? e ? ? t e ? j? d t
j2C? d
?
I0
C? d
e?? t
sin( ?
?提出问题
LC s2+RC s+1=0
列微分方程 特征根(即电路的自然频率)为
?解决问题
?结果分析
解微分方程
结果
s1 ? ? RC ?
( RC )2 ? 4LC 2LC
?? R ? 2L
? R ?2 ?? 2L ??
?
1 LC
s2
?
?
R 2L
?
? R ?2 ?? 2L ??
?
1 LC
二阶电路的零输入响应
L ), C
s1s2为不等的负实根
2.R? 0,? ? ?0(R? 2
L ), C
s1s2实重根
3.R ? 0,? ? ? 0 (R ? 2
L ),
C
完成二阶电路响应的三种欠阻尼、过阻尼及临界阻尼状态轨迹及其特点.docx
实验二二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、实验目的1、熟练掌握二阶电路微分方程的列写及求解过程；2、掌握 RLC 二阶电路零输入响应及电路的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；3、学会利用 MULTISIM 仿真软件熟练分析电路， 尤其是电路中各电压电流的变化波形。
二、实验原理用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路， 二阶电路中至少含有两个储能元件。
二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程， 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。
分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程， 并利用初始条件求解得到电路的响应。
二阶方程一般都为齐次方程。
齐次方程的通解一般分为三种情况： （ RLC 串联时）1、S 1 S 2 为两个不等的实根（称过阻尼状态）f hS t S tA 1e 11 A 2 e 12 此时， R 2 L，二阶电路为过阻尼状态。
C2、 S 1 S 2为相等实根（称临界状态） f h （ A 1 A 2 )e t此时， R 2L ，二阶电路为临界状态。
C 3、 S 1、2j 为共轭复根（称欠阻尼状态） f h sin( t)e t此时 R2 L ，二阶电路为欠阻尼状态。
C 这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据， 它决定了电路中电流电压关系以及电流电压波形。
三、实验内容电路中开关 S 闭合已久。
t=0 时将 S 打开，并测量。
1、欠阻尼状态（ R=10Ω,C=10mF,L=50mH）如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。
波形图展示了欠阻尼状态下的U C和 U L波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形) 。
2、临界阻尼（ R=10Ω ,C=10mF,L=0.25mH）如图所示，为临界状态的二阶电路图。
图展示了临界状态下的U C的波形。
波形图展示了临界状态下的U C和 U L波形。
3、过阻尼状态（ R=10Ω,C=1mF,L=1mH）如图所示，为过阻尼状态下的二阶电路图。
二阶电路的零输入响应基础知识讲解
uc E Ae t sin(t ) (P1、2 j )
uc E
由初值
uc (0 ) duc (0 ) dt
确定二个常数
t
例
k 2A
0.5 u1
+
u-1
2W 2W
i1
1/6F
1H
2-i
2W
i
求所示电路 i 的
零状态响应。
(1) R 2 L C
uc A1e p1t A2e p2t
uc (0 ) U0 A1 A2 U0
i(0 ) C duc (0 ) dt
P1 A1 P2 A2 0
uc
U0 P2 P1
( P2e P1t
P1e P2t )
A1
P2
P2
P1
U
0
A2
P1 P2 P1
U0
uc
解
第一步列写微分方程
i1= i － 0.5 u1 = i － 0.5(2－ i)2 = 2i －2
由KVL：
2(2
i
)
2i1
6
i1dt
di dt
2i
整理得：
d 2i dt 2
8
di dt
12i
12
二阶非齐次常微分方程
d 2i dt 2
8
di dt
12i
12
解答形式为： i i' i"
第二步求通解i ‘
t
0 < t <
+
R
-C
L
< t < -
+
R
-C
L
二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点
二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点二阶电路是指由电感、电容和电阻组成的电路，是一种常见的电路形式。
在二阶电路中，电流和电压的变化随时间的推移会形成一种特定的响应，即响应的三种状态轨迹。
这三种状态轨迹分别是欠阻尼状态、临界阻尼状态和过阻尼状态。
下面将分别介绍这三种状态轨迹的特点。
1.欠阻尼状态：在欠阻尼状态下，电路中的阻尼比ζ<1，电路会出现周期性振荡的现象。
响应的状态轨迹呈现出振荡的形式，振幅逐渐减小，但不会衰减至零。
欠阻尼状态下的二阶电路响应具有以下几个特点：(1)振荡频率：欠阻尼状态下的振荡频率与电路的固有频率有关，频率较高。
(2)衰减时间：欠阻尼状态下的衰减时间较长，振幅不会很快减小，会持续振荡一段时间。
(3)最大振幅：欠阻尼状态下的振幅会有一个最大值，然后逐渐减小。
(4)超调量：欠阻尼状态下的超调量较大，即振幅的最大值与稳态值之间的差异较大。
2.临界阻尼状态：在临界阻尼状态下，阻尼比ζ=1，电路的响应会趋于稳定，不会出现振荡的现象。
响应的状态轨迹呈现出指数衰减的形式，振幅会很快减小到零。
临界阻尼状态下的二阶电路响应具有以下几个特点：(1)振荡频率：临界阻尼状态下没有振荡，所以没有特定的振荡频率。
(2)衰减时间：临界阻尼状态下的衰减时间最短，振幅会很快减小到零。
(3)没有超调量：临界阻尼状态下没有超调量，即振幅的最大值与稳态值之间的差异为零。
3.过阻尼状态：在过阻尼状态下，阻尼比ζ>1，电路的响应会趋于稳定，并且不会出现振荡的现象。
响应的状态轨迹呈现出更加缓慢的衰减形式，振幅会逐渐减小到稳态值。
过阻尼状态下的二阶电路响应具有以下几个特点：(1)振荡频率：过阻尼状态下没有振荡，所以没有特定的振荡频率。
(2)衰减时间：过阻尼状态下的衰减时间较长，振幅会逐渐减小到稳态值。
(3)没有超调量：过阻尼状态下没有超调量，即振幅的最大值与稳态值之间的差异为零。
总的来说，二阶电路的响应状态轨迹可以通过阻尼比ζ来判断。
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应教材
ω δ
若R=0，则 0 0
L
t = 0 + uL – C
2
uc
p1, 2 j0
i
–
uC
+
i
t
uC u L U 0 sin(0t ) 2
C i U 0 sin( 0t ) L
等幅振荡 无阻尼现象
12
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us (t ) U m cos st
15
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例
+ R
uC(0－)=0 , iL(0－)=0
iL
L 微分方程为： +
d 2uC duC LC RC uC U S dt dt
US (t)
uC
- C
特征方程为:
uC u C uC
特解 通解
LCp 2 RCp 1 0
可推 广应 用于 一般 二阶 电路
L R2 临界阻尼， 非振荡放电 C t t
uC A1e
p1t
A2e
p2t
uC A1e
A2te
L R2 欠阻尼， 振荡放电 C
uC Ae
t
sin(t )
uC ( 0 ) 定常数 由初始条件 duC (0 ) dt
(4)定常数
100t
sin(100t )
iL (0 ) 1 A sin 2 100 A cos 100 A sin 0 uL (0 )
45 A 2
iL 1 2e 100 t sin( 100 t 45 )
完成二阶电路响应的三种欠阻尼过阻尼与临界阻尼状态轨迹和特点
完成二阶电路响应的三种欠阻尼过阻尼与临界阻尼状态轨迹和特点二阶电路是指由两个电感和两个电容构成的电路，常见的二阶电路包括二阶低通滤波器、二阶高通滤波器、振荡器等。
二阶电路的响应包括三种状态：欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。
1.欠阻尼状态欠阻尼状态是指二阶电路的阻尼比小于临界阻尼时的状态。
在欠阻尼状态下，电路的阻尼比大于1，电路会发生振荡。
欠阻尼状态下的二阶电路的特点是：振荡频率为固定值，振荡衰减的幅度随时间增大而减小。
2.临界阻尼状态临界阻尼状态是指二阶电路的阻尼比等于1时的状态。
在临界阻尼状态下，电路不会发生振荡，且电路的响应最快。
临界阻尼状态下的二阶电路的特点是：响应时间最短，过渡过程最平稳。
3.过阻尼状态过阻尼状态是指二阶电路的阻尼比大于1时的状态。
在过阻尼状态下，电路不会发生振荡，且电路的响应速度较慢。
过阻尼状态下的二阶电路的特点是：响应时间较长，过渡过程较缓慢。
在二阶电路中，三种状态的轨迹可以通过绘制相应的阻尼比图来表示。
对于欠阻尼状态，阻尼比小于1，而相位角是一个正弦曲线。
对于临界阻尼状态，阻尼比等于1，相位角是一个直线。
对于过阻尼状态，阻尼比大于1，而相位角是两个阶梯曲线。
从特性角度来看，欠阻尼状态下的二阶电路是有振荡的，可以用于振荡器的设计；临界阻尼状态下的二阶电路响应最快，过渡过程最平稳，适用于需要快速响应的系统；过阻尼状态下的二阶电路响应时间较长，过渡过程较缓慢，适用于需要较长时间稳定的系统。
总结起来，二阶电路的响应包括欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种状态。
不同状态下的响应轨迹和特点有所不同，分别适用于不同的应用场景。
在实际设计中，需要根据系统需求选择合适的阻尼比来获得所需的响应特性。
二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应
uL
衰减振荡放电 欠阻尼现象
•9
uc U0
能量转换关系：
iC
0 - 2- 2
t
+
+
+
C -
L- C
L- C
L
R
0 < t <
R
R
< t < - - < t <
•10
uCU 00ets i nt ()
i U0 et sin( t) L
o U0 i(t)
Im o
Im
+ C uC
-
结论：两种不同性质储能
元件构成的电路，储能在电
t
场和磁场之间往返转移，这
种周而复始的过程称为“振
t 荡”。
i
若元件为理想的，称等幅
振荡；若电路中存在电阻，
L 幅度逐渐衰减为零，称衰减
振荡，也称阻尼振荡。
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼
情况（无振荡）。
•21
• 求二阶电路全响应的步骤
(a)列写t >0+电路的微分方程
(b)求通解
(c)求特解
(d)全响应=强制分量+自由分量
f (0)
(e)由
初
值df dt
(0)
定常数
•22
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例 uC(0－)=0 , iL(0－)=0
+ R iL
- US (t)
L
+
uC- C
微分方程为：
LC dd 2utCRC ddutCuCUS
二阶电路响应的三种欠阻尼过阻尼及临界阻尼状态轨迹及其特点仅供借鉴
二阶电路响应的三种欠阻尼过阻尼及临界阻尼状态轨迹及其特点仅供借鉴在二阶电路中，欠阻尼、过阻尼和临界阻尼是描述系统阻尼情况的三个概念。
根据阻尼比的不同取值，系统的响应会表现出不同的特点和轨迹。
1.欠阻尼状态：在欠阻尼状态下，阻尼比小于1，系统的特征方程解有一对复根。
此时，系统的响应过程中振荡频率为无阻尼自然振荡频率ωn，振幅逐渐减小但不会衰减到零。
欠阻尼状态的轨迹特点：-响应过程中存在振荡，且振动频率恒定，不衰减。
-振幅逐渐减小，但不会衰减到零。
-在相图上，轨迹呈螺旋状，逐渐靠近原点。
2.过阻尼状态：在过阻尼状态下，阻尼比大于1，系统的特征方程解为两个实根。
此时，系统的响应过程中没有振荡，系统会更快地达到稳定状态。
过阻尼状态的轨迹特点：-响应过程中不存在振荡，系统直接趋于稳定状态。
-响应过程中振幅迅速衰减。
-在相图上，轨迹呈二维指数衰减曲线。
3.临界阻尼状态：在临界阻尼状态下，阻尼比等于1，系统特征方程解为重根。
此时，系统的响应在振荡和快速稳定之间达到平衡状态。
临界阻尼状态的轨迹特点：-响应过程中有一次完整的振荡周期，随后趋于稳定状态。
-响应过程中振幅的衰减速度较快。
-在相图上，轨迹呈阻尼振荡曲线，逐渐向稳定状态收敛。
总结起来，欠阻尼状态下的二阶电路具有振荡现象，振幅逐渐减小但不衰减到零；过阻尼状态下的二阶电路没有振荡，系统直接趋于稳定状态；临界阻尼状态下的二阶电路在振荡和稳定之间达到平衡状态。
掌握这三种状态的特点及其在相图上的轨迹有助于我们深入理解二阶电路的响应情况。
二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点教学教材
二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、 实验目的1.了解二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点。
2掌握二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点的测试方法。
二、 实验原理二阶电路是含有立个独立储能元件的电路，描述电路行为的方程是二阶线性常系数微分方程。
应用经典定量分析开关闭合后U C 、i 等零输入响应的变化规律0=++-L R C u u u将如下R 、L 、C 元件的电压电流表达式dtdu C i C C -= dtdu RC Ri u C R == dtu d LC dt di L u C L 2-== 代入KVL 方程，可得022=++C C C u dtdu RC dt u d LC 由数学分析可知，要确定二阶微分方程的解，除应知道函数的初始值外，还应知道函数的一阶导数初始值，它可根据下列关系求得由于ci dt du C -= 所以"+'=u u u C C C 所示二阶微分方程的解可设为st C C Ae u u ="=012=++RCs LCs特征根为LC L R L R S 1222-⎪⎭⎫ ⎝⎛±-= 因此 t t C e A e A u 21s 2s 1+=由初始条件Uc(0+)=Uo,可得 A1+A2=Uo 又t t C e A e A dtdu 21s 2s 1+= 可求得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=1201212021s s U s A s s U s A（1） CL R 2>，S1和S2为不相等的负实数，暂态属非振荡类型，称电路是过阻尼的。
（2） CL R 2=， S1和S2为两相等的负实数，电路处于临界阻尼，暂态是非振荡的。
（3） CL R 2< ，S1和S2为一对共轭复数，暂态属振荡类型，称电路是欠阻尼的。
二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点(仅供借鉴)
实验二二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、实验目的1、熟练掌握二阶电路微分方程的列写及求解过程；2、掌握RLC 二阶电路零输入响应及电路的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；3、学会利用MULTISIM 仿真软件熟练分析电路，尤其是电路中各电压电流的变化波形。
二、实验原理用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件。
二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。
分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。
二阶方程一般都为齐次方程。
齐次方程的通解一般分为三种情况：（RLC 串联时）1、 21S S ≠ 为两个不等的实根（称过阻尼状态）t S t S h e A e A f 211121+= 此时，CL R 2>，二阶电路为过阻尼状态。
2、 σ==21S S 为相等实根（称临界状态）t h e A A f σ)21+=（ 此时，CL R 2=，二阶电路为临界状态。
3、 ωσj S ±-=21、为共轭复根（称欠阻尼状态）t h e t f σβω-+=)sin( 此时CL R 2<，二阶电路为欠阻尼状态。
这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据，它决定了电路中电流电压关系以及电流电压波形。
三、实验内容电路中开关S 闭合已久。
t=0时将S 打开，并测量。
1、欠阻尼状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH ）如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。
波形图展示了欠阻尼状态下的C U 和L U 波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形)。
2、临界阻尼（R=10Ω,C=10mF,L=0.25mH ）如图所示，为临界状态的二阶电路图。
图展示了临界状态下的C U 的波形。
波形图展示了临界状态下的C U 和L U 波形。
3、过阻尼状态（R=10Ω,C=1mF,L=1mH ）如图所示，为过阻尼状态下的二阶电路图。
(完成)二阶电路响应的三种(欠阻尼、过阻尼及临界阻尼)状态轨迹及其特点
实验二二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、实验目的1、熟练掌握二阶电路微分方程的列写及求解过程；2、掌握RLC 二阶电路零输入响应及电路的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；3、学会利用MULTISIM 仿真软件熟练分析电路，尤其是电路中各电压电流的变化波形。
二、实验原理用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件。
二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。
分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。
二阶方程一般都为齐次方程。
齐次方程的通解一般分为三种情况：（RLC 串联时）1、 21S S ≠ 为两个不等的实根（称过阻尼状态）t S t S h e A e A f 211121+= 此时，CL R 2>，二阶电路为过阻尼状态。
2、 σ==21S S 为相等实根（称临界状态）t h e A A f σ)21+=（ 此时，CL R 2=，二阶电路为临界状态。
3、 ωσj S ±-=21、为共轭复根（称欠阻尼状态）t h e t f σβω-+=)sin( 此时CL R 2<，二阶电路为欠阻尼状态。
这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据，它决定了电路中电流电压关系以及电流电压波形。
三、实验内容电路中开关S 闭合已久。
t=0时将S 打开，并测量。
1、欠阻尼状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH ）如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。
波形图展示了欠阻尼状态下的C U 和L U 波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形)。
2、临界阻尼（R=10Ω,C=10mF,L=0.25mH ）如图所示，为临界状态的二阶电路图。
图展示了临界状态下的C U 的波形。
波形图展示了临界状态下的C U 和L U 波形。
3、过阻尼状态（R=10Ω,C=1mF,L=1mH ）如图所示，为过阻尼状态下的二阶电路图。
二阶电路零输入响应形式
二阶电路零输入响应形式
零输入响应与特征频率
与一阶动态电路一样，二阶动态电路的零输入响应是当电路中激励为零时电路变量的动态响应。
当输入为零时，电路方程变为齐次微分方程，响应的形式即电路的特性完全由电路参数确定。
零输入响应的求解即是求解如下方程方程的特征方程和特征根为特征根又称为特征频率。
零输入解的一般形式为但由于特征频率的不同取值情况，解的形式有所不同。
特征频率的取值可以有3种情况，由判别式确定。
当Δ0：两个特征频率s1,s2 为两个不等负实数（过阻尼）。
当Δlt;0：s1,s2 为一对共轭复数（欠阻尼）。
当Δ=0: s1,s2 为两个相等的负实数（临界阻尼）。
当a1=0：s1,s2 为一对共轭虚数（无阻尼）。
零输入响应不同形式举例
求t0时RLC串联电路中uc(t)零输入响应。
根据KVL列出t0时uc满足的微分方程方程的特征方程和特征频率为不同的特征频
率可以用判别式来判断。
1.过阻尼(损耗较大) 特征根为两个不等实根s1, s2 lt;0，令响应形式为
2. 临界阻尼特征根为两个相等实根s1=s2 =-σ,响应形式为
3. 欠阻尼特征根为一对共轭复根其中响应可以化为或其中：C1 , C2 , A, q 为实常数，由初始条件确定。
波形为衰减振荡（阻尼振荡）
4. 无阻尼特征根为一对共轭虚根波形为自由振荡。
二阶电路欠阻尼响应公式
二阶电路欠阻尼响应公式
二阶电路是一种常用于电子器件和电路中的电路结构，具有广泛的应用。
在二阶电路中，欠阻尼是指系统在受到扰动后，响应的振荡幅度逐渐增大而不会消失的情况。
欠阻尼响应的公式可以通过二阶等效电路模型和拉普拉斯变换得到。
假设二阶电路由一个电感L、一个电容C和一个电阻R组成，输入信号为电压源V(t)，则电路的欠阻尼响应可以表示为以下公式：
V(t) = A * exp(-ζωnt) * sin(ωdt + φ)
其中，A代表振幅，ζ代表阻尼比，ωn代表系统的自然频率，ωd代表阻尼角频率，φ代表相位差。
在欠阻尼的情况下，阻尼比ζ小于1，因此振荡幅度会逐渐增大而不会衰减。
相比之下，过阻尼情况下的响应会衰减得更快，且阻尼比ζ大于1。
当阻尼比ζ等于1时，达到了临界阻尼，此时的响应会最快地衰减到稳定状态。
通过欠阻尼响应公式，我们可以获得二阶电路在特定输入信号下的响应特性。
这对设计和分析电路的稳定性和动态响应非常重要。
在实际应用中，我们可以通过调整电路元件的参数来改变阻尼比ζ，以控制系统的振荡幅度和稳定性。
总结而言，二阶电路的欠阻尼响应公式可以用来描述系统在受到扰动后的振荡行为。
了解这个公式可以帮助我们更好地理解和分析二阶电路的动态特性，并在实际应用中进行设计和优化。
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二阶电路的零输入响应（二）
2. 欠阻尼
R<2 L C
ω0 )
uC (t ) et ( A1 cos ωd t A2sinωd t )
uC(t)
i
+
uC_
i(t)
S (t =0) C
+ uL-
L
-
R uR
+
uC (0+ ) = A1
d uC dt
t 0
i(0+ ) C
A1 + ωd A2
uC_ C + uL-
L
R s1,2 = - 2L
( R )2 1 2L LC
jd
无阻尼，其响应为等幅振荡
主讲老师 : 唐 莺
第二十五讲 动态电路的暂态分析—— 二阶电路的零输入响应(二)
二阶电路的零输入响应（二）
例1
S (t =0)
+ U_ 1V 4Ω
R
+ 1F
uC_ C
L 1H
s2 + R s + 1 = 0 L LC
s1 2 + 3 = -0.268
s2 2 3 -3.732
s1,2
=
K 2e
jωd )t
et ( K1e jωd t K2e jωd t ) et [(K1 K2 )cos ωd t j(K1 K2 )sinωd t]
cos ωd t jsinωd t cos ωd t jsinωd t
二阶电路的零输入响应（二）
2. 欠阻尼
R<2 L C
ω0 )
R L
d uC dt
1 LC
uC
0
d2 uC dt2
2
d uC dt
2uC
0
d dt
(d uC dt
uC )
(d uC
dt
uC )
0
二阶电路的零输入响应（二）
3. 临界阻尼
R=2 L C
ω0 ) iC +
d dt
(d uC dt
uC
)
(
d uC_
d y y 0
uL
S (t =0) C
+ uL-
L
t/s
-
R uR
+
二阶电路的零输入响应（二）
2. 欠阻尼
R<2 L C
ω0 )
共轭复数
R s1,2 = - 2L
( R )2 1 2L LC
jωd
i
S (t =0)
+
-
uC_ C
R uR
+ uL-
+
L
uC K1es1t K2es2t
K e jωd )t 1
0
t
二阶电路的零输入响应（二）
3. 临界阻尼 R = 2 L ω0 ) i
C
+
uC_
s1,2
=
-
R 2L
( R )2 1 2L LC
s2
=
s2
=
-
R 2L
S (t =0) C
+ uL-
L
-
R uR
+
uC K1es1t K2es2t ( K1 K2 )et K 3et ？
d2 uC dt2
dt
y K1et
S (t =0) C
+ uL-
L
d uC dt
uC
K 1e t
et
d uC dt
et uC
K1
d dt
(et uC )
K1
et uC K1t K2
-
R uR
+
二阶电路的零输入响应（二）
3. 临界阻尼
R=2 L C
s2
=
s2
=
-
R 2L
ω0 ) i + uC_
et uC K1t K2
uC K1es1t K2es2t
uC (0+ ) = K1 K2
d uC dt
t0 K1s1 K 2 s2
i(0+ ) C
二阶电路的零输入响应（二）
1. 过阻尼
R>2 L C
ω0 )
i
+
uC_
uC K1es1t K2es2t
i /A tm
0
1 uC 、uL/ V
uC
t/s
tm
0
共轭复数
R s1,2 = - 2L
( R )2 1 2L LC
jωd
S (t =0)
+
-
uC_ C
R uR
+ uL-
+
L
uC et ( K1e jωdt K2e jωdt ) et[(K1 K2 )cos ωd t j(K1 K2 )sinωd t]
et ( A1 cos ωd t A2sinωd t )
-
R 2L
( R )2 1 2L LC
2 ω02
1. 过阻尼 R > 2 L
C
ω0 )
二阶电路的零输入响应（二）
1. 过阻尼 R > 2 L
C
R s1,2 = - 2L
( R )2 1 2L LC
ω0 )
i
+
uC_
不相等负实数
S (t =0) C
+ uL-
L
-
R uR
+
图示电路，设电容电压uc(0+)=U0和电感电流i(0+)=I0
uC(t) (K1t K2 )et
uC (0+ ) K1
S (t =0) C
+ uL-
L
uC(t)
-
R uR
+
duC dt
|t 0+
K1
K2
i(0+ ) C
0
t/s
二阶电路的零输入响应（二）
思考 R = 0 零输入响应？
+
S (t =0)
-
uC_ C
R uR
+ uL-
+
L
S (t =0) +