初三数学巧用四边形的对角线知识精讲

初三数学巧用四边形的对角线知识精讲

殷学广

由三角形的三个顶点就能确定这个三角形的位置、形状和大小；当没有给出顶点时，由三角形的一些元素（共六个元素，分别为三角形的三条边和三个内角）也能确定三角形的形状和大小。确定了三角形，就能研究这个三角形的中线、高、角平分钱、中位线这几个重要的线段。在四边形中，是通过对角线把它分割成三角形来研究的，这样四边形中的对角线就显得更加重要。本文就如何巧用四边形的对角线来判定特殊的四边形举例加以分析，供同学们学习时参考。

一. 利用对角线判定特殊的四边形

在课堂上我们已探索过以下几个重要的结论：

（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；

（3）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；

（4）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形；

（5）对角线相等的梯形是等腰梯形。

其实以上这些结论是有联系的。如图1，四边形ABCD 中，两条对角线相交于点O 。

（1）当OA ＝OC ，OB ＝OD 时，四边形ABCD 是平行四边形。

（2）在OA ＝OC ，OB ＝OD 的基础上增加AC ＝BD 条件时，四边形 ABCD 在平行四边形的基础上变成矩形。

（3）在OA ＝OC ，OB ＝OD 的基础上增加AC ⊥BD 条件时，四边形ABCD 在平行四边形的基础上变成菱形。

（4）在OA ＝OC ，OB ＝OD 的基础上增加AC ＝BD ，BD AC ⊥条件时，四边形ABCD 在平行四边形的基础上变成正方形。

（5）当AB//CD ，CD AB ≠。且OC OD =，OA ＝OB 时，此时的四边形ABCD 为对角线相等的梯形，即等腰梯形。

由此可知，把一个一般的四边形变为特殊的四边形，可以通过改变两条对角线的大小关系和位置关系来完成。这也是特殊四边形之间重要的联系纽带之一。

二. 利用对角线判定动态四边形的形状

如图2，ABC ∆中，点O 是边AC 上的一个动点，P 是BC 延长线上一点。过点O 作直线MN//BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠PCA 的平分线于点F ，连结AE 、AF 。

（1）图中有等腰三角形吗？

（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？简要说明理由。

（3）在（2）中的矩形可能是正方形吗？此时ABC ∆应满足什么条件？

分析：（1）图2中有等腰三角形OCF OEC ∆∆和。

理由：BC //MN

6

5,2346,124

5,13∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠∴

∴OCF OEC ∆∆和是等腰三角形。

（2）当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形。理由如下：

由（1）得OC OF OE ,OF OC ,OC OE ====即。

由O 是AC 的中点，得OA OC =。

所以OA OC OF OE ===。

所以四边形AECF 的两条对角线AC 、EF 互相平分且相等。故四边形AECF 为矩形。 所以，当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形。

（3）在（2）中的矩形可能是正方形。

理由：因为MN//BC ，当∠ACB=90°时，∠AOE=∠ACB=90°，即对角线AC 、EF 互相垂直。 所以这时四边形AECF 是正方形。

即在ABC ∆中，当∠ACB=90°时，在（2）中的矩形AECF 是正方形。