历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

据 A0, 可 求 得 结 果 ；（ 2 ） 利 用 正 弦 定 理 可 得 2 sin A sin B 2sin C ， 利 用
sin B sin A C 、两角和差正弦公式可得关于 sinC 和 cosC 的方程，结合同角三角函
数关系解方程可求得结果.
【详解】（1） sin B sin C2 sin2 B 2sin Bsin C sin2 C sin2 A sin B sin C
答案：-4 （2019 全国 1 卷文）7．tan255°=（ ）
A．－2－ 3
B．－2+ 3
C．2－ 3
D．2+ 3
答案：D
（ 2019 全 国 1 卷 文 ） 11 ． △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a， b ， c ， 已 知
asin Absin B 4csin C ， cos A 1 ，则 b =（ ） 4c
(sin B sin C)2 sin2 A sin B sin C ．
（1）求 A；
（2）若 2a b 2c ，求 sinC．
【答案】（1） A ；（2） sin C 6 2 .
3
4
，
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b2 c2 a2 bc ，从而可整理出 cos A，根
（2018
全国
3
卷文）4.若
sin
1 3
，则
cos
2
(
)
A． 8 9
B． 7 9
【答案】B
C． 7 9
D． 8 9
【解析】 cos 2 1 2sin2 7 9
（2018 全国 2 卷理）15. 已知
【答案】
【解析】分析：先根据条件解出
|
详解：因为
，
所以
，
，则
__________．
再根据两角和正弦公式化简求结果.
2
x
时，f
x
2sin
x
，它在区间
2
,
单调递减，故②错误．当
0wk.baidu.com
x
时 ， f x 2sin x ， 它 有 两 个 零 点 ： 0 ； 当 x 0 时 ，
f x sin x sin x 2sin x ，它有一个零点： ，故 f x 在 , 有 3 个零点：
0 ， 故 ③ 错 误 ． 当 x 2k , 2k k N 时 ， f x 2sin x ； 当
3． 2
因此，△ABC 面积的取值范围是 (
3,
3)
82
（ 2019 全 国 2 卷 理 ） 15 ． △ABC 的 内 角 A, B,C 的 对 边 分 别 为 a,b, c . 若
b 6, a 2c, B π ，则△ABC 的面积为_________． 3
答案： 6 3
（2019 全国 2 卷理）9．下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是
其中所有正确结论的编号是
A. ①②④ 【答案】C 【解析】
B. ②④
C. ①④
D. ①③
《
【分析】
化简函数 f x sin x sin x ，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】 f x sin x sin x sin x sin x f x , f x 为偶函数，故①
正确．当
2
4
4
（2）法二： 2a b 2c ，由正弦定理得： 2 sin A sin B 2sin C
为 又sinB sinAC sin AcosC cos AsinC ， A 3
2 3 3 cos C 1 sin C 2sin C
22
2
整理可得： 3sin C
6
3 cos C ，即 3sin C
2
42
[
A．f(x)=│cos2x│
B．f(x)=│sin2x│
C．f(x)=cos│x│
D．f(x)=sin│x│
答案：A （2019 全国 2 卷理）10．已知 α∈(0， )，2sin2α=cos2α+1，则 sinα=
2
A． 1 5
B． 5 5
C． 3 3
D． 2 5 5
答案：B
（2019 全国 1 卷理）17. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设
．
【解答】解：△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． bsinC+csinB=4asinBsinC， 利用正弦定理可得 sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC， 由于 sinBsinC≠0， 所以 sinA= ，
则 A=
由于 b2+c2﹣a2=8，
$
则：
，
①当 A= 时，
， ，
因此
点睛：三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
x 2k , 2k 2 k N 时 ， f x sin x sin x 0 ， 又 f x 为 偶 函 数 ，
f x 的最大值为 2 ，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选 C．
（2018 全国 3 卷文）11. ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 ABC 的面积
A．6
B．5
C．4
D．3
&
答案：A
（2019 全国 3 卷理）
18．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asin A C bsin A ． 2
（1）求 B； （2）若△ABC 为锐角三角形，且 c 1，求△ABC 面积的取值范围．
（1）由题设及正弦定理得 sin Asin A C sin Bsin A ． 2
全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形
（2019 全国 2 卷文）8．若 x1= ，x2= 是函数 f(x)= sinx ( >0)两个相邻的极值点，则 = 44
A．2
B． 3 2
C．1
D． 1 2
答案：A
（2019 全国 2 卷文）11．已知 a∈（0， π ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα= 2
为 a2 b2 c2 ，则 C (
)
4
A． 2
B． 3
【答案】C
C． 4
D． 6
【解析】
SABC
1 absin C 2
a2
b2 4
c2
，而 cosC
a2
b2 c2 2ab
故
1 2
ab sin C
2ab cos C 4
1 2
ab cos C
，C
4
【考点】三角形面积公式、余弦定理
3
；
2 3 3 cos C 1 sin C 2sin C
22
2
整理可得： 3sin C 6 3 cos C
2
sin2 C cos2 C 1 3sin C 6 3 1 sin2 C
解得： sin C 6 2 或 6 2
4
4
因 sin B 2sin C 2 sin A 2sin C 6 0 所以 sin C 6 ，故 sin C 6 2 .
A． 1 5
B． 5 5
C． 3 3
D． 2 5 5
答案：B
）
（2019 全国 2 卷文）15.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 bsinA+acosB
=0，则 B=___________.
答案： 3 4
（2019 全国 1 卷文）15．函数 f (x) sin(2x 3π ) 3cos x 的最小值为___________． 2
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
（2018 全国 2 卷理）10. 若
在
是减函数，则的最大值是
-
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值
详解：因为
，
所以由
得
因此 点睛：函数 (1)
. (2)周期
￥
【解答】解：∵角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点 A（1，a），B（2，b），且 cos2α= ，
∴cos2α=2cos2α﹣1= ，解得 cos2α= ，
3 cos C 2
3
sin
C
6
6
sin
C
6
2 2
^
由 C (0, 2 ),C ( , ) ，所以 C ,C
3
6 62
6 4 46
sin C sin( ) 6 2 .
46
4
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同
，
解得：bc= ，
所以：
．
②当 A= 时，
，
解得：bc=﹣ （不合题意），舍去．
故：
．
故答案为： （2018 全国 I 卷文）11．（5 分）已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点 A（1，a），B（2，b），且 cos2α= ，则|a﹣b|=（ ）
A． B． C． D．1
在平面四边形 ABCD 中， ADC 90 ， A 45 ， AB 2 ， BD 5 . （1）求 cosADB ；
（2）若 DC 2 2 ，求 BC
【
解：（1）在△ABD 中，由正弦定理得 BD AB . sin A sin ADB
由题设知， 5
2
，所以 sin ADB
2
.
sin 45 sin ADB
5
由题设知， ADB 90，所以 cos ADB
1 2
23
.
25 5
（2）由题设及（1）知， cos BDC sin ADB 2 . 5
在△BCD 中，由余弦定理得 BC2 BD2 DC2 2 BD DC cos BDC
25 8 2 5 2 2 2 5
25 . 所以 BC 5 .
角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定
理的形式或角之间的关系.
（2019 全国 1 卷理）11.关于函数 f (x) sin | x | | sin x |有下述四个结论：
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间（ , ）单调递增 2
③f(x)在[ , ]有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2
因为 sin A 0 ，所以 sin A C sin B ． 2
—
由 A B C 180 ，可得 sin A C cos B ，故 cos B 2sin B cos B ．
2
2
2
22
因为 cos B 0 ，故 sin B = 1 ，因此 B 60 ．
2
22
（2）由题设及（1）知△ABC 的面积 SABC
3a． 4
由正弦定理得 a csin A csin(120 C) 3 1 ．
sin C
sin C
2 tan C 2
由于△ABC 为锐角三角形，故 0 A 90 ， 0 C 90 ．
由（1）知 A C 120 ，所以 30 C 90 ，故 1 a 2 ，从而 2
3 8
SABC
即： sin2 B sin2 C sin2 A sin Bsin C
由正弦定理可得： b2 c2 a2 bc
cos A b2 c2 a2 1
2bc
2
A0, π
A 3
（2） 2a b 2c ，由正弦定理得： 2 sin A sin B 2sin C
又 sin B sin A C sin AcosC cos AsinC ， A
（2018
全国
3
卷文）6.函数
f
x
tan x 1 tan2
x
的最小正周期为(
)
#
A． 4
B． 2
C．
D． 2
【答案】C
【解析】
f
x
tan x 1 tan x2
tan x cos2 x 1 tan2 x cos2
x
sin
x cos
x
1 2
sin
2x
x
2
k
，
T 2 (定义域并没有影响到周期) 2
\
（ 2018 全 国 I 卷 理 ） 16 ． 已 知 函 数 f x 2sin x sin 2x ， 则 f x 的 最 小 值 是
_____________．
（2018 全国 I 卷文）16．（5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知
bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC 的面积为
，从而的最大值为 ，选 A.
的性质：
(3)由
求对称轴， (4)由
求增区间;
由
求减区间.
（2018 全国 2 卷理）6. 在
中，
，
，
，则
~
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求 cosC,再根据余弦定理求 AB.
详解：因为
所以
，选 A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵 活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. （2018 全国 I 卷理）17．（12 分）