第五章留数及其应用

大学数学多媒体课件
复变函数
与积分变换
主讲：
--大学--学院
二零一五年三月
参考用书
➢ 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 2003.6 ➢ 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 高等教育出版社 ➢ 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 1996.5
且关于(z z0 )1的最高幂为(z z0 )m，即
f (z) Cm (z z0 )m C2 (z z0 )2 C1(z z0 )1 C0 C1(z z0 ) , (m 1, Cm 0)
则孤立奇点z0称为函数f (z)的m阶极点.
下面讨论m阶极点的特征：
（1）f
(z)
(z
f (z) C0 C1(z z)
Cn (z z0 )n
(3)
lim
zz0
f
(z)
C0 ,（C0为一常复数）；
(4) 函数f (z)在z0某去心邻域内有界.
若z0为f
(z)的极点，则
lim
z z0
f
(z)
?
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➢ 三、极点
如果在洛朗级数展开式中只有有限多个z z0的负幂项，
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孤立奇点z0为极点的判别方法：
设z0为函数f (z)的孤立奇点，则下列条件是等价的,
(1) z0是函数f (z)的m阶极点；
(2) 函数f (z)在点z0处的洛朗展开式为：
f (z) Cm (z z0 )m
C1
(z z0 )
Cn (z z0 )n
n0
(Cm 0, m 0)
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孤立奇点分类：
函数f (z)在孤立奇点z0的邻域0 z z0 内展为洛朗级数为：
f (z) Cn (z z0 )n Cn (z z0 )n
n0
n1
解析部分
主要部分
(1)主部消失 即只有 Cn (z z0 )n，则称z0为函数f (z)的可去奇点 n0
(2)主部仅含有限项(m项), 则称z0为函数f (z)的 m阶极点
(z)
(z
1 z0 )m
g ( z )的形式，
g(z)在 z z0 内解析且g(z0) 0，那么z0是函数f (z)的m阶极点.
判定z0是函数f (z)的m阶极点的另一方法.
而 lim f (z) lim 1 g(z)
z z0
zz0 (z z0 )m
lim f (z) . 判定z0是函数f (z)的m阶极点的又一方法. z z0
1 z0 )m
[Cm
C m1 ( z
z0 )
Cm2 (z
z0 )2
Cn (z z0 )nm ]
n0
1 (z z0 )m
g(z)
C1(z z0 )m1
这里g(z)满足：（1）在圆域 z z0 内是解析函数；
（2）g(z0 ) 0.
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（2）反过来，当任何一个函数f
( z )能表示为f
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目录
➢第一章 复数与复变函数 ➢第二章 解析函数 ➢第三章 复变函数的积分 ➢第四章 解析函数的级数表示 ➢第五章 留数及其应用 ➢第六章 傅立叶变换 ➢第七章 拉普拉斯变换
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第五章 留数及其应用
▪ 本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类
显然这个幂级数的和函数F(z)在 z z0 内处处解析.
令f
(z0 )
C0
lim
zz0
F(z)
lim
zz0
f
(z).
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孤立奇点z0为可去奇点的判别方法：
设z0为函数f (z)的孤立奇点，则下列条件是等价的,
(1) z0为函数f (z)的可去奇点；
(2) 函数f (z)在z0点的洛朗级数展开式中不含z z0的负幂项，即
1)3
的极点.
解：函数的孤立奇点有：z 1，z i.
lim f (z) , lim f (z) ,
z1
zi
z 1, z i都是函数f (z)的极点.
(1)当z
1时，(z2
z2 1)(z 1)3
1 (z 1)3
z2 (z2 1)
(z
1 1)3
g1(z)
这里g1(z)在z 1的某邻域内处处解析，且g1(1) 0，
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第五章 留数及其应用
➢5.1 孤立奇点 ➢5.2 留数 ➢5.3 留数在定积分计算中的应用 ➢本章小结 ❖ 思考题
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第一节 孤立奇点
➢ 一、奇点的分类
定义：若函数f (z)在z0处不解析，但在z0的某一去心邻域0 z z0 内处处解析，
则称z0为函数f (z)的 孤立奇点
3! 5!
展开式中不含负幂项，
z 0是函数f (z) sin z 的可去奇点. z
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➢ 二、可去奇点
可去奇点的解析化：
若z0为函数f (z)的可去奇点，则 f (z)在z0的去心邻域内的 洛朗级数就是一个不含负幂项的级数为：
f (z) C0 C1(z z0) C2(z z0)2 Cn(z z0)n ,0 z z0
如：z
0是函数f
(z)
1
的孤立奇点，也是函数f
(z)
1
e z的孤立奇点.
z
如z 0是函数f (z) 1 的一个奇点，
sin 1
z
除此之外，zn
1
n
(n
1, 2,
)也是它的一个奇点，
当n的绝对值逐渐增大时，1 可任意接近z 0，
n
即在z 0不论怎样小的去心邻域，总有函数f (z)的奇点存在，
所以z 0不是函数f (z)的孤立奇点.
(3)主部含有无限多项，则称z0为函数f (z)的 本性奇点
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• 例1．说明点z 0是函数f (z) sin z 的可去奇点.
z
解：函数f (z)在z 0的去心邻域内可展开成洛朗级数为：
f (z) sin z 1 (z z3 z5
) 1 1 z2 1 z4
,
z z 3! 5!
(3) 极限 lim f (z) ，缺点：不能指明极点的阶数. zz0
(4) 函数f (z)在点z0的某去心邻域内能表示成：
f
(z)
(z
1 z0 )m
g ( z ),
其中g(z)在z0的邻域内解析，且g(z0 ) 0.
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•
例2．求有理分式函数f (z)
(z2
z2 1)( z