高考数学椭圆与双曲线抛物线的经典性质(绝对的全,超级好)
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抛物线焦点弦性质总结30条
a
A'C'C(X3,Y3)
B'
O
F
B(X2,Y2)
A(X1,Y1)
基础回顾
1. 以AB 为直径的圆与准线L 相切；
2
124p x =; 3. 2
12y y p =-;
4. '90AC B ∠=;
5. ''90A FB ∠=;
6. 123222()2sin p p
AB x x p x α
=++=+=
; 7.
112
AF BF P
+=; 8. A 、O 、'
B 三点共线； 9. B 、O 、'
A 三点共线；
10. 2
2sin AOB P S α
=；
11. 23()2
AOB S P
AB =（定值）； 12. 1cos P AF α=
-；1cos P
BF α=+；
13. 'BC 垂直平分'
B F ；
14. 'AC 垂直平分'
A F ；
15. '
C F AB ⊥；
16. 2AB P ≥； 17. 11
'('')22
CC AB AA BB =
=+； 18. AB 3
P K =
y ； 19. 2p 22
y
tan =x -α;
20. 2
A'B'4AF BF =⋅;
21. 1
C'F A'B'2
=
. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00
性质深究
一)焦点弦与切线
1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有
何特殊之处？
结论1：交点在准线上
先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛-
0,2p 在准线上． 证明: 从略
结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
2、上述命题的逆命题是否成立？
结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
3、AB 是抛物线px y 22
=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有
结论6P A ⊥PB ． 结论7PF ⊥AB ． 结论8 M 平分PQ ．
结论9 P A 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．
结论2
PF FB FA = 结论11PAB
S ∆2min
p =
二)非焦点弦与切线
思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①p y y x p 221=
，2
2
1y y y p += 结论13 P A 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ． 结论14 PFB PFA ∠=∠
结论15 点M 平分PQ 结论16
2
PF =
相关考题
1、已知抛物线y x 42
=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且FB AF λ=（λ＞0），过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ， （1）证明：AB FM ⋅的值；
（2）设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．
2、已知抛物线C 的方程为y x 42
=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ； （1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；
（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上． 3、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42
=上的点，过焦点F 的直线F A n 交抛物线于另一点()n n n t s B ,，
（1）试证：4-=⋅n n s x （n ≥1）
（2）取n
n x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：
122121+-=++++-n n n FC FC FC （n ≥1）
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的
两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.
6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程
是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点
角形的面积为122
tan
2
F PF S b γ
∆=.
8. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦
点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P
和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，
即020
2y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.
13. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.
6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则
切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
7. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，
则双曲线的焦点角形的面积为122
t
2
F PF S b co γ
∆=.
8. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别
交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于
点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
0202y a x b K K AB OM =⋅，即020
2y a x b K AB =。
12. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
-=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y x y a b a b
-=-.