西南交大理论力学12

§12–1 质点和质点系的动量矩

§12–2 动量矩定理

§12–3 刚体绕定轴的转动微分方程

§12–4 刚体对轴的转动惯量

§12–5 质点系相对于质心的动量矩定理

§12–6 刚体的平面运动微分方程

*习题课

第十二章

动量矩定理

由前一章知，当质心为固定轴上一点时，v

=0，其动量

C

恒为零，质心无运动，但质点系确受外力的作用。动量定理揭示了质点和质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理揭示了质心运动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。

本章要介绍的动量矩定理，动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点(轴）之矩两者之间的关系，从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的运动规律

§12-1质点和质点系的动量矩1．质点的动量矩

设质点Q某瞬时动量为m v，

其对O点的位置为矢径r，如

图所示，定义质点Q的动量

对于O点的矩为质点对点O的

动量矩定义指点动量m v在

Oxy平面的投影（m v)xy对于

点O的矩，为质点动量对于z

轴的矩，简称对于z轴的动量

矩。分别表示如下

质点系对点O 动量矩等于各质点对同一点O 的动量矩的矢量和，或者称为质点系对点O 的主矩，即v

r v M m m O ⨯=)([])

()(v v M m M m z z O =)

(i i n O O m v M L ∑=动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。

单位：kg·ｍ2/s 。

从图可以看出，质点对于O 点的动量矩矢在z 轴上的投影，等于对z 轴的动量矩。即正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负，逆时针为正

2．质点系的动量矩

刚体平动时，可把质量集中于质点，作为一个质点计算其动量矩；

质点系对某轴z 的动量矩等于各质点对同一轴z 动量矩的代数和，即

)

(1i i n i z z m M L v ∑==

同理有[]z

z O L =L 上式表明：质点系对某点O 的动量矩矢在通过该点的z 轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。

∑∑∑∑=======

=n i i i n i i i i i n i i i i i i n i z z r m r r m r v m m M L 12

111)(ωωv 令，称为刚体对z 轴的转动惯量，于是有

∑==n i i i z r m J 12

ω

z z J L =即绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等

于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积

刚体作定轴转动时，对转轴的矩

刚体作一般运动时，可以证明对任意固定点O 的动量矩为C C C

C O C i i n i O O M M m v r L v M L v M L ⨯+'=+==∑=)()(1

)

()

(1Cx C Cy C z i i n

i z z Mv y Mv x L m M L ++=='=∑v 同样可以证明对质心而言，

绝对动量矩与相对动量矩相

等，即C

C L L '=这样刚体作平面运动时，对过质心C 且垂直于平面图形的轴的动量矩为ωJ L L ='=

11222321ωωR R v v ===323222

2221)(v R m m R J R J L O +++=OC

OB OA O L L L L ++=2

332222211)(R v m R v m J J +++=ωω解：[例1]滑轮A ：m 1，R 1，R 1=2R 2，J 1

滑轮B ：m 2，R 2，J 2；物体C ：m 3求系统对O 轴的动量矩。

§12-2

动量矩定理

1．质点的动量矩定理)(d d d d )(d d )(d d v r v r v r v M m t m t m t m t O ⨯+⨯=⨯=对质点动量矩求一次导数，得F r v v v M v r F v ⨯+⨯=∴

==m m t t m t O )(d d d d ,)(d d

因为

)(,0F M F r v v O m =⨯=⨯)()(d F M v M O O m =故

上式表示质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，

等于作用力对同一点的矩，称为质点动量矩定理。其投影式分别为

)()(d d )()(d d )()(d d F v F v F v z z y y x x M m M t

M m M t

M m M t

===)()(d d F M v M O O m t

=

2．质点系的动量矩定理

i =1,2,…,n ;n 个方程相加，有

n 个质点，由质点动量矩定理有)

()()(d d

)

e ()i (i O i O i i O m t F M F M v M +=∑∑∑===+

=

n i i O n

i i O n i i i O m t 1

)

e (1)i (1)()()(d d F M F M v M 由于O

n

i i i O n i i i O i O t

m t m t M L v M v M F d d

)(d d )(d d 0

)(11)

i (==

=∑∑∑==于是∑==n

i i O O t 1)

e ()

(d d F M L