解析几何之圆的方程
解析几何结论大全
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解析几何结论大全是一个非常广泛的主题，涵盖了许多方面。
以下是一些常见的解析几何结论：
1. 两点之间的距离公式：$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
2. 直线方程：点斜式 $y-y_1=m(x-x_1)$，斜截式 $y=mx+b$，两点式$y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x+y_1$
3. 圆的方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，圆心 $(a,b)$，半径 $r$
4. 圆与圆的位置关系：相交、相切、相离
5. 圆锥曲线的标准方程：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\frac{y^2}{a^2}-
\frac{x^2}{b^2}=1$，抛物线 $y^2=2px$ 或 $x^2=2py$
6. 圆锥曲线的焦点、准线、离心率等性质
7. 空间向量的加法、数乘、向量的模
8. 向量的数量积、向量积、向量的混合积
9. 向量的坐标表示：$(a,b,c)$，向量的模 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
10. 空间直角坐标系中的点 $(x,y,z)$ 与其相邻三个坐标面围成的单位体积为$\frac{1}{6}$。
以上只是解析几何的一部分结论，还有许多其他结论和定理，可以根据需要进行查阅和学习。
第二章 解析几何初步(二)圆
．
；此时直线 l：x+y
21．已知圆 x2+y2＝4 与圆 x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0 交于 A，B 两点，则|AB|＝
．
22．已知圆 C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0 和圆 C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0 相交于 A，B 两点，则直线
AB 的方程是
，线段 AB 的长度是
．
23．已知△ABC 的三个顶点 A（1，﹣2），B（0，5），C（﹣3，﹣4）． （1）求过 B 点且与点 A，C 距离相等的直线方程； （2）求三角形的外接圆方程．
A．外切
B．内切
C．相交
D．外离
16．已知直线 l：y＝x+m 与曲线
A．
B．
有两个公共点，则实数 m 的取值范围是（ ）
C．
D．
17．若圆 x2+y2﹣2kx﹣4＝0 关于直线 2x﹣y+3＝0 对称，则 k 等于（ ）
A．
B．﹣
C．3
D．﹣3
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第二章 解析几何初步（二）—圆
18．若直线 l：y＝kx+3﹣k 与曲线 C：y＝
相交：d＜r ；相切：d＝r；相离：d＞r ②代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由
消元，得到一元二次方程的判别式△
相交：△＞0； 相切：△＝0； 相离：△＜0．
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第二章 解析几何初步（二）—圆 5．圆与圆的位置关系及其判定 （1）圆与圆的位置关系
（2）圆与圆的位置关系的判定 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，|O1O2|＝d 利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 ①外离（4 条公切线）：d＞r1+r2 ②外切（3 条公切线）：d＝r1+r2 ③相交（2 条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2 ④内切（1 条公切线）：d＝|r1﹣r2| ⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|
(完整版)高中数学解析几何公式大全
(完整版)高中数学解析几何公式大全一、直线方程1. 点斜式：y y1 = m(x x1)，其中m是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一个点。
2. 斜截式：y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
3. 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
二、圆的方程1. 标准式：(x a)2 + (y b)2 = r2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2. 一般式：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是常数。
三、椭圆的方程1. 标准式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。
2. 一般式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。
四、双曲线的方程1. 标准式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。
2. 一般式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。
五、抛物线的方程1. 标准式：y2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
2. 一般式：y2 = 4ax + b，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，b是抛物线在y轴上的截距。
六、直线与圆的位置关系1. 判定直线与圆的位置关系：计算直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系。
如果d < r，直线与圆相交；如果d = r，直线与圆相切；如果d > r，直线与圆相离。
2. 直线与圆的交点：解直线方程和圆的方程，得到两个交点的坐标。
七、直线与椭圆的位置关系1. 判定直线与椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆方程，得到一个关于x的一元二次方程。
解析几何复习系列之四(圆的方程)
圆的方程【复习要点】 1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，其中圆心为(,)a b ，半径为r2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->），其中圆心为(,)22DE-- 3、以11((,)A x y ，22(,)B x y 为直径端点的圆的方程为：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=【强化训练】1、点(51,12)P a a +在圆22(1)1x y -+=的内部，则实数a 的取值范围是2、曲线214y x =与圆C ：225x y +=的交点坐标是 3、由点(1,3)P 作圆C ：229x y +=的切线，则切线长为4、过点M 的圆C ：229x y +=的切线方程为5、过圆2246120x y x y +-+-=内一点(1,0)P -的最长弦所在的直线方程是6、方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是7、以点(3,4)-为圆心，且与x 轴相切的圆的方程为8、与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，且与x 轴、y 轴都相切的圆的个数是9、“240D F -=”是“圆220x y Dx Ey F ++++=与x 轴相切”的 条件10、若直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不过第三象限，则直线l 斜率的取值范围是11、圆02422=++-+a y x y x 与y 轴相交于A 、B 两点，圆心为M ，若 90=∠AMB ，则a 的值等于 ，12、若圆422=+y x 和圆044422=+-++y x y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程是13、方程|x |－1=2)1(1--y 表示的曲线（ ）A 、一个圆B 、两个半圆C 、一个半圆D 、两个圆14、求圆心在直线4y x =-上，且与直线l ：10x y +-=相切于点(3,2)P -的圆的方程.15、已知(1,2)P 为圆229x y +=内一定点，过P 作互相垂直的两条射线P A 、P B 交圆于,A B 两点，求A B 中点M 的轨迹方程.16、已知圆22440x y x y m +-+-=关于直线20x y --=对称的圆是C ，且圆C 恰好与直线 34400x y +-=相切，求实数m 的值.。
解析几何复习圆的方程
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
(x a)2 ( y b)2 r 2
Ax
By
C
0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
圆与圆的 五 种 位置关系
中点公式求D, kDG kMN 1
DG
O
x
M
kMN ( yM yN ) /(xM xN )
小结：两圆相切的性质
C、C’为圆心，N为切点
y
C、N、C '三点共线
① kCN kC ' N
②点C’在直线CN上
C’
N CB
x
P44 A7
• 求圆 C : x2 y2 x 2y 0 关于直线 l : x y 1 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
即 (x 2)2 (y 3)2 25
P134 A3
3.已知圆C的圆心在直线 x 2 y 1 0 上，并
且经过原点和点A（2，1），求圆的标准方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
a 2b 1 0 (0 a)2 (0 b)2 r 2 (2 a)2 (1 b)2 r 2
所求圆的方程为
rba2 122156009
(x 6)2 ( y 1 )2 29
5
10 20
待定系数法
例：以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-
7=0 相切的圆.
y
解：设所求圆的半径为r
圆的解析几何方程
〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)1．点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r 点M在圆外；(2)d=r 点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，b)判别式为△，则有：(1)d＜r 直线与圆相交；(2)d=r 直线与圆相切；(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；(3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)d＞k+r 两圆外离；(4)d＜k+r 两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．(3)圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N(3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程。
平面解析几何中的圆方程
平面解析几何中的圆方程在平面解析几何中，圆是一个非常重要的几何形状。
通过方程的表示，我们可以了解圆的性质和特征。
本文将介绍平面解析几何中的圆方程，并探讨一些相关的概念和性质。
1. 标准圆方程我们首先来讨论圆的标准方程。
设一个圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的标准方程可以表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中，圆心坐标为(h, k)，表达了圆心在平面坐标系中的位置；半径为r，表示了圆的大小。
2. 圆的一般方程除了标准方程外，圆还可以表示为一般方程。
一般方程的形式为：Ax^2 + Ay^2 + Bx + Cy + D = 0其中，A、B、C、D为常数，并且A和C不同时为0。
通过圆的一般方程，我们可以推导出标准方程来反推圆的性质。
3. 圆心和半径的确定对于给定的圆方程，我们可以通过观察方程的形式，来确定圆的圆心和半径。
在标准方程中，圆心的坐标即为方程中的(h, k)，而半径r可以通过方程=r^2来求解。
在一般方程中，首先需要将方程恢复到标准方程的形式。
可以通过平方完成平方项的系数，并移项整理得到标准方程。
再通过比较系数的方法，可以求解出圆的圆心和半径。
4. 圆的性质圆作为一个重要的几何形状，具有许多重要的性质。
以下是一些常见的圆的性质：4.1 切点和切线：在圆上任意一点，都可以作出一条切线，切线与半径垂直。
4.2 弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。
直径是一条通过圆心的弦，有特殊的性质。
4.3 弧：圆上两点之间的部分称为弧。
整个圆的弧称为周长。
4.4 弧度制：角度的度量单位有弧度和角度制两种。
圆的周长为360°或2π弧度。
4.5 圆与直线的关系：在平面解析几何中，我们可以通过方程的求解，来研究圆与直线的交点和切点等问题。
5. 圆的相关定理在平面解析几何中，存在许多与圆相关的定理和性质。
以下是一些常见的圆相关定理：5.1 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么切点到圆心的距离与切线的斜率之积等于-1。
圆系方程知识点总结
圆系方程知识点总结圆系方程的一般形式可以表示为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F是常数，通常要求A、B、C不全为零。
根据A、B、C的取值不同，圆系方程可以表示不同的曲线形状。
在接下来的内容中，我们将从圆系方程的基本知识开始，逐步深入讨论圆、椭圆、双曲线和抛物线，并介绍它们在数学和物理中的应用。
1. 圆的方程圆是平面上与定点的距离等于定长的点的集合。
它的方程可以表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆的圆心坐标，r是圆的半径。
通过这个方程，我们可以得到圆的各种性质，如直径、周长和面积等。
2. 椭圆的方程椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 + ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆的中心坐标。
通过椭圆的方程，我们可以得到椭圆的长轴、短轴、焦点、离心率等性质。
3. 双曲线的方程双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 - ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是双曲线的半长轴和半短轴，(h, k)是双曲线的中心坐标。
通过双曲线的方程，我们可以得到双曲线的渐近线、离心率等性质。
4. 抛物线的方程抛物线是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中(a, b, c)是抛物线的常数，a不等于零。
通过抛物线的方程，我们可以得到抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质。
除了这些基本的圆系方程，我们还可以将它们进行适当的平移、旋转和缩放，得到不同形式的方程。
这些变换可以帮助我们更好地理解和利用圆系方程。
在数学中，圆系方程有着重要的应用。
例如，在几何学中，我们可以通过圆系方程研究曲线的性质和特征，解决曲线的相关问题。
解析几何专题2圆的方程及应用
《高中数学专题题型分类大全》解析专题二圆的方程及应用『知识与方法梳理』？（一）圆的方程的两种形式方程形式方程相关参数意义标准式(x - a)1 2+ (y - b)2= r2圆心（a,b）,半径：r一般式2 2x + y2+ Dx + Ey + F = 0 (D2+ E2-4F > 0 )圆心(--D，- E )，半径：r= 2/ D2+ E2- 4F(二)点与圆的位置关系的判定点P(x°, y o). 圆M 方程 (1) (x -a)2 + (y -b)2 = r2;(2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2= r2;2 2(2) X0 + y0 + Dx。
+ Ey0 + F = 0.1.点p在圆上.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2< r2;2 2(2) X。
+ y°+ Dx 0 + Ey 0 + F < 0.2.点P在圆内.(1)(X。
-a)2+ (y°-b)2> r2;2 2⑵ X0 + y°+ Dx0 + Ey°+ F > 03.点P在圆夕卜.圆方程点p（x0, y0）到圆上的切线长1. x2+y2=r2|PT| ^X02+ y02- r22 2 22. (x-a) 2+(y 七)2=r2|PT| 珂(x°- a)2+( y°- b)2- r22 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0|PT| 珂X02+ y02+ Dx0 + Ey°+F圆方程切线方程1. x2+y2=r22X0X + y°y = r2 2 22. (x-a)2+(y-b)2=r22(X0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0X0X + y°y + D号+ 誓+F = 01. 直线I:Ax+By+C=0,圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0 当直线l与圆C相交时，过两交点的圆的方程可设成（三）直线与圆的关系方法已知细d直M圆旳X FD 4 < +2 -2一二A卜+2X线：—直M圆2 22 C1: x +y +D1x+E1y+F1=0C2： x2+y2+D2X+E2y+F2=0(1 )当5与C2相交时，两圆公共弦所在直线方程为（D1 - D2）X + （E1 - E2）y + （F1 - F2） = 0（2）当C1与C2相交时，过两圆交点的圆的方程可设为_x2+y2+D1x+E1y+F1 + X (xhy2+D2x+E2y+F2) = 0_ 或—'"_ _x2+y2+D j x+E 1y+Fj_+ X [(D- D2)x+(E^ - E2)y+(F 1 - F2)] = 0相关运算离距N= ( d心凰=0那+F判M+CDX脚立BV2+尹耽用2x，Ax元{艄《必修2》解析专题、圆的方程及应用圆|G半径D,圆C2半径r2.圆C1与圆C?位置关系.（1）皿施心内含(2)也-呵=15。
解析几何中的圆及其方程求解
解析几何中的圆及其方程求解圆是我们数学里一个非常重要的几何图形，它可以在解析几何中被理解为平面上所有与固定点距离相等的点构成的图形。
比如我们平常所说的车轮、球、光盘等，都可以被抽象表示为圆形。
接下来，我们将会学习在解析几何中，如何表示圆及其方程的求解方法。
一、圆的表示方式解析几何中，我们可以用不同的方式来表示圆。
最常使用的是标准方程、一般方程和参数方程。
1、标准方程标准方程的表达式为：$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$其中，$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
通过标准方程，我们可以得知圆的位置、大小以及形状等信息。
但是，我们需要确定圆的两个参数$a$和$b$，所以我们需要求解这两个未知数。
通常我们通过已知圆上一点的坐标来求解$a$和$b$。
2、一般方程一般方程的表达式为：$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$注意，这里的系数$A,B,C,D,E$和常量$F$都可以是有理数和实数。
如果我们需要表示一个圆，那么该方程必须满足$B^2-4AC<0$，这是因为圆是对称图形，不存在直线$x=y$，所以该方程的实际解是一组虚数。
通过一般方程，我们可以得到圆的位置、大小以及形状等信息。
3、参数方程参数方程的表达式为：$$x=a+r\cos\theta,y=b+r\sin\theta$$其中$(a,b)$为圆心，$r$为半径，$\theta$为参数。
通过参数方程，我们可以看到圆的位置和形状，但是需要我们确定一个参数$\theta$，因此我们需要转化成另一个方程。
二、圆的方程求解方法一般来说，我们在实际应用中需要通过已知条件，求解出圆的方程。
下面，我们将重点介绍几种常用的求解方法。
1、已知圆心和半径当我们知道了圆心和半径时，我们可以用标准方程来求解。
比如，我们知道圆心坐标为$(5,5)$，半径为$3$时，可以得出：$$(x-5)^2+(y-5)^2=9$$2、已知圆上任意一点和半径当我们知道了圆上任意一点的坐标和半径时，可以通过圆的特殊性质，即圆周长相等，来求解圆心坐标和半径。
平面解析几何(圆的方程)
平面解析几何——圆的方程圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x－x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ ) (3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ ) (4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5， 所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 答案 D解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.4．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.5．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为 y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52. 思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎨⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，yx 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34， ∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx ＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3，∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，在y 轴上的截距b 取最小值， 由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3， 即b ＝－2±6， 故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC ， 与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题例3 (2017·潍坊调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中， |PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程． 思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规范解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，(3＋22)2＋D (3＋22)＋F ＝0，(3－22)2＋D (3－22)＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3， 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2， 解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·昆明一模)方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋22 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 b a ×2ab＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6．(2016·九江模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．23 答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形P ACB 的面积最小， |PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|P A |＝|PB |＝ 3.所以四边形P ACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C.7．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解之得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254.8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________． 答案 x ＋y －2＝0解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1， 所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求． 易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13，tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)．10．(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7， 故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5. (1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程． 解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0. 设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43， 知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意． 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)． 由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0， ∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意， ∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3. *13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，n－3所以m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。
高中数学平面解析几何的圆的方程推导与应用
高中数学平面解析几何的圆的方程推导与应用一、圆的方程推导在平面解析几何中，圆是一个非常重要的概念。
我们知道，圆是由平面上所有到圆心距离相等的点组成的。
为了方便研究圆的性质和应用，我们需要找到一种数学表达方式来表示圆。
这就是圆的方程。
1. 圆的标准方程假设圆的圆心坐标为(x0, y0)，半径为r。
那么，圆上的任意一点(x, y)到圆心的距离为：√[(x - x0)² + (y - y0)²] = r这就是圆的标准方程。
我们可以通过这个方程来推导圆的其他形式。
2. 圆的一般方程将圆的标准方程进行平方运算，得到：(x - x0)² + (y - y0)² = r²这就是圆的一般方程。
一般方程的形式更加简洁，方便进行计算和分析。
3. 圆的参数方程圆的参数方程是通过参数来表示圆上的点的坐标。
假设参数为θ，那么圆上的点的坐标可以表示为：x = x0 + rcosθy = y0 + rsinθ通过参数方程，我们可以方便地求得圆上的点的坐标。
二、圆的应用圆作为数学中的重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。
下面我们将介绍几个常见的圆的应用场景。
1. 圆的几何应用圆的几何应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，我们经常需要绘制圆形的窗户、圆形的花坛等。
在制作轮胎、车轮等物品时，也需要考虑圆的性质。
此外，圆的性质还可以应用于地理测量、天文学等领域。
2. 圆的运动学应用在物理学中，圆的运动学应用非常重要。
例如，当一个物体以圆周运动时，我们可以通过圆的方程来描述它的运动状态。
通过对圆的运动进行分析，我们可以计算出物体的速度、加速度等重要参数。
3. 圆的工程应用在工程领域，圆的应用也非常广泛。
例如，在建筑工程中，我们需要计算圆形的地基面积、圆形的管道长度等。
在机械工程中，我们需要设计圆形的齿轮、圆形的轴承等。
总结：通过对圆的方程推导和应用的介绍，我们可以看到，圆作为平面解析几何中的重要概念，在实际生活和学习中有着广泛的应用。
解析几何：圆的方程
解析几何：圆的方程在解析几何中，我们经常遇到圆形。
圆是一个在平面上具有特定性质的图形，它由与圆心等距的点组成。
在数学中，我们可以通过方程来描述圆。
圆的一般方程形式为：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
根据圆的一般方程，我们可以推导出其他形式的圆的方程，包括标准方程、截距方程以及圆的参数方程。
一、标准方程标准方程是描述圆形最简洁的形式，形式如下：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F为实数，且D² + E² > 4F。
该方程描述的圆心坐标为(-D/2, -E/2)，半径为√(D² + E² - 4F)。
二、截距方程截距方程是描述圆形的另一种形式，形式如下：(x/a)² + (y/b)² = 1其中，a、b分别表示圆心到横轴和纵轴的截距，描述的是一个以坐标原点为圆心的圆。
三、参数方程参数方程是通过参数化描述圆形的方程，形式如下：x = a + r*cosθy = b + r*sinθ其中，(a, b)表示圆心坐标，r为半径，θ为参数角度。
四、圆的性质除了方程形式的描述，圆还具有一系列独特的性质。
1. 圆上任意两点与圆心的距离相等；2. 圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，直径长度为半径的两倍；3. 圆的内切圆与外接圆分别与圆相切于一个点；4. 圆的周长为2πr，面积为πr²。
五、实例分析以标准方程为例，假设有一个圆的方程为x² + y² - 6x - 4y + 9 = 0，我们可以通过比较方程与一般方程的系数来找出圆的相关信息。
将方程与一般方程形式对应，我们可以得到D = -6，E = -4，F = 9。
进一步计算得到圆心坐标为(3, 2)，半径为√(D² + E² - 4F) = √(36 + 16 - 36) = √16 = 4。
平面解析几何的圆方程
平面解析几何的圆方程在平面解析几何中，圆是一个重要的几何形状。
圆可以由其心点和半径来确定，而圆方程则可以表示这个关系。
本文将介绍平面解析几何中圆方程的概念、性质和应用。
一、圆方程的定义和性质在平面解析几何中，圆可以用圆心坐标和半径来确定，其一般方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²其中，(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
根据圆方程的定义，我们可以得到以下圆方程的性质：1. 当圆心坐标为(a, b)且半径为r时，圆上的点(x, y)满足方程(x-a)² + (y-b)² = r²。
2. 圆的半径r大于0，且圆的直径是半径的两倍。
3. 圆的直径可以通过两点坐标的距离公式计算：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]，其中d为直径。
4. 圆的弦是圆上任意两点的连线段，它的中点恰好在圆上。
圆的直径可以看作是一个特殊的弦，它通过圆心。
5. 圆的切线是与圆仅有一个公共点的直线，且与圆的半径垂直。
二、圆方程的应用圆方程在平面解析几何中有着广泛的应用。
以下是圆方程的几个常见应用场景：1. 圆的位置关系判断通过圆方程可以判断一个点是否在圆上或圆内。
将点的坐标代入圆方程中，若等式成立则表示点在圆上，若不成立则表示点在圆外。
2. 圆与直线的交点计算通过圆方程和直线方程可以求解圆与直线的交点。
将直线方程代入圆方程，可以得到一个关于未知数的二次方程，解该方程即可求得交点的坐标。
3. 圆的切线计算通过对圆方程求导，可以得到切线斜率。
然后将切线斜率和切点坐标代入直线方程中，即可求得圆的切线方程。
4. 圆与圆的位置关系判断通过圆方程可以判断两个圆的位置关系。
将一个圆的方程代入另一个圆的方程，可以得到一个关于未知数的二次方程。
解该方程可以确定两个圆是相交、内切还是相离的关系。
5. 圆的曲线绘制通过圆方程可以确定圆的形状和位置，从而进行圆的曲线绘制。
解析几何圆的公式
解析几何圆的公式圆的解析几何方程如下圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0)。
其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。
该圆圆心坐标为(-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。
圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数)圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0*x+b0*y=r^2 扩展资料：直线与圆的位置关系平面内直线与圆的位置关系有三种：（1）相离：无交点；（2）相切：仅有一个交点；（3）相交：有两个交点。
直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离d与半径r的关系：（1）d>r：直线与圆相离；（2）d=r：直线与圆相切；（3）d<r：直线与圆相交。
初中数学圆的知识点总结1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
圆系方程判别式
圆系方程判别式圆系方程是数学中的一种常见形式，用于描述圆的特征和性质。
在解析几何中，圆系方程的判别式是用来判断一个方程代表的曲线是否为圆的关键指标。
在本文中，我们将介绍圆系方程判别式的含义和应用。
一、圆的一般方程在解析几何中，圆可以用一般方程表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²其中，(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
这个方程被称为圆的一般方程，可以用来描述任意位置和半径的圆。
二、圆系方程判别式的含义圆系方程判别式是通过方程中的系数来判断方程代表的曲线是否为圆。
对于一般方程(x-a)² + (y-b)² = r²，圆系方程判别式为 D = 4r² - (x-a)² - (y-b)²。
判别式D的值可以分为以下几种情况：1. 当D>0时，表示方程代表的曲线为一个实心圆；2. 当D=0时，表示方程代表的曲线为一个点，即圆心；3. 当D<0时，表示方程代表的曲线为一条直线或不存在。
三、圆系方程判别式的应用圆系方程判别式在解析几何中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用情景。
1. 圆的位置关系判断通过圆系方程判别式，我们可以判断两个圆的位置关系。
当两个圆的判别式均为正数时，表示两个圆相交；当一个圆的判别式为零，另一个圆的判别式为正数时，表示一个圆在另一个圆内部；当两个圆的判别式均为零时，表示两个圆重合；当一个圆的判别式为零，另一个圆的判别式为负数时，表示一个圆在另一个圆外部；当两个圆的判别式均为负数时，表示两个圆没有交点。
2. 圆与直线的位置关系判断通过圆系方程判别式，我们还可以判断圆与直线的位置关系。
当圆的判别式为正数时，表示圆与直线相交；当圆的判别式为零时，表示圆与直线相切；当圆的判别式为负数时，表示圆与直线没有交点。
3. 圆的特殊情况判断通过圆系方程判别式，我们还可以判断圆的特殊情况。
高考文科数学解析几何专题总结(圆)
高考文科数学解析几何专题总结圆基础知识注意：方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示一个圆的充要条件：①0B =；②0A C =≠；③2240D E AF +->.确定圆的方程常用的性质有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. 二、点、直线与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系将点M （00x ,y ）代入圆方程C ：2x a y-b r -+=22（）（）或220x y Dx Ey F ++++=（224D E F +->0）,若左右两边相等，则点在圆上；若左边大于右边，则点在圆外；若左边小于右边，则点在圆内. （2）直线和圆的位置关系：设圆C ：2x a y-b r -+=22（）（），直线0Ax By C ++=，圆心C （a，b ）到直线l 的距离为d ，由20x a y -b rA xB yC ⎧-+=⎨++=⎩22（）（），消去y （或x ），得到关于x （或y ）的一元二次方程，①若两圆相切，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++02222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线方程.②公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .:0:222222111221=++++=++++F y E x D y x C F y E x D y x C③若两圆相离，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++02222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为圆心21O O 的连线的中线方程.(3)圆的切线方程问题圆的方程为222x y r +=（0r >），点M （0x ，0y ），若M 在O 上，则过M 的切线方程为200x x y y r +=.若M 在O 外，则直线200x x y y r +=与O 的位置关系是相交. 若M 在O 内，则直线200x x y y r +=与O 的位置关系是相离.三、圆与圆的位置关系类型1. 求圆的方程一般采用待定系数法确定圆的方程，在选取圆的方程两种形式中的一种时，若已知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程。
圆系方程在解析几何中的应用(
圆系方程在解析几何中的应用通常已知圆C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0。
若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为：D1−D2x+E1−E2y+(F1−F2)= 0而有些问题，已知圆的方程和公共弦的方程，求另一个圆的方程。
若已知圆C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0，公共弦所在的直线方程为：Ax+By+C=0则可设圆C2的方程为：: x2+y2+Am+D1x+Bm+E1y+Cm+F1=0 ,然后根据题目的其他条件求出其中的参数m即可。
例1、已知圆C:x2+y2+x−6y+m=0 和直线l：x + 2y – 3 = 0交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径。
解：由OP⊥OQ ,知：直线l是圆C和以PQ为直径的圆A的公共弦。
设所求圆A的方程是：x2+y2+1+k x+2k−6y+m−3k=0，圆心是A（−k+12 ,3−k），得：(−k+12)+2(3−k)-3=0又由圆A过原点，得：m=3k 解之得：k=1，m=3故所求圆C的圆心为（-12，3），半径为52例2、已知圆，是否存在斜率为的直线，使被圆截得的弦为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由。
解：设直线l的方程为：x-y+m=0，依题意，以AB为直径的圆Q的方程可设为：x2+y2+k−2x+4−k y+km−4=0，则圆心Q(2−K2 ,K−42)满足l的方程，得：k ·2−k2–k·k−42+km =0 （1）由圆Q过原点，得：km – 4 =0 （2）解之得：k=4，m=1 或k=-1 m=-4故所求的直线l的方程为：x – y + 1 = 0 或x – y – 4 = 0练习：已知圆O：x2+y2=4，过P(0,4)做直线l交圆O与A、B两点，若以AB为直径的圆M过Q(2,0)，求l的方程及圆M的方程。
解：设直线l的方程为：x=0 或kx-y+4=0（1）当直线l的方程为：x=0 时，经检验，符合要求。
圆的方程五种求法分类
圆的方程求法分类圆的方程是解析几何中一类重要曲线方程，是高考的必考内容之一，本文将圆的方程的求法作以分类解析，供学习时参考.一、直接法根据条件利用圆的有关性质，求的圆心坐标和半径，从而写出圆的方程的方法.例1已知圆C 的圆心与点(2,1)P 关于直线1y x =+对称．直线3430x y ++=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，求圆C 的方程.点评：若根据条件利用圆的有关性质，易求的圆心坐标和半径,常用直接法.二、间接法——化未知为已知若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：⎩⎨⎧βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得⎩⎨⎧=β=α),(),(y x h y x g ② 代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0.【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程.【点评】上述两种方程为求轨迹的基本方法：相关点及参数法.三、待定系数法例3 已知圆C 经过A （-2，4），B （3.-1）两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，求圆C 的方程.点评：求圆的方程的常用方法是待定系数法，若已知圆心或半径或在解题过程中需要用到圆心或半径，如已知弦长、相切等，则将圆的方程设成标准方程形式；若已知条件与圆心和半径无关，则设圆的一般方程.四、几何法——与向量或三角沟通直线被圆截得的弦长计算，运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及半径构成直角三角形计算，此公式是半径2=弦心距2+半弦长2.【例4】 在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB |=2|OA |，且点B 的纵坐标大于零.（1）求向量AB 的坐标； （2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；【例5】已知一圆经过点(3,1)A ，(1,3)B -,且它的圆心在直线320x y --=上.（1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点(3,0)C ,求线段CD 的中点M 的轨迹方程.五、圆系法经过两圆1C ：2x +2y +x D 1+y E 1+1F =0和圆2C ：2x +2y +x D 2+y E 2+2F =0交点的圆系方程为：222211122()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）.注意包括圆1C 不包括圆2C .经过直线：0Ax By C ++=与圆：220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为：22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.例6求过直线240x y ++=和圆：222410x y x y ++-+=的交点，且面积最小的圆的方程.分析：本题是过直线与圆的交点的圆的方程问题，可用圆系法.点评：若所求圆过两圆的交点或以直线与一个圆的交点，常用圆系法，本题也可用直接法，因以直线被圆截得的弦为直径的圆半径最小，此时圆面积最小，故可求出直线与圆的交点，从而求出圆心与半径，写出圆的方程.在求圆的方程时，根据已知条件，选用合适的方法求解，用待定系数法时，注意方程类型的选定.【例7】求经过两圆x2＋y2＋6x－4=0和x2＋y2＋6y－28=0的交点，并且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程.。
解析几何中的圆与曲线方程
解析几何中的圆与曲线方程在解析几何中，圆与曲线方程是研究图形性质和解题的基础。
本文将详细介绍圆与曲线方程的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和应用解析几何中的相关知识。
一、圆的方程圆是平面上所有离圆心距离都相等的点的集合。
在解析几何中，圆的方程可以用不同的形式表示，如一般式、标准式和参数方程等。
1. 一般式圆的一般式方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2其中，(a, b)为圆心坐标，r为半径长度。
这种形式的方程可以描述任意位置和大小的圆。
2. 标准式圆的标准式方程为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F为常数，且满足D^2 + E^2 - 4F > 0。
这种形式的方程适用于求解圆心在坐标原点的情况，常用于圆与其他图形的交点求解。
3. 参数方程圆的参数方程描述了圆上所有点的坐标变化关系。
以极坐标为例，圆的参数方程为：x = a + r*cosθy = b + r*sinθ其中，(a, b)为圆心坐标，r为半径长度，θ为角度。
这种形式的方程常用于描述圆的运动轨迹。
二、曲线方程解析几何中的曲线方程可分为二次曲线、三次曲线等不同类型。
下面将以二次曲线为例介绍曲线方程的常见形式。
1. 椭圆方程椭圆是平面上所有到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
椭圆的标准方程为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中，(0, 0)为椭圆中心的坐标，a、b为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
该方程描述的是以坐标原点为中心的椭圆。
2. 双曲线方程双曲线是平面上所有到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。
双曲线的标准方程为：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1或(x/a)^2 - (y/b)^2 = -1其中，a、b为双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
该方程描述的是以坐标原点为中心的双曲线。
3. 抛物线方程抛物线是平面上所有到一个给定点的距离等于到一条给定直线距离的点的集合。
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第九章 解析几何之圆的方程
*定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合
*
基本要素：定位→圆心O 、定形→半径r
*圆的标准方程与一般方程
（1）标准方程：
，圆心（a ，b ），半径为r ；
圆心（0，0），半径为r
（2）一般方程：
特点：（必要非充分条件） a ．x ²、y ²的系数相同且不等于0； b ．不含
xy 的二次项．
①
＞0→圆（A=C ≠0，B=0）
圆心，半径为；
②=0时，表示点
；
③
＜0
时，不表示任何图形。
*点与圆的位置关系：
1.利用点到圆心的距离来判定： 点
与圆
（r ＞0），
若，则
（1）点P 在圆外；
（2）点P 在圆上；
（3）
点P 在圆内。
2.利用圆的标准方程来判定：
*圆的切线方程（注意：对k 是否存在分类讨论！！！） Ⅰ.常见情况： （1）已知：圆
①若切点
在圆上→切线只有一条，
其方程是
②当
在圆外，必有两条切线：
→
过两切点的切点弦方程
→设
→相切条件→k
→斜率k →设y=kx+b →相切条件→b （2）已知圆， ①过圆上
的切线方程：
②斜率为k 的圆的切线方程：
Ⅱ.求法：
（1）切线与圆仅有一个交点
①代数法：
设切线方程→直线方程代入圆的方程→△=0求解 ②几何法：d=r （2）过定点：
①过圆上一点的切线方程：
a)与圆
相切与点
的切线方程
是
b)与圆
相切于(rcos θ,rsin θ)
的切线方程是xcos θ+ysin θ-r=0
c)与圆 (X-A)²+ (Y-B)=r²相切于点(X1,Y1)的切线方程是(X1-A)(X-A)+(Y1-B)(Y-B)=r²
d)与
圆相切于
点
的切线方程是
②过圆外一点的切线方程
设
外一点，求过P0点的圆的切线．
方法l ：设切点，解方程组
→切点P1的坐标→写出切线方程。
方法2：
设切线方程是
∵→待定系数k
→写出切线方程.
注意：观察图形→是否有垂直于x轴的切线！！！！
*直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆
1.认识：
2.性质：
（1）直线l和⊙O相交 d＜r
（2）直线l和⊙O相切 d=r；
（3）直线l和⊙O相离 d＞r。
3.判定方法：
（1）代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆
x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系，可由
推出mx2+nx+p=0，利用判别式△进行判断．
△>0相交；△=0相切；△<0相离．
（2）几何法
+性质
（3）弦长的计算(见参数一章)：弦长公式or几何法or两点式
圆与圆
1.认识
2.方法：
（1）几何法+两圆公切线条数
（2）代数法：联立两圆方程→一元二次方程
注意：x值可能对应两个y值！！！【慎用】
*轨迹方程
1.一般步骤（直接法）：
（1）建系设点
（2）列式→代入
（3）简化→证明
2.常用解法：①直接法②定义法③相关点法
④待定系数法⑤参数法⑥交轨法
*几种特殊位置的圆的方程：
*圆系方程
（1）定义：所有的圆都有相同的圆心，但r 不同的圆的总和or r 相同，但圆心不同的圆的总和。
（2）应用：求圆方程；证明四点共圆
*关于点、直线对称的圆的方程
*与圆有关的最值问题 *相交弦所在直线的方程（方法：将两圆方程相减）
习题：
● 直线与圆2015-Z1
● 对角互补的四边形一定四点共圆吗？2015-Z19
●
一道直线恒过定点问题的多证、探源及拓展2015-Z19
● 2015湖北高考理科第14题探究2015-Z18
● 圆系方程及运用技巧2011-05 ● 直线系与圆系方程2002-SB ●
巧用圆的性质解题2011-05
补充：韦达定理法：
不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l 的方程用y=kx+m 或x=n 表示．。