线段和角的轴对称性PPT
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轴对称课件(60张PPT)
轴对称在解直角三角形中应用
在解直角三角形时，可以利用轴对称的 性质来构造全等或相似的直角三角形，
从而简化计算过程。
例如，如果一个直角三角形关于某条直 线对称，那么它的两个锐角相等，同时 它的两条直角边也相等。这样我们就可 以通过已知的一边和一角来求解其他未
知量。
另外，如果两个直角三角形关于某条直 线对称，那么它们一定是相似的。这样 我们就可以通过已知的相似比来求解未
知量。
05
绘制和分析轴对称图形方 法技巧
使用直尺和圆规绘制轴对称图形
确定对称轴
在平面上选择一条直线作为对 称轴。
找到对称点
使用直尺和圆规，按照轴对称 的定义，找到该点关于对称轴 的对称点。
选择一个点
在对称轴的一侧选择一个点。
绘制图形
连接原点和对称点，即可得到轴对 称图形的一部分。重复以上步骤，
可以得到完整的轴对称图形。
动物
一些动物的身体结构也具 有轴对称性，如蝴蝶的翅 膀、蜻蜓的复眼等。
晶体
晶体结构中的原子排列往 往呈现出轴对称性，如雪 花、钻石等。
科技产品中的轴对称设计
电子产品
手机、平板电脑等电子产品的外观设 计中，常采用轴对称元素，实现简洁、 时尚的视觉效果。
汽车设计
航空航天
飞机、火箭等航空航天器的设计中也 广泛应用轴对称性，以确保飞行稳定 性和安全性。
典型例题解析
解析
根据轴对称性质，我们知道 △ABC≌△A'B'C'，所以 ∠BAC=∠B'A'C'。
例题2
已知点P(2,3)关于x轴对称的点为P'， 求点P'的坐标。
解析
由于点P关于x轴对称，所以点P'的 横坐标不变，纵坐标取反。因此， 点P'的坐标为(2,-3)。
线段、角的轴对称性(4)课件.完整版ppt资料
的思路，任选2题写出过程． (3)如下图，直线l1，l2，l3表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有
〔〕 2、三角形三个内角的平分线交于一点，交点到三条边的距离相等。
角平分线上的点到角的两边距离相等。
角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。
点P在线段 AB的垂直平
分线上
4.线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合
5.用直尺和圆规画线段的垂直平分线
角的轴对称性
1.角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.角平分线上的点到角的两边距离相等。
点P在角的 平分线上
角平分线上的点到角 的两边距离相等。
PA=PB
3.角的内部到角的两边距离相等的点，在角的平分线上。
PA=PB
角的内部到角的两边距 离相等的点，在角的平分线 上。
点P在角 平分线上
4.角的平分线是角的内部到角两边距离相等的点的集合 5.用直尺和圆规画角的平分线
l2
2.4 线段、角的对称性〔4〕
例1 ：如图，△ABC的两内角∠B、∠C 的角平 分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线 上．
A
D
E
(2)如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交 点，假设∠PAC=20°，∠PCB=30°，求 ∠PAB的度数．
探究：
(3)如下图，直线l1，l2，l3表示三条相交的公路，现要建
一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么
可供选择的地址有〔 〕
A．1处
B．2处
C．3处
D．4处
疑惑：
到三个顶点距离相等的点是三角形三边 的垂直平分线的交点吗？
线段角的轴对称性ppt课件
动脑筋
已知：在∠ABC中，D是
∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC
上，且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的
关系，并说明理由.
A
E
M
D
B
NF
C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
动脑筋
已知：在∠ABC中，D是
线段AD与EF有何关系?并说明理由.
C E
D
A
B
F
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
●本节课你还有哪些疑问?
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
■你对线段有哪些认识?
A
B
线段是轴对称图形．它有两条 对称轴，分别为:线段的中垂线, 线段本身所在的直线.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
如图,已知:直线CD是线段AB的垂直
平分线,点M是直线CD上任一点,连结
MA、MB,则MA=MB，你能说明理
由？
C
M
A
0
B
结论
D
线段的垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等．
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
已知：在∠ABC中，D是
∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC
上，且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的
关系，并说明理由.
A
E
M
D
B
NF
C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
动脑筋
已知：在∠ABC中，D是
线段AD与EF有何关系?并说明理由.
C E
D
A
B
F
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
●本节课你还有哪些疑问?
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
■你对线段有哪些认识?
A
B
线段是轴对称图形．它有两条 对称轴，分别为:线段的中垂线, 线段本身所在的直线.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
如图,已知:直线CD是线段AB的垂直
平分线,点M是直线CD上任一点,连结
MA、MB,则MA=MB，你能说明理
由？
C
M
A
0
B
结论
D
线段的垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等．
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
人教版八年级数学上册《轴对称》PPT优秀课件
阴影部分的面积和为6
3.如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C=35°， 且AB+BH=HC,求∠B的度数。
解：在CH上截取DH＝BH，连接 AD，如图 ∵BH＝DH，AH⊥BC,AH=AH ∴△ABH≌△ADH(SAS)∴AD＝AB
D
∵AB＋BH＝HC，而BH=DH 又∵CD＋DH＝HC ∴AD＝CD ∴∠C＝∠DAC， 又∵∠C＝35° ∴∠B＝∠ADB＝70°．
M
如果两个图形关于某条直线对称，那么 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂 直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应 点所连直线的垂直平分线。
N
做一做 ： 1.（1）图中三角形④与哪些三角形成轴对称？
（2）整个图形是轴对称图形吗？它们共有几 条对称轴？
12
43
（1）1和3 （2）是 2条
2.如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是 △ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两 点，若△ABC的面积为12，求图中阴影部分的 面积之和．
轴对称。
◆ 这条直线叫做对称轴。
◆ 折叠后重合的点叫对应点，也叫对称点。
对比：
定义 联系 区别 注意
轴对称图形
两个图形成轴对称
如果一个平面图形延一条直线折叠 ，直线两旁的部分可以相互重合，
这个图形就叫做轴对称图形
把一个图形沿着某一条直线折 叠，如果它能够与另一个图形 重合，那么称这两个图形关于
这条直线成轴对称
第13章 轴对称
轴对称
目录
01 观察发现 02 得出结论 03 产生思考 04 再得结论 05 练习巩固 06 头脑风暴
观察这些图像有什么共同特点？
结论：如果一个平面图形延 一条直线折叠，直线两旁的 部分可以相互重合，这个图
3.如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C=35°， 且AB+BH=HC,求∠B的度数。
解：在CH上截取DH＝BH，连接 AD，如图 ∵BH＝DH，AH⊥BC,AH=AH ∴△ABH≌△ADH(SAS)∴AD＝AB
D
∵AB＋BH＝HC，而BH=DH 又∵CD＋DH＝HC ∴AD＝CD ∴∠C＝∠DAC， 又∵∠C＝35° ∴∠B＝∠ADB＝70°．
M
如果两个图形关于某条直线对称，那么 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂 直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应 点所连直线的垂直平分线。
N
做一做 ： 1.（1）图中三角形④与哪些三角形成轴对称？
（2）整个图形是轴对称图形吗？它们共有几 条对称轴？
12
43
（1）1和3 （2）是 2条
2.如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是 △ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两 点，若△ABC的面积为12，求图中阴影部分的 面积之和．
轴对称。
◆ 这条直线叫做对称轴。
◆ 折叠后重合的点叫对应点，也叫对称点。
对比：
定义 联系 区别 注意
轴对称图形
两个图形成轴对称
如果一个平面图形延一条直线折叠 ，直线两旁的部分可以相互重合，
这个图形就叫做轴对称图形
把一个图形沿着某一条直线折 叠，如果它能够与另一个图形 重合，那么称这两个图形关于
这条直线成轴对称
第13章 轴对称
轴对称
目录
01 观察发现 02 得出结论 03 产生思考 04 再得结论 05 练习巩固 06 头脑风暴
观察这些图像有什么共同特点？
结论：如果一个平面图形延 一条直线折叠，直线两旁的 部分可以相互重合，这个图
线段、角的轴对称性精选课件PPT
14
2021/3/2
3
结论 到线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的
垂直平分上线.
l P
A
B
O
∵ PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
2021/3/2
4
1，线段的垂直平分线上的点到线段两个 端点的距离相等． 2，到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上.
点P在线 段AB的垂 直平分线 l上
2.4线段、角的轴对称性 （2）
2021/3/2
1
问题情境
如图，要在公路旁设一个公共汽 车站，车站应设在什么地方，才 能使A、B两村到车站的距离相等？
2021/3/2
P
2
动手找一找
你能用圆规在下图中找一点P，使 AP=BP吗？说说你的方法。
P
B
再作点Q，使AQ=BQA 。
你还能作出类似的点吗？它们有何特征？
2.到线段两个端点距离相等的点，在这条线段
的垂直平分线上.
l
点P在线
P
段AB的垂
直平分线
PA=PB
l上
A
OB
∵ PO垂直平分AB. ∵ PA=PB
∴ PA = PB
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上
2021/3/2
12
3.线段的垂直平分线是到线段两端距
离相等的点的集合.
l
P
∵ PA=PB,QA=QB
∴ PQ是AB的垂直平分线 A
B
Q
2021/3/2
13
Thank you
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
感谢您的观看！本教学内容具有更强的时代性和丰富性，更适合学习需要和特点。为了 方便学习和使用，本文档的下载后可以随意修改，调整和打印。欢迎下载！
2.4线段、角的轴对称性(第1课时)(同步课件)八年级数学上册同步精品课堂(苏科版)
∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°-α
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=2α-180°
思维拓展
在△ABC中，∠BAC=α，边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平
分线交BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为______________．
P
● 2
●
●
A●
●
P3
O
●
B(A)
新知归纳
线段的垂直平分线的性质定理：
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
符号语言：
l
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
●
A●
∴ PA=PB
（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
用途：
相等的线段
P
●
O
B
操作与思考
思考4 线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗？
B
理由： 在l上另取一点P，连接PA、PB、PA'.
由作图可知，l是AA'的垂直平分线，
A
∴ AP=A'P，AM=A'M，
l
M
A'
∴ AM+BM=A'M+BM=A'B，
P
AP+BP=A'P+BP，
由“两点之间线段最短”可得:
A'B＜A'P+BP.
即AM+BM最短.
课堂小结
线
段
垂
直
平
分
线
的
性
质
内容
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=2α-180°
思维拓展
在△ABC中，∠BAC=α，边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平
分线交BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为______________．
P
● 2
●
●
A●
●
P3
O
●
B(A)
新知归纳
线段的垂直平分线的性质定理：
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
符号语言：
l
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
●
A●
∴ PA=PB
（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
用途：
相等的线段
P
●
O
B
操作与思考
思考4 线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗？
B
理由： 在l上另取一点P，连接PA、PB、PA'.
由作图可知，l是AA'的垂直平分线，
A
∴ AP=A'P，AM=A'M，
l
M
A'
∴ AM+BM=A'M+BM=A'B，
P
AP+BP=A'P+BP，
由“两点之间线段最短”可得:
A'B＜A'P+BP.
即AM+BM最短.
课堂小结
线
段
垂
直
平
分
线
的
性
质
内容
2.4 线段、角的对称性(1)示范课
公路 A′
八（上）----线段、角的对称性（1）
这节课的收获是……
问题：如果直线l是线段AB的垂直平分线, 那么线段AB是轴对称图形吗？
八（上）----线段、角的对称性（1）
1
直线l是线段AB的垂直平分线， 把OA沿直线l翻折180°你发现了什么？
线段是轴对称图形 线段的垂直平分线是它的对称轴
八（上）----线段、角的对称性（1）
2
（1）在垂直平分线l上任取一点 Ｐ，
Ｑ
Ｑ
八（上）----线段、角的对称性（1）
P52
1.利用网格线画图：画线段ＰＱ的垂直平分线
P
O 23
A
1
Q
∴直线OA就是要画的垂直平分线
八（上）----线段、角的对称性（1）
P52
实际问题
转化
数学问题
2.如图,要在公路旁设一个公共汽车站,车站应 设在什么地方,才能使A、B两村的距离相等？
P
公路 P ∴点P就是要找的点
八（上）----线段、角的对称性（1）
定理
线段垂直平分线上的点到线段 两端的距离相等. 符号语言
∵点Ｐ在线段AB的垂直平分线上
（或OP⊥AB,OA=OB） ∴ＰA=ＰB
八（上）----线段、角的对称性（1）
例题讲解
1.已知,如图பைடு நூலகம்B =AC =12cm, 直线DE垂直 平分AB交AC、AB 于D、E， 若BC=5 cm，求△BCD的周长
八（上）----线段、角的对称性（1）
例题讲解
1.已知,如图AB =AC =12cm, 直线DE垂直 平分AB交AC、AB 于D、E，
变式1 若△BCD的周长 =20 cm， 求BC的长
2.4线段、角的轴对称性(2)课件ppt
说说你本节课你有什么收获？
2.4 线段、角的对称性（2）
作业
P57-58习题2.4，分析第5、6题的解法， 任选1题写出过程．
Q
A
M
B
2.4 线段、角的对称性（2）
定理 到线段两端的距离相等的点在线段垂直 平分线上． 因为QA＝QB ， 所以点Q是线段AB的、角的对称性（2）
试一试
你能用尺规画出任一条已知线段的垂直 平分线吗？如果能，说说你作图的依据．
A
B
2.4 线段、角的对称性（2）
初中数学 八年级(上册)
2.4
线段、角的对称性（2）
2.4 线段、角的对称性（2）
做一做
在一张薄纸上画一条线段AB． 你能找出与线段AB的端点A、B距离相 等的点吗？ 这样的点有多少个？
A B
2.4 线段、角的对称性（2）
想一想
一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上吗？
试一试
在直线AB外任取一点C，用刚学的方法 作出线段BC、AC的垂直平分线，你发现了 什么？
C
A
B
l2
2.4 线段、角的对称性（2）
例1 已知：如图2-22，在△ABC中，AB、AC的 垂直平分线l1，l2相交于点O．求证：点O在BC的 垂直平分线上． A
l1
O
l2
B
C
2.4 线段、角的对称性（2）
课件：1.4.1线段、角的轴对称性(1)
B
L
312 国 道
实际问题
2、如图，在直线L上求 、如图，在直线 上求 作一点P， 作一点 ，使PA=PB.
数学化
实 际 问 题
A
2
B L
数学问题源于生活实 践，反过来数学又为 生活实践服务 PA=PB
p
小结： 小结：
1.线段的轴对称性 线段的轴对称性 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 3.利用线段的垂直平分线的 利用线段的垂直平分线的 性质解决实际问题
A
B
C
实际问题
1、求作一点P，使它和 、求作一点 ， 已知△ 已知△ABC的三个顶点 的三个顶点 距离相等. 距离相等
数学化
实
A
际 问 题 1
B
p
C
PA=PB=PC
A
实际问题2 实际问题
国道L 沪段） 在312国道 （昆—沪段）的同 国道 有两个工厂A、 ， 侧，有两个工厂 、B，为了便于 两厂的工人看病， 两厂的工人看病，市政府计划在公 路边上修建一所医院， 路边上修建一所医院，使得两个工 厂的工人都没意见， 厂的工人都没意见，问医院的院址 应选在何处？ 应选在何处？
A
C
问题1：线段是轴对称图形吗？ 问题 ：线段是轴对称图形吗？ 为什么？ 为什么？
探索活动：对折线段 探索活动：对折线段AB 探究1：按要求对折线段后， 探究 ：按要求对折线段后，你发 现折痕与线段有什么关系？ 现折痕与线段有什么关系？ 探究2：按要求对折线段后， 探究 ：按要求对折线段后，你发现 折痕上任一点到线段两端点的距离有 什么关系？ 什么关系？
问题2：由此你能得到
什么规律？ 什么规律？ 结论： 结论：
1.线段是轴对称图形，线段的 线段是轴对称图形， 线段是轴对称图形 垂直平分线是它的对称轴； 垂直平分线是它的对称轴；
第一章轴对称图形(复习课)079PPT课件
①在BC上取一点D,使BD<CD,连结AD; ②作线段AF,使AF与AB关于AD所在的直线对称; ③作线段AE,使E在BC上,且AF与AC关于AE所在的
直线对称; ④连结DF,EF. (2)通过观察和测量,猜想△DEF是什么三角形.
等腰三角形、梯形的 轴对称性
回顾与复习
等腰三角形的性质： A
= （
P
且PC＝PD
O
∴点P在∠AOB的平分线上．
DB
简单应用
1. 指出下列图案是否是轴对称图形， 如果是请指出有几条对称轴
（5）
（6）
简单应用
2. 下列说法正确的是( B )
⑴ 全等的两个图形一定对称.
⑵ 成轴对称的两个图形一定全等. √
⑶ 若两个图形关于某直线对称,则它们 的对应点一定位于对称轴的两侧.
线段的垂直平分线 上的点到线段两端 的距离相等．
A
·P
a
B
练：《补充》/17（1）
动脑筋
12 如图,要在河边
修建一个水泵站, 向张庄、李庄送水. 修
在河边什么地方,可使使用的水管B最短？
A
∟
· ·P
a
把问题转化成第10题的形式画图。
练：《补充》/17（2） 课本38页/9
练一练
《课本》37-38页 复习巩固/1.2.3.4.5，9
4
形，首先应确定 对称轴，然后找
·D2
C·
出对称点。且点D 必须在格点上
·A ·B
综上所述：
·D 3
·D1
方格纸中符合要求的点D有4个。
8.分别画出（1）（2）（3）中,已知△ABC 关于直线l 的对称△A′B′C′
l
A
∟
直线对称; ④连结DF,EF. (2)通过观察和测量,猜想△DEF是什么三角形.
等腰三角形、梯形的 轴对称性
回顾与复习
等腰三角形的性质： A
= （
P
且PC＝PD
O
∴点P在∠AOB的平分线上．
DB
简单应用
1. 指出下列图案是否是轴对称图形， 如果是请指出有几条对称轴
（5）
（6）
简单应用
2. 下列说法正确的是( B )
⑴ 全等的两个图形一定对称.
⑵ 成轴对称的两个图形一定全等. √
⑶ 若两个图形关于某直线对称,则它们 的对应点一定位于对称轴的两侧.
线段的垂直平分线 上的点到线段两端 的距离相等．
A
·P
a
B
练：《补充》/17（1）
动脑筋
12 如图,要在河边
修建一个水泵站, 向张庄、李庄送水. 修
在河边什么地方,可使使用的水管B最短？
A
∟
· ·P
a
把问题转化成第10题的形式画图。
练：《补充》/17（2） 课本38页/9
练一练
《课本》37-38页 复习巩固/1.2.3.4.5，9
4
形，首先应确定 对称轴，然后找
·D2
C·
出对称点。且点D 必须在格点上
·A ·B
综上所述：
·D 3
·D1
方格纸中符合要求的点D有4个。
8.分别画出（1）（2）（3）中,已知△ABC 关于直线l 的对称△A′B′C′
l
A
∟
2.4 线段、角的轴对称性 第1课时 苏科版数学八年级上册课件
＝4＋2 ＝6.
2 . 4 线段、角的轴对称性 练习
1. 利用网格画线段 PQ 的垂直平分线 ：
l
解：如图所示.
2 . 4 线段、角的轴对称性 2. 如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什
么地方，才能使 A、B 两村到车站的距离相等?
2 . 4 线段、角的轴对称性
解：如图所示，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线l， 直线l交公路于点 C，则点C就是汽车站的位置，此时 A， B 两村到车站的距离相等.
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利 用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
一是作垂直，证平分； 二是取中点，证垂直.
2 . 4 线段、角的轴对称性
例1 已知：如图2－22，在三△ABC中，AB、AC 的垂直 平分线 l1、l2 相交于点 O.
求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上. 证明：连接 OA、OB、OC. ∵点O在AB 的垂直平分线l1 上， ∴ OA＝OB
2 . 4 线段、角的轴对称性 于是，我们得到如下定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等.
2 . 4 线段、角的轴对称性 几何语言
如图， ∵点A 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ AB＝AC.
2 . 4 线段、角的轴对称性 易错提醒
线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是 它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的 对称轴.
A. 2
B. 4
(C )
C. 6
D. 8
2 . 4 线段、角的轴对称性
方法点拨
利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，是 一种常用的解题方法. 本题中解题的关键是利用线段垂 直平分线的性质将BC 的长转化为线段 AE＋EC 的长，即可求解.
2 . 4 线段、角的轴对称性 练习
1. 利用网格画线段 PQ 的垂直平分线 ：
l
解：如图所示.
2 . 4 线段、角的轴对称性 2. 如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什
么地方，才能使 A、B 两村到车站的距离相等?
2 . 4 线段、角的轴对称性
解：如图所示，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线l， 直线l交公路于点 C，则点C就是汽车站的位置，此时 A， B 两村到车站的距离相等.
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利 用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
一是作垂直，证平分； 二是取中点，证垂直.
2 . 4 线段、角的轴对称性
例1 已知：如图2－22，在三△ABC中，AB、AC 的垂直 平分线 l1、l2 相交于点 O.
求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上. 证明：连接 OA、OB、OC. ∵点O在AB 的垂直平分线l1 上， ∴ OA＝OB
2 . 4 线段、角的轴对称性 于是，我们得到如下定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等.
2 . 4 线段、角的轴对称性 几何语言
如图， ∵点A 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ AB＝AC.
2 . 4 线段、角的轴对称性 易错提醒
线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是 它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的 对称轴.
A. 2
B. 4
(C )
C. 6
D. 8
2 . 4 线段、角的轴对称性
方法点拨
利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，是 一种常用的解题方法. 本题中解题的关键是利用线段垂 直平分线的性质将BC 的长转化为线段 AE＋EC 的长，即可求解.
2.4 线段、角的轴对称性(3)
2.4
线段、角的对称性（3）
AOB
做一做
如图，∠AOB，请回答： 它是轴对称图形吗？ 为什么？
A O BБайду номын сангаас
想一想
角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？
A O
C
B
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
想一想
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P， PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
D A P C E B
O
性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等．
位置关系数量关系
A
C
P O D
E
B
∵点P在∠AOB的平 分线OE上， 且 PC⊥OA于点C，
PD⊥OB于点D，
∴PD＝PC
判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
反过来：
如果一个点在角的内部，且到角两边的距离相等， 那么这个点的位置又在哪里呢？ 如图，若点Q在∠AOB内部， QD⊥OA， QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线 A D 上吗？为什么？
O E Q B
通过上述研究，你得到了什么结论？
A
C
· · · 由此可知：
P
B
O
D
角平分线是到角的两边距离相等的点的集合.
例：如图，在△ABC中，AD是角平分线， BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。 求证：EB=FC.
A
E B D
F C
说说你本节课你有什么收获？
作业：
P58习题2.4，分析第7、8题的思路，任 选1题写出过程.
线段、角的对称性（3）
AOB
做一做
如图，∠AOB，请回答： 它是轴对称图形吗？ 为什么？
A O BБайду номын сангаас
想一想
角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？
A O
C
B
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
想一想
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P， PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
D A P C E B
O
性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等．
位置关系数量关系
A
C
P O D
E
B
∵点P在∠AOB的平 分线OE上， 且 PC⊥OA于点C，
PD⊥OB于点D，
∴PD＝PC
判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
反过来：
如果一个点在角的内部，且到角两边的距离相等， 那么这个点的位置又在哪里呢？ 如图，若点Q在∠AOB内部， QD⊥OA， QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线 A D 上吗？为什么？
O E Q B
通过上述研究，你得到了什么结论？
A
C
· · · 由此可知：
P
B
O
D
角平分线是到角的两边距离相等的点的集合.
例：如图，在△ABC中，AD是角平分线， BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。 求证：EB=FC.
A
E B D
F C
说说你本节课你有什么收获？
作业：
P58习题2.4，分析第7、8题的思路，任 选1题写出过程.
苏教科版初中数学八年级上册2.4线段、角的轴对称性(3)PPT课件
点，在这个角的平分线上.
角平分线是到角的两边距离相等的点的
集合.
例1. 已知，在△ABC中，AD是它的角 平分线，且BD＝CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：EB＝FC.
例2.已知：如图，点B、C分别在 ∠MAN的两边上，BD⊥AN，CE⊥AM， 垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F， 且BE＝CD. 求证D⊥OA， PE⊥OB
PD=PE
A D
PC
O
EB
性质定理：在角的平分线上的点到这个
角的两边的距离相等.
判定定理：到一个角的两边的距离相等的
点，在这个角的平分线上.
角平分线是到角的两边距离相等的点的
集合.
用直尺和圆规作角的平分线
A
O B
角平分线是到角的两边距离相等的点的 集合.
性质定理：角的平分线上的点到这个角
的两边的距离相等.
A
D
C
几何语言：
O
P
E
B
∵ 点P在∠AOB的角平分线上.
又∵ PD⊥OA, PE⊥OB
∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角
的两边距离相等）
判定定理：角的内部到角的两边距离
相等的点，在这个角的平分线上.
A
D
C
P
符号语言：
O
EB
∵PD=PE, 且PD⊥OA, PE⊥OB ∴点P在∠AOB的角平分线上.
判定定理：角的内部到角的两边距离
相等的点，在这个角的平分线上.
A
D
C
P
符号语言：
O
EB
∵PD=PE, 且PD⊥OA, PE⊥OB ∴点P在∠AOB的角平分线上.
∠AOC=∠BOC
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A
B
C
结论
内容：对任意三角形，存在一个点，这个点到三 角形的三边距离相等；这个点是任意两个内角的 平分线的交点。
解： BP平分ABC PD AB PF BC PD PF
CP平分ACB PE AC PF BC PE PF PD PE PF
角平分线的性质定理
内容：角平分线上的点到角的两边距离相等； 如何证明？
解： 过点P作PC OA, PD OB PC OA, PD OB PCO PDO ___ OP平分AOB AOP _____ 在 COP和 DOP中 PCO PDO AOP _____ OP OP COP DOP PC PD
书写格式： OP是AOB的平分线 PC OA PD OB PC PD
练习
如图，在 ABC中，C＝900，AD平分BAC。 若CD=6,则点D到AB的距离是___
D
C
画图，度量与分析
1、画三角形ABC; 2、画∠B，∠C的平分线，交于点P; 3、过点P作AB, AC,BC 的垂线段PD,PE,PF; 4、量出PD,PE,PF的长度； 看看，有何发现？看其他同学的结果是否一样？
1.4线段、角的轴 对称性（3）
教学目标
1、掌握角的轴对称性； 2、掌握角的性质定理；
看一看，想一想
观看动画； 说明了什么？ 轴对称 图形，_____________ 角平分线所在的直线 是它的对 角是______ 称轴；
看一看，想一想
1、观看动画； 2、说明了什么？ 角的两边距离 角平分线上的点到____________相等 ；
B
C
结论
内容：对任意三角形，存在一个点，这个点到三 角形的三边距离相等；这个点是任意两个内角的 平分线的交点。
解： BP平分ABC PD AB PF BC PD PF
CP平分ACB PE AC PF BC PE PF PD PE PF
角平分线的性质定理
内容：角平分线上的点到角的两边距离相等； 如何证明？
解： 过点P作PC OA, PD OB PC OA, PD OB PCO PDO ___ OP平分AOB AOP _____ 在 COP和 DOP中 PCO PDO AOP _____ OP OP COP DOP PC PD
书写格式： OP是AOB的平分线 PC OA PD OB PC PD
练习
如图，在 ABC中，C＝900，AD平分BAC。 若CD=6,则点D到AB的距离是___
D
C
画图，度量与分析
1、画三角形ABC; 2、画∠B，∠C的平分线，交于点P; 3、过点P作AB, AC,BC 的垂线段PD,PE,PF; 4、量出PD,PE,PF的长度； 看看，有何发现？看其他同学的结果是否一样？
1.4线段、角的轴 对称性（3）
教学目标
1、掌握角的轴对称性； 2、掌握角的性质定理；
看一看，想一想
观看动画； 说明了什么？ 轴对称 图形，_____________ 角平分线所在的直线 是它的对 角是______ 称轴；
看一看，想一想
1、观看动画； 2、说明了什么？ 角的两边距离 角平分线上的点到____________相等 ；