解析几何之圆的方程

第九章 解析几何之圆的方程

*定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合

*

基本要素：定位→圆心O 、定形→半径r

*圆的标准方程与一般方程

（1）标准方程：

，圆心（a ，b ），半径为r ；

圆心（0，0），半径为r

（2）一般方程：

特点：（必要非充分条件） a ．x ²、y ²的系数相同且不等于0； b ．不含

xy 的二次项．

①

＞0→圆（A=C ≠0，B=0）

圆心，半径为；

②=0时，表示点

；

③

＜0

时，不表示任何图形。

*点与圆的位置关系：

1.利用点到圆心的距离来判定： 点

与圆

（r ＞0），

若，则

（1）点P 在圆外；

（2）点P 在圆上；

（3）

点P 在圆内。

2.利用圆的标准方程来判定：

*圆的切线方程（注意：对k 是否存在分类讨论！！！） Ⅰ.常见情况： （1）已知：圆

①若切点

在圆上→切线只有一条，

其方程是

②当

在圆外，必有两条切线：

→

过两切点的切点弦方程

→设

→相切条件→k

→斜率k →设y=kx+b →相切条件→b （2）已知圆， ①过圆上

的切线方程：

②斜率为k 的圆的切线方程：

Ⅱ.求法：

（1）切线与圆仅有一个交点

①代数法：

设切线方程→直线方程代入圆的方程→△=0求解 ②几何法：d=r （2）过定点：

①过圆上一点的切线方程：

a)与圆

相切与点

的切线方程

是

b)与圆

相切于(rcos θ,rsin θ)

的切线方程是xcos θ+ysin θ-r=0

c)与圆 (X-A)²+ (Y-B)=r²相切于点(X1,Y1)的切线方程是(X1-A)(X-A)+(Y1-B)(Y-B)=r²

d)与

圆相切于

点

的切线方程是

②过圆外一点的切线方程

设

外一点，求过P0点的圆的切线．

方法l ：设切点，解方程组

→切点P1的坐标→写出切线方程。

方法2：

设切线方程是

∵→待定系数k

→写出切线方程.

注意：观察图形→是否有垂直于x轴的切线！！！！

*直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆

1.认识：

2.性质：

（1）直线l和⊙O相交 d＜r

（2）直线l和⊙O相切 d=r；

（3）直线l和⊙O相离 d＞r。

3.判定方法：

（1）代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆

x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系，可由

推出mx2+nx+p=0，利用判别式△进行判断．

△>0相交；△=0相切；△<0相离．

（2）几何法

+性质

（3）弦长的计算(见参数一章)：弦长公式or几何法or两点式

圆与圆

1.认识

2.方法：

（1）几何法+两圆公切线条数

（2）代数法：联立两圆方程→一元二次方程

注意：x值可能对应两个y值！！！【慎用】

*轨迹方程

1.一般步骤（直接法）：

（1）建系设点

（2）列式→代入

（3）简化→证明

2.常用解法：①直接法②定义法③相关点法

④待定系数法⑤参数法⑥交轨法

*几种特殊位置的圆的方程：

*圆系方程

（1）定义：所有的圆都有相同的圆心，但r 不同的圆的总和or r 相同，但圆心不同的圆的总和。 （2）应用：求圆方程；证明四点共圆

*关于点、直线对称的圆的方程

*与圆有关的最值问题 *相交弦所在直线的方程（方法：将两圆方程相减）

习题：

● 直线与圆2015-Z1

● 对角互补的四边形一定四点共圆吗？2015-Z19

●

一道直线恒过定点问题的多证、探源及拓展2015-Z19

● 2015湖北高考理科第14题探究2015-Z18

● 圆系方程及运用技巧2011-05 ● 直线系与圆系方程2002-SB ●

巧用圆的性质解题2011-05

补充：韦达定理法：

不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l 的方程用y=kx+m 或x=n 表示．