浙江省名校协作体高二数学试题

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2023-2024学年浙江省名校协作体高二下学期2月月考数学试题及答案

2023学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．抛物线24x y =的准线方程为（） A ．1x =− B ．2x =−C ．1y =−D ．2y =−2．数列1，53，52，175，…的通项公式可能是（） A ．211n n a n +=+ B ．211n n a n +=+C ．221n n a n =−D ．221n n a n−=3．已知直线1l ：10mx y ++=，2l ：()3230x m y m +++=，若12l l ∥，则m 的值为（） A ．1B ．－3C ．1或－3D ．－1或34．已知两条直线m ，n α，β，则下列命题正确的是（） A ．若m n ∥且n α⊂，则m α∥ B ．若m α∥且n α⊂，则m n ∥ C ．若m α⊥且n α⊂，则m n ⊥D ．若αβ⊥且m α⊂，则m β⊥5．已知点()4,2P −和圆Q ：()()224216x y −+−=，则以PQ 为直径的圆与圆Q 的公共弦长是（）A ．B ．C ．D ．6．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB =水面上升5米，则水面宽为（）A ．米B ．C ．米D ．30米7．在正三棱台111ABC A B C −中，111132A B AA AB ===，11A B AB O = ，则异面直线OC 与1BC 所成角的余弦值是（） A ．13BCD ．238．如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==，记1OA ，2OA ，…，n OA 的长度构成的数列为{}n a ，则202411i ia =∑的整数部分是（）A ．87B ．88C ．89D ．90二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分．9．已知向量()1,2,0a =− ，()2,4,0b =−，则下列正确的是（）A ．a b ∥B ．a b ⊥C ．2b a =D ．a 在b方向上的投影向量为()1,2,0−10．若正项数列{}n a 为等比数列，公比为q ，其前n 项和为n S ，则下列正确的是（） A ．数列21n a是等比数列 B ．数列{}lg n a 是等差数列 C ．若{}n a 是递减数列，则01q <<D ．若13n n S r −=−，则1r =11．如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则（）A ．A ，B 两点的纵坐标之和为常数 B ．在直线l 上存在点P ，使90APB ∠>°C ．A ，O ，1B 三点共线D ．在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上12．在正三棱锥S ABC −中，SA ，SB ，SC 两两垂直，2AB =，点M 是侧棱SC 的中点，AC 在平面α内，记直线BM 与平面α所成角为θ，则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是（） A ．53°B ．60°C ．75°D ．89°非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过()0,2A ，()1,0B −两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______． 14．已知数列{}n a 为等比数列，163a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，当n T 取最大值时，n =______．15．已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于______． 16．已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，两顶点为A ，B ，双曲线C 上一点P 满足3PA PB =，则tan APB ∠=______．四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，749S =，59a =．（Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若3S 、118S S −、k S 成等比数列，求k 的值．18．已知圆C 的圆心在直线25y x =+上，且过()2,4A −，()2,6B 两点．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知l ：()()()131510m x m y m ++−−+=，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值． 19．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C −，底面ABC △是正三角形，12AA AB ==，11A AB A AC ∠=∠，点N 是棱11B C 的中点，AN =．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值．20．已知点F 为抛物线C ：()2201y px p =<<的焦点，点()0,1A x 在抛物线C 上，且54AF =．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k ⋅=−，求证：直线l 过定点．21．已知数列{}n a 满足12a =，()()*111pn n na n pa a +−=∈+−N ．（Ⅰ）若0p =，求数列{}3n n a ⋅的前n 项和n S ；（Ⅱ）若1p =，设数列1n a的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<．22的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b −=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（Ⅰ）求双曲线1C 的方程；（Ⅱ）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ=<<，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S ，2023学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：柯桥中学次命题兼审校：丽水中学审核：瑞安中学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B8．解析：由题意知，1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==且12OA A △，23OA A △，…，1n n OA A −△都是直角三角形，所以11a =，且2211n n a a −=+，所以数列{}2na 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()202421111111n i i a n n a ==+−×==∑∵11118911+<++−< ，∵12881++>− ，即188891<++< ，所以所求整数部分都是88，故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．ACD 10．ABC 11．CD 12．AB12．当BM 与平面α平行时，cos 1θ=；由最小角定理，直线与平面所成的角是直线与平面内的线所成角中最小的角，所以θ小于等于BM 与AC 所成的角，分别取SC ，SA 的中点M ，N ，连接MN ，BM ，BN ．在BMN △中，BM BN ==1MN =，得cos BMN ∠，故cos θ∈．因为()cos 75cos 4530°=°+°=1cos 602°=，12<<，所以075θ°≤<°．故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 14．6 15．32π9 16．4316．解析：不妨设双曲线C 的方程为()2220x y aa −=>，A ，B 为左右顶点．设(),P x y ，因为3PA PB =，所以()()222299x a y x a y ++=−+，化简得：222502x ax y a −++=，则222222502x y a x ax y a −= −++=，解得5434x a y a= =±，所以53,44P a a ± ，作PD x ⊥轴于D ．()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133APD BPD APB APD BPD APD BPD −∠−∠∠=∠−∠===+∠⋅∠+×．四、解答题（共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解析：（Ⅰ）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由749S =，59a =，所以715176749249S a d a a d ×=+==+= ，解得121d a == ，所以21n a n =−，则()21212nn n S n +−==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2339S ==，11857S S −=，2k S k =，又3S 、118S S −、k S 成等比数列，所以()21183k S S S S −=⋅，即22579k =×，解得19k =或19k =−（舍去）．18．解析：（Ⅰ）方法一：设圆心C 的坐标为(),a b ，则25b a =+，又CA CB =，则即250a b +−=，得0a =，5b =，所以圆C 的半径AC r==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）．方法二：AB 的中点坐标为()0,5，12AB k =，则AB 的中垂线方程为25y x =−+．则2552y x y x =+ =−+ ，解得05x y = = ，所以圆心C 的坐标为()0,5，所以圆C的半径AC r ==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）．（Ⅱ）设圆心C 到直线的距离为d ，由题意可得d，平方整理后可得251890m m −+=，解得35m =或3m =． 19．解析：（Ⅰ）取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ， ∵三棱柱111ABC A B C −中，AB BC CA ==，∴AM BC ⊥，又∵11A AC A AB ∠=∠，∴11A AB A AC △≌△，∴11A B A C =，∴1A M BC ⊥，又1A M AM M = ，∴BC ⊥面1AA M ，∴1BC AA ⊥．（Ⅱ）方法一：连接MN ，在AMN△中，AN =，AM =2MN =，即cos AMN ∠150AMN ∠=°．如图建系，)A，()0,1,0B，()N ，有)1,0BA=−，()AN =−，设面ABN 的法向量为(),,n x y z = ，则00y z −=−+=，解得面ABN 的一个法向量(n =，面1AA N 的一个法向量()0,1,0m =，∴cos ,n m n m mn ⋅==所以平面1A AN 与平面ANB（Ⅱ）方法二：连接MN ，在AMN △中，AN =，AM =2MN =，即222cos 2AM MN AN AMN AM MN +−=∠⋅150AMN ∠=°．作MF AN ⊥于F ，连BF ．因为BC ⊥平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以AN BC ⊥，又BC MF M = ，所以AC ⊥平面BMF ，BF ⊂平面BMF ，所以AN BF ⊥，所以BFM ∠为二面角B AN M −−的平面角．在AMN △中，11sin15022AN FM AM MN =°，得FM =则BF，所以cos FM BFM BF ∠=．所以平面1A AN 与平面ANB20．解析：（Ⅰ）由题意得：0052421p x px+== ，解得0121p x = = ，或0214p x = = （舍去），所以抛物线C 的方程为2y x =．（Ⅱ）方法一：（1）当直线l 斜率存时，设直线l ：()0y kx m k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则2y x y kx m = =+ ，消去x ，整理得20ky y m −+=，则140km ∆=−>，121y y k +=，12m y y k⋅=，而()()()121212121212111111111y y k k x x y y y y y y −−⋅=⋅==−−+++++112k m k =−=++，整理得310m k ++=，所以13m k =−−，所以直线l ：()1331y kx k k x =−−=−−，所以直线l 过定点()3,1−．（2）当直线l 斜率不存时，设直线l ：()0,1x m m m =>≠，则(M m，(,N m，则121112k k m −⋅==−−，得3m =，所以直线l ：3x =，则点()3,1−在直线l 上．综上：直线l 过定点()3,1−．（Ⅱ）方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，则()()1212221212111111112t t k k t t t t −−=−=⋅=⋅−−++，则()12123t t t t =−−+，直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t −−−=−，则()()12121212212121311131t t t t x yx x t t t t t t t t t t −−+−−=+==++++++，所以直线l 过定点()3,1−． 21．解析：（1）当0p =时，则111n na a +−=，得11n n a a +−=，所以11n n a a +−=，所以数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．所以()2111n a n n =+−×=+，则()313nn n a n ⋅=+⋅，所以()2323334313nn S n =×+×+×+++⋅ ，()2341323334313n n S n +=×+×+×+++⋅ ，两式相减得()234126333313nn n S n +−=+++++−+⋅()()21131361313n n n −+×−−+⋅=+−，所以1321344n n n S ++=−+⋅．（Ⅱ）当1p =时，由111n n na a a +−=−，得211n nn a a a +=−+，所以()2212110n n n n n a a a a a +−=−+=−>，所以数列{}n a 单调递增，因为12a =，所以2n a ≥，又由111n n na a a +−=−，可得()111n n n a a a +−=−，所以()11111111n n n n n a a a a a +==−−−−，即111111n n n a a a +=−−−，则1212231111111111111111111111n n n n n T a a a a a a a a a a a ++ =+++=−+−++−=− −−−−−−−− ，所以1111n n T a +=−−，易知1111n a + − −为递增数列，且23a =，所以21111111211n a a +=−≤−<−−，即：112n T ≤<． 22．解析：（Ⅰ）由题意得：2222c a c a b a = += =，解得b =，所以双曲线1C 的方程为22143x y −=．（Ⅱ）方法一：设直线AP ：()0022y yx x ++，()11,D x y ，则()0022223412y y x x x y =++ +=，消y 得：()()()2222000222000416163120222y y y x x x x x −=+++ +++ ，得：()()220012200161222324y x x y x −+−=++，又因为()00,P x y 在双曲线上，满足2200143x y −=，即22004312y x =−，所以()()()()()()2222000001222200000008626246224246232432312y x x x x x x x x x y x x −+−−+−+−−====+++++−，即104x x =．同理设直线BP ：()0022y yx x −−，()22,E x y ，可得204x x =，所以04Q x x =．因为20Q x x λ=，所以2004x x λ=，因为00x >，所以02x λ=．把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ−=，解得0y =，则点2P λ．设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP∠+∠=°，所以sin sin BDP ADB ∠=∠．12BP r ABr ==．因为102λ<<，所以12λ>+∞．（Ⅱ）方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ，则223412xty m x y =++=，消x 得：()2223463120t y tmy m +++−=，所以122634tmy y t −+=+，212231234m y y t −=+，得()2122142m y y y y mt −=+，因为P ，A ，D 三点共线，则011022y y x x =++，因为P ，B ，E 三点共线，则022022y y x x =−−，两式相除得()()120212222y x x y x x −−=++，而()()()()()()()()()()()()2121211212121221122122422222222422m y y m m y y x y ty m ty y m y y x y ty m ty y m y m y y m m y−++−−+−+−===+++++−+++()()()()()()121222222222m m y m y mmm m y m y −++−− =+ +++−．因为20Q x x λ=，所以20m x λ=．因为002222x m m x −−=++，所以2002002222x x x x λλ−−=++，得02x λ=，把02x λ=代入双曲线方程得2204143yλ−=，解得0y =，则点2P λ．设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ，由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=°，所以sin sin BDPADB ∠=∠，12BP r ABr ==，因为102λ<<，所以12λ>+∞．。

2023-2024学年浙江省名校协作体高二(上)适应性数学试卷+答案解析(附后)

2023-2024一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数为虚数单位，则()A.1B.C.D.52.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为()A. B. C. D.3.设A，B是一个随机试验中的两个事件，则下列结论正确的是()A.B.P(A)+P(B)≤1C. D.若，则P(A)≤P(B4.在正方体中，M，N，P，Q分别为，，，BC的中点，则直线PM 与NQ所成的角为()A. B. C. D.90°5.函数的图像大致为()A. B. C. D.6.已知，则以下关系不正确的是()A. B. C. D.7.如图，已知AOB是半径为4，圆心角为的扇形，点E，F分别是OA，OB上的两动点，且，点P在圆弧上，则的最小值为()A.4B.8C.D.16-828.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题中正确的是()A.已知平面向量满足，则B.已知复数z满足，则C.已知平面向量满足，则D.已知复数，满足，则2122＝010.已知函数，则.()A.是奇函数B.的图像关于点对称C.有唯一一个零点D.不等式的解集为(-1,1)U3,+)11.下列说法中，正确的是()A.若，则与夹角为锐角B.若O是内心，且满足，则这个三角形一定是锐角三角形C.在中，若，则N为的重心D.在中，若，则P为的垂心12.如图，在梯形ABCD中，，，，，E，F为线段AB的两个三等分点，将和分别沿着DE，CF向上翻折，使得点A，B分别至M，在N的左侧，且平面ABCD，O，P分别为DE，CD的中点，在翻折过程中，下列说法中正确的是()A.O，P，M，N四点共面B.当时，平面平面ABCDC.存在某个位置使得DMLFND.存在某个位置使得平面平面CFN三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省名校协作体2022-2023学年高二下学期联考数学试题含解析

2022学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知()1,2,3A -，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是（）A.()1,2,3-- B.()1,2,3 C.()1,2,3- D.()1,2,3--【答案】B 【解析】【分析】根据坐标平面的对称性求解．【详解】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是(1,2,3)，故选：B ．2.与双曲线2214x y -=有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（）A.22194x y += B.22149x y +=C.22196x y += D.22169x y +=【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，结合椭圆长轴长和,,a b c 的关系可得椭圆方程.【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为：()，∴椭圆焦点在x 轴上，且c =，又长轴长为6，即26a =，3a ∴=，2224b a c ∴=-=，∴椭圆方程为：22194x y +=.故选：A.3.在数列{}n a 中，425a =2=，则6a =（）A.121B.100C.81D.64【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得数列是公差为2的等差数列，即可得到结果.2=2=，故数列是公差为2的等差数列，因为425a =22449=⨯=+=，则681a =.故选：C4.直线10x y +-=与圆()2224x y -+=的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离判断即可.【详解】由()2224x y -+=可知圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线的距离22d ==<，故直线与圆相交.故选：B5.正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“2021202320222S S S +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用数列前n 项和的意义，正项等比数列的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，2021202320222023202220222022201232022S S S S S S S a a +⇔>>->⇔-，而{}n a 是公比为q 的正项等比数列，因此20232022202220221a a a q a q >⇔>⇔>，所以“1q >”是“2021202320222S S S +>”的充要条件.故选：C6.已知抛物线22y px =，点()1,2A 在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于B 、C 两点．直线AB 、AC 的斜率分别记为1k ，2k ，则1211k k +的值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由点坐标求得p ，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，此结论代入1211k k +后化简可得．【详解】由题意2221p =⨯，2p =，抛物线方程为24y x =，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，由24y x y x m⎧=⎨=+⎩得2440y y m -+=，16160m ∆=->，1m <，124y y +=，124y y m =，1212242x x y y m m +=+-=-，2212121212()()()x x y m y m y y m y y m m =--=-++=，所以12122112121211(1)(2)(1)(2)1122(2)(2)x x x y x y k k y y y y ----+--+=+=----211212121212()2()42()4x y x y y y x x y y y y +-+-++=-++2112()()2(42)44x m x x m m m x +++--=-12122()8444x x m x x m m ++-+=-22(42)8444m m m m m +--+=-88244m m -==-．故选：B ．7.已知长方体1111ABCD A B C D -，其中1AA =，AB AD ==P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E 且PA PE =，设1A P 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值为（）A.π4B.π2C.π6 D.π3【答案】D 【解析】【分析】确定1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，求出PC ，利用PA PC AC +≥求得x 的最小值，再由1tan AA APθ=得θ的最大值．【详解】1AA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ABCD ，所以1AA PA ⊥，又1PE A C ⊥，PA PE =，所以1PAA 1PEA ≅!，11A E AA ==1AC ==11EC AC A E =-=所以P 点轨迹是对角线1AC 的中垂面与底面ABCD 的交线，为一条线段．由1AA ⊥平面ABCD 知1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，则1A P =，PC =，PA PC x AC +=≥=得3x ≥，2tan xθ=≤π3θ≤，即θ的最大值为π3，故选：D ．8.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的面积为1，把图①，图②，图③，图④，……的面积依次记为1234,,,,S S S S ⋅⋅⋅，则满足()*3N 2n S n ≥∈的n 最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，由图形归纳出113n n a a -=，14n n b b -=，21134n n n n S S b a --=+⨯．由累加法结合等比数列前n 项和公式得求得n S 的表达式，从而得出结论．【详解】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ．由图形作法可知113n n a a -=，14n n b b -=，21134n n n n S S b a --=+⨯．即2221112122121333,,,444n n n n n n n n S S a b S S a b S S a b -------=⋅-=⨯⋅⋅⋅⋅-=⨯⋅利用累加法可得()22211122134n n n n n S S a b a b a b ----=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅因为数列{}n a 是以13为公比的等比数列，数列{}n b 是以4为公比的等比数列，所以{}21n n a b -⋅是以49为公比的等比数列．因为11S =，即21314a =，此时2133a =，224327a =，13b =，所以112212221122144131994519n n n n n n a b a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅==-，所以1834559n n S -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．由183435592n n S -⎛⎫=-⨯≥⎪⎝⎭，得4n ≥．所以n 的最小值是4.故选：C ．【点睛】方法点睛：记第n 个图形为n P ，相应量用一个数列表示，如本题中三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，然后由前后两个图形根据归纳推理得出数列的递推关系，再结合数列知识求解．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，50a =则（）A.370a a += B.280a a <C.100S = D.当且仅当4n =时，n S 取最大值【答案】AB 【解析】【分析】由等差数列的性质可判断A ，B ，D ；由等差数列的前n 项和公式可判断C .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37520a a a +==，故A 正确；因为10a >，50a =，()()2222855533990a a a d a d a d d =-+=-=-<，故B 正确；因为10a >，50a =，所以0d <，故60a <，()()11010566105502a a S a a a +==+=<，故C 错误；由10a >，50a =可知，1234,,,0a a a a >，50a =，67,,0a a < ，故4,5n =时，n S 取最大值，故D 错误.故选：AB .10.已知直线l ：10mx y m +--=，m ∈R 和圆O ：224x y +=，下列说法正确的是（）A.直线l 与圆O 可能相切B.直线l 与圆O 一定相交C.当1m =时，圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1D.直线l 被圆O 截得的弦长存在最小值，且最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】由直线方程得出直线l 过定点(1,1)P ，它在圆内，由此易得直线与圆的位置关系，可判断AB ，由PO =利用到直线l 的距离为1的直线与圆的位置关系判断C ，由直线l 与PO 垂直时，弦长最小判断D ．【详解】由直线l 方程知直线l 过定点(1,1)P ，又221124+=<，因此P 在圆O 内部，所以直线l 一定与圆O 相交，A 错，B 正确；1m =时，圆心(0,0)O 到直线l的距离为2d ==<12>，因此与直线l 距离为1的两条直线，一条与圆O 相交，一条与圆O 相离，所以圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1，C 正确；又PO =l 与PO垂直时，弦长为=l 被圆O 所截得的弦长的最小值为，D 错．故选：BC ．11.设M 为双曲线C ：2213x y -=上一动点，1F ，2F 为上、下焦点，O 为原点，则下列结论正确的是（）A.若点()0,8N ，则MN 最小值为7B.若过点O 的直线交C 于,A B 两点（,A B 与M 均不重合），则13MA MB k k =C.若点()8,1Q ，M 在双曲线C 的上支，则2MF MQ +最小值为2D.过1F 的直线l 交C 于G 、H 不同两点，若7GH =，则l 有4条【答案】BCD 【解析】【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.【详解】由双曲线C ：2213x y -=，得12(0,2),(0,2)F F -，设()00,M x y ，则MN =，当且仅当02y =时取等号，所以MN 最小值为，故A 错误；设,A B 两点坐标分别为11(,)x y ，11(,)x y --，所以2201010122010101MA MBy y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+--，又因为222201133,33x y x y =-=-，所以2222010122220101133(33)3MA MBy y y y K K x x y y --===----，故B 正确；211222MF MQ MF MQ QF +=++≥+=+，故C 正确；由双曲线C ：2213x y -=，可得通径长为2267b a=<，且实轴长227a =<，所以这样的直线l 有4条，故D 正确.故选：BCD12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为边AB ，CD ，DA 的中点，P ，Q 分别为线段1BB ，1C D 上的动点，下列结论正确的是（）A.BD 与1D F 所夹角的余弦值为10B.二面角11A BD A --的大小为3πC.四面体11A D PF 的体积的最大值为43D.直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹长度为2【答案】ABC 【解析】【分析】由11//BD B D 得出异面直线所成的角，由余弦定理计算后判断A ，设1A D ，1AD 交于K ，证明1A K ⊥平面1ABD ，根据定义作出二面角的平面角，计算后判断B ，利用平行线性进行体积转换后，111111*********333F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤!!!，从而求得体积的最大值判断C ，作出直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹线段MN （如图）由余弦定理计算出线段长判断D ．【详解】A ．因为1BB 与1DD 平行且相等，所以11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，从而11B D F ∠是异面直线BD 与1D F 所成的角或其补角，在正方体中，1D F =，11D B =，13B F =，1110cos 10B D F ∠==．A正确；B ．设1A D ，1AD 交于K ，则11A K AD ⊥，由AB ⊥平面11ADD A ，1A K ⊂平面11ADD A ，得1AB A K ⊥，而1,AB AD ⊂平面1ABD 且1AB AD A = ，所以1A K ⊥平面1ABD ，1BD ⊂平面1ABD ，则11A K BD ⊥，作11A L BD ⊥，同理1A K KL ⊥，垂足为L ，连接KL ，因为11,A K A L ⊂平面1A KL 且111A K A L A = ，所以1BD ⊥平面1A KL ，又KL ⊂平面1A KL ，所以1BD KL ⊥，所以1A LK ∠是二面角11A BD A --的平面角，正方体中，1A K =，111113A D A B A L BD ⋅===，直角1A KL !中，1113sin 23A K A LK A L ∠==，1π3A LK ∠=，B 正确；C ．由已知11//EF AD A D ∥，EF ⊄平面11A D P ，11A D ⊂平面11A D P ，则//EF 面11A D P ，11111111111112243333212232F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤==⨯⨯⨯!!!，当P 与1B 重合时达到最大值．C 正确；D ．由已知11////EG BD B D ，1B ，1D ，G ，E 四点共面，设11A C 与11D B 交于M ，1A D 与1D G 交于N ，则MN 即为直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹．1112A N A D ND DG ==，1124233A N A D ==，12A M =，又11A DC △为正三角形，所以160MA N ∠=︒，由余弦定理，22211111262cos 9MN A M A N A MA N MA N =+-∠=，263MN =．D 错．故选：ABC ．【点睛】求空间角一般有两种方法，一是,空间向量法，二是定义法，本题图形是在正方体中，我们用定义法求异面直线所成的角和二面角，主要是正方体中平行线与垂线较多，容易作出异面直线所成的角和二面角的平面角，从而再解三角形可得．三棱锥的体积问题，常常利用换顶点（换底）法进行转化，目的是使得棱锥的高与底面积易求解．非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．13.两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=．则1l 与2l 之间的距离为___________．【答案】455【解析】【分析】根据两平行线间的距离公式，即可求得本题答案.【详解】因为两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=，所以两平行线间的距离122222404551(2)C C d A B --===++-.故答案为：5514.若圆1C ：224x y +=与圆2C ：()()2216x a y a -+=∈R 相交于A 、B 两点，且两圆在A 点处的切线互相垂直，则线段AB 的长是___________．【答案】855##855【解析】【分析】画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解.【详解】如图，由两圆在A 点处的切线互相垂直可知，两条切线分别过两圆的圆心，由相交圆公共弦的性质可知1AB OO ⊥，由切线性质可知1OA AO ⊥，在1Rt OAO 中，1||2,||4OA AO ==，所以1||OO ==又1Rt OAO 斜边上的高为1||2AB ，由等面积法可知，11111||||||||222AO AO AB OO ⋅=⨯，即124||2AB ⨯=⨯，解得||5AB =.故答案为：85515.已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且212PF PF c ⋅= ，则此椭圆离心率的取值范围是________．【答案】,32⎢⎣⎦【解析】【分析】设(,)P x y ，由数量积的坐标表示得出222212PF PF x c y c ⋅=-+= ，再由点P 在椭圆上得出22222b y b x a=-，联立两个方程得出()222223c a a x c -=，再由220,x a ⎡⎤∈⎣⎦化简得出22223c a c ≤≤，结合离心率的公式即可求解.【详解】设(,)P x y ，则222212(,)(,)PF PF c x y c x y x c y c ⋅=---⋅--=-+=①将22222b y b x a=-代入①式解得()()22222222223c b a c a a x c c --==又220,x a ⎡⎤∈⎣⎦，即()2222230ca a a c -≤≤22223c a c∴≤≤32,32c e a ∴=∈⎣⎦.故答案为：,32⎢⎣⎦【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率的取值范围，属于中档题.16.如图，在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是正三角形，2BA BP ==，90CBP ∠=︒，120ABP ∠=︒，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥P BEF -的体积取得最大值时，三棱锥P BEF -的外接球表面积为___________．【答案】19π2【解析】【分析】利用均值不等式求出体积最大时,E F 的位置，建立空间直角坐标系，建立方程组求出球心坐标，得球半径即可.【详解】要使三棱锥P ―BEF 的体积最大，则底面△BEF 的面积最大，设BF =a ，则2BE a =-，23323(2)4424BEFx x S x x +-⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭△，当且仅当2x x =-，即1x =时取得最大值，即E ，F 分别为棱的中点．此时，FA BC ⊥，三棱锥P BEF -的体积取得最大值．如图，以BC 中点O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0F，)A，()0,1,0B ，()0,1,0C -，1,,0)22E ．设(),,P x y z ，由28PC =，24PB =，212PA =，解得x =1y =，z =．设外接球球心(,,)O m n t '，由O B O E O F O P ''''===，则22222222222222222231(1)()()22(1)2326((1)()33m n t m n t m n t m n t m n t m n t ⎧+-+=-+-+⎪⎪⎪+-+=++⎨⎪⎪++=++-+-⎪⎩，解得1,,6212m n t ===即1,62O ⎛⎫'⎝，故三棱锥P BEF -的外接球半径222198R O F O O ''===．所以，三棱锥P BEF -的外接球表面积为19π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.圆M 经过点()1,2A ，()9,2B -，且圆心M 在直线5y x =-上．（1）求圆M 的方程．（2）过点A 作直线l ，直线l 与圆M 的另一个交点是D ，当4AD =时，求直线l 的方程．【答案】（1）()22520x y -+=（2）1x =或3450x y -+=【解析】【分析】（1）根据圆的性质，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）根据垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】圆心M 在直线5y x =-上，不妨设圆心M 为(),5a a -，则()()()()2222152952a a a a -+--=-+-+，得5a =，故圆M 的方程为()22520x y -+=；【小问2详解】①当直线l 斜率不存在时，l 方程为1x =,()2215202y y -+=⇒=±，显然满足4AD =，②当l 斜率存在时，设l ：()21y k x -=-即20kx y k -+-=，由（1）可知：圆M的半径为4AD =，所以点M 到l距离344d k ===⇒=．综上，l 的方程为1x =或3450x y -+=．18.已知数列{}n b 是公比大于0的等比数列，1212b b +=，其前4项的和为120．（1）求数列{}n b 通项公式；（2）记21n n nc b b =+，*N n ∈，求数列{}22n n c c -前n 项和．【答案】（1）3nn b =（2）133n +-【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，前n 项和公式进行求解即可；（2）根据等比数列前n 项和公式进行求解即可【小问1详解】设数列{}n b 的公比为q ，通项公式为11n n b b q-=⋅，若公比1q =，由1211266n b b b b +=⇒=⇒=，所以前4项的和为24，不符合题意，故1q ≠()21121121b q b b q-+==-，前4项和为()4111201b q q-=-，于是相除得2110q +=，即29q =，又因为0q >，故3q =，13b =，3nn b =；【小问2详解】221133n n n n n c b b =+=+，22244422221111333233233333n n n nn nn n n nn nc c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+⋅+-+=⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭前n 项和为()()21333233323313n n n +-⋅++⋅⋅⋅+=⋅=--．19.已知椭圆C ：2212x y +=．（1）直线l ：y x =交椭圆C 于P ，Q 两点，求线段PQ 的长；（2）A 为椭圆C 的左顶点，记直线AP ，AQ ，l 的斜率分别为1k ，2k ，k ，若121k k k+=-，试问直线PQ 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】（1）3（2）直线PQ 过定点()0,0【解析】【分析】（1）将l 与椭圆联立得到2P x 、2Q x 、2P y 和2Q y ，进而得到||PQ ；（2）设直线l ：y kx m =+，联立椭圆与直线得到韦达定理以及∆，利用1k =进而得到2k ，由121k k k+=-得到m 的值，最后舍去不符合题意的m 即可.【小问1详解】将直线l 与椭圆方程联立，即2212y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2223p Q x x ==，即2223pQ y y ==，故||3PQ ==；【小问2详解】设直线l ：y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由()22222,21422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩得，12221224212221km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，()()()2222221642122821k m k m k m ∆=-+-=+-，又1k ==，2k =故12k k +=++++==，由121k k k+=-，得20m =，故()0m m m -=⇒=或0m =，①当m =时，直线l ：(y kx k x =+=+，过定点()A ，与已知不符，舍去；②当0m =时，直线l ：y kx =，过定点()0,0，()2228211680k m k ∆=+-=+>，符合题意．20.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，243a =，()1121239n n n a a a n +-=-≥，13n n n b a -=，()*N n ∈．（1）求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）证明：对任意的2n >，1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．【答案】（1）1323n n n a --=，32n b n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得()1122n n n b b b n +-+=≥，即{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，可求出{}n b ，进而求出{}n a ；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由错位相减法求出n S ，只要证明2n >时，()1220n S a a -+<即可.【小问1详解】因为11a =，243a =，13n n n b a -=，∴11b =，24b =，又∵()1121239n n n a a a n +-=-≥，13n n n b a -=，∴()111221233393n n n n n n b b b n +---=⋅-⋅≥∴()1122n n n b b b n +-+=≥．∴{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列．∴32n b n =-，1323n n n a --=．【小问2详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，∵2147321333n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+①2311473233333n n n S -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+②②得：21233332133333n n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，所以12111121113232331313133333313n n n n nn n S --⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥--⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+⨯+++-=+⨯- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ，1231325651113233223n n n nn n S --+⎛⎫⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11565443n n n S -+=-⋅，当2n >时，()1211156541165221044331243n n n n n S a a --++⎛⎫-+=--+=--< ⎪⋅⋅⎝⎭∴1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．21.如图所示，已知四棱锥P ABCD -，满足E 为BD 中点90BAD BCD ∠=∠=︒，AD =，PA PB PD ==．（1）求证PE ⊥平面ABCD （2）若PA 与BD夹角的余弦值为4，且CE AB ∥，求PC 与平面PAD 夹角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，易证AD ⊥平面PEF ，得到PE AD ⊥，从而PE ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设面APD 的法向量为(),,n x y z =，则sin cos ,PC nPC n PC nθ⋅==⋅.【小问1详解】取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，∵PB PD =，E 为BD 中点，∴PE BD ⊥∵PA PD =，F 为AD 中点，∴PF AD ⊥，又因为EF AD ⊥，EF PF F = ，,EF PF ⊂ 平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，∴PE AD ⊥．PE BD ⊥ ，AD BD D = ，,AD BD ⊂ 平面ABCD PE ∴⊥平面ABCD ．【小问2详解】解：以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设1AB =，AD ∴=，设PE h =，,//CE AB EF AB ∥Q ，所以,,C E F 三点共线，在ABD △中，AD =，90BAD ∠=︒，πtan ,(,π),DAB DAB DAB ∴∠=∠∈∴∠=303πBEC FED ABD ∴∠=∠=∠=3，在Rt BCD 中，E 为BD 中点，BE EE BD ∴==12得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，33(,,0)22C ，(0,3,0)D ，13(,,0)22E ，13,,22P h ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，有13,,22AP h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,3,0BD =-，∴221|cos ,|421BD AP BD AP BD AP h ⋅===+得1h =．所以(,,),(,,),(,,)PC AP AD =-==13101103022设面APD 的法向量为(),,n x y z = ，∴0n AD n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，3013022y x y z ⎧=⎪∴⎨++=⎪⎩，令1z =有()2,0,1n =- ，设PC 与面PAD 的夹角为θ，则3310sin cos ,1025PC nPC n PC nθ⋅====⋅．22.已知双曲线E ：221x y -=，双曲线C 与E 共渐近线且经过点()5,1-（1）求双曲线C 的标准方程．（2）如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点（第一象限），直线PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B ，直线AB 交曲线E 于点Q （第一象限），过点Q 作曲线E 的切线交PB 于点K ，交y 轴于点J ，求KQA BQJ S S +△△的最小值．【答案】（1）224x y -=（2）2【解析】【分析】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入解方程即可得出答案.（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，设AQ QB λ=，表示出Q 点坐标，代入E ：221x y -=方程，即可求得,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，进一步求出,K J 的坐标，而KQA BQJ BKJ S S S += ，而12BKJ S KB JB =⋅ ，代入化简结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】由题意设C ：22x y m -=，将()代入得到4m =，∴曲线C ：224x y -=．【小问2详解】设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，(),Q x y ，则224m n -=（*）设AQ QB λ=，则()(),,AQ x m y QB x n y λλ=-==-- ，解得：,,,1111m n m n x y Q λλλλλλ⎛⎫== ⎪++++⎝⎭，代入E ：221x y -=方程，得()()2221m n λλ-=+，结合（*）式可知()()21130n λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦由于0λ>，则()2130n λλ+++>，所以1λ=．所以Q 是A 、B 的中点，,22m n Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为四边形OAPB 是矩形，(),0A m ，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以Q 为四边形OAPB 的中心，所以AQ BQ =，在AQK 与BQK △中，AQ BQ =，分别以,AQ BQ 为底时，高相同，所以KQA KQB S S = ，则KQA BQJ KQB BQJ BKJ S S S S S +=+=△△△△△，因为过双曲线221x y -=上一点,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为122m n x y -=，所以直线KJ 的方程为：122m nx y -=即2mx ny -=，因为K B y y n ==，所以22,n K n m ⎛⎫+⎪⎝⎭，令0x =，所以20,J n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()222211221222BKJn n S KB JB n m n mn++=⋅=⋅+===，，令222t n =+>，BKJS ==△，令240s t =->，2BKJ S==≥△．当且仅当16s s=，即4s =，28t =，22n =-时，取得最小值．。

高中数学：2022-2023学年浙江省名校联盟高二(下)期末数学试卷(含参考答案)

2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）集合A ＝{x |ax ＝1}，B ={y|y =√x −1}且A ∩B ＝A ，则a 的取值范围为（） A ．[0，+∞）B ．（0，1]C ．[1，+∞）D ．（0，1）2．（5分）若直线a 在平面α内，直线b 在平面α外，则“b ⊥a ”是“b ⊥α”的（） A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件3．（5分）数列{a n }首项为1，接下来3项为13，再接下来5项为15，再后面7项为17，以此类推a 100＝（）A ．115B ．117C ．119D ．1214．（5分）已知一组成对数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，6）中y 关于x 的一元非线性回归方程y ＝bx 2+1，已知∑x i 2=126i=1，∑ 6i=1x i =4，∑ 6i=1y i =18，则b ＝（）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣35．（5分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．足球由32块黑白相间的皮革缝制而成，其中，黑色的皮块呈正五边形，每一块黑皮的周围都5块白皮相连；而白色的皮块呈正六边形，每一块白皮的周围分别连着3块黑皮、3块白皮．若制作一个半径为10 cm 的足球（正多边形近似看作平面正多边形），则一块黑皮面积约为_____cm 2．（注：边长为a 的正五边形面积≈1.7a 2，边长为a 的正六边形面积≈2.6a 2，取3.14）（） A ．32.44B ．31.92C ．30.51D ．29.496．（5分）复数z 满足|z ﹣1|+|z +1|＝4，则|z |的取值范围是（） A ．[√3，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，√3]7．（5分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）右焦点为F ，离心率为e ，PO →=kFO →（k ＞1），以P 为圆心，|PF |长为半径的圆与双曲线有公共点，则k ﹣8e 最小值为（） A ．﹣9B ．﹣7C ．﹣5D ．﹣38．（5分）已知a =sin√32，b =2√55，c =cos 12，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年浙江省G12名校协作体高二第上学期返校联考数学试题及答案

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合2{|4}A x x =<，{}|41B x x =−<≤，则A B =（ ▲ ）A.{|2}x x <B.{|21}x x −<≤C.{|41}x x −<≤D.{|42}x x −<< 2．记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ▲ ）A ．1B C ．2D ．3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ▲ ）A ．两人都中靶的概率为0.12B ．两人都不中靶的概率为0.42C ．恰有一人中靶的概率为0.46D ．至少一人中靶的概率为0.744．已知向量13,22a ⎛= ⎝⎭，2,2b ⎛= ⎝⎭，若()()//a b a b λμ++，则（ ▲ ）A. 1λμ=B. 1λμ=−C.1λμ+=−D. 1λμ+= 5．已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ=则“//n m ”是“//n α”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 设函数()f x x x = ，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ▲ ）A ．1,2727⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1027⎛⎫⎪⎝⎭，C ．()270，D ．()27+∞，7．已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为[],a b ，值域为2⎡−⎢⎣，则b a −的取值范围是（ ▲ ） A ．π4π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．π5π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．5π5π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8．如图，在正方体1111ABCD A BC D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F //平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ▲ ） ①二面角1F AD E −−的大小为常数 ②二面角1F D E A −−的大小为常数 ③二面角1F AE D −−的大小为常数A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ▲ ） A ．极差变大 B ．中位数不变 2OB OC OB OC OA −=+−，是直角三角形1b ，则AB AC ⋅的最大值是3211．四面体中,3AC BC AB ===，5=，4CD =，记四面体ABCD 外接球的表面积为，当AD 变化时，则（ ▲ ） A. 当3AD =时，32411S =π B. 当四面体ABCD 体积最大时，28S =π C. S 可以是16π D. S 可以是100π非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知幂函数()2()57mf x m m x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是 ▲ . 13．已知1,1x y >>且3log 4log 3y x =，则xy 的最小值为 ▲ . 14．在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 ▲ .四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）． 15．已知a R ∈,()(){}|20A x a x a x =++>,102x B xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭． (Ⅰ)当0a <时求集合A ；(Ⅱ)若B A ⊆，求a 的取值范围.16．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (Ⅰ) 估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；(Ⅱ) 估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (Ⅲ) 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．17．已知函数()sin()cos()sin +632f x x x x πππ⎛⎫=+−++ ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，若6()5g α=−，且5,612αππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，求cos 2α的值.18．如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD ∠=∠=︒，且PB PD ⊥， (Ⅰ)求证：BD PA ⊥；(Ⅱ)求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；(Ⅲ)若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．19．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数()0k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称()f x 是“反比例对称函数”.设()2816log log f x x x =⋅，()16g x ax m ax =+−.(Ⅰ)判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (Ⅱ)当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图象恰有一个交点，求m 的值；(Ⅲ)当1a >时,设()()()h x f x g x =−，已知()h x 在(0,)+∞上有两个零点12,x x ，证明：1216x x <.命题：学军中学温岭中学（审校）审核：春晖中学2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学次命题兼审校：温岭中学审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分（Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分（Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ，则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。

浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题参考答案

2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学次命题兼审校：温岭中学审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分（Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分（Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ，则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。

浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期6月期末联考试题数学

绝密★考试结束前2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二数学学科试题考生须知：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320A xx x =++>∣，集合{}02024B x x =≤≤∣，则（） A.A B ⋂=∅ B.A B ⋃=R C.A B ⊆ D.B A ⊆2.已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，20232025MN a b =+，20242024,NP a b PQ a b =+=-+，则（）A.,,M N P 三点共线B.,,M N Q 三点共线C.,,M P Q 三点共线D.,,N P Q 三点共线3.已知复数z =z =（）C.2D. 4.若sin18m =，则sin63=（）)m B.12m +C.2m D.2m 5.如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点（不同于,A B ）且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为（）A.60B.30C.45D.156.已知函数()e 1,0,0x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（）A.(),1∞--B.(],1∞--C.()1,0-D.[)1,0-7.函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>，若()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，且()()ππ02f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，则ω的值为（）A.23 B.23或2 C.13 D.1或138.正项数列{}n a 中，1n n a ka +=（k 为实数），若2022202320243a a a ++=，则222202220232024a a a ++的取值范围是（）A.[)3,9B.[]3,9C.[)3,15D.[]3,15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,x y ∈R ，且123,124x y ==，则（） A.y x > B.1x y +>C.14xy << 10.高二年级安排甲､乙､丙三位同学到,,,,A B C D E 五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（） A.所有可能的方法有53种B.如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有61种C.如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有25种D.如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()f x 不是常函数，则下列说法中正确的有（）A.若2为()f x 的周期，则()f x 为奇函数B.若()f x 为奇函数，则2为()f x 的周期C.若4为()f x 的周期，则()f x 为偶函数D.若()f x 为偶函数，则4为()f x 的周期非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量()()23,,3,X B p Y N σ~~，若()10.657,(13)P X P Y p ≥=≤<=，则(5)P Y >=__________.13.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，若动点P 在以AB 为直径的半圆上（正方形ABCD 内部，含边界），则PC PD ⋅的取值范围为__________.14.已知函数()3e xf x x a =-，若函数()f x 有三个极值点()123123,,x x x x x x <<，若323x x ≥，则实数a的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2sin sin cos sin cos a b c A C B B C -=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 周长的最大值. 16.（本题满分15分）已知点30,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点M 在直线AB 上，且满足0,3PA AB AM AB ⋅==.（1）当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设Q 为（1）中的曲线C 上一点，直线l 过点Q 且与曲线C 在点Q 处的切线垂直，l 与曲线C 相交于另一点R ，当0OQ OR ⋅=（O 为坐标原点）时，求直线l 的方程.17.（本题满分15分）如图所示多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面,ABCD CF ⊥平面ABCD ，ADE 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，π2,3AB CF BAD ∠===.（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）求二面角E AF C --的正弦值.18.（本题满分17分）已知函数()(),xf x ag x ax ==，其中0a >且1a ≠. （1）若e a =，试证明：()(),x f x g x ∀∈≥R 恒成立；（2）若()0,x ∞∈+，求函数()()()ln g x h x f x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的单调区间；（3）请判断2e π与2πe ⋅的大小，并给出证明.（参考数据：20.736,e 2.718,π 3.1416,ln π 1.145e≈≈≈≈）19.（本题满分17分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行()*n n ∈N 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为n X ，恰有1个黑球的概率为n p ，恰有2个黑球的概率为n q ，恰有0个黑球的概率为n r .（1）求12,p p 的值；（2）根据马尔科夫链的知识知道111n n n n p a p b q c r ---=⋅+⋅+⋅，其中[],,0,1a b c ∈为常数，同时1n n n p q r ++=，请求出n p ；（3）求证：n X 的数学期望()n E X 为定值.2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二数学学科参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案：0.2 13.答案：[]0,16 14.答案：(20,(ln3)⎤⎦四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）因为()2sin sin cossin cos A C B BC -=，即2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，可得()2sin cos sin sin A B B C A =+=，又因为()0,πA ∈，则sin 0A ≠，可得1cos 2B =，且 0πB<<，可得π3B =. （2）法一：由正弦定理可得4sin sin sin a b c A B C ====，则4sin ,4sin a A c C ==，可得24sin 4sin 4sin 4sin π3a b c AC A A ⎛⎫++=+=+-⎪⎝⎭π4sin 2sin 6sin 6A A A A A A ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，因为20π3A <<，则ππ5π666A <+<，可得π6A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ABC 周长的最大值为法二：由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，可得22212()3()32a c a c ac a c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当a c ==解得a c +≤ABC周长的最大值为16.详解：（1）设()0,0A x ，则由射影定理，有2AO BO OP =⋅，故22002332x OB x ==，即2020,3B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由13AB AM =，易得()2002,2M x x -，故M 的轨迹方程为()2102y x x =≠. （2）设2001,,2Q x x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭点处的切线斜率为20012x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，故()200011:2QR l y x x x x =--+.代入拋物线方程，解得200200212,22R x x x x ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭.由0OQ OR ⋅=，得220000************ x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅--+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得4004,x x ==所以l的方程为22y x =-+或22y x =+. 17.【详解】（1）证明：取AD 中点N ，连接NE NC ､，因为ADE 是正三角形，所以,2sin603EN AD EN ⊥=⋅= 因为平面ADE ⊥平面,ABCD EN ⊂平面ADE ，平面ADE ⋂平面ABCD AD =所以EN ⊥平面ABCD ，又因为CF ⊥平面ABCD ，所以EN∥CF ，又因为EN CF =，所以四边形ENCF 是平行四边形，所以EF ∥NC ，又因为NC ⊂平面,ABCD EF ⊄平面ABCD ，所以EF∥平面ABCD .（2）连接AC BD ､交于O ，取AF 中点M ，连接OM ，所以OM∥CF ，因为CF ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，因为OA OB ⊂､平面ABCD ，所以,OM OA OM OB ⊥⊥，又因为四边形ABCD 是菱形，所以OA OB ⊥，所以OA OB OM ､､两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()(11,0,1,0,,0,1,0,,0,,22AB C D N E F ⎫---⎪⎪⎝⎭⎝， ()3123,0,3,22AF AE ⎛=-=-- ⎝，设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，23031022AF m x AE m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令()1,1,33,2x m ==，平面AFC 的法向量为()0,1,0n =，设二面角E AF C --的大小为33,cos 88421m n m nθθθ⋅=====⋅⋅.所以二面角E AF C --. 18.证明：（1）设函数()()()x f x g x ϕ=-，则()e e xx ϕ'=-，当(),1x ∞∈-时()0x ϕ'<，当()1,x ∞∈+时()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min ()110x f g ϕ=-=，所以()0x ϕ≥，即()(),x f x g x ∀∈≥R 恒成立. （2）已知()()1ln ln ln ,ln h x x a x a h x a x =+-⋅=-'，从而01ln x a=，若()0,1a ∈，则()()1ln 0,h x a h x x=->'在()0,∞+单调递增；若()1,a ∞∈+，当10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0h x '>，当1,ln x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0h x '<，所以()h x 在10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，在1,ln x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭单调递减.（3）由（2）可知()ln ln πln πh x x x =+-⋅在10,ln π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为11320.8730.736ln π 1.1454e≈≈>>≈ 从而由（2）知道()h x 在23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.所以23e 4h h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 计算33331ln ln πln πln ln π44444h ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭.比较4ln 3和1ln π4的大小，因为 44256 3.16π381⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以304h ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 由此可知230e 4h h ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即222ln ln πln π0e e e h ⎛⎫=+-⋅< ⎪⎝⎭，从而2e 222ln ln πln πln πln πe e e ⎛⎫⎛⎫+<⋅⇔⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2e 2ππe >⋅.19.详解：（1）设恰有2个黑球的概率为n q ，则恰有0个黑球的概率为1n n p q --.由题意知1111112211211111113333C C C C C C 52,C C 9C C 9p q +====，所以()111111112332221121111111111333333C C C C C C C C 491C C C C C C 81p p q p q +=++--=. （2）因为()111111112332221111111111111333333C C C C C C C C 121C C C C C C 93n n n n n n p p q p q p -----+=++--=-+，所以1313595n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又因为1320545p -=-≠，所以35n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以245-为首项，19-为公比的等比数列.所以11321213,54594595n n n n p p --⎛⎫⎛⎫-=-⨯-=-⨯-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （3）因为11111321111111113333C C C C 21C C C C 93n n n n n q p q p q ----=+=+①，()()1111311211111111113333C C C C 21111C C C C 93n n n n n n n n q p p q p p q p --------=+--=+--②所以①②，得()11121213n n n n q p q p --+-=+-.又因为11210q p +-=，所以210n n q p +-=.所以1nn p q -=.所以n X 的概率分布列为：所以()110112122n n n n n p p E X p p --⎛⎫=⨯--+⨯+⨯= ⎪⎝⎭.所以n X 的数学期望()n E X 为定值1.。

浙江省A9协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

浙江省A9协作体2023学年第一学期期中联考高二数学试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若椭圆221369x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离为5，则点M 到另外一个焦点的距离（） A. 6B. 7C. 8D. 9 2. 已知向量(3,2,1)a →=−，(2,,4)b x →=，且a b →→⊥，则实数x 的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 若直线l的一个方向向量(1,n →=，则l 的倾斜角为（）A.30B.60 C.120 D.150 4. 已知圆221:1C x y +=与圆222:3416C x y +++=（）（），则两圆的公切线条数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若直线43120x y +−=与两坐标轴交点为,A B ，则以AB 为直径的圆的方程为（）A. 22340x y x y +−−=B. 22430x y x y +−−=C. 22340x y x y +++=D. 22430x y x y +++= 6. 正方体1111ABCD A B C D −中，二面角111A B D A −−的余弦值为（）A. 2B.C.2D.3 的7. 已知点F 为椭圆C :2212516x y +=的右焦点，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆22:(3)1M x y ++=上的动点，则PF PQ 的最小值是（） A. 12 B. 29 C. 23 D. 838. 如图，一束平行光线与地平面的夹角为60，一直径为24cm 的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为（）A. 3B. 2C. 2D. 12二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9. 直线l 经过点(2,3)−，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（）A. 320x y +=B. 230x y +=C. 50x y −−=D. 10x y ++= 10. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点(0,0,0)O ，(2,1,1)A −−，(3,4,5)B ，下列结论正确的有（）A. AB =B. 向量OA 与OB的夹角的余弦值为6C. 点A 关于z 轴的对称点坐标为(2,1,1)−−−D. 向量OA 在OB 上的投影向量为110OB −u u u r 11. 如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为正方形，2AB =，SD ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别为SC 、AB 的中点，若线段SD 上存在点G ，使得GE GF ⊥，则线段SD 的长度可能值为（）A. 3B. 4C 5 D. 6.12. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+.已知椭圆C的离心率为3，点,A B 均在椭圆C 上，直线l ：40bx ay +−=，则下列描述正确的为（）A. 点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB. 若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y += C. 若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则1b >D. 若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB面积的最大值为2非选择题部分三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知椭圆2215x y k+=的一个焦点是(20)，，则k 的值为___ 14. 已知实数,x y 满足240x y −+=的最小值为___.15. 已知点,A B 分别为圆22:(4)(1)1M x y ++−=与圆22:(2)(7)4N x y −+−=上动点，点P 为x 轴上的动点，则PA PB +的最小值为___.16. 已知正方体1111ABCD A B C D −棱长为2，E F ，分别为111AA A D ，的中点，点P 在正方体表面上运动，若直线1D P //平面BEF ，则点P 的轨迹长度为___.的的四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知直线10x y −−=和直线220x y ++=交点为P（1）求过点P 且与直线210x y −+=平行的直线方程；（2）若点P 到直线0l mx y m ++=：，求m 的值.18. 如图，直三棱柱111ABC A B C -，12AC BC CC ===，ACBC ⊥，点M 是线段AB 的中点. （1）证明：平面1MCC ⊥平面11ABB A .（2）求异面直线CA 与1B M 所成角的余弦值；的19. 已知圆C ：()()22344x y −+−=.（1）若直线l 过定点()1,0A 且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线:230l kx y k −−+=与圆C 交于,A B 两点，求AB 的最小值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆C 经过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()2,0P 且斜率不为零的直线与椭圆C 交于,B D 两点，B 关于x 轴的对称点为A ，求证：直线AD 与x 轴交于定点Q .21. 已知空间几何体ABCDEF ，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=o ，//EF AB ，AE DE =，2AB =，1EF =，平面ADE ⊥平面ABCD ，13BM BF =u u u u r u u u r ，12AN AD =. （1）求证：EN BC ⊥；（2）若直线AE 与平面ABCD 所成角为60，求直线AM 与平面BCF 所成角的正弦值.22. 已知椭圆221:4T x y +=，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，C 、D 为椭圆的左、右顶点，直线1:2l y x m =+与椭圆T 交于A 、B 两点. （1）若12m =−，求AB ；（2）设直线AD 和直线BC 的斜率分别为1k 、2k ，且直线l 与线段12F F 交于点M ，求12k k 的取值范围.。

2024-2025学年浙江省“A9 协作体”高二第一学期期中联考数学试题(含答案)

2024-2025学年浙江省“A9 协作体”高二第一学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线3x +y−3=0的倾斜角是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.向量a =(x,1,2)，b =(1,−y,8)，若a //b ，则( )A. x =−14，y =14 B. x =14，y =−4C. x =14，y =4D. x =−14，y =−43.若点P(1,m)在圆C:x 2+y 2−2x +2y +1=0内，则m 的取值范围是( )A. (−∞,−2)B. [−2,0]C. (0,2)D. (−2,0)4.若直线ax +(a−3)y +3=0与直线x +ay−3=0垂直，则a 的值是( )A. 2B. 0C. 0或2D. 2或−25.已知椭圆x 24+y 29=1的下焦点是F 1，上焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在x 轴上，那么|P F 2|:|PF 1|=( )A. 2:7B. 1:7C. 1:2D. 3:46.已知平面上两定点A ，B ，则满足|PA||PB|=k(常数k >0且k ≠1)的动点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知在△PAB 中，AB =4，PA =2PB ，则△PAB 面积的最大值是( )A. 4B. 83C. 323D. 1637.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于A 、B 两点，其中B 为上顶点，且3AF 1=2F 1B ，则椭圆C 的离心率e =( )A.2 55B.55C.25D.1058.一条东西走向的高速公路沿线有三座城市A 、B 、C ，其中A 在C 正西60km 处，B 在C 正东100km 处，台风中心在C 城市西偏南30∘方向200km 处，且以每小时40km 的速度沿东偏北30∘方向直线移动，距台风中心1034km 内的地区必须保持一级警戒，则从A 地解除一级警戒到B 地进入一级警戒所需时间(单位：小时)在以下哪个区间内( )A. (1,32)B. (32,2)C. (2,3)D. (12,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。

浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题附答案

2023学年高二第一学期浙江省名校协作体联考一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,λ)且a⃗⊥b⃗ ，则实数λ的值为( )A. −3B. −1C. 3D. 72.已知i是虚数单位，则1+2i1−2i=( )A. −45+35i B. 45−35i C. −35+45i D. −35−45i3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )A. √2B. 4√2C. 8D. 8√24.设m，n为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题错误的是( )A. 若m⊥α且n⊥α，则m//nB. 若m//α且m⊥β，则α⊥βC. 若m//α且n//α，则m//nD. 若α//β且m⊥α，则m⊥β5.函数f(x)=(1x+x)cosx的部分大致图象为( )A.B.C.D.6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A −B 的最大值为( )A. π6B. π4C. π3D. 5π127. 如图，各棱长均相等的正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，点N 为棱CC 1的三等分点(靠近C 1)，点P 为棱BB 1上的动点，则下列说法正确的是( )A. 三棱锥B 1−MNP 体积为定值B. 三棱锥A 1−NPB 1体积为定值C. 当B 1P =PB 时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等D. 当B 1P =2PB 时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等8. 已知函数f(x)=sinx +acosx 在区间(π4,π2)上是减函数，则实数a 的取值范围为( )A. a >√2−1B. a ≥1C. a >1−√2D. a ≥−1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

2023-2024学年浙江省温州市十校联合体高二上期中联考数学试题+答案解析(附后)

2023-2024学年浙江省温州市十校联合体高二上期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线的渐近线方程为( )A.B.C.D.2.平行六面体中，化简( )A. B. C.D.3.若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则( )A. B. C.D.4.若圆与圆仅有一条公切线，则实数a 的值为( )A. 3B.C.D. 15.如图，是棱长为1的正方体中，点P 在正方体的内部且满足，则P 到面ADGF 的距离为( )A. B. C. D.6.细心的观众发现，2023 亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂。

“梅兰竹菊，迎八方君子;松柳荷桂，展大国风范“。

团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善。

花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O ，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C，两个花瓣端点记为A、B，切点记为D，则不正确的是( )A. O、C、D在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C.D. 弧形所在圆的半径BC变化时，存在7.已知是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，( )A. B. C. D. 48.已知曲线C的方程为，则下列说法不正确的是( )A. 无论a取何值，曲线C都关于原点成中心对称B. 无论a取何值，曲线C关于直线和对称C. 存在唯一的实数a使得曲线C表示两条直线D. 当时，曲线C上任意两点间的距离的最大值为二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是( )A. B.C. D.10.已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是( )A. m的取值范围为B. 若该椭圆的焦点在y轴上，则C. 若，则该椭圆的焦距为4D. 若椭圆的离心率为，则11.已知过点的直线l与圆交于A，B两点，在A处的切线为，在B处的切线为，直线与交于Q点，则下列说法正确的是( )A. 直线l与圆C相交弦长最短为B. AB中点的轨迹方程为C. Q、A、B、C四点共圆D. 点Q恒在直线上12.已知正方体的棱长为1，H为棱包含端点上的动点，下列命题正确的是( )A. 二面角的大小为B.C. 若O在正方形内部，且，则点O的轨迹长度为D. 若平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省名校协作体2023-2024学年高二上学期开学适应性考试数学试题含答案

2023学年第一学期浙江省名校协作体适应性试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}ln 1A x y x ==-，102x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = A ．{}12x x <<B ．{}12x x ≤≤C ．{}12x x ≤<D ．{}12x x <≤2．若复数z 满足(1i)(1)1z +-=，则||z =A ．22B ．1C ．2D ．23．如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则()()AC AD AB AD -⋅-=A ．4-B ．2-B ．C ．0D ．44．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是A ．若m α ，n α∥，则m n ∥B ．若αβ⊥，m β⊥，则m αC ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥D ．若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥5．已知函数()y f x =，[,]x ππ∈-的图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能是A ．11()sin sin 2sin 323f x x x x=++B ．11()cos cos2cos323f x x x x=++C ．11()sin 2sin sin 323f x x x x=++D ．11()cos2cos cos323f x x x x=++6．在ABC 中，πsin cos 22B A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则AC BC AB -的取值范围是A ．112⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．1132⎛⎫⎪⎝⎭，C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，7．设a ，R b ∈，若0x ≥时，恒有24324221x x x x ax b x ≤-+++≤+，则A ．||||2a b -=B ．2a b -=C ．||||2a b +=D ．2a b +=8．为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm 的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是A ．()2533πcm3+B ．()34533πcm 3+C ．()32533πcm+D ．()38533πcm 3+二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年浙江省名校协作体高二上学期返校联考适应性考试数学试题(解析版)

2022学年第一学期浙江省名校协作体适应性试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150 分，考试时间120 分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.z=-（i为虚数单位），则z=（）1. 复数2iA. 1B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由复数模的定义计算．【详解】由已知z==故选：D．2. ，则该圆锥的侧面积为（）A. π C. 2π D.【答案】B【解析】【分析】求出圆锥的母线，底面半径，利用圆锥侧面积公式求解出答案的等腰直角三角形，，底面直径长为2，半径为1，π⨯=，则此圆锥的侧面积为1故选：B．3. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，则（）A. ()()()P A B P A P B =+B. ()()1P A P B +≤C. ()()()P A B P A P B ⋂=D. 若A B ⊆，则()()P A P B ≤【答案】D 【解析】【分析】根据概率的性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A ：若A ，B 是一个随机试验中的两个事件，则()()()()P A B P A P B P AB =+-，故A 错误；对于B ：若11(),()22P A P B >>，则()()1P A P B +>，故B 错误；对于C ：当A 、B 独立时，()()()P A B P A P B ⋂=，当A 、B 不独立时，则不成立，故C 错误；对于D ：若A B ⊆，则()()P A P B ≤，故D 正确. 故选：D4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P ，Q 分别为11A B ，1BB ，1AA ，BC 的中点，则直线PM 与NQ 所成的角为（） A. 30° B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C 【解析】【分析】取AB 的中点R ，连接RN ，RQ ，1AB ，根据M ，N ，P ，Q 为中点，得到//PM RN ，从而RNQ ∠为直线PM 与NQ 所成的角求解.【详解】解：如图所示：取AB 的中点R ，连接RN ，RQ ，1AB ，因为M ，N ，P ，Q 分别为11A B ，1BB ，1AA ，BC 的中点，所以11//,//PM AB RN AB ，所以//PM RN ，所以RNQ ∠为直线PM 与NQ 所成的角，又因为RNQ 是等边三角形，所以60RNQ ∠=，故选：C5. 函数()2ln 11f x x x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭的图像大致为（） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】第一步，由函数()21ln 1ln 11x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭为偶函数，排除C 、D 选项；第二步，通过11ln3022f ⎛⎫=>⎪⎝⎭,排除B 选项. 【详解】由函数()21ln 1ln 11x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得，101x x +>- 即11x -<<，故函数()y f x =的定义域为()1,1-，且对()1,1x ∀∈-都有()1,1x -∈-，()()11ln ln 11x x f x x x f x x x -+⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭成立，所以函数()y f x =是偶函数，，排除C 、D 选项；又11ln3022f ⎛⎫=>⎪⎝⎭,排除B 选项.6. 已知0.30.50.3 0.2? 0.2? 0.3a b c ===，，，则以下关系不正确的是（） A. b a c <<B. ab bc ac <<C.111c a b<< D.11a c cb b b +<<+ 【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的性质，先判断出a ，b ，c 的大小，再根据不等式的性质逐项分析即可.【详解】对于指数函数：xy a = ，若01a << ，则为减函数，0.30.50.20.2∴> ，即a b > ，对于幂函数：0.3y x= 是增函数，0.30.30.30.2∴> ，即c a > ，a ，b ，c 的大小关系为：0b a c <<< ，故A 正确；对于B ，由于,a c ab bc <∴< ，由于,b a bc ac <∴< ，故B 正确；对于C ，由于1y x =是减函数，111c a b∴<< ，故C 正确；对于D ，若11c c b b +<+ 成立，则有()()11c b b c +<+ ，即c b < ，与上述结论矛盾，故D 错误；故选：D.7. 如图，已知AOB 是半径为4，圆心角为π2的扇形，点E F ，分别是OA OB ，上的两动点，且2EF =，点P 在圆弧AB 上，则PE PF ⋅的最小值为（）A.4 B. 8C. 19-D.16-【答案】B【分析】以O 为原点建立的直角坐标系，设()4cos 4sin 02P πθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，，设()[]()002E t t ∈，，，可得(0F ，()()4cos 4sin 4cos 4sin PE t PF θθθθ=--=-，，，可得⋅=PE PF ()168sin θϕ-+，利用辅助角公式可得答案.【详解】以O 为原点建立如图所示的直角坐标系，设()4cos 4sin 02P πθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，，设()[]()002E t t ∈，，，又2EF =，所以OF =(0F ，()()4cos 4sin 4cos 4sin PE t PF θθθθ=--=-，，，所以()224cos 16cos 16sin 164cos PE PF t t θθθθθθ⋅=-+-+=-()168sin θϕ=-+，其中cos sin 22tϕϕ==，又[]02t ∈，，所以[]cos sin 01ϕϕ∈，，，所以[]π0,0π2，，ϕϕθ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦， ()()sin 01sin 10ϕθϕθ⎡⎤⎤⎡+∈-+∈-⎦⎣⎣⎦，，，，所以[]816PE PF ⋅∈，， PE PF ⋅的最小值为8．故选：B.8. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（）A.4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭B.4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.)⎡+∞⎣【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理和ABC的面积公式，结合题意求出sin A、cos A的值，再用C 表示B，求出sinsinb Bc C=的取值范围，即可求出222b cbc+的取值范围．【详解】解：在ABC中，由余弦定理得2222cosa b c bc A=+-，且ABC的面积1sin2S bc A=，由222()S a b c=--，得sin22cosbc A bc bc A=-，化简得sin2cos2A A+=，又(0,)2Aπ∈，22sin cos1A A+=，联立得25sin4sin0A A-=，解得4sin5A=或sin0A=（舍去），所以sin sin()sin cos cos sin43sin sin sin5tan5b B A C A C A Cc C C C C++====+，因为ABC为锐角三角形，所以02C<<π，2B A Cππ=--<，所以22A Cππ-<<，所以13tan tan2tan4C AAπ⎛⎫>-==⎪⎝⎭，所以140,tan3C⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53bc⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设btc=，其中35,53t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221212222b c b ct tbc c b t t⎛⎫⎪+=+=+=+⎪⎪⎪⎝⎭，由对勾函数单调性知12y tt=+在35⎛⎝⎭上单调递减，在53⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，当2t=时，y=35t=时，4315y=；当53t=时，5915y=；所以5915y⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈，即222b cbc+的取值范围是5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：C.【点睛】关键点点睛：由2222b c b cbc c b+=+，所以本题的解题关键点是根据已知及sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C c C C C C ++====+求出b c的取值范围. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.9. 下列命题中正确的是（）A. 已知平面向量a 满足1a =，则1a a ⋅=B. 已知复数z 满足1z =，则1z z ⋅=C. 已知平面向量a ，b 满足a b a b +=-，则0a b ⋅=D. 已知复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅= 【答案】ABC 【解析】【分析】结合选项逐个验证，向量的模长运算一般利用平方处理，复数问题一般借助复数的运算来进行.【详解】因为21a a a ⋅==，所以A 正确；设i z a b =+，则i z a b =-，因为1z =，所以221a b +=，所以()()22i i 1z z a b a b a b ⋅=+-=+=，所以B 正确；因为a b a b +=-，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即0a b ⋅=，所以C 正确；因为1i 1i +=-，然而1i i 0⋅=≠，所以D 不正确. 故选：ABC.10. 已知函数()2441x x x f x x =+--，则（） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 的图象关于点()1,1对称 C. ()f x 有唯一一个零点 D. 不等式()()223f x f x+>的解集为()()1,13,-+∞【答案】BCD 【解析】【分析】求解()f x 的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A 错误；根据解析式验证可知()()112f x f x ++-=，则知B 正确；当1x >时，由单调性的性质可确定()f x 在()1,+∞上单调递减，结合值域的求法可求得()1f x >；结合对称性可知()f x 在(),1-∞上单调递减；利用零点存在定理可说明()f x 在(),1-∞有且仅有一个零点，知C 正确；结合C 的结论可说明1x >时()1f x >，1x <时，()1f x <；利用单调性，分别讨论23x +和2x 在同一单调区间内、两个不同单调区间内的情况，解不等式组可求得结果.【详解】对于A ，由44010x x ⎧-≠⎨-≠⎩得：1x ≠，即()f x 定义域为{}1x x ≠，不关于原点对称，()f x ∴为非奇非偶函数，A 错误；对于B ，()112121144242x x x x x xf x x x+++++=+=+-⋅-，()()1122112412121444224244444xx x x x x x x x x x x x f x x x x x ----⋅---=-=-=-=---⋅-⋅-， ()()112f x f x ∴++-=，()f x ∴图象关于点()1,1对称，B 正确；对于C ，当1x >时，()1141212x xf x x=+--； 2xt =在()1,+∞上单调递增，4y t t=-在()2,+∞上单调递增， 422xx y ∴=-在()1,+∞上单调递增，1422xxy ∴=-在()1,+∞上单调递减； 11y x=-在()1,+∞上单调递增，111y x∴=-在()1,+∞上单调递减；()f x ∴在()1,+∞上单调递减；由B 知：()f x 图象关于()1,1对称，()f x ∴在(),1-∞上单调递减；当1x >时，2044xx >-，11111x x x =+>--，()1f x ∴>，()f x ∴在()1,+∞上无零点；当1x <时，()11000143f =+=-<-，()1111210123044f -=+=>-， ()01,0x ∴∃∈-，使得()00f x =，则()f x 在(),1-∞上有唯一零点0x x =；综上所述：()f x 有唯一一个零点，C 正确；对于D ，由C 知：()f x 在(),1-∞和()1,+∞上单调递减，又1x >时，()1f x >；1x ∴<时，()1f x <；①当22311x x +>⎧⎨>⎩，即1x >时，由()()223f x f x +>得：223x x +<，解得：1x <-（舍）或3x >；②当22311x x +<⎧⎨<⎩时，不等式组无解，不合题意；③当22311x x +>⎧⎨<⎩，即11x -<<时，()231f x +>，()21f x <，满足题意；④当22311x x +<⎧⎨>⎩，即1x <-时，()231f x +<，()21f x >，不合题意；综上所述：()()223f x f x +>的解集为：()()1,13,-+∞，D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到函数奇偶性的判断、对称性的判断、函数零点个数的求解、利用函数单调性解不等式；利用单调性解不等式的关键是能够确定函数的单调性，并根据单调性将函数值大小关系的比较转化为自变量大小关系的比较问题.11. 下列说法中，正确的是（） A. 若0a b ⋅>，则a 与b 夹角为锐角B. 若O 是ABC 内心，且满足2340OA OB OC ++=，则这个三角形一定是锐角三角形C. 在ABC 中，若0NA NB NC ++=，则N 为ABC 的重心D. 在ABC 中，若PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅，则P 为ABC 的垂心【答案】CD 【解析】【分析】由数量积的定义判断A ，O 是ABC 内心时，证明0A B C S OA S OB S OC ++=即得0aOA bOB cOC ++=，由此结合余弦定理判断B ，由向量的线性运算证明N 是三角形重心判断C ，利用向量数量积的运算法则，证明向量垂直，从而得P 是垂心判断D ．【详解】当,a b 同向时也的0a b ⋅>，A 错误；如下图O 是ABC 内心，AO 延长线交BC 于D ，设OBCA SS =，OABC SS =，OACB SS =，O 是外心，AD 是三角形内角平分线，OBD ABDOBD CABD ACDOCDACD OCDBS S S S SBD CD SSSSS -====-， ()BD BD CD BDOD OB BD OB BC OB OC OB OB OC BC BC BC BC=+=+⋅=+⋅-=+C BB C B C S S OB OC S S S S =+++，又BOD COD BODCOD ABOACOABOA COAC BSS S S S OD OA SSSSS S +====++，所以AB CS OD OA S S =-+．所以AB C S OA S S -+C B B C B CS S OB OC S S S S =+++，所以0A B C S OA S OB S OC ++=，设内切圆半径为r ，,,AB c BC a CA b ===，则1110222raOA rbOB rcOC ++=，所以 0aOA bOB cOC ++=，若2340OA OB OC ++=，则::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，则22249161cos 02234k k k C k k +-==-<⨯⨯，C钝角，B 错；如下图，D 是BC 中点，则2ND NB NC =+，又0NA NB NC ++=，所以20NA ND +=，所以,,N D A 共线，且2AN ND =，所以N 是ABC 外心，C 正确；ABC 中，若PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅，则()0PA PB PB PC PB PA PC PB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=，所以PB AC ⊥，同理,PA BC PC AB ⊥⊥，所以P 是ABC 的垂线，D 正确．故选：CD ．12. 如图，在梯形ABCD 中， //6460AB CD AB CD A B E F ====，，，，，为线段 AB 的两个三等分点，将ADE 和BCF △分别沿着DE CF ，向上翻折，使得点A B ，分别至M N ， (M 在N 的左侧)，且//MN 平面ABCD O P ，，分别为DE CD，的中点，在翻折过程中，下列说法中正确的是（）A. O P M N ，，，四点共面B. 当3MN = 时，平面DEM ⊥ 平面ABCDC. 存在某个位置使得DM FN ⊥D. 存在某个位置使得平面 DEM ⊥平面 CFN 【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项，直线MN 与直线CD 为异面关系，所以A 错误；对于B 选项，当3MN = 时，其长度恰好等于底面梯形中位线的长度，易知M ,N 两点在底面的投影恰好落在DE 和CF 上，可得平面DEM ⊥平面ABCD ；对于C 选项，可找出NF 的平行线，将垂直的判断转化为异面直线所成角；对于D 选项，从翻折的过程看二面角的变化趋势可得.【详解】对于A 选项：如图，分别取EF ,CF 的中点Q ，S ，连接AP ，BP ，DQ ，易知,,,ADE BCF PDE PCF 均是边长为2的正三角形，所以在翻折过程中M ，N 两点在底面的射影分别落在直线P A 和PB 上，如图2，易知,DE MOP CF NSP ⊥⊥平面平面，设M ，N 两点到底面的距离分别为12,h h ，则12sin ,sin h OM MOP h SN NSP =∠=∠，因为//MN 平面ABCD ，所以12h h =，又OM SN =，所以MOP NSP ∠=∠，易得//MN OS ，则//MN CD ，则易知,,,M N C D 共面，,,,M N E F 共面, 易知,OP MN 异面，所以O P M N ，，，不在同一平面内，则A 错误；对于B 选项:当3MN = 时，恰有MN OS =，则MNSO 为平行四边形，由对称性知此时，M ，N 两点在底面的射影即为O,S 两点，所以MO ABCD ⊥平面,得平面DEM ⊥平面ABCD ，则B 正确；对于C 选项:过M 点作//MT NF 交EF 于T ，DMT ∠即为DM 与FN 所成角，易知在翻折过程中(,)(2,DT DE DF ∈=，又因为=2DM DT =，则当DT DM DT ⊥，即DM FN ⊥,所以C 正确；当3MN =，由B 选项知，平面DEM ⊥平面ABCD ，平面CFN ⊥平面ABCD ，此时DE 与CF 的夹角即为平面DEM 与平面CFN 的夹角，易知此时的夹角为60，而DEM △与CFN 在翻折的极限位置为,DPE CPF ,即两平面的夹角的最大值为180，所以在连续变化过程中必存在某个位置使得平面DEM ⊥平面 CFN ，所以D 正确. 故选：BCD.非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 集合21242{}{}A B m B A ⊆＝﹣，，，＝，，，则m ＝___．【答案】2± 【解析】【分析】根据B ⊆A ，得到集合B 的元素都是集合A 的元素，进而求出m 的值．【详解】∵集合21242{}{}A B m B A -==⊆，，，，，， ∴24m =，解得2m =±．故答案为：±2．14. 已知函数22,1(),1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则不等式()1f x ≤的解集为___________.【答案】(,0]-∞ 【解析】【分析】根据给定条件分段求解不等式即可作答.【详解】因函数22,1(),1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则不等式()1f x ≤化为：121x x ≤⎧⎨≤⎩或211x x >⎧⎨≤⎩，解121xx ≤⎧⎨≤⎩得：0x ≤，解211x x >⎧⎨≤⎩，无解，于是得0x ≤，所以不等式()1f x ≤的解集为(,0]-∞. 故答案为：(,0]-∞15. 已知223640+-+=a b b ，则2(3)64+-a b b 的最大值为________．【答案】199+199【解析】【分析】根据题意得2222(3)(3)643++=-+a b a b b a b，设b k a =，所以()223640+-+=k a ka ，所以0∆≥，求出k 的范围，所以222222(3)(3)696433a b a b k k b a b k++++==-++，分析求最值即可. 【详解】22223640643+-+=⇒-=+a b b b a b ，所以2222(3)(3)643++=-+a b a b b a b，设bk a=，代入223640+-+=a b b ，则有()223640+-+=kaka ，看成关于a 的一元二次方程，若a 方存在，则关于a 的一元二次方程必须有解，所以判别式()223616305∆=-+≥⇒≥k k k 或5≤-k ，所以1125k +≥+>或1105k +≤-+< 又函数4y x x=+在[)2,+∞上单调递增，所以2222222(3)(3)6911161616464333121+++++===+⋅=+⋅≤+=-+++++-+a b a b k k k b a b k k k k当且仅当5k =时取得等号，此时a =，43b =.故答案为：199+ 【点睛】求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 16. 已知等腰直角ABC 的斜边AB 长为4，其所在平面上两动点O 、P 满足123OP OA OB OC λλλ=++（1231λλλ++=且1λ、2λ、30λ≥），若3OP =OA OB ⋅的最大值为____________．【答案】3+3 【解析】【分析】分析可知点P 在ABC 内或其边界上，取线段AB 的中点D ，可得24OA OB OD ⋅=-，求出OD 的最大值，即可得解.【详解】因为()()()123123OP OA OB OC OP PA OP PB OP PC λλλλλλ=++=+++++123OP PA PB PC λλλ=+++，所以，1230PA PB PC λλλ++=，所以，()()1230PA PA AB PA AC λλλ++++=，所以，23AP AB AC λλ=+，因为1231λλλ++=且1λ、2λ、30λ≥，所以，1λ、2λ、[]30,1λ∈，所以，点P 在ABC 内或其边界上，取线段AB 的中点D ，则()()()()2224OA OB OD DA OD DB OD DA OD DA OD DA OD ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-，故当OD 最大时，OA OB ⋅取最大值，如下图所示，当点P 与ABC 的顶点重合时，PD 取得最大值，且最大值为122AB =，因为3OP =32OD OP PD OP PD =+≤+=，当且仅当D 、P 、O 三点共线且P 在线段OD 上时，等号成立，故(224243OA OB OD ⋅=-≤+-=+故答案为：3+【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数()24i1im z m R +=∈-，i 是虚数单位）．（1）若z 是纯虚数，求m 的值和z ；（2）设z 是z 的共轭复数，复数2z z -在复平面上对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．【答案】（1）12m =，2z =；（2）1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的实部为0，虚部不为0求出m 的值，进而求出复数z 的模；（2）首先根据第（1）问求出2z z -，然后根据复平面上对应点在第二象限，则实部小于0，虚部大于0，解不等式组求出m 的取值范围.【小问1详解】依题意得，()()()()()()2224i 1i 24i 24i 4i 2i 1221i 1i 1i 1i 1i m m m m z m m ++++++====-++--+-，若z 是纯虚数，则120210m m -=⎧⎨+≠⎩，解得12m =，2i z ∴=，2z ∴=.【小问2详解】由（1）知，()()1221i z m m =-++，()()1221i z m m =--+，()22163i z z m m -=--+，复数2z z -在复平面上对应的点位于第二象限，()210630m m -<⎧∴⎨-+>⎩，解得12m <-，即1,2m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.18. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222-=-b c a ．（1）求角B ：（2）从①2C B =，②cos cos b A a B =中选取一个作条件，证明另外一个成立；（3）若D 为线段AB 上一点，且1,42BCD B CD ∠=∠=，求BCD △的面积．【答案】（1）4B π=（2）见解析（3）4 【解析】【分析】（1）利用余弦定理即可得解；（2）选①，根据2C B =结合（1）求出,C A ，可得A B =，则有tan tan A B =，再根据正弦定理化角为边即可得证；选②，利用正弦定理化边为角，再结合（1）即可得出结论；（3）利用正弦定理求得BC ，再利用三角形的面积公式结合诱导公式及倍角公式即可得出答案.【小问1详解】解：因为222-=-b c a ，所以222222cos b a c a c ac B =+-=+-，所以cos 2B =，又()0,B π∈，所以4B π=；【小问2详解】证明：选①，因为2C B =，4B π=，所以,24C A B ππ===，所以tan tan A B =，即sin sin cos cos A BA B=，所以cos cos b A a B =；选②，因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin cos sin cos sin 0B A A B B A -=-=，又(),0,A B π∈，则(),B A ππ-∈-，所以0B A -=，即4A B π==，所以22C B π==；【小问3详解】解：由（1）得128BCD B π∠=∠=，则58BDC π∠=，因为sin sin BC CDBDC B =∠，所以58BC π=1sin 2BCD S BC CD BCD =⋅∠5sin 88ππ=sin 88ππ=44π==，所以BCD △的面积为4．19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()()sin H t A t B ωϕ=++（其中0,0,2A πωϕ>>≤），求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值. 【答案】（1）()60sin 80,030152H t t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭（2）5（3）最大值为60米【解析】【分析】对于小问1，根据离地面的最大值140米、最小值20米和周期为30分钟，求出A 、B 、ω，再代入点(0,20)解得ϕ.对于小问2，令()50H t =，解出t 即得答案.对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式1H 、2H ，写出两人距离地面的高度差为12h H H =-米，由时间t 的取值范围，化简求出h 最大值. 【小问1详解】由题意，()()sin H t A t B ωϕ=++（其中0,0,2A πωϕ>>≤）摩天轮的最高点距离地面为140米，最低点距离地面为14012020-=米，所以14020B A B A +=⎧⎨-=⎩，得60,80A B ==，又函数周期为30分钟，所以23015ππω==， ()60sin 8015H t t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又()060sin 0802015H πϕ⎛⎫=⨯++=⎪⎝⎭，所以sin 1ϕ=-，又2πϕ≤，所以2πϕ=-，所以()60sin 80,030152H t t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()60sin 8060cos 8015215H t t t πππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以60805015cost π-+=，整理1152cost π=，因为030t ≤≤，所以2015t ππ≤≤，所以153t ππ=,解得5t =（分钟）.【小问3详解】经过t 分钟后甲距离地面的高度为160cos8015H t π=-+，乙与甲间隔的时间为306536⨯=分钟，所以乙距离地面的高度为()260cos 580,53015H t t π=--+≤≤，所以两人离地面的高度差()1260cos60cos560sin ,5301515156h H H t t t t ππππ⎛⎫=-=-+-=-≤≤⎪⎝⎭当1562t πππ-=或32π时，即10t =或25分钟时，h 取最大值为60米. 20. 甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛．比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛．每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束．假定每场比赛、每局比赛结果互不影响．，1，若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为23，求甲获得本场比赛胜利的概率；，2，若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为12，23，34，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大．【答案】（1）2027（2）丁【解析】【分析】（1）分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局获胜求解；（2）分甲在第二场甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁求解. 【小问1详解】解：设甲在第i 局获胜为事件()1,2,3i A i =，事件B =“甲获得本场比赛胜利”，则()()12123123B A A A A A A A A =⋃⋃，所以()2222222220113333333327P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【小问2详解】若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率11232351122343412P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率2231312112342423P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率3312123112423234P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．因为123P P P <<，所以，甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大． 21. 如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．（1）求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；（2）若棱PB 的中点为N ，求CN 的长；（3）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．【答案】（1）4（2（3）11【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，求出12PG AM ==大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM 为平行四边形，从而得到CN MQ ===（3）作出辅助线，得到∠PGD 为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，建立空间直角坐标系，用含θ的关系式表达出平面P AM 和平面PBC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到cos α=t 的取值范围求出余弦值的最小值【小问1详解】取AM 的中点G ，连接PG ，因为P A =PM ，则PG ⊥AM ，当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，此时PG ⊥平面ABCM ，且12PG AM ==底面ABCM 为梯形，面积为()1312122+⨯⨯=，则四棱锥P ABCM -的体积最大值为1332⨯=【小问2详解】取AP 中点Q ，连接NQ ，MQ ，则因为N 为PB 中点，所以NQ 为△P AB 的中位线，所以NQ ∥AB 且12NQAB ，因为M 为CD 的中点，四边形ABCD 为矩形，所以CM ∥AB 且12CM AB =，所以CM ∥NQ 且CM =NQ ，故四边形CNQM 为平行四边形，所以CN MQ ===【小问3详解】连接DG ，因为DA =DM ，所以DG ⊥AM ，所以∠PGD 为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，过点D 作DZ ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()1,0,0,0,1,0,0,2,0A M C ，过P 作PH ⊥DG 于点H ，由题意得PH ⊥平面ABCM ，设()000,,P x y z ，因为PG =，所以),,1cos PH GH DH θθθ===-，所以)()0011cos 1cos 2x y θθ==-=-，0z θ=所以()()111cos ,1cos 22P θθθ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1cos cos 11,1,0,,,sin 222AM PA θθθ⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面P AM 的法向量为()1111,,x n y z =，则1111101cos cos 10222x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎨+-+-=⎪⎩，令1z =，则(1tan ,tan n θθ=，设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =，因为()cos 1cos 31,0,0,,,222CB PC θθθ⎛⎫-+==- ⎪ ⎪⎝⎭，则22220cos 1cos 3sin 0222x x y z θθθ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令2y θ=，可得：()20,,3cos n θθ=+，设两平面夹角为α，则1212cos 2n n n n α⋅===⋅=令11cos 3t θ=+，π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3,34t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以cos α=3t =时，cos α有最小值11，所以平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值为11【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍.22. 已知02,1a b ≤≤≤，函数2()41,[2,2]f x ax x a b x =--+-+∈-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()|()|h x f x =，若()h x 的最大值为52，求a b +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）当104a ≤≤时,13,24a b ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦;当124a <≤时,33,42a b ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据函数()f x 解析式,先讨论当0a =与0a ≠两种情况.当0a =时易判断单调递减,当0a ≠时,讨论对称轴与区间[2,2]-的关系,即可判断单调性.（2）根据（1）中所得a 在不同范围内的单调情况分类讨论. 当104a ≤≤,()f x 在[2,2]-递减结合二次函数与绝对值函数的性质,并由()h x 的最大值即可求得b 的值,进而得a b +的取值范围;当124a <≤时,()f x 在12,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增,在1,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减,同理解绝对值不等式可求得b 的取值范围,进而得a b +的取值范围. 【详解】（1），当0a =时,()f x x b =--,()f x [2,2]-单调递减，当122a -≤-时,即104a <≤时,()f x 在[2,2]-单调递减，当1202a -<-<时,即124a <≤时,()f x 在12,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增,在1,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减，当1022a≤-≤时,不成立,所以无解. 综上所述,当104a ≤≤时,()f x 在[2,2]-单调递减；当124a <≤时,()f x 在12,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增,在1,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减（2），当104a ≤≤时,()f x 在[2,2]-递减, (2)30f b -=->,(2)1f b =--,，(2)(2)220f f b -+=-≥, ，|(2)||(2)|f f -≥,，{}max 5()max |(2)|,|(2)||(2)|32h x f f f b =-=-=-=, ，12b =. 得113,224a b a ⎡⎤+=+∈⎢⎥⎣⎦.，当124a <≤时,()f x 在12,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增,在1,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减,又(2)30f b -=->,(2)1f b =--,114124f a b a a ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭，(2)(2)220f f b -+=-≥,(2)(2)f f -> ，|(2)||(2)|f f -≥,同时1(2)02f f a ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭, ，1|(2)|2f f a ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，max 1()max |(2)|,,|(2)|2h x f f f a ⎧⎫⎛⎫=--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ 11541242f a b a a ⎛⎫=-=+-+= ⎪⎝⎭，13442b a a =+- 又，1b ≤, ，1311414282a a a +-≤⇒≤≤, 又，124a <≤, ，1142a <≤ 且可得13542ab a a +=+-在11,42a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦递增, 所以33,42a b ⎛⎤+∈⎥⎝⎦. 综上所述, 当104a ≤≤时,13,24a b ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦;当124a <≤时,33,42a b ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了分类讨论二次函数的单调性问题,不等式与二次函数的综合应用,由最值确定参数的取值范围,对理解能力要求较高,属于难题.。

浙江省名校协作体2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题(原卷版)

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，{}1,2,3,4,5C =，则()C A B =∪ð（）A.{}5B.{}2,3C.{}4,5 D.{}1,2,3,42.已知向量()2,1a = ，()1,3b =- ，()()ka b a b -⊥+，则实数k 的值为（）A.94-B.94C.1- D.13.已知异面直线a ，b 分别为平面α，β的垂线，直线m 满足m α⊄，m β⊄，m a ⊥，m b ⊥，则（）A.α与β相交，且交线与m 平行B.α与β相交，且交线与m 垂直C .α与β平行，m 与α平行D.α与β平行，m 与β垂直4.在ABC 中，“A B >”是“22sin cos 1A B +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.将函数()π2sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移5π6个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 在π3π,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的值域为（）A.[]2,1- B.[]1,2-C.⎡-⎣D.2⎡⎤⎣⎦6.二战期间，盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数.假设德军某月生产的坦克总数为N ，缴获的该月生产的n 辆坦克编号从小到大为1x ，2x ，…，n x ，即最大编号为n x ，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的.因为生产的坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号1x ，2x ，…，n x 相当于从1,N ⎡⎤⎣⎦中随机抽取的n 个整数，这n 个数将区间[]0,N 分成()1n +个小区间.由于N 是未知的，除了最右边的区间外，其他n 个区间都是已知的，由于这n 个数是随机抽取的，所以可以用前n 个区间的平均长度n x n 估计所有()1n +个区间的平均长度1Nn +，进而得到N 的估计.若缴获坦克的编号为14，28，57，92，141，173，224，288，则利用上述方法估计的总数为（）A.306B.315C.324D.3337.已知42log 3x =，9log 16y =，5log 4z =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.y x z >>B.z x y >>C.x y z>> D.y z x>>8.已知0b a >>，2a b ab +=，则41212a b +--的最小值为（）A.94B.74 C.73D.53二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.9.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，π3A =，则ABC 的面积可能为（）A.B.C.D.53210.下列命题中正确的是（）A.某校按2:3:4的比例对高一、高二、高三三个年级的学生进行分层随机抽样，如果抽取的样本容量为900，则样本中高一年级的学生人数为300B.一组数据12，13，14，14，15，16的平均数与众数相同C.一组数据从小到大依次为1，2，3，5，m ，若这组数据的极差为中位数的2倍，则7m =D.若甲组数据为1，2，3，4，5，乙组数据为6，7，8，9，10，则甲组数据的标准差大于乙组数据的标准差11.函数()f x 的定义域为R ，已知()1f x +是奇函数，()()22f x f x +=-，当[]1,2x ∈时，()22f x ax =+，则有（）A.()f x 一定是周期函数B.()f x 在[]0,1单调递增C.()10f = D.13533f ⎛⎫=⎪⎝⎭12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段11AC 上的一个动点，则（）A.对任意点P ，都有BD PC ⊥B.存在点P ，使得BPC △的周长为3C.存在点P ，使得PC 与1A B 所成的角为7π24D.三棱锥-P ABC 的外接球表面积的最小值为9π4非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13.已知圆锥的高为2，体积为2π3，则该圆锥的侧面积为______.14.已知锐角θ终边上一点P 的坐标为()3,4，则tan 2θ=______.15.已知函数()()ln 1,01,0x x f x x x ⎧-<=⎨+>⎩，若函数()y f x a =-有两个零点12,x x ，且12x x <，则2211e 2x x +的取值范围为______.16.定义向量(),cos ,sin n x a nx nx =，其中N n *∈，()0,x ∈+∞，若存在实数t ，使得对任意的正整数n ，都有,1,622n x t a a -->成立，则x 的最小值是______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某校为了调查学生的数学学习情况，在某次数学测试后，抽取了100位同学的成绩，并绘制成如图所示的频率分布直方图，已知这100名同学的成绩范围是[]50,100，数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.（1）求x 的值；（2）估计这100名同学成绩的上四分位数（第75百分位数）.18.已知复数z 满足1i 1i12z +-=-（i 是虚数单位）（1）求z 的值；（2）若复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.19.如图所示，M 是ABC 内一点，且满足23AM MB MC =+，BM 的延长线与AC 的交点为N .（1）设AB a = ，AC b = ，请用a ，b表示AM ；（2）设BM BN λ=，求λ的值.20.已知函数()π5π4sin sin 1212f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若ABC 的外接圆半径为1，且()1f A =，2π3B =，求BC 边上的中线长.21.如图所示，在四棱台1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为菱形，3BAD π∠=，11122AD DD A D ==，1AD DD ⊥.（1）求证：1AD A B ⊥；（2）若直线1A B 与平面ABCD 所成角的正弦值为33，求二面角1A BD D --的余弦值.22.已知函数()2x a x f x a x+=-，()0,x ∈+∞，且满足()()11,0f ∈-.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证函数()f x 存在唯一零点；（3）设()0f t =，证明()221122a f t a a a+-<+<+-.。

【数学】浙江省名校协作体2021-2022学年高二下学期开学考试试题(解析版)

对于C中，由，可得，可得，
又由，所以，所以C正确；
对于D中，当时，可得，所以；
当时，可得，
因为且，可得，可得，所以，即，
所以D正确.
故选：ACD.
11.根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点沿东偏南（在上变化）方向行走一段时间后，再向正南方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的落点与原点的距离可能为（）
∴ ，面，面，∴ 面 .
（2）解：由，即，故，
以为轴，过垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，设 .
∵ ，则，
，解得，
∴ ， .
设面的法向量，则，
解得，又面的法向量，
设平面与平面所成角为 (锐角)，则 .
20.已知二次函数 .
（1）若，且在上的最大值为，求的值；
15.已知正方形，，，，，点O关于直线FM对称的点为N，则的最小值为_____________.
【答案】0
【解析】由题意得：，，，，
则直线MF：，设，则，解得：，
所以，其中，
由对勾函数可知在上单调递减，在上单调递增，
其中，，从而，
且当时，，又点N的轨迹为以M为圆心，2为半径的圆弧，
浙江省名校协作体2021-2022学年
高二下学期开学考试数学试题
一、单选题
1 设集合，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为集合，，，
所以，所以，
故选：C.
2.已知复数满足，则复数的虚部是（）