西南交大理论力学12

§12–1 质点和质点系的动量矩§12–2 动量矩定理§12–3 刚体绕定轴的转动微分方程§12–4 刚体对轴的转动惯量§12–5 质点系相对于质心的动量矩定理§12–6 刚体的平面运动微分方程*习题课第十二章动量矩定理由前一章知，当质心为固定轴上一点时，v=0，其动量C恒为零，质心无运动，但质点系确受外力的作用。

动量定理揭示了质点和质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理揭示了质心运动与外力主矢的关系。

但不是质点系机械运动的全貌。

本章要介绍的动量矩定理，动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点(轴）之矩两者之间的关系，从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的运动规律§12-1质点和质点系的动量矩1．质点的动量矩设质点Q某瞬时动量为m v，其对O点的位置为矢径r，如图所示，定义质点Q的动量对于O点的矩为质点对点O的动量矩定义指点动量m v在Oxy平面的投影（m v)xy对于点O的矩，为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩。

分别表示如下质点系对点O 动量矩等于各质点对同一点O 的动量矩的矢量和，或者称为质点系对点O 的主矩，即vr v M m m O ⨯=)([])()(v v M m M m z z O =)(i i n O O m v M L ∑=动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。

单位：kg·ｍ2/s 。

从图可以看出，质点对于O 点的动量矩矢在z 轴上的投影，等于对z 轴的动量矩。

即正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负，逆时针为正2．质点系的动量矩刚体平动时，可把质量集中于质点，作为一个质点计算其动量矩；质点系对某轴z 的动量矩等于各质点对同一轴z 动量矩的代数和，即)(1i i n i z z m M L v ∑==同理有[]zz O L =L 上式表明：质点系对某点O 的动量矩矢在通过该点的z 轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。

∑∑∑∑========n i i i n i i i i i n i i i i i i n i z z r m r r m r v m m M L 12111)(ωωv 令，称为刚体对z 轴的转动惯量，于是有∑==n i i i z r m J 12ωz z J L =即绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积刚体作定轴转动时，对转轴的矩刚体作一般运动时，可以证明对任意固定点O 的动量矩为C C CC O C i i n i O O M M m v r L v M L v M L ⨯+'=+==∑=)()(1)()(1Cx C Cy C z i i ni z z Mv y Mv x L m M L ++=='=∑v 同样可以证明对质心而言，绝对动量矩与相对动量矩相等，即CC L L '=这样刚体作平面运动时，对过质心C 且垂直于平面图形的轴的动量矩为ωJ L L ='=11222321ωωR R v v ===3232222221)(v R m m R J R J L O +++=OCOB OA O L L L L ++=2332222211)(R v m R v m J J +++=ωω解：[例1]滑轮A ：m 1，R 1，R 1=2R 2，J 1滑轮B ：m 2，R 2，J 2；物体C ：m 3求系统对O 轴的动量矩。

§12-2动量矩定理1．质点的动量矩定理)(d d d d )(d d )(d d v r v r v r v M m t m t m t m t O ⨯+⨯=⨯=对质点动量矩求一次导数，得F r v v v M v r F v ⨯+⨯=∴==m m t t m t O )(d d d d ,)(d d因为)(,0F M F r v v O m =⨯=⨯)()(d F M v M O O m =故上式表示质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩，称为质点动量矩定理。

其投影式分别为)()(d d )()(d d )()(d d F v F v F v z z y y x x M m M tM m M tM m M t===)()(d d F M v M O O m t=2．质点系的动量矩定理i =1,2,…,n ;n 个方程相加，有n 个质点，由质点动量矩定理有)()()(d d)e ()i (i O i O i i O m t F M F M v M +=∑∑∑===+=n i i O ni i O n i i i O m t 1)e (1)i (1)()()(d d F M F M v M 由于Oni i i O n i i i O i O tm t m t M L v M v M F d d)(d d )(d d 0)(11)i (===∑∑∑==于是∑==ni i O O t 1)e ()(d d F M L上式表明质点系对于某定点O 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和，（外力对点O 的主矩）称为质点系动量矩定理，其投影式为：∑∑∑=====n i z z ni i y y n i i x x M L t M L t M L t )e (1)e (1)e ()(d d )(d d )(d d F F F ∑==ni i O O t 1)e ()(d d F M L3．动量矩守恒定理如果作用于质点的力对某定点O 的矩恒为零，则质点对该点的动量矩保持不变，即恒矢量=)(v M m O 作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即恒量=)(v m M z 以上结论称为质点动量矩守恒定律同理，当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩守恒定律。

另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。

动画动画动画动画动画动画动画动画动画运动分析：，ϕϕ 2)(ml l ml m M O ==v OM l v ⊥= , ϕ 由动量矩定理即)()(F v O O M m M dt d =0sin , sin )(2=+-=ϕϕϕϕlg mgl ml dt d ϕsin )()()(T mgl M M M O O O -=+=∑P F F 解：将小球视为质点。

受力分析；受力图如图示。

[例2]图示单摆已知m ，l ，t =0时ϕ= ϕ0，从静止开始释放。

求单摆的运动规律。

注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用：✶在质点受有心力的作用时。

✷质点绕某心（轴）转动的问题。

l g n =2ω微幅摆动时，并令 , sin ϕϕ≈02=+ϕωϕn 解微分方程,并代入初始条件)0,,0(00===ϕϕϕ t t l g cos 0ϕϕ=摆动周期lg T π2=则则运动方程解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。

运动分析：v =ｒωrP P r P r P M B A B A O )()()e (-=-=∑F ωω)(22O B A O B A O J r g P r g P J r v g P r v g P L ++=+⋅+⋅=由动量矩定理：rP P J g rP g rP t B A O B A )()]([d d 22-=++ωB A P P rg -==∴)(d ωα[例3]已知:。

求角加速度。

转动惯量; ; ; αr J P P P O B A >解：因∑=, 0)()e (F O M rv v m r v m A B A A )(0--=2v v A =猴A 与猴B 向上的绝对速度是一样的,均为。

2v[例4]已知：猴子A 重=猴子B 重，猴B 以相对绳速度上爬，猴A 不动，问当猴B 向上爬时，猴A 将如何动？动的速度多大？（轮重不计）v 故系统的动量矩守恒。

)(d d ) )(d d )()(d d 12211F F F F ∑∑∑∑=======ni z z z z i ni z z i ni z z M t J M J M t J M J t ϕαωω或（也可为或§12-3刚体绕定轴的转动微分方程如图示一定轴转动刚体，由质点系对z 轴动量矩定理以上各式称为刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动主要解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律；已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。

但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。

特殊情况：若外力矩恒为零，则刚体作匀速转动或保持静止；若外力矩为常量，则刚体作匀变速转动。

将比较，刚体的转动惯量的大小体现了刚体转动状态改变的难易程度，是刚体转动惯性的度量。

∑∑==F a F m M J z z)与（α§12-4 刚体对轴的转动惯量定义：刚体对任意轴z的转动惯量定义为：若刚体的质量是连续分布，则：∑==niii zmJ12 r⎰=mrJzd2转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kg·m2 。

（1）匀质细直杆长为l,质量为m ，其分别对z和z'轴的转动惯量1．简单形状物体的转动惯量计算2222121d mlxlmxJllz⎰==22'1d mlxmxJlz⎰=⋅=（2）匀质圆环半径R ，质量为m ，其对中心轴z 的转动惯量为222mRm RRm J iiz ===∑∑（3）匀质圆板半径R ，质量为m ，其对中心轴z 的转动惯量。

任取一圆环，则2ππ2d Rmdr r m A A i i i =⋅=ρρ22214π2d π2m RJ R r r J o AR o A O ==⋅=∴⎰或ρρ2. 回转半径定义：mJ z z =ρ即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘积；对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。

对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。

2zz m J ρ=则3. 平行移轴定理刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即2mdJ J zC z +=∑∑+==)(222i i i i i zC y x m r m J ∑∑+==)''('222'i i i i i z y x m r m J ∑++=∴+==])([' ,'22'd y x m J d y y x x i i i z i i i i 证明：设质量为m 的刚体，质心为C ，Czz O //''当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。