曲线积分与曲面积分知识点

第十章 曲线积分与曲面积分

一、 一、 重点

两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用 二、 二、 难点

对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。 三、 三、 内容提要

1． 1． 曲线（面）积分的定义：

（1） （1） 第一类曲线积分

∑⎰

=→∆∆n

i i i i L

S f ds y x f 0

),(lim ),(ηξλ（存在时）

i S ∆表示第i 个小弧段的长度，（i i ηξ,）是i S ∆上的任一点小弧段的最大长度。

实际意义：

当f(x,y)表示L 的线密度时，⎰L

ds y x f ),(表示L 的质量；当f(x,y) ≡1时，⎰

L

ds

表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点（x,y ）处的高时，⎰

L

ds

y x f ),(表示此柱面的面积。

（2） （2） 第二类曲线积分

]),(),([lim 1

i i i n

i i

i

i

L

y Q x P Qdy Pdx ∆+∆∆+∑⎰=→ηξηξλ

(存在时)

实际意义：

设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为：

⎰⎰+=⋅=L L Qdy Pdx S d F W

，其中S d =（dx,dy ）事实上，⎰L Pdx ，⎰L Qdy 分别

是F

在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。

（3） （3） 第一类曲面积分

∑⎰⎰=→∑

∆∆n

i i i

i

i

S f ds z y x f 1

),,(lim ),,(ζηξλ

(存在时)

i S ∆表示第i 个小块曲面的面积，（i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲

面的最大直径。

实际意义：

当f(x,y ，z)表示曲面∑上点（x,y,z ）处的面密度时，⎰⎰∑

ds z y x f ),,(表示曲面∑的质量，当

f(x,y,z) ≡1时，

⎰⎰∑

ds 表示曲面∑的面积。

（4） （4） 第二类曲面积分

∑⎰⎰=→∑

∆+∆+∆∆++n i xy

i i i i zx i i i i yz i i

i

i

S R S Q S P Rdxdy Qdzdx Pdydz 1

))(,,())(,,())(,,(lim ζηξζηξζηξλ

（存在时）

其中yz i S )(∆，zx i S )(∆，xy i S )(∆分别表示将∑任意分为n 块小曲面后第I 块i S ∆在yoz 面，zox 面，xoy 面上的投影，dydz ，dzdx ，dxdy 分别表示这三种投影元素; （i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。 实际意义：

设变力),,(z y x V =P(x,y ，z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k 为通过曲面∑的流体（稳定

流动且不可压缩）在∑上的点（x,y,z ）处的速度。则

⎰⎰⎰⎰∑

∑

++==ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d V

表示在单位时间内从∑的一侧流向指定的另一侧的流量。 2、曲线（面）积分的性质

两类积分均有与重积分类似的性质

（1） （1） 被积函数中的常数因子可提到积分号的外面 （2） （2） 对积分弧段（积分曲面）都具有可加性 （3） （3） 代数和的积分等与积分的代数和

第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第二类曲线（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关

⎰⎰-

+-=+L L

Qdy Pdx Qdy Pdx

⎰⎰∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰-

∑++-Rdxdy Qdzdx Pdydz

3、曲线（面）积分的计算

（1） （1） 曲线积分的计算

a 、 a 、 依据积分曲线L 的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表示

b 、 b 、 第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数

值）作为积分下限

（2） （2） 曲面积分的计算方法

1、 1、 第一类曲面积分的计算

a 将积分曲面∑投向使投影面积非零的坐标面

b 将∑的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替被积表达式中的另一变量。

C 将ds 换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素 2、 2、 第二类曲面积分的计算

a 将积分曲面∑投向指定的坐标面

b 同1

c 依∑的指定的侧决定二重积分前的“+”或“-”

4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式 （1） （1） 格林公式

⎰⎰⎰

∂∂-∂∂=+D

L

dxdy y

P

x Q Qdy Pdx )(

其中P 、Q 在闭区域D 上有一阶连续偏导数，L 是D 的正向边界曲线。若闭区域D 为复连通闭区域，P 、Q 在D 上有一阶连续偏导数，则

⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy y P x Q )(=∑⎰=+n

i L i Qdy Pdx 1 其中i L （=1，2……n ）均是D 的正向边界曲线。

（2） （2） 高斯公式

⎰⎰++Rdxdy Qdzdx Pdydz =z

R

y P x Q ∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰Ω

(

）dxdydz 其中P 、Q 、R 在闭区域Ω上有一阶连续偏导数，∑是Q 的边界曲面的外侧 （3） （3） 斯托克斯公式

⎰⎰

∑

∂∂

∂∂∂∂R

Q P z

y x dxdy dzdx dydz =⎰Γ++Rdz Qdy Pdx 其中P 、Q 、R 在包含曲面∑在内的空间区域内具有一阶连续偏导数，∑是以Γ为