数列极限的解法(15种)

1.定义法

N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a .记作：lim n n a a →∞

=.否则称{}

n a 为发散数列.

例1.求证1

lim 1,n

n a →∞

=其中0a >.

证：当1a =时，结论显然成立.

当1a >时，记11n

a α=-，则0α>，由()1111(1)n

n

a n n ααα=+≥+=+-

得1

11n

a a n --≤，任给0ε>，则当1

a n N ε

->=时，就有1

1n a ε-<，即

11n a ε-<即1lim 1,n

n a →∞

=

当

11

1

1

101,1,lim 1,lim 1

lim n n n n n

n a b b b a a

b

→∞→∞→∞

<<=>=∴=

=时，令则由上易知

综上，1lim 1,n

n a →∞

=0a >

例2.求7lim

!

n

n n →∞

解：77777777777771

!1278917!6!n n n n n n

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤=-

77777171771

00,,0!6!6!!6!n n N n N n n n n εε⎡⎤∴-≤∴∀>∃=>-≤⎢⎥⎣⎦

则当时，有<ε 7lim 0!

n

n n →∞∴= 2.利用柯西收敛准则

柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0,ε∀>∃正整数N ，使得当,n m N

>时，有n m a a ε-<. 例3.证明：数列1sin (1,2,3,)2

n

n k

k k

x n ===⋅⋅⋅∑

为收敛数列.

证

11111sin(1)sin 111112()122222212

n m

n m m n m n m m m n x x m

-+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-0ε∀>，取1N ε⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

，当n m N >>时，有n m x x ε-<

由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛.

例4.（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件 11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1,2,)n =⋅⋅⋅ 则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛 证：令1112210,n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-

那么{}n y 单调递增，由已知知{}n y 有界，故{}n y 收敛，从而0,ε∀>∃正整数

N ，使得当n m N >>时，有 n m y y ε-<

此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-< 由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛.

注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a 只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性. 3．运用单调有界定理

单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极[]1

限.

例5.

证明数列n x =n 个根式,a>0,n=1,2,⋅⋅⋅）极限存在，并求

lim n n x →∞

.

证：由假设知n x = ⋅⋅⋅（1） 用数学归纳法易证：1,n n x x k N +>∈ ⋅⋅⋅ ()2 此即证{}n x 单调递增. 用数学归纳法可证1n n x x +>，