01-一致收敛级数例题
第1节一致收敛性
当x 1有 f n (1) f (1) 0 ,
f n ( x )在(1,1]上收敛, 且其极限函数为
0, f ( x) 1,
n
x 1 x 1
当 x 1, 有 x ( n ),
x 1, 有 1,1,1,发散 .
x n 在(1.,1]外均发散
( 2) nx(1 x )n
nx x f ( x) 解 : (1)x [0,1], 有 lim n 1 n x
nx 而 sup f n ( x ) f ( x ) sup x x[ 0 ,1] x[ 0 ,1] 1 n x
x(1 x ) 2 sup n x[ 0,1] 1 n x
而 ln(1 an )或 an收敛 lim an 0
n
ln(1 an ) lim 1, 由比较判别法知 ： n an
ln(1 a
n
)与 an同敛散 .
CH13.函数列与函数项级数
第一节 一致收敛性
第二节 一致收敛函数列与 函数项级数的性质
第一节 一致收敛性
2.若一致收敛， 则必收敛； 反之不真.
定理1 : (函数列的一致收敛性)函数列 f n 在数集D上
一致收敛 0, N 0, 使得n, m N
对于一切x D,均有 f n ( x ) f m ( x ) f ( n ), x D 证明 : (必要性)设 f n
1 且f n ( x ) n f ( x ) f ( x ) , 则函数列 f n ( x ) n 在[, ] (a, b)一致收敛于函数f ( x ).
证明： r (, b), x [, ], N1 0, n N1 , 有
函数项级数的一致收敛性及基本性质
sn(xn)xnn
1, 2
但 s(xn)0, 从rn (而 x n )s(x n ) sn (x n ) 1 2 .
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只 要 取 1， 不 论 n多 么 大 ， 在 (0 ,1 )总 存 在
2
点 x n ， 使rn 得 (xn),
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续．
说明: 虽然函数序列 sn(x)xn在( 0, 1 )内处处 收敛于 s(x)0,但 sn(x)在( 0, 1 )内各点处收
即nnaxn1与anxn的 收 敛 半 径 相 同 ．
n1
n1
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四、小结
1、函数项级数一致收敛的定义； 2、一致收敛级数的判别法——魏尔斯特拉斯 判别法； 3、一致收敛级数的基本性质； 4、幂级数的一致收敛性．
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练习题
一、已知函数s序 n 列 sinnx(n1,2,3,)在(,) 上收敛0于 ．
证 设 x0,x为 a,b上 任 意 点 ． 由
s(x)sn(x)rn(x),s(x0)sn(x0)rn(x0)
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s (x ) s (x 0 ) s n (x ) s n (x 0 ) r n (x ) r n (x 0 )
s n ( x ) s n ( x 0 ) r n ( x ) r n ( x 0 )(1)
余项的绝对值
11 r n s (x ) s n (x ) x n n(0 x )
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对 于 任 给 0 ， 取 自 然 数 N 1，
则当n N时，对于区间[0,]上的一切x，
有rn(x)，
根据定义，
所给级数在区间[0, ]上一致收敛于s(x)0.
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例3 研究例1中的级数
函数项级数的一致收敛
∑x
n =0
n
在区间 ( −1 , 1 ) 内闭一致收敛 .
Ex
[1]P44—45
1 ⑹⑺， 4，6.
四. 函数项级数一致收敛判别法:
1.
M Th 4
判别法: ( Weierstrass 判别法 ) 设级数
∑u
n
( x)
定义在区间 D 上,
∑M
n
是收敛
的正项级数.若当 n 充分大时, 对 ∀x ∈ D 有|
f ( x) =
lim
n→∞
⎛ 1 ⎞ max | f n ( x) − f ( x) |= f n ⎜ ⎟ = n → / 0 f n ( x) = 0 . 但 由 于 x∈[ 0,1] ⎝ 2n ⎠ ,
(n→∞),
因此 , 该函数列在 [ 0 , 1 ] 上不一致收敛.
例8
f n ( x) =
⑴
∑u
n
( x)
, 前 n 项部分和函数列
{S n ( x)} ，收敛
例 9 定义在 ( − ∞ , + ∞ ) 内的函数项级数( 称为几何级数 )
∑x
n=0
∞
n
= 1+ x + x2 + L + xn +L
1− xn S n ( x) = ( x ≠ 1) 1− x 的部分和函数列为 , 收敛域为 ( − 1 , 1 ) .
lim
n→∞
f n ( x) = f ( x ) , … … , 有
| f m ( x) − f n ( x) | <
ε
2.
| f n ( x) − f ( x) | ≤
ε
2
令m → ∞, ⇒
第七节函数项级数的一致收敛性幂级数的一致收敛性
第七节 函数项级数的一致收敛性内容分布图示★ 引例(讲义例1) ★ 一致收敛的概念★ 例2 ★ 例3 ★ 魏尔斯特拉斯判别法 ★ 例4 ★ 例5 一致收敛级数的基本性质 ★ 定理2★ 定理3★ 定理4幂级数的一致收敛性★ 定理5★ 定理6 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题11—7 ★ 返回讲解注意：一、 一致收敛的概念：函数项级数在收敛域I 上收敛于和)(x s ，指的是它在I 上的每一点都收敛，即对任意给定的0>ε及收敛域上的每一点x ，总相应地存在自然数),(x N ε，使 得当N n >时，恒有ε<-|)()(|x s x s n .一般来说，这里的N 不仅与ε有关，而且与x 也有关. 如果对某个函数项级数能够找到这样的一个只与ε有关而不依赖于x 的自然数N ，则当N n >时，不等式ε<-|)()(|x s x s n 对于区间I 上每一点都成立，这类函数项级数就是所谓的一致收敛的级数.定义1 设函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 上收敛于和函数)(x s , 如果对任意给定的0>ε，都存在着一个与x 无关的自然数N , 使得当N n >时, 对区间I 上的一切x 恒有ε<-=|)()(||)(|x s x s x r n n ，则称该函数项级数在区间I 上一致收敛于和)(x s ，此时也称函数序列)}({x s n 在区间I 上一致收敛于)(x s .二、定理1（魏尔斯特拉斯判别法）如果函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 上满足条件：（1）);,3,2,1(|)(| =≤n a x u n n （2）正项级数∑∞=1n n a 收敛.则该函数项级数在区间I 上一致收敛. 三、 一致收敛级数的基本性质定理2 如果级数∑∞=1)(n n x u 的各项)(x u n 在区间],[b a 上都连续，且级数在区间],[b a 上一致收敛于),(x s 则)(x s 在],[b a 上也连续.定理3 设)(x u n ),3,2,1( =n 在],[b a 上连续，且级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛于)(x s ，则⎰xx dx x s 0)(存在，且级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上可以逐项积分，即])([])([)(11∑⎰⎰∑⎰∞=∞===n xx n x x n n xxdx x u dx x u dx x s (7.2)其中,0b x x a ≤<≤ 且上式右端的级数在],[b a 上也一致收敛.定理4 如果级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上收敛于和)(x s , 它的各项)(x u n 都有连续导数)(x u n'，并且级数∑∞='1)(n nx u 在],[b a 上一致收敛，则级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上也一致收敛，且可 逐项求导，即有∑∑∞=∞='='⎪⎪⎭⎫⎝⎛='11)()()(n nn n x u x u x s (7.3) 四、 幂级数的一致收敛性定理5 如果幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为,0>R 则此级数在),(R R -内的任一闭区间],[b a 上一致收敛.定理6 如果幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为,0>R 则其和函数)(x s 在),(R R -内可导，且有逐项求导公式,)(111∑∑∞=-∞=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n n n n n n x na x a x s逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径.例题选讲：一致收敛的概念例1（讲义例1）考察函数项级数+-++-+-+-)()()(1232n n x x x x x x x的和函数的连续性.本例表明，即使函数项级数的每一项都在[a , b ]上连续，并且级数在[a , b ]上收敛，但其和函数却不一定在[a , b ]上连续；同样也可举例说明，函数项级数的每一项的导数及积分所成的级数的和也不一定等于它们的和函数的导数及积分. 那么在什么条件下，我们才能够从级数每一项的连续性得出它的和函数的连续性，从级数的每一项的导数及积分所成的级数之和得出原级数的和函数的导数及积分呢? 要回答这个问题，就需要引入函数项级数的一致收敛性概念.例2（讲义例2）研究级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111n n n n x n x 在区间]1,1[-上的一致收敛性.例3（讲义例3）研究级数∑∞=-0)1(n n x x 在区间[0,1]上的一致收敛性.例4（讲义例4）证明级数++++22222sin 22sin 1sin nx n x x 在),(+∞-∞上一致收敛.例5（讲义例5）判别级数∑∞=+1241n x n x在),(+∞-∞上一致收敛. 课堂练习1. 研究级数+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++111112111n x n x x x x 在区间),0[+∞上的一致收敛性.魏尔斯特拉斯（Weierstrass, Karl Wilhelm ，1815~1897)魏尔斯特拉斯德国数学家，1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林。
03第三讲余项准则一致收敛的例
03第三讲余项准则一致收敛的例在数学分析中，余项准则是一种用于判断无穷级数收敛性的重要方法。
它通过研究无穷级数的部分和与其余项之间的关系来判断级数的收敛性。
设有一个无穷级数∑a_n，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，级数的尾和R_n的绝对值小于ε，即，Σa_k-Σa_n，<ε，那么我们说这个级数是绝对收敛的。
其中，Σa_k表示从1到正无穷的级数部分和，Σa_n表示从n到正无穷的级数部分和。
当一个级数是绝对收敛的时候，我们可以对其任意重排得到同样的收敛值。
对于一个发散的级数，我们可以对其进行其中一种操作，通过去掉一些项或者重新组合一些项，来得到一个收敛的级数。
该收敛级数称为原级数的一个收敛子级数。
余项准则便是通过研究收敛子级数与原级数之间的关系来研究级数的收敛性。
接下来，我们将通过两个例子来说明一致收敛的概念。
例一：根据余项准则，我们需要找到一个正整数N，使得当n>N时，尾和R_n的绝对值小于任意给定的正数ε。
对于这个级数，我们可以使用三角不等式来进行估计：Σ(1/n^2)-Σ(1/k^2)，=，Σ(1/n^2-1/k^2)，≤，Σ(1/n^2-1/(n+1)^2)，=，1/N^2-1/(N+1)^2，+，1/(N+1)^2-1/(N+2)^2，+...通过计算可以得到，当n>N时，尾和R_n的绝对值小于ε。
例二：考虑级数∑(x^n/n)，其中，x， < 1、我们知道这个级数是一个收敛的级数，其和为-ln(1-x)。
根据余项准则，我们需要找到一个正整数N，使得当n>N时，尾和R_n的绝对值小于任意给定的正数ε。
对于这个级数，我们可以使用三角不等式来进行估计：Σ(x^n/n)-Σ(x^k/k)，=，Σ(x^n/n-x^(n+1)/(n+1))，≤，Σ(x^n/n-x^(n+1)/(n+1))，=，x^N/N-x^(N+1)/(N+1)，+，x^(N+1)/(N+1)-x^(N+2)/(N+2)，+...通过计算可以得到，当n>N时，尾和R_n的绝对值小于ε。
函数项级数的一致收敛-精品文档
的任一正数)一致收敛,但在 0,1 非一致收敛.这说明了 一致收敛与所讨论的区间有关,当 S n ( x ) 在某一区间一致 收敛时,它当然在含这区间内的任一区间一致收敛,
但在含这个区间的较大的区间上却不一定一致收敛.另 一方面,这两个例子也说明了虽然在 a, b 内的任一闭 区间上 S n ( x ) 一致收敛,但 S n ( x ) 在区间 a, b 却不一定 一致收敛.当 S n ( x ) 在 a, b 内任一 闭区间上一致收敛时, 称 S n ( x ) 在区间 a, b 内闭一致收敛.因此在 a, b 一致收 敛一定内闭一致收敛,但反之不然.但从 S n ( x ) 在 a, b 内 闭收敛,却可得到它在区间 a, b 也收敛,这是因为对 a, b 上每一点,恒可取 a, b 内的一个闭区间包含这个点,于 是 S n ( x ) 在这闭区间上的收敛性就得到它在这个点收 敛.这正是由于一致收敛是整体性质而收敛是局部性质 的缘故.
如果
lim S S 0 n
n
x X
就称 S ( x )在 X 上一致收敛于 S ( x )。
x ) 例3 S n(x 2 2 1n x
例4 讨论
一致收敛。 , 在 X
的一致收敛性。 x 在 S ) n(x X 0 , 1 2 2 1n x
1 1 x
二、一致收敛的定义
u ( x ) x ( x x ) ( x x ) 例1
2 3 2
它的每一项都在 0x 上连续，其 n 次部分和为 1 n S ( x ) x n 。很明显有 0 , 0 x 1 时 lim s ( x ) s ( x ) n n 1 ， x 1 时 级数的和S ( x )在 x 1 不连续，因此，它不是 0,1 上的 连续函数。这个例子还告诉我们，上述级数的 每一项 都在 0,1 上可导，但它的和函数 S ( x ) 在 x 1 不可导。
数学分析 函数列与函数项级数 10.1-10.2一致收敛
1 1 1 而 n sup f n ( x ) f ( x ) f n ( ) 0 , n 11 2 x( 0 ,1 )
0,
故在(0,1)上不一致收敛.
定理2. (Cauchy收敛原理)
设 f n 定义于I ,
f n 在I上一致收敛
0, N ( ),当n N ( )时, x I , p N * ,
都有 f n p ( x ) f n ( x ) .
证明:
设f n在I上一致收敛于f ,
0, N ( ),当n N ( )时, 对x I , p N * ,
f n ( x ) f ( x ) , f n p ( x ) f ( x ) . 2 2
n
转化为函数列 S n ( x )的三个等价问题 :
可导 可积
反例见P392.
可导? 可积?
§10.2
一致收敛
一、函数列的一致收敛
⒈ f n 定义于[a , b], x0 [a , b], f n ( x0 )收敛
称 f n 在[a , b]上收敛或逐点收敛.
⒉ 设f n在[a , b]逐点收敛于f ,
即lim f n ( x0 ) f ( x0 ), x0 [a , b].
n
0, N ( x0 , ) 0,当n N ( x0 , )时,
f n ( x0 ) f ( x0 )
是否有公共的N , n N时对一切x0 [a , b],
都有 f n ( x0 ) f ( x0 ) ?
有公共的N ( ),与x无关.
⒊一致收敛
定义： f n 在点集I上逐点收敛于f , 若 0, 设
一致收敛的例子
一致收敛的例子
以下是 7 条关于一致收敛的例子：
1. 想想看哈，函数序列｛fn(x)｝，就好像是一群排列整齐的士兵，它
们在定义域上行动一致，比如 fn(x)=1/n 在整个实数轴上，随着 n 增大，
那可是乖乖地越来越靠近零啊，这就是一致收敛的一个超棒例子呀！
2. 你说像那种幂级数，不就像一个精确运行的时钟嘛！比如∑x^n/n!，它在整个定义域内那叫一个稳定收敛，一致得很呢，这难道不是很神奇的例子吗？
3. 嘿呀，再看看正弦函数序列｛sin(nx)｝，它们就如同在跳舞一样有规律，在某些区间上就能展现出一致收敛的奇妙特性哟，这可不是很有趣吗？
4. 哎呀呀，还有那种分段函数序列，就好比是乐高积木搭建的作品，每一块都恰到好处。
例如在某个特定区间内按特定规律变化的分段函数序列，它也能呈现出一致收敛的精彩表现呢，是不是很牛啊？
5. 咱想想热传导过程中的温度分布函数序列，哇塞，就像一场精彩演出的主角们依次登场，它们一起乖乖地实现一致收敛，这真的是让人惊叹不已的例子嘞！
6. 比如说一个级数用来表示经济增长模型，随着时间推移，各项指标都有序变化，实现一致收敛，就像一列稳稳前进的火车，这岂不是很典型的一致收敛例子么？
7. 讲真的，生活中也能找到类似一致收敛的例子呀。
就好像是我们每天的学习计划，一步一个脚印地执行，最终达到目标，这和函数序列逐渐收敛到一个稳定状态不是很像吗？所以说呀，一致收敛可不是什么遥不可及的数学概念，它就在我们身边呢！
我的观点结论就是：一致收敛其实在很多地方都有体现，只要我们用心去观察和体会，就能发现它的神奇之处，它真的是数学中非常有趣又很重要的一个概念呀！。
13_1一致收敛性习题课
设在D上，有 fn (x) Mn.
由函数列{ fn (x)}在数集D上一致收敛,
对 1, N ,当N0 N 时,对x D,有
f (x) | fN0 (x) | | f (x) fN0 (x) | 1
f (x)
1 |
fN0 (x) |
.…….
n层复合
试证明:若对 n和x, y [ a , b ],有,
fn(x) fn( y) n | x y |
则函数列{ fn (x)}在区间[ a , b ]上一致收敛.
证:
对
0
,
取N ,使n
N 时,
有: n
ba
于是对任何自然数 p和x [ a , b ],有:
§13.1一致收敛性 习题课
例1 设 fn (x) f (x), ( n ), x D. an 0,an 0且( n ). 若对每个自然数 n ,有
fn (x) f (x) an 对x D成立,
则函数列{ fn (x)}在D上一致收敛于函数 f (x). 解 :Q an 0, 0,N N ( ),n N ,有 : an ,
fn (x) f (x) an ,
对x D成立.
故fn (x)在D上一致收敛于f (x)
例2
fn ( x)
nx 1 n2x2
,
x [
0
,1
].
讨论函数列{ fn (x)}的一致收敛性.
解:
Q
lim
n
fn ( x)
0
当x [ 0 , 1 ]时, fn (x) 0 fn (x)
一致收敛性习题课
04 一致收敛的应用
CHAPTER
在实数列上的应用
实数列的一致收敛性
实数列的一致收敛性是指对于任意小的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，对于所有的x，有 |a_n(x)-a(x)|<ε。这种收敛性在实数列的极限、积分和微分等数学问题中有着广泛的应用。
一致收敛的判定方法
判断实数列是否一致收敛，可以通过比较判别法、Cauchy判别法、Weierstrass判别法等方法进行判 定。这些方法可以帮助我们判断实数列是否一致收敛，以及收敛的速度和范围。
2. 几乎处处收敛：如果 存在一个子集$E$，其测 度为1，使得在$E$上函 数序列一致收敛于极限 函数，则称函数序列几 乎处处收敛。
3. 一致收敛与局部收敛、 几乎处处收敛等收敛性 质之间的关系是密切相 关的。例如，如果函数 序列在区间上一致收敛， 则它在该区间上必然局 部收敛和几乎处处收敛。
02 一致收敛的判定方法
的收敛性。
极限判别法
1 2
极限判别法
如果存在某个实数$M$，使得对于所有$n$，有 $|f_{n}(x)| leq M$，则级数$f_{n}(x)$一致收敛。
应用场景
适用于判断级数在全实数域上的一致收敛性。
3
注意事项
需要找到一个合适的$M$，使得所有项的绝对值 都小于等于$M$，同时需要验证级数在全实数域 上的收敛性。
一致收敛性习题课
目录
CONTENTS
• 一致收敛的定义与性质 • 一致收敛的判定方法 • 一致收敛的等价条件 • 一致收敛的应用 • 一致收敛的习题解析
01 一致收敛的定义与性质
CHAPTER
一致收敛的定义
总结词
一致收敛是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数项在某个区间上趋于一致 的行为。
一致收敛函数列与函数项级数的性质
证明 :已知 f n ( x )在R上一致收敛于f ( x ),即
0, N ,当n N , 对一切x R, 有 f n ( x ) f ( x ) 取定m N , x R, 有 f m ( x ) f ( x )
又因f m ( x )在R上一致连续， 即 对上述的 0
x [a , b], 有f n ( x ) f n ( x0 ) f n( x )dx
x0 x
lim f n ( x0 ) A; 且由Th3知：lim f n( t )dt g ( t )dt
n n x0 x0
x
x
f ( x ) lim f n ( x ) A g ( t )dt
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f m ( x1 ) f m ( x1 ) f m ( x2 ) f ( x2 ) f m ( x2 ) 3
f ( x )在R上一致连续.
函数列 f ( n ) ( x )在R一致收敛于函数( x ), 则 x ( x ) ce , 其中c是常数. 又 f
nx 从而函数列f n ( x ) 在[0,1]非一致收敛 , 1 nx 1 1 nx 1 1 ln(1 n) 1 但 lim f n ( x )dx lim dx lim n n 0 n 0 1 nx n 1 1 1 nx 而 lim f n ( x )dx lim dx 0 1dx 1 0 n 0 n 1 nx
练习解答
一、 讨论下列函数列在所示区间D上是否一致收敛 ,
并说明理由.
1 (1) f n ( x ) x 2 , n 1,2,, D ( 1,1) n 解 : f ( x ) lim f n ( x ) lim x 2 1 x n n n2 1 2 sup f n ( x ) f ( x ) sup x 2 x n x( 1,1 ) x( 1,1 ) 1 2 1 n sup 1 x( 1,1 ) 2 n x 2 x n
一致收敛函数列函数项级数的性质定理
确界极限
lim sup |
n xD
fn (x)
f
(x) | 0
命题 设fn(x)C[a, b], 且 fn x 在(a, b)内一致收敛, 则 fn x 在[a, b]上一致收敛.
Weierst(x) | Mn, 且 M n 收敛 un (x) 一致收敛
lim
n
b a
fn
x dx
b a
lim
n
fn x
dx
b
f (x)dx
a
注 用到连续性定理: f C[a, b], 从而f R[a, b]！
推论 (逐项可积性) 设un(x)C[a, b], 且 un (x) n1
在[a, b]上一致收敛, 则
若 fn x D f x, 则D1 D: fn x D 1 f x 若 fn x D f x, 则 fn (x) D f (x), 反之不然.
f n(x)在D上不一致收敛的肯定叙述:
f (x), 0 0,N N, nN N, xN D : | fnN (xN ) f (xN ) | 0.
n1
n1
AD判别法(函数项级数)
二、不一致收敛判别法 结论
不点态收敛 不一致收敛 Cauchy不一致收敛准则
n N , p N, xn D : | fn p (xn ) fn (xn ) | 0
点列极限
xn D :| fn (xn ) f (xn ) | 0 (n )
| fn p (x) fn (x) | .
思考 un (x) 在D上一致收敛的Cauchy准则？ n 1
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
y S(x)
y Sn (x)
I
x
定理(柯西收敛原理)
un ( x)在I上一致收敛于S( x) 0, N ( ) N ,
n1
当n N ( )时, x I ,p N , un1( x) un p( x) .
推论 若 un ( x)在I上一致收敛，则 {un( x)}在I上一致 n1
即 0, N ( x0 , ) 0,当n N ( x0 , )时, | fn ( x0 ) f ( x0 ) |
定义 设 fn(x)在点集I上逐点收敛于f (x)，且对
任意 0, 存在与x无关N ( ), 使得当n N时, 对一
切x I , 都有 fn(x) f (x) , 则称 fn(x)在I上一
>
N
时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 S(x) 1 . x 1
余项 rn (x) 一致收敛于 0
几何解释 : (如图)
0, N N , 当n > N 时, S(x) Sn (x) 表示 曲线 y Sn (x) 总位于曲线 y S(x) 与y S(x)
之间.
y S(x)
y S(x)
例.
求证fn ( x)
1
x n2
x2
在(, )上一致收敛.
证明： x (, ),
lim
n
fn ( x)
x
lim
n
1
n2
x
2
0, 逐点收敛于f ( x)
华东师范数学分析- 一致收敛
CH13 函数列、函数项级数
CH12:数列 {un},
函数列 {un(x)},
u ， un,只与n有关 函数项级数： u (x ) ,un(x),与n与xE有关
数项级数:
n
n
函数项级数收敛性要比数项级数复杂得多，特别 是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和 应用上有着重要的地位.
§1 一致收敛性
一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法
例3 定义在[0,1]上的函数列 n 1,2,,
2 2n x , f n ( x ) 2n 2n 2 x , 0, 1 0 x , 2n 1 1 x , 2n n 1 x 1, n
状区域之内.
O
a
y f ( x)
n N
y f N i ( x )
图 13-1
b
x
) 换言之 : 0, N , n N , f n ( x )在D上与f ( x“亲密无间”
f n ( x )在D上在f ( x )临近平稳变化
定义1 { f n } 在 D 上一致收敛于 f : 设{ f n ( x )} 与f ( x ), x E 若对 >0, 总某 N N ,当n N时,对 x D, 都有 | f n ( x ) f ( x ) | ，
| f n ( x ) f ( x ) | ,
函数项级数的一致收敛
∑ u ( x) 在 I 上
n =1 n
∞
是要证明: ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得当 x ∈ U ( x0 , δ ) ∩ I 时, 恒有
| S ( x ) − S ( x0 ) | < ε .
由于
∑ u ( x ) 在 I 上一致收敛于 S , 根据一致收敛的定义,
n =1 n
∞
∀ε > 0, ∃N = N (ε ) ∈ N + ,
又已知 ∀n ∈ N + , 以及 ∀x ∈ D, | un ( x ) |≤ M n , 故得
| un +1 ( x ) + un + 2 ( x ) +
Байду номын сангаас
+ un + p ( x ) | ≤ | un +1 ( x ) | + | un + 2 ( x ) | + ≤ M n +1 + M n + 2 +
n =1
对于任意的 x ∈ [a , b] , 由于 un ( x ) 在 [a , b] 上单调, 可得
| un ( x ) |≤| un ( a ) | + | un (b) |, n = 1, 2,
由此易推得
∑ u ( x ) 在 [a, b] 上绝对一致收敛.
n =1 n
∞
3．一致收敛级数的性质 在一致收敛条件下，函数项级数的和函数保持了有限个函数之和的一些重要分析性质， 如连续性、可导性和可积性，下面的定理就是证明这些性质. 定理 3 (和函数的连续性) 设 un ( x ) ∈ C ( I ) ( n ∈ N + ) , 若函数项级数 一致收敛于 S : I → R , 则和函数 S ∈ C ( I ). 证 为证明 S 在 I 上连续, 只要证明 S 在任意一点 x0 ∈ I 处连续. 根据连续的定义, 就
一致收敛级数的性质
{ }
(ξ ) ，所以对于上述 ε 0 > 0 ，
8.4
高等微积分讲义
∃N ，满足 f N (ξ ) − f (ξ ) < ε 0 2
又由于 f N ( x ) − f ( x ) ∈ C [ a, b ] ，并且： xn → ξ 对于上述 ε 0 > 0 ， ∃K ，当 k > K 时，有：
⎡ ⎣ f N ( xk ) − f ( xk ) ⎤ ⎦−⎡ ⎣ f N (ξ ) − f (ξ ) ⎤ ⎦ < ε0 2 ，
因此，对于 N = 1 ， ∃n1 > 1 ， ∃x1 ∈ [ a, b ] ，使得： f n1 ( x1 ) − f ( x1 ) ≥ ε 0 ； 对于 N = n1 ， ∃n2 > n1 ， ∃x2 ∈ [ a, b ] ，使得： f n2 ( x2 ) − f ( x2 ) ≥ ε 0 ； 该过程不断进行下去， 对于 N = nk −1 ， ∃nk > nk −1 ， ∃xk ∈ [ a, b ] ，使得： f nk ( xk ) − f ( xk ) ≥ ε 0 ； 由此我们构造出了两个数列 {nk } 及 { xk } ⊂ [ a, b ] ， 满足： f nk ( xk ) − f ( xk ) ≥ ε 0 。 ① 由于 xk ∈ [ a, b ] ，由 Bolzano-Weierstrass 定理（抽子列）， 存在子列 xnk 收敛到 ξ ∈ [ a, b ] ，为了简单起见，无妨记 x k → ξ 。 ② 由于 f n (ξ ) → f
f n ( x ) ∈ C 1 [ a, b ] ；
[ ] f n′ ( x ) ⎯⎯⎯ →ϕ ( x ) ；
a ,b
定理 3：若 1) 2) 3) 1) 2)
级数收敛则在0,正无穷上一致收敛[001]
![级数收敛则在0,正无穷上一致收敛[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/f610e7157275a417866fb84ae45c3b3567ecdd0f.png)
级数收敛则在0,正无穷上一致收敛级数收敛是数学分析中的一个重要概念，它指的是一种特殊的数列求和方式。
如果我们将一个数列的每一项都加起来，得到的结果称为这个数列的级数。
而级数收敛指的是这个数列的和存在，并且是一个有限的数。
相反，如果这个数列的和不存在或者是无限大的，那么这个数列就是发散的。
那么，如果一个级数收敛，我们能否得出它在0到正无穷之间的一致收敛呢？答案是肯定的。
首先，我们需要了解一下什么是一致收敛。
它实际上是一种更加严格的收敛方式，它要求在某个区间内，序列的收敛速度相同，既不用担心越往后误差越大，也不担心误差会出现震荡。
换句话说，如果一个函数在某个区间内一致收敛，那么无论我们在这个区间取哪个点，都可以得到同样精确的答案。
而对于一个级数而言，如果它在0到正无穷之间收敛，那么它在每个有限区间内都收敛。
这是因为，如果这个级数在一个有限区间内发散了，那么它就无法在全体区间内收敛了。
因此，我们可以得出结论：如果一个级数在0到正无穷之间收敛，那么它在每个有限区间内都收敛，并且收敛时的速度相同，因此它在0到正无穷之间一致收敛。
另外，任何一个收敛的级数都可以转化成一个收敛的函数，这个函数被称为级数的和函数。
由于级数的和函数是收敛的，因此它也是一致收敛的。
而因为级数的和函数是一个连续函数，因此它在某个区间上的一致收敛也能够保证该区间内函数的连续性。
最后，我们需要强调一下，虽然级数收敛意味着它在0到正无穷之间一致收敛，但并不是所有的一致收敛都能导致级数收敛。
因此，在进行数学证明时需要谨慎处理。
习题10.2一致收敛级数的判别与性质-FudanUniversity
∑m
uk (xn ) =
xn e −(n+1) xn2
+
xn e −(n+2) xn2
+"+
xn e −2nxn2
>
nxn e −2nxn2
k =n+1
= ne−2 → +∞ (n → ∞) ，
所以 ∑∞ x e−nx2 不满足
Cauchy
收敛原理的条件，由此可知
∞
∑
x e−nx2
在
n=0
n=0
[0,+∞) 上非一致收敛；
在(1,+∞)
上连续，且有各阶连续导函数；函数
∑∞ (−1)n
nx
n=1
在 (0,+∞) 上连续，且有各阶连续导函数。
证
∑ 设
f (x) =
∞1 nx
n =1
，对任意1 < a <
A < +∞ ，当 x∈[a, A]，成立 0 <
1 nx
≤
1 na
，
∞
且∑ n=1
1 na
收敛，由
Weierstraass
(x)
=
−
∞
∑
n=0
n sin nx n2 +1
在(0,2 π
)
上连续。再由逐项求导定理，可知 f '(x) = σ (x) 在(0,2 π )上成立，即
f
(
x)
=
∞
∑
n=0
cos nx n2 +1
在(0,2
π
)上有连续的导函数。
∞
3. 证明：函数 f (x) = ∑ n e−nx 在 (0,+∞) 上连续，且有各阶连续导函数。
1函数项级数的一致收敛性
函数列与函数项级数§1. 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性：⑴ ()n f x =(,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin ,n x f x n= i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞⑶ (),1n nx f x nx=+ (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞⑸ 2233(),1n n x f x n x=+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞⑹ (),1n nx f x n x=++ [0,1];x ∈ ⑺ (),1nn nx f x x =+ i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈iii) [,),1;x a a ∈+∞>⑻ 2(),n n n f x x x =- [0,1];x ∈⑼ 1(),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈⑽ ()ln ,n x x f x n n=(0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,);x ∈-∞+∞⑿ 2()(),x n n f x e --=i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ .2. 设()f x 定义于(,)a b ，令 [()]()n nf x f x n= (1,2,)n =⋅⋅⋅. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x .3. 参数α取什么值时，(),nx n f x n xe α-= 1,2,3,n =⋅⋅⋅在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使10lim()n n f x dx ->∞⎰可在积分号下取极限？4. 证明序列2()nx n f x nxe -=(1,2,)n =⋅⋅⋅在闭区间[0,1]上收敛，但 1100lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞->∞≠⎰⎰ 5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又[,]n x a b ∈(1,2,)n =⋅⋅⋅，满足0lim n n x x ->∞=，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞= 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴ 0(1), [0,1];n n x xx ∞=-∈∑ ⑵ 1221(1), (,)(1)n n n x x x -∞=-∈-∞+∞+∑. 7. 设()n f x (1,2,)n =⋅⋅⋅在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证：()n f x 在[,]a b 上一致有界.8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且1()[()()],n f x n f x f x n=+- 求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '.9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列1()()xn n a f x f t dt +=⎰ (1,2,)n =⋅⋅⋅ 求证：{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于零.10. 设{()}n f x 在(,)a b 内一致收敛于()f x ，0(,)x a b ∈且0lim (),n n x x f x a ->= (1,2,)n =⋅⋅⋅.证明：lim n n a ->∞和0lim ()x x f x ->存在且相等，即 00lim lim ()lim lim ()n n n x x x x n f x f x ->∞->->->∞=. 11. 讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴1 (,);n x ∞=∈-∞+∞⑵ 421, (,);1n x x n x ∞=∈-∞+∞+∑ ⑶ 221(1)(1), [0,);n nx n e x n x -∞=--∈ +∞+∑ ⑷ 1sin , (2,);2n n nx x x ∞=∈-+∞+∑ ⑸521, (,);1n nx x n x ∞=∈-∞+∞+∑ ⑹211), ||2;2n n n x x x ∞-=+≤ ≤ ⑺ 21, [0,);nx n x ex ∞-=∈+∞∑ ⑻ 1ln , [0,1];!n n n x x x n ∞=∈∑ ⑼2, (,);n x ∞=∈-∞+∞∑⑽ 1, ||1;n n n x r x ∞=≥>∑⑾ 1ln(1), [,), 1.n n nx x a a nx ∞=+∈+∞> ∑ 12. 讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴12cos (,);n n x π∞=∈-∞+∞ ⑵1[0,2];n x π∞=∈ ⑶ 1(1), (1,);nn x x n ∞=-∈-+∞+∑ ⑷ 1(1), (,);sin nn x n x ∞=-∈-∞+∞+∑ ⑸ 112sin, (0,);3n n n x x∞=∈+∞∑ ⑹(1)21||;n n n x a -∞=≤⑺1[1,0];n n x ∞=∈- ⑻ 211(1), [1,1].21n n n x x n +∞=-∈-+∑ 13. 设每一项()n x ϕ都是[,]a b 上的单调函数，如果()nx ϕ∑在[,]a b 的端点为绝对收敛，那么这级数在[,]a b 上一致收敛. 14. 证明级数1211(1)n n n x∞-=-+∑关于x 在(,)-∞+∞上为一致收敛，但对任何x 并非绝对收敛；而级数221(1)n n x x ∞=+∑虽在(,)x ∈-∞+∞上绝对收敛，但并不一致收敛. 15. 若1()n n u x ∞=∑的一般项|()|(), ,n n u x c x x X ≤∈并且1()nn c x ∞=∑在X 上一致收敛，证明1()nn u x ∞=∑在X 上也一致收敛且绝对收敛.()000()()().!n n n f x f x x x n ∞==-∑。
06第六讲 一致收敛级数例题
数学分析第十三章函数列与函数项级数
一致收敛的例题
第六讲
数学分析第十三章函数列与函数项级数注对于例9中的级数(15), 只要单调且收敛于零,{}n a 的任何闭区2π(0,1,2,)k k =±± 级数(15)就在不包含间上一致收敛.
数学分析第十三章函数列与函数项级数复习思考题
1. 总结函数列和函数项级数一致收敛的判别方法
(不局限于书上现成的判别法); 常可以使用哪些方法呢？2．给出函数项级数在D 上不一致收敛的柯西准则
(即柯西收敛准则的否定形式). 判别不一致收敛通。
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§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
例9 若数列{an } 单调且收敛于零, 则级数
an cos nx
(15)
在[, 2π ](0 π) 上一致收敛.
证 由十二章14讲的 (21)式, 在[α, 2π- α]上有
n
| coskx |
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
例10 设 u1( x)在 [a, b] 上可积,
un1( x)
x u (t )dt,
an
n 1,2,,
证明函数项级数 un1( x) 在[a, b] 上一致收敛.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
例10 设 u1(t ) 在 [a, b] 上可积,
un1( x)
x u (t )dt,
an
n 1,2,,
证明 函数项级数 un1( x) 在[a, b] 上一致收敛.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
注 对于例9中的级数(15), 只要{an } 单调且收敛于零, 级 数(15)就在不包含 2kπ (k 0, 1, 2, ) 的任何闭区 间上一致收敛.
k 1
sin(n
1 2
)
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2sin x 2
2
1 2
1 1 1 1 ,
sin x 2
2 2sin
2
2
所以级数 cos nx 的部分和数列在[ , 2π ] 上一
致有界, 于是令 un( x) cos nx, vn ( x) an ,
则由狄利克雷判别法可得级数(15)在[, 2π ]上
一致收敛.
n1
由数学归纳法容易得到
| un1( x) |
x
a | un (t ) | dt
x M ( x a) n1 dt a (n 1)!
M (x a)n M (b a)n .
n!
n!
因为数项级数
M
n1
(b
a)n n!
收敛, 所以根据优级数
判别法知原级数在[a, b]上一致收敛.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
n1
nn1
在[0, 1]上一致收敛.
因为
(1)n( x n)n (1)n ( x n)n ,
nn1
n
nn
记
un
(x)
(1)n n
,
vn( x)
1
x n
n
，
则 un 在[0, 1]上一致收敛，vn( x) 在[0, 1]上单调增
且一致有界, 由阿贝尔判别法就能得到结果.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
n1
证 因为 u1(t )在 [a, b]上可积, 所以存在M 0 , 使
得 | u1( x) | M，于是有
x
| u2( x) | a | u1(t ) | dt M ( x a),
x
x
| u3( x) |
a | u2 (t) | dt
M(x a) dt
a
M (x a)2 , 2!
§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
第六讲 一致收敛的例题
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
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§1 一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
例8
函数项级数
(1)n( x n)n
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复习思考题
1. 总结函数列和函数项级数一致收敛的判别方法 (不局限于书上现成的判别法); 判别不一致收敛通 常可以使用哪些方法呢？ 2. 给出函数项级数在 D上不一致收敛的柯西准则 (即柯西收敛准则的否定形式).
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社