硕士生《数理统计》例题

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工程硕士——数理统计习题5答案

5.1解：首先计算11n i i x x n ==∑=550，11ni i y y n ==∑=57；再计算离差平方和621()x x i i l x x ==-∑=175000，61()()x y i i i l x x y y ==--∑=10300；计算回归系数1ˆ/0.0589x x x y l l β=≈，01ˆˆ24.6286y x ββ=-≈；从而得到回归方程：ˆ24.62860.0589yx =+。

5.4解：（1）首先计算110.7029n i i x x n ==≈∑，11 1.5782ni i y y n ==≈∑；再计算离差平方和1721()0.7094x x i i l x x ==-≈∑，171()() 1.4682x y i i i l x x y y ==--≈-∑；计算回归系数1ˆ/ 2.0698xx x yl l β=≈-，01ˆˆ 3.0332y x ββ=-≈；从而得到回归方程：ˆ 3.0332 2.0698yx =-。

下算2DY σ=的无偏估计。

（由P 97性质 5.2.4知：22ˆ/(2)E S n σ=-是2σ的无偏估计）因为1722222212/()/3.0686 1.4682/0.70940.0298ETRy y x yx x i x y x xi S S S l l l y y l l ==-=-=--≈-=∑所以，22ˆ/(172)0.0020E S σ=-=。

（2）用F 检验法检验，取显著水平0.05α=，统计假设为：0111ˆˆ:0,:0H H ββ=≠ 临界值 21ˆ(1,2)0.002 4.540.01280.7094xxF n c l ασ--⨯==≈；拒绝域{}201ˆ0.0128K c β=>=。

由于221ˆ(2.0698)0.0128c β=->=，所以拒绝0H 接受1H ，故认为Y 和X 之间的线性关系显著。

研究生数理统计期末考试

数理统计学复习题1．设总体(0,1)X N ，125,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，试确定C 使统计量1212222345()()C X X Y X X X +=++服从t 分布。

2．设12,,,n X X X 是来自总体2(0,)X N σ 的简单随机样本，问统计量2221(1)nii X U n X ==-∑服从什么分布？试说明你的理由。

3．求总体(20,3)N 的容量分别为10、15的两独立样本的均值差的绝对值大于0.3的概率。

4．设12,,,n X X X 为取自总体2(,)X N μσ 的简单随机样本，求常数C ，使得12111()n i i i X X C-+=-∑为2σ的无偏估计量。

5．设总体X 服从参数为θ的指数分布，其分布密度函数为11,0()0,0x ex f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，试求参数θ的矩估计、极大似然估计，并讨论估计的无偏性、有效性、相合性和充分性。

6．设总体X 的密度函数为22(),0xxf x ex θθ-=>，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，试求参数θ的极大似然估计，并讨论估计的无偏性、有效性、相合性和充分性。

7．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，试求参数λ的矩估计、极大似然估计，并讨论估计的无偏性、有效性、相合性和充分性。

8．设总体X 的密度函数为111()(01)f x x x θθ-=<<，12,,,n X X X 为取自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计量，并讨论极大似然估计量的无偏性、有效性、相合性和充分性。

9．设铅的比重近似服从正态分布，今测量比重16次，得 2.705x =，0.029s =，试求铅的比重的均值μ和标准差σ的置信水平为0.95的置信区间。

已知0.025(15) 2.1315t =，20.025(15)27.488χ=，20.975(15) 6.262χ=。

北京交通大学硕士数理统计复习题

复习题： 1设12,,,n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的样本，1．试问2211()nii Xμσ=-∑服从什么分布（指明自由度） )1,0(~N X i σμ-且独立，)(~)()(1212122n X X ni i n i i χσμμσ∑∑==-=-2．假定0μ=，求212212()()X X X X +-的分布。

)2,0(~221σN X X +,)2,0(~221σN X X -)1,0(~221N X X σ+,)1,0(~221N X X σ-)1(~)2(221χσX X +,)1(~)2(221χσX X -又221)2(σX X +和221)2(σX X -相互独立，故212212()()X X X X +-＝)1,1(~1/)2(1/)2(221221F X X X X σσ++ {2设总体X 服从(0,1)上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，最大顺序统计量),,,max (21)(n n X X X X =，求随机变量)(n X 的概率密度；解：⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(~x x f X ，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,0)(x x x x x F而),,,max (21)(n n X X X X =的分布函数为})),,,{max(}{)(21)()(z X X X P z X P z F n n X n ≤=≤=}),,,{21z X z X z X P n ≤≤≤= n z F )]([=()()z F z f n n XX )()('=()[]()z f z F n n 1-=1-=n nz ，)10(<<z3设X 服从),0(θ上的均匀分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它01)(θθx x fn X X X ,,,21 为样本，),,,max (21)(n n X X X X =，》1）求随机变量)(n X 的概率密度；2）问{}nX X X ,,,max ˆ21 =θ是否为θ的无偏估计量答 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它01)(~θθx x f X ,其分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=θθθx x x x x F ,10,0,0)({}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤==≤=θθθθy y y y y F y X X X P y F n nn ,10,)(0,0)]([),,,(max )(21ˆ⎪⎩⎪⎨⎧<<==--其它,00,)()]([)(11ˆθθθy ny y f y F n y f n n nθθθθθθ≠+===⎰⎰-+∞∞-1)()ˆ(01ˆn ndy ny ydy y yf E nn ，不是无偏估计4设总体X 的概率密度为.,,0,)()(其它θθ≥⎩⎨⎧=--x e x f xθ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，]1．求θ的矩估计量1θ∧；矩估计法:1)(-==⎰∞--θθθdx xe EX x ，令X EX =-=1θ, => 1ˆ1+=X θ 2．求θ的最大似然估计量2θ∧；最大似然估计法：设n x x x ,,21 为样本的观察值，则似然函数为∑===---=∏ni ii x n x ni eeL 1)(1)(θθθ，θθ≥=≥≤≤i ni i x n i x 1min ,,1,即按似然估计的思想，当似然函数关于θ是增函数，故ix min ˆ2=θ。

某大学研究生考试《数理统计》试卷

数理统计试题（工程硕士，2008）一、填空题（每空4分，共32分）1.母体是指: .2.简单随机样本: .3.无偏估计量是指 .4.假设检验的基本思想: .5.如何检验一元线性回归模型成立否： .6. 设母体2(,)X N μσ ,12(,,,)n X X X分布, 分布, 2211()ni i Xμσ=-∑ 分布,三、（8分）设总体X 的概率密度为()()0x e x f x x θθθ--⎧≥=⎨<⎩ 其中0θ>是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，求：参数θ 的最大似然估计量．四、（8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其它010)1()(x x x f θθ其中1->θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，求：参数θ 的矩估计量．五、（8分）某工厂某日生产的某种零件中随机地抽取9个测得长度(单位:毫米)如下:14.6、14.7、15.1、14.9、14.8、15.0、15.1、15.2、14.8，如果该零件长度服从正态分布，且已知标准差为0.15毫米，求零件长度均值的置信水平为0.95的置信区间.六、（8分）统计两个文学家马克.吐温的8篇小说以及斯诺特格拉斯的10篇小说中由3个字母组成的词的比例得:马克.吐温: 10.231875x = *210.000212s =斯诺特格拉斯: 20.2097x = *220.000093344s = 设两组数据分别来自正态总体,且两总体方差相等,两样本相互独立.问: 两个作家小说中由3个字母组成的词的比例是否有显著差异.2(0.05, (16) 2.1199)t αα==.七、（12分）检查一本书的100页,记录各页中的印刷错误的个数,其结果如下:错误个数X 0 1 2≥3 含X 个错误的页数36 40 19 5问:能否认为一页的印刷错误的个数服从泊松分布{}, 1,2,3,!kP X k e k k λλ-=== . 2(0.05, () 5.991)ααχα==. 提示: (0)(1)(2)(3)1p X p X p X p X =+=+=+≥=.七、（12分）下表给出在三台搅拌机中采用两种不同搅拌速度获得的混凝土强度数据。

研究生-数理统计课后答案参考

, i 1, 2, , n
解
由已知条件得： Yi ~ B(1, p) ，其中 p 1 FX ( ) .
因为 X i 互相独立，所以 Yi 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有
Y ~ B(n, p) ， p 1 F
i 1 i
n
X
( ) .
9 设 X1 ,, X n 是来自总体 X 的样本，试求 EX , DX , ES 2 。假设总体的分布为： 1） X ~ B( N , p); 2) X ~ P( ); 3) X ~ U [a, b]; 4) X ~ N ( ,1);
解
n 2 2 2 E Xi X E (n 1) S (n 1) ES i 1 (n 1) DX (n 1) 2
2 (n 1) S 2 n 2 4 D X i X D ( n 1) S D 2 i 1
试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形. 解
图 1.2 数据直方图
它近似服从均值为 172，方差为 5.64 的正态分布，即 N (172,5.64) . 4 设总体 X 的方差为 4，均值为，现抽取容量为 100 的样本，试确定常数 k，使得满足 P( X k ) 0.9 .
2）对总体 X ~ P( )
P( X 1 x1 , X 2 x2 , X 3 x3 , X 4 x4 , X 5 x5 ) P( X i xi )
i 1 i 1 n 5
x
i
xi !
e
5xBiblioteka x !i 1 i5
e 5
其中： x

西大数理统计工程硕士习题

数理统计一、填空题1、设n X X X ,,21为总体X 的一个样本，如果),,(21n X X X g ，则称),,(21n X X X g 为统计量。

不含任何未知参数2、设总体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为nX σμ-3、设总体X 服从方差为1的正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为。

0.0251510u ±⨯ 4、假设检验的统计思想是。

小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为。

0H ：05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为。

1430.87、设两个相互独立的样本2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态总体)2,1(2N 与)1,2(N ， 2221,S S 分别是两个样本的方差，令22222121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~222221χχχχ，则__________,==b a 。

用*222(1)~(1)n S n χσ--， 1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ，则21X 服从分布。

)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ，则____=λ 。

用),1(~2n F X 得),1(95.0n F =λ10、设样本1621,,,X X X 来自标准正态分布总体)1,0(N ，X为样本均值，而01.0)(=>λX P ，则____=λ0.01~(0,1)41XN u λ⇒= 11、假设样本1621,,,X X X 来自正态总体),(2σμN ，令∑∑==-=201110143i i i iX XY ，则Y 的分布原题∑∑==-=201110143i i i iX XY 改为∑∑==-=161110143i i i i X X Y 答案为)170,10(2σμN12、设样本1021,,,X X X 来自标准正态分布总体)1,0(N ，X 与2S 分别是样本均值和样本方差，令2210S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。

河南理工大学硕士研究生数理统计复习题

4、（本题 10 分）设 X1, X 2 , X 3 , X 4 为取自总体 X ~ N (,42 ) 的样本，对假设检验问题
H 0 : 5, H1 : 5 ，（1）在显著性水平 0.05 下求拒绝域；（2）若 =6，求上述检验所犯
的第二类错误的概率。
解：(1)
拒绝域为 z
x 5 4/ 4
5.0, 2.0, 4.0, 5.0, 5.0, 3.0 ,3.0
在 0.05 检验两块林地胸径的方差是否相等？胸径的均值是否相等？
解：（1）检验
H0
: 12
2 2
，
H1
: 12
2 2
n1
10
， n2
8 ， s12
3.544
， s22
1.357
，
s12 s22
3.544 2.612 1.357
2分
i 1
八、（10 分）设有甲、乙两块 10 年生人工马尾松林，用重复抽样方式分别独立地从两块林
地中抽出若干林木，测得胸径数据如下: （假定胸径服从正态分布） F0.025(9, 7) 4.82 , F0.975(9, 7) 0.23, t0.05(16) 2.12 。甲∶4.5, 8.0, 5.0, 2.0, 3.5, 5.5, 5.0, 7.5, 5.5, 7.5；乙∶3.0,
x 5 2
z0.025 1.96 ;
（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当 =6 时，接受 H0 的概率为
P{1.08 X 8.92} 8.92 6 1.08 6 0.921。 2 2
5．设
X1，X2，…，Xn
来自密度为
p(x; , )
1
x
e
,x

研究生数理统计第三章习题答案

习题三1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108XN .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？解由题意知，()24.55,0.108XN ，5n =，511 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，()5220110.095265i i s x μ==-=∑.1)当00.108σ=已知时，①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.975121.96uu α-==，临界值120.1081.960.09475c unασ-==⨯=，拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.2)当0 4.55μ=已知时，①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=.②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-======，拒绝域为222202122220000{}{2.56660.1662}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③202200.095268.16700.108sK σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命()2,100XN μ，问这批元件是否合格()0.05α=？解由题意知，()2,100XN μ，25n =，950x =，0.05α=，0100σ=.①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-，临界值()1001.653325c u nασ==⨯-=-，拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495（单位：g ），假定罐头质量服从正态分布.问1)机器工作是否正常()0.05α=？2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？解设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位：g ）.由题意知()2500,XN σ，方差2σ未知. 9n =，911500.88899i i x x ===∑，0.05α=，()()222111133.6111118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑，()52201130.66679i i s x μ==-=∑1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.②()()0.9751218 2.306tn t α--==，临界值()12 5.79751 2.306 4.45649s c t n n α-=-=⨯=，拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.2)当0500μ=已知时，①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=.②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-======，拒绝域为22220212222{}{2.11330.3}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③2022030.66671.013785.5sK σ==∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为25.5.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为()3.399元/500克，标准差为()0.269元/500克.已知往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=？解由题意知，()23.25,XN σ，20n =， 3.399x =，0.05α=，0.269s =.①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时，()()10.95119 1.729t n t α--==，临界值()10.2691 1.7290.106719s c t n n α-=-=⨯=，拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.5.已知某厂生产的维尼纶纤度()2,0.048XN μ，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了()0.05α=？解由题意知()2,0.048XN μ，8n =，811 1.421258i i x x ===∑，0.05α=，()()22211110.0122118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑.①设统计假设2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=.②当0.05α=时，临界值()()2210.951117 2.0117c n n αχχ-=-==-，拒绝域为2202200{}{ 2.01}s s K c σσ=>=>.③202200.012215.29950.048s K σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即这天生产的维尼纶纤度的方差2σ明显变大了.6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25个，测得寿命均值为1950h ，标准差148s h =.设元件寿命服从正态分布。

考研数学一(数理统计的基本概念)-试卷1

考研数学一（数理统计的基本概念）-试卷1(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数F α (3，4)满足P{X＞F α (3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=（分数：2.00）√C.F α (4，3)．D.F 1－α (4，3)．解析：解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又 1一α=P{X≤x}=P{X＜x}=P所以此选(A)．3.设X 1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体N(0，2 2 )的简单随机样本，记Y=a(X 1一2X 2 ) 2 +b(3X 3—4X2，其中a，b为常数．已知Y～χ2 (n)，则4 )（分数：2.00）A.n必为2．B.n必为4．C.n为1或2．√D.n为2或4．解析：解析：依题意X i～N(0，2 2)且相互独立，所以X 1一2X 2～N(0，20)，3X 3—4X 4～N(0，100)，故～N(0，1)且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知(1)当a= 时，Y～χ2(2)；(2)当a= ，b=0，或a=0，时，Y～χ2 (1)．由上可知，n=1或2，即应选(C)．4.设X 1，X 2，…，X n是来自标准正态总体的简单随机样本，S 2为样本均值和样本方差，则（分数：2.00）服从自由度为n一1的χ2分布．D.(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布．√解析：解析：显然，(n一1)S 2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，～N(0，n)，由于X 1，X 2，…，X n相互独立并且都服从标准正态分布，可见服从自由度为n的χ2分布．5.设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义t α满足P{X≤t α}=1一α(0＜α＜1)．若已知P{｜X｜＞x}=b(b＞0)，则x等于（分数：2.00）A.t 1－b．C.t b．√解析：解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}=1一P{｜X｜＞x}=1一根据题设定义P{X≤t α }=1一α，可知．应选(D)．6.设X 1，X 2，…，X n是取自正态总体N(0，σ2 )的简单随机样本，S 2分别是样本均值与样本方差．则（分数：2.00）～χ2 (1)．～χ2 (n一1)．t(n一1)．F(n一1，1)．√(D)．7.假设两个正态分布总体X～N(μ1，1)，Y～N(μ2，1)，X 1，X 2，…，X m与Y 1，Y 2，…，Y n分别是取自总体X和Y的相互独立的简单随机样本．分别是其样本均值，分别是其样本方差，则（分数：2.00）一(μ1一μ2 )～N(0，1)．～χ2 (m+n一2)．F(m一1，n一1)．√t(m+n－2)．解析：解析：因相互独立，所以(C)．二、填空题(总题数：12，分数：24.00)8.设总体X～E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X 1，X 2，…，X n的联合概率密度f(x 1，x 2，…，x n )= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：总体X 的概率密度f(x)= 由于X 1 ，X 2 ，…，X n 相互独立，且与总体X 服从同一指数分布，因此 f(x 1 ，x 2 ，…，x n9.设总体X ～P(λ)，则来自总体X 的简单随机样本X 1 ，X 2 ，…，X n 的样本均值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由泊松分布的可加性可知，当X 1 ，X 2 独立时，X 1 +X 2 ～P(2λ)，继而有X 1 ，X 2 ，…，X n 独立同为P(λ)分布时，～P(n λ)．于是，对任意n ＞2，n 的概率分布为10.已知χ 2～χ 2(n)，则E(χ 2)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：n ）解析：解析：由χ 2分布的典型模式χ 2= ，而X i ～N(0，1)，且X i 相互独立，由于E( )=D(Xi)+[E(X i )] 2=1+0=1，所以11.已知X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且服从N(0，σ 2)，则 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t解析：解析：记Y 1 =X 2 +X 3 ，Y 2 =X 2 一X 3 ，则Y 1 ～(0，2σ 2)，Y 2 ～N(0，2σ 2)．由于 Cov(Y 1，Y 2 )=E(Y 1 Y 2 )一E(Y 1 )E(Y 2 )=E[(X 2 +X 3 )(X 2 一X 3 )] ==σ 2 一σ 2=0．所以Y 1与Y 2 相互独立，且与X 1 独立．又由 X 1 +X 2 +X 3 =X 1 +y 1 ～N(0，3σ 2)，可知～χ 2(1)，且X 1 +X 2 +X 3 与X 2 ～X 3 相互独立，于是按t 分布定义有12.已知(X ，Y)的联合概率密度为则 1的 2分布．（分数：2.00）填空项1:__________________ ）解析：解析：由题设知(X ，Y)服从二维正态分布且密度函数为故X ～N(0，2 2)，Y ～N(1，3 2)，X与Y 相关系数ρ=0，所以X 与Y 独立，～N(0，1)，根据F 分布典型模式知13.设总体X 的密度函数f(x)= ，S 2分别为取自总体X 容量为n 的样本的均值和方差，则1；ES 2= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0解析：解析：由于，ES 2=DX ，由题设有所以14.假设X 1，X 2，…，X 16是来自正态总体N(μ，σ2 )的简单随机样本，为其均值，S为其标准差，如果＞μ+aS}=0．95，则参数a= 1．(t 0．05 (15)=1．7531)（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－0．4383）解析：解析：由于总体X～N(μ，σ2)，故与S 2独立，由t分布典型模式得：t= ～t(15)，所以由此知4a为t(15)分布上0．95分位数，即4a=t 0．95(15)=－t 1－0．95(15)=－t 0．05(15)=－1．7531，a=－0．4383．15.设X 1，X 2，…，X 9是来自总体X一N(μ，4)的简单随机样本，而是样本均值，则满足p{｜－μ｜＜μ }=0．95的常数μ= 1．(Ф(1．96)=0．975)（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1．3067）解析：解析：由条件知，一μ)～N(0，1)16.设总体X服从参数为P的0-1分布，则来自总体X的简单随机样本X 1，X 2，…，X n的概率分布为1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：总体X的概率分布为，此概率分布也可以表示为于是样本X 1，X 2，…，X n 的概率分布为如果记，则样本X 1，X 2，…，X n的概率分布为17.假设总体X服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n是取自总体X的简单随机样本，则统计量Y 1都服从 1分布，其分布参数分别为 2和 3．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t）填空项1:__________________ （正确答案：2）填空项1:__________________ （正确答案：n一1）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，…，X n相互独立同服从分布N(0，1)，所以X 1－X 2与也相互独立，且有即Y 1与Y 2都服从t分布，分布参数分别为2和n一1．18.设总体X服从正态分布N(0，σ2 )，而X 1，X 2，…，X 15是取自总体X的简单随机样本，则服从 1分布，分布参数为 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：F (10，5)）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，…，X 15相互独立且都服从分布N(0，σ2 )，所以+…+ ～N(0，1)，因此19.设总体X与Y独立且都服从正态分布N(0，σ2 )，已知X 1，…，X m与Y 1，…，Y n是分别来自总体X与Y的简单随机样本，统计量T= 服从t(n)分布，则= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：依题意X i～N(0，σ2 )，Y i～N(0，σ2 )且相互独立，所以U与V相互独立，由t分布典型模式知根据题设三、解答题(总题数：15，分数：30.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

数理统计与随机过程研究生练习题

一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法.解 85:0=μH ，85:1≠μH选统计量n s x T /0μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语成绩为85分.试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平050.=α）解：由极大似然估计得.2ˆ==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。

则}{k XP =有估计 i p ˆ ,7,0,!2}{ˆ2===-k k e k X P k=0ˆp三、某公司在为期10年内的年利润表如下：(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.=α）。

四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。

五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。

（1）求})(|)({4365==N N P ；（2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；（3）求T 的概率分布函数；（4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。

硕士研究生《概率论与数理统计》复习题

2021级硕士研究生?概率论与数理统计?复习题一、填空题1、随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)(=A B P ，求)(B A P 。

2、设两事件A ，B 满足条件)()(B A P AB P =，且)10()(<<=p p A P ，那么)(B P = 。

3、设B A ,为两事件，4.0)(,6.0)(,7.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P ⋃ 。

4、在区间)1,0(中随机的取两个数，那么这两个数之差的绝对值小于21的概率为。

5、设随机变量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p pX 110~，10<<p ，当____=p 时，)(X D 取得最大值. 6、设Y X ,为随机变量，0)()(==Y E X E ，2)()(22==Y E X E ，X 与Y 的相关系数21=XY ρ ，那么=+2)(Y X E _________。

7、设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9，假设12-=X Z ，那么Y 与Z 的相关系数为_________。

8、设随机变量Y X ,相互独立，其中X 在[-2，4]上服从均匀分布，Y 服从参数为3的泊松分布，那么)2(Y X D -= 。

9、 621,,,X X X 为来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，设26542321)()(X X X X X X Y +++++=假设使随机变量CY 服从2χ分布，那么常数=C 。

10、设总体)9.0,(~2μN X ，样本容量为9，样本均值5=x ，那么未知参数μ的95%的置信区间是_________。

11、设总体),(~2σμN X ，2σ，要使μ的置信度为α-1)10(<<α且置信区间的长度不大于l ，那么样本容量≥n 。

12、设总体),(~2σμN X ，2σ未知，2,S X 分别为样本均值和样本方差，样本容量为n ，检验00:μμ=H ，01:μμ≠H (0μ)的双侧拒绝域=W ___________。

研究生数理统计模拟试题

研究生《数理统计》模拟试题一、填空题1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ，则称),,(21n X X X g 为统计量。

不含任何未知参数2、设母体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为nX σμ-3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为。

025.01015u ⨯±4、假设检验的统计思想是。

小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为。

0H ：05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为。

1430.87、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2N 与)1,2(N ， 2*22*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~222221χχχχ，则__________,==b a 。

用)1(~)1(222*--n S n χσ，1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ，则21X服从分布。

)1,(n F9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ，则____=λ 。

用),1(~2n F X 得),1(95.0n F =λ10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X为子样均值，而01.0)(=>λX P ，则____=λ01.04)1,0(~1z N nX=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2σμN ，令∑∑==-=161110143i i i iX XY ，则Y 的分布 )170,10(2σμN12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2S 分别是子样均值和子样方差，令2*210SX Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。

北京交通大学数理统计硕士试题

北京交通⼤学数理统计硕⼠试题北京交通⼤学硕⼠研究⽣《数理统计》试题⼀、 (10分) 设总体X ～,0(N 1),nX XX 221,,, 为其样本, 求统计量∑∑=-=+=ni ii n i i X X X Y 121221221的概率分布，并给出证明。

解:212121212212221∑∑∑--=-=??+=+=ni i i n i i i n i i X X X X X Y因为),(~102212N X X ii +- 且相互独⽴,所以)(~n Y 2χ.⼆、(15分) 设总体X 的密度函数为<≥=--θθθθx x e x f x ,,1为X 的⼀个样本。

（1）求未知参数θ的矩估计量1θ?，并讨论其是否为⽆偏估计量；（2）求未知参数θ的极⼤似然估计量2θ?，并讨论其是否为⽆偏估计量；（3）将21θθ?,?修正为43θθ?,?使其为θ的⽆偏估计，并⽐较43θθ?,?的有效性。

解：（1）因为θθθ+==+∞--2122dx e x EX x )(令X =+θ21，解得θ的矩估计量为211-=X θ?。

θθ=-=211X E E ?， 11的似然函数为=≥?+-==∑∏==其它02122211ni x n x x f L i n i i n ni i ,,,,,exp ),()( θθθθ≥+-=∑=其它022211θθ)(,exp x n x ni i n由于)(θL 是θ的单调增函数，所以θ的极⼤似然估计量)(?12X =θ。

总体X 的分布函数为<≥-=--θθθx x e x F x 012)()( 故2θ?的密度函数为 ?<≥=-=---θθθx x ne x f x F n x f x n n ,,)()]θ≠+===?+∞--ndx ne x EX E x n 21 2212)()(?所以，2θ?不是θ的⽆偏估计量。

（3）由上⾯的讨论可知 n X X 2121143-=-=)(?,θθ因为4122=-=)(EX EX DX ，22121141n EX EX DX =-=)()()()(，则，nn DX D 413==θ?， nn DX D 4141214<==)(?θ所以4三、(15分)设,,(21X X …,)nX 是来⾃正态总体),(2σµN 的样本,µ已知，求2σ的极⼤似然估计量，并证明它是UMVUE 和相合估计量。

研究生数理统计复习题

λ e − λ x , x > 0, f ( x) = 0 , x ≤ 0. 于是样本 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 的密度为
f ( x1 , x2 ,K , xn ) = ∏ λe − λ xi
i =1 n
− λ ∑ xi n = λ e i=1 , xi > 0 0 , 其它.
2 DX i2 = EX i4 − ( EX i2 )2 = α 4 − α 2 ，由独立同分布下的中心极限定理（列维一林德贝格定
理），当 n 充分大时
1 n 2 1 n 2 X − nα 2 n ∑ X i − α 2 ∑ ∑ X i − α2 n i =1 n i =1 i =1 = = 2 α 4 − α 22 n α 4 − α 22 n (α 4 − α 2 )/n
Σ
以组距 4 为底，以 ni / 4n 为高作矩形即得 X 的直方图
ϕ n ( x)
0
14.5
22.5
30.5
38.5
46.5
5．某射手独立重复地进行 20 次打靶试验，击中靶子的环数如下：环数频数 10 2 9 3 8 0 7 9 6 4 5 0 4 2
用 X 表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求 X 的经验分布函数，并画出其图像。解设 X 的经验分布函数为 Fn ( x) 则
2
X = a ( X 1 − 2 X 2 ) 2 + b(3 X 3 − 4 X 4 ) 2 ，求常数 a, b ，使得 X ~ χ 2 (2) .
X1 − 2 X 2 1 ~ N (0,1), ( X1 − 2 X 2 )2 ~ χ 2 (1), 20 2 5 3X 3 − 4 X 4 1 3X3 − 4 X4 ~ N(0,102 ), ~ N(0,1), (3X3 − 4 X 4 )2 ~ χ 2 (1), 10 100 1 1 所以当 a = , b= 时 20 100 X = a ( X 1 − 2 X 2 ) 2 + b(3 X 3 − 4 X 4 ) 2 ~ χ 2 (2)

研究生数理统计第二章习题答案

习题二1. 设总体的分布密度为()()1, 01,;0, x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他，12,,,n X X X 为其样本，求参数α的矩估计量1α和最大似然估计量2α。

现测得样本观测值为0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7，求参数α的估计值. 解因为总体X 的数学期望为 ()()11,12EX xf x dx x x dx ααααα+∞-∞+==+=+⎰⎰ 所以12X αα+=+得到1121X X α-=-. 因为总体X 的分布密度为()()1, 01,;0, x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他，,则该总体决定的似然函数为()()()()11211, 01 ;,,,0, nn ni i i n i i x x L L x x x f x ααααα==⎧+∏<<⎪==∏=⎨⎪⎩，其他，,当()011,2,i x i n <<=时,()0L α>,两边取对数得到()()1ln ln 1ln ni i L n x ααα==++∑,两边对α求导得到()1ln ln 1nii d L nx d ααα==++∑, 令()ln 0d L d αα=得到211ln n ii nX α=⎛⎫⎪ ⎪=-+⎪ ⎪⎝⎭∑. 当测得126,,X X X 的观测值为0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7时,得到α的估计值为1120.30791x x α-==-, 261610.2112ln ii x α=⎛⎫⎪⎪=-+=⎪ ⎪⎝⎭∑.2. 设总体X 服从区间()0,θ上的均匀分布,即[]0,X U θ,12,,n X X X 为其样本,1)求参数θ的矩估计量1θ和最大似然估计量2θ;2)现测得一组样本观测值:1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试分别用矩法和最大死染发求总体均值、总体方差的估计值.解 1)因为总体X 的数学期望为022EX θθ+==，所以2X θ=得到12X θ=。

数理统计答案(研究生)

2
1
2
2 ( X ) i 的概率分布。 i 1
n
xi

2
N (0,1), 且Y1 ,..., Yn 之间相互独立
Y
1

2
(x
i
i
) (
i
xi

) yi
2 i
2
2 2 由分布定义Y (n)，Y服从自由度为n的 2 分布。
i 1 n
k
(k 1)!
xi k 1e xi
n xi 1 ( )n nk ( xi )k 1 e i (k 1)! i 1
ln L n ln(k 1)! nk ln ln( xi ) k 1 xi
i 1 i
n
d ln L nk k k ＾ xi 0,＾或 d x x i
Dx

2
n
13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布 P ( ) 母体的一个子样。试验证：子样方差 S *2 是的无偏估计；并且对任一值 [0,1], X (1 )S*2 也是的无偏估计，此处 X 为子样的平均数
*2 解： X P(), EX , DX , E X , ES
16.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又设 Y ( X X X ) ( X X X ) 。试决定常数C,使 2 得随机变量CY服从分布。解： X N (0,1), Z1 X1 X 2 X 3 N (0, 3),
ln L n ln ( 1) ln xi
i
i 1 i 1

研究生数理统计习题

1.设随机变量12,X X 独立，且具有相同的指数分布,0(x)0,0x e x f x -⎧>=⎨≤⎩，试求112212,/Y X X Y X X =+=的密度12(y ,y )g ？ 2.设12(,,...,)n X X X 来自于正态总体2(0,)N σ，求下列统计量的密度函数：(1) 211ni i Y X ==∑ (2) 2211n i i Y X n ==∑ (3) 231()n i i Y X ==∑ (4) 2411()n i i Y X n ==∑ 3. 12(,,...,)n X X X 来自(1,)b p ,证明：1ni i T X ==∑是充分统计量。

4.证明：泊松分布族为指数型分布族。

5.随机抽取某食品厂生产的听装饮料5个，其净重如下：351 347 355 344 351求该组样本的经验分布函数。

6.设总体X 的方差2DX σ=，样本方差211(X X)1n i i S n ==--∑，证明：22()E S σ=。

7.设总体服从正态密度函数221/22211(;,)(2)exp((ln )),02f x x x x μσπσμσ-=--> 其中2,0μσ-∞<<+∞>是未知参数，12(,,...,)n X X X 是一样本，求μ和2σ的矩估计。

8. 2(0,)X N σ ，密度函数为2(;,)f x μσ，对于大小为n 的样本，求使得2(;,)0.05A f x dx μσ∞=⎰成立的点A 的极大似然估计。

9.设总体X 满足2(),()E X E X μ=<∞<∞，12(,,...,)n X X X 是来自该总体的一个样本，验证：1212(,,...,)(1)n n i i T X X X iX n n ==+∑是μ的相合估计。

10.简述：(1)特征函数，充分统计量，指数分布族，经验分布函数，统计学中三大抽样分布的定义。

硕士生《数理统计》例题及答案

《数理统计》例题1.设总体X 的概率密度函数为： 221)(ββx ex f -=)0(>β试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。

解：（1）矩法由于EX 为0，πββββββββββββ2002222221][)()2(2)()2(212)(2222222222=+-=-=--===⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--∞+-∞++∞∞-dx exeed xx d xedxex dxx f x EX x x x x xπβ22221=-=X E EX DX 令2S DX =得：S πβ2ˆ=（2）极大似然法∑===-=-∏ni i i x nni x eeL 122221111ββββ∑=--=ni ixn L 1221ln ln ββ231ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =βd L d 得∑==n i i x n 122ˆβ2. 设总体X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=ααβαββαφx x x x ,0),/)(exp(1),;( 其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。

试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。

解：（1）矩法经统计得：063.0,176.2==S Xβαβαβφαβααβααβαβααβαα+=-=+-=-===∞+--∞+--∞+----∞+--∞+∞+∞-⎰⎰⎰⎰x x x x x edx exeexd dx ex dx x x EX ][)(1)()(222][)(1222222βαβαβαββαααβαβααβαα++=+=+-=-==--∞+∞+----∞+--∞+⎰⎰⎰EX dx ex ex ed x dx ex EX x x x x222)(β=-=EX EX DX令⎩⎨⎧==2S DX X EX 即⎩⎨⎧==+22S Xββα 故063.0ˆ,116.2ˆ===-=S S X βα（2）极大似然法 )(111),;(αββαβββα----===∏X nnX ni eex L i)(ln ln αββ---=X nn L)(ln ,0ln 2αββββα-+-=∂∂>=∂∂X nn L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥所以05.2ˆ)1(==X α令0ln =∂∂βL 得126.0ˆ)1(=-=X X β 3.已知总体ξ的分布密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-=其它,011,21);(θθθx x f（1）用矩法估计其未知参数θ；（2）用极大似然法估计其未知参数θ。