二次函数的一般式化为顶点式

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二次函数化为顶点式的公式配方法

二次函数化为顶点式的公式配方法二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数。

对于任意的二次函数，我们都可以通过配方法将其转化为顶点式的形式。

顶点式的形式为f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)是二次函数的顶点坐标。

配方法是一种数学方法，可以将二次函数转化为其顶点式的形式。

通过配方法，我们可以找到二次函数的顶点坐标，并且可以方便地描绘出二次函数的图像。

以下是配方法的详细步骤：第一步：将二次函数写成完全平方的形式对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们先将其写成完全平方的形式。

具体做法是：1.将二次项的系数除以2，得到a/2；2.将a/2的平方加到函数内部，并减去这个平方的值，得到形如f(x)=a(x^2+(b/a)x+____-_____)这样的形式；3.将前三项作为一个完全平方进行因式分解，并将不完全平方项与常数项合并，得到形如f(x)=a(x+____)^2+____的形式。

以上步骤可以将二次函数化为完全平方的形式。

第二步：确定顶点坐标通过观察完全平方的形式，可以确定顶点的横坐标为x=-b/2a。

这是因为在完全平方形式中，x的系数为a(x+h)^2，并且h的值为-b/2a。

将x=-b/2a代入完全平方的形式，就可以得到顶点的纵坐标。

第三步：写出顶点式的形式通过第一步和第二步，我们可以确定二次函数的顶点坐标。

将顶点坐标代入完全平方的形式，就可以得到二次函数的顶点式的形式。

通过以上三步，我们可以将任意的二次函数化为顶点式的形式。

举个例子：假设有一个二次函数f(x)=x^2+4x+3，我们可以通过配方法将其转化为顶点式的形式。

第一步：将二次函数写成完全平方的形式将二次项的系数除以2，得到1/2、然后将1/2的平方加到函数内部，并减去这个平方的值，得到形如f(x)=(x^2+4x+4-4)+3第二步：确定顶点坐标观察完全平方的形式，可以确定顶点的横坐标为x=-4/(2*1)=-2、将x=-2代入完全平方的形式，就可以确定顶点的纵坐标。

二次函数的一般式化为顶点式

二次函数的一般式化为顶点式二次函数是数学中的一种常见函数形式，通常可以表示为一般式y = ax^2 + bx + c的形式。

其中，a、b、c为常数，且a不等于0。

而将二次函数的一般式化为顶点式，则可以得到y = a(x - h)^2 + k的形式，其中(h, k)为二次函数的顶点坐标。

接下来，我们将详细介绍如何将二次函数的一般式化为顶点式，并解释其中的数学原理和几何意义。

我们来了解一下二次函数的一般式。

在一般式中，x为自变量，y为因变量。

a、b、c分别代表二次函数曲线的特征参数。

其中，a决定了二次函数的开口方向和曲线的陡峭程度，a大于0时开口向上，a 小于0时开口向下。

b决定了二次函数曲线在x轴方向的平移，正值向左平移，负值向右平移。

c则决定了二次函数曲线在y轴方向的平移，正值向上平移，负值向下平移。

接下来，我们来推导将二次函数的一般式化为顶点式的方法。

首先，我们将一般式中的x^2项提取出来，即写成y = a(x^2 + (b/a)x) + c的形式。

然后，我们将括号中的内容进行配方，即将(x^2 + (b/a)x)写成(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2的形式。

将这个结果代入一般式中，得到y = a(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c。

进一步化简，得到y = a(x + b/2a)^2 + (4ac - b^2)/(4a)。

将最后一个式子进行变形，得到y = a(x - (-b/2a))^2 + (4ac - b^2)/(4a)的形式。

从上述推导过程可以看出，我们将二次函数的一般式化为顶点式的关键步骤就是完成平方配方，并将平方项移到括号中。

通过这个变换，我们可以明显地看出顶点坐标为(-b/2a, (4ac - b^2)/(4a))，即h = -b/2a，k = (4ac - b^2)/(4a)。

因此，二次函数的顶点式可以表示为y = a(x - h)^2 + k的形式。

一般形式与顶点式之间的转换

一般形式与顶点式之间的转换近年来，高中数学中一类常见的问题是关于二次函数的转化和变换。

其中，一般形式与顶点式的转换是一项基本技能。

本文将介绍一般形式与顶点式之间的转换方法，以及其在解题过程中的应用。

一、一般形式的二次函数在开始讨论转换之前，我们先对一般形式的二次函数进行简要介绍。

一般形式的二次函数公式如下：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数，并且a不等于0。

通过对这个公式的分析，我们可以得出以下结论：1. 当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2. 二次函数的图像关于直线x = -b / (2a) 对称。

3. 当二次函数与x轴交点时，令f(x) = 0，我们可以得到二次方程的解。

二、顶点式的二次函数接下来我们来介绍顶点式的二次函数形式。

顶点式的二次函数公式如下：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，a、h、k为实数，并且a不等于0。

通过对这个公式的分析，我们可以得出以下结论：1. 若a>0，顶点式二次函数的图像开口向上；若a<0，图像开口向下。

2. 顶点式二次函数的顶点坐标为(h, k)。

三、从一般形式到顶点式的转换现在我们来研究如何从一般形式转换为顶点式。

假设我们有一个一般形式的二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c1. 首先，通过化简将一般形式转换为完成平方的形式。

f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c2. 接下来，为了将二次项转换为一个完全平方的形式，我们需要加上一个适当的数值，并且要保持方程等价。

f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c3. 继续简化并移项，得到：f(x) = a[(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2] + c4. 最后，再次简化并得到转换后的顶点式形式：f(x) = a(x + b/2a)^2 + (c - b^2/4a)四、从顶点式到一般形式的转换现在我们来讨论如何从顶点式转换为一般形式。

二次函数化为顶点式的公式配方法

二次函数化为顶点式的公式配方法
二次函数化为顶点式的公式配方法是一种很重要的数学方法，它的用途在于有助于对一般复杂的数学函数进行解析。

首先，从二次函数的标准式中可以看出它的一般形态：
f（x）=ax^2+bx+c
其中，a，b，c分别表示三个系数，一般可以用它们来求二次函数的顶点坐标。

首先，设F（x）=（2a）x+b，则F这个函数是二次函数f（x）的切线，当F（x）=0时，则二次函数也为0，即可求出顶点的坐标（xo,yo）。

其中，xo为二次函数的极值点，即
xo=-b/2a
而yo的值就是二次函数的值，即
yo=f（x）=axo^2+bxo+c
所以，上面的计算方法完美地将二次函数化为顶点式，即
f（x）=(a)(x-xo)^2+yo
而根据这个顶点式可以更加便捷地计算出平面上关于某一函数的图像，从而十分快速地求出函数的极值点所在。

本文介绍了将一般二次函数化为顶点式公式的方法，以及计算方法，希望能够对读者有所帮助。

二次函数顶点式和一般式转化

二次函数顶点式和一般式转化二次函数是数学中一类非常重要的函数，在很多应用问题中都有广泛的应用。

它的一般形式可以表示为：$y=ax^2+bx+c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数且 $a\neq 0$。

一般情况下，我们想要对二次函数进行研究和分析时，最好是将其转化为更为方便的形式，如顶点式或标准式等。

下面，我们就来介绍一下如何将二次函数从一般式转化为顶点式。

首先，我们来看一下什么是二次函数的顶点式。

顶点式是指将一般式的二次函数转化为$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$(h,k)$是顶点的坐标。

顶点式的特点是直接给出了顶点的坐标，便于对二次函数的性质进行研究与分析。

接下来，我们将介绍如何将二次函数从一般式转化为顶点式的具体步骤，以便更好地理解和掌握这一转化方法。

步骤一：确定二次函数的系数首先，我们需要明确二次函数的系数。

一般式 $y=ax^2+bx+c$ 中，$a$ 是二次项的系数，$b$ 是一次项的系数，$c$ 是常数项。

步骤二：确定二次函数的顶点横坐标由于顶点是二次函数的最低或最高点，其对应的横坐标可以通过以下公式求得：$x=-\frac{b}{2a}$。

将这个数值记为 $h$，表示顶点的横坐标。

步骤三：确定二次函数的顶点纵坐标将顶点横坐标代入到一般式中，可以求出对应的纵坐标。

将这个数值记为$k$，表示顶点的纵坐标。

步骤四：写出二次函数的顶点式根据上述步骤得到的$h$和$k$，我们可以将二次函数的顶点式写为$y=a(x-h)^2+k$。

以上就是将二次函数从一般式转化为顶点式的基本步骤。

下面，我们将通过一个具体的例子来说明这个转化过程。

例题：将二次函数$y=2x^2+4x+3$转化为顶点式。

解：首先，确定二次函数的系数，可知$a=2$，$b=4$，$c=3$。

最后，代入$h=-1$和$k=1$，可以写出二次函数的顶点式$y=2(x+1)^2+1$。

综上所述，将二次函数$y=2x^2+4x+3$转化为顶点式后，得到$y=2(x+1)^2+1$。

二次函数的一般式化为顶点式

开口方对称轴向
顶点坐标
向上直线x=–3 （－3，5）
向下直线x=1 （1，－2）
向上直线x=3 （3，7 ）
向下直线x=2 （2，－6）
你能说出二次函数y=-2x －2 8x-7图像的特征吗？
第七页，编辑于星期五：十点四分。
如何画出 y-2x28x-7的图象呢? 我们知道,像y=a(x+h)2+k这样的函数,
将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到 y3x225的图象，将 y3x225 化为一般式为
y3x212x7，那么如何将抛物线 y 3x的2 图像移动，得到的 y3x212x7图像呢？
第六页，编辑于星期五：十点四分。
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
2 x 2 2 1
可见，函数图像的开口方向向下，顶点坐标（-2，1）对称轴为x=-2
第十一页，编辑于星期五：十点四分。
根据函数的对称性列表：
x
… -2 -1.5 -1 -0.5 0 ... ... …
y=-2(x+2)²+1
1 0.5 -1 -3.5 -7
y
···
· ·0
x
··
·
·
第十二页，编辑于星期五：十点四分。
值是
（）
• A4
B. -1
C. 3
D.4或-A1
第十六页，编辑于星期五：十点四分。
第十七页，编辑于星期五：十点四分。
第十五页，编辑于星期五：十点四分。
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在

二次函数的一般式化为顶点式(课堂PPT)

y
···
· ·0
x
··
·
·
如何画出
y
1x2 2
6x21的图象呢?
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 y1x2 6x21也能化成这样的形式吗
2
?
y=ax2+bx+c
b
=a(x2+ x)+c
a
= a[x2+
Hale Waihona Puke b ax+
(
b 2a
) 2 ]-
y3x212x7，那么如何将抛物线 y 3 x 2的图像移动，得到的 y3x212x7 图像呢？
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
开口方对称轴顶点坐标向
向上直线x=–3 （－3，5）
向下直线x=1 （1，－2）
向上直线x=3 （3，7 ）向下直线x=2 （2，－6）
你能说出二次函数y=-2x 2－8x-7图像的特征吗？
如何画出 y-2x28x-7 的图象呢?
我们知道,像y=a(x+h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(-h,k), 二次函数y-2x28x-7 也能化成这样的形式吗?
(
b 2a
)2
a
+c
=a(x+ b )2+ 4 a c b 2
2a
4a
2020/7/10
14
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
①y=2x2-5x+3②y=－ 1 x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)

一般式变顶点式公式

一般式变顶点式公式
一般式变顶点式公式是中学数学教学中比较重要的内容，主要强调的是求顶点的方法，利用一元二次函数的一般式可以得到顶点式，今天就让我们拿起笔来学习、熟悉一元二次函数的一般式变顶点式公式。

一元二次函数的一般式公式如下：
y=ax^2+bx+c
其中，a≠0，是一个常数，它的值就决定了函数的形状；b和c也是常数，它们决定了函数图像的位置。

接下来就是如何将一般式变换成顶点式。

首先，将一元二次函数的一般式：y=ax^2+bx+c中的变量x替换为-(b/2a)，将x^2替换为(b^2-4ac)/4a ，可以得到：
y=a[(b^2-4ac)/4a]+b[-(b/2a)]+c
联立移项，可以变为：
y=-a(b^2-4ac)/4a+b^2/4a+c
整理得：
y=c-a[(b^2-4ac)/4a]+b^2/4a
将-a(b^2-4ac)/4a和b^2/4a这两项整合到一起，可以得到
y= c-a[(b^2-4ac)/4a+b^2/4a]
容易得出
y=c-(b/2a)^2+a
即变换后的顶点式：
y=c-(b/2a)^2+a
从中可以得出顶点坐标(h,k)：
h=-(b/2a)
k=c-(b/2a)^2+a
利用以上求解规律，只要给出y=ax^2+bx+c函数的一般式，就可以根据上述步骤快速求出其顶点式，并获得相应的顶点坐标，而不需要复杂的运算。

回顾一元二次函数的一般式变顶点式公式，利用一元二次函数的一般式，可以将其变换为顶点式，从而得出顶点坐标，从而有助于我们更好的理解函数的性质、形态以及由其产生的图形。

初中数学二次函数如何化为顶点式

初中数学二次函数如何化为顶点式二次函数是初中数学中非常重要的一个知识点，常见的二次函数一般可以用一般式表示，但是对于计算和解题来说并不是很方便。

因此，我们需要将二次函数化为顶点式。

首先，我们需要了解二次函数的标准形式：$$y=ax^2+bx+c$$其中，$a$，$b$，$c$ 都是实数，$a\neq 0$ 。

二次函数的顶点式为：$$y=a(x-h)^2+k$$其中，$(h,k)$ 表示函数图像上的顶点。

那么如何将二次函数化为顶点式呢？下面就来详细讲解一下。

一、求顶点坐标首先，我们需要求得二次函数的顶点坐标 $(h,k)$ 。

这里有两种方法。

方法一：通过平移坐标轴的方法，将二次函数化为顶点在原点的顶点式。

具体操作如下：$$y=ax^2+bx+c \Rightarrow y=a(x+\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$$这样，二次函数就被化为了顶点在原点的顶点式 $y=a(x-0)^2+(c-\frac{b^2}{4a})$ ，其中顶点坐标为 $(0,c-\frac{b^2}{4a})$ 。

方法二：通过配方法，将二次函数化为顶点式。

具体操作如下：$$y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$$这样，二次函数就被化为了顶点在 $(\frac{-b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$ 的顶点式 $y=a(x-\frac{-b}{2a})^2+(c-\frac{b^2}{4a})$。

二、判断开口向上还是向下接下来，我们需要判断二次函数的开口方向，也就是二次函数的系数 $a$ 的正负。

当 $a>0$ 时，二次函数的开口向上。

当 $a<0$ 时，二次函数的开口向下。

三、得出顶点式知道顶点坐标和开口方向后，我们就可以得出二次函数的顶点式了。

当二次函数的开口向上时，顶点式为：$$y=a(x-h)^2+k$$其中，$a$ 和 $(h,k)$ 分别为：$$a>0,\quad (h,k)\text{为二次函数的顶点坐标}$$当二次函数的开口向下时，顶点式为：$$y=a(x-h)^2+k$$其中，$a$ 和 $(h,k)$ 分别为：$$a<0,\quad (h,k)\text{为二次函数的顶点坐标}$$综上所述，二次函数化为顶点式，可以很好地帮助我们计算和解题，因此，我们需要掌握好这一知识点。

二次函数一般式化为顶点式的例题

二次函数一般式化为顶点式的例题.
当将二次函数的一般式`f(x) = ax^2 + bx + c` 化为顶点式`f(x) = a(x - h)^2 + k` 时，需要将函数的形式转化为完全平方的形式。

下面给出一个例题来说明具体的步骤：
将二次函数`f(x) = 2x^2 - 4x + 3` 化为顶点式。

步骤1：将x 的一次项系数 b 用平方项的形式表示。

这里 b = -4，我们希望将其表示为(x - h)^2 的形式。

`(x - h)^2 = x^2 - 2hx + h^2`
步骤2：根据步骤1，需要找到h 的值。

我们可以通过公式`-b/(2a)` 来求得h。

h = -(-4) / (2*2) = 1
步骤3：将h 的值代入步骤 1 中，得到完全平方的形式。

`(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1`
步骤4：将步骤 3 中得到的表达式代入函数中，并将多余的常数项重新整理。

原函数：f(x) = 2x^2 - 4x + 3
= 2(x^2 - 2x) + 3
= 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3
= 2((x - 1)^2 - 1) + 3
= 2(x - 1)^2 - 2 + 3
= 2(x - 1)^2 + 1
因此，将二次函数`f(x) = 2x^2 - 4x + 3` 化为顶点式得到`f(x) = 2(x - 1)^2 + 1`。

通过将二次函数从一般式化为顶点式，我们可以更清晰地看到函数的顶点位置和开口方向，方便进行图像的分析和计算。

用“提配消”法化二次函数一般式为顶点式

用“提配消”法化二次函数一般式为顶点式化二次函数一般式为顶点式是中考必考的内容，老师按本试教的方法多是一般法配方和公式法直接计算－b 2a 和4ac －b 24a。

相比而言,去提配消．．．法较易撑握,现介绍如下: 化y=ax 2＋bx ＋c 为顶点式:一般法配方: y=ax 2＋bx ＋c=a(x 2＋b a x ＋c a )=a[x 2＋b a x ＋(b 2a )2－(b 2a )2＋c a] =a[(x 2＋b a x ＋(b 2a )2]－a ·(b 2a )2＋c a =a(x ＋b 2a )2+4ac －b 24a用提配消法:y=ax 2＋bx ＋c=a[(x 2＋b a x ＋(b 2a )2]－a ·(b 2a )2＋c=a(x ＋b 2a )2+4ac －b 24a具体的方法和步骤:第一步: 先提．(提首两项的a), 第二步: 同时配．(在括号内配一次项后边配上一次项系数一半的平方), 第三步: 同时消．(在括号外消去a 乘以配上的式子,符号与a 相反) 举几个常见的例子说明:(1) 求y=12x 2－2x ＋5的顶点坐标. 【解答】∵y=12x 2－2x ＋5=12(x 2－4x ＋4)＋5－12×4=12(x －2)2＋3 ∴函数的顶点坐标为(2,3)(2) 求二次函数y=－12x 2＋32x ＋2的最大值. 【解答】∵ y=－12x 2＋32x ＋2=－12(x 2－3x ＋94)＋2＋12×94=－12(x －32)2＋258∴二次函数y=－12x 2＋32x ＋2的最大值为258(3) 化S=－32m 2＋92m ＋6的一般式为顶点坐标式. 【解答】S=－32m 2＋92m ＋6=－32(m 2＋3m ＋94)＋6＋32×94=－32(m －32)2＋758(4) 把抛物线y=12x 2＋x －72向右平移移支4个单位，再向上平移2个单位, 求此平移后的抛物线的解析式.【解答】∵y=12x 2＋x －72=12(x 2＋2x ＋1)－12×1－72=12(x ＋1)2－4 故平移后的解析式为:y=12(x ＋1－4)2－4＋2=12(x －3)2－2=12x 2－3x ＋52(5)求抛物线y=x2＋(a＋1)x＋a－1的顶点的纵坐标的最大值．【解答】设顶点的纵坐标为y，则y0=4×1×(a－1)－(a＋1)24×1=－14a2＋12a－54∴y0=－14(a2－2a＋1)＋14×1－54=－14(a－1)2－1∴当时，顶点的纵坐标达到最大的值－1．在转换中难度越大,此法就越显示出优越性:化y=nm＋4x2＋mm＋4x＋n＋4n(m＋4)为顶点坐标式.【解答】y=nm＋4x2＋mm＋4x＋n＋4n(m＋4)=nm＋4(x2＋mn x＋m24n2)－nm＋4·m24n2＋n＋4n(m＋4)=nm＋4(x＋m2n)2－m2－4n－164mn＋16n从此题解还可以看到一些细节:第一步提:提首两项的a,事实上提a后,括号内二次项系数为1,一次顶系数为b·1 a,第二步配:即配上一次项系数一半的平方,即(b2a)2.第三步消:即在括号外消去配上去的部分,即a ·(b 2a)2 抄上即可. 注意:别忘了在后面需要加上一个常数项.以上三步,算不上有大的计算,最后在计算4ac －b 24a时,也比直接代人要容易. 你能打这个4ac －b 24a蓝色的数学式吗,。

二次函数顶点公式二次函数顶点公式的求法

⼆次函数顶点公式⼆次函数顶点公式的求法⼆次函数顶点公式⼤家知道吗？这个公式⼜是怎么求出来的？想了解的⼩伙伴看过来，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⼆次函数顶点公式⼆次函数顶点公式的求法”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的! ⼆次函数顶点公式⼆次函数顶点公式⼆次函数顶点公式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开⼝⽅向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最⼤(⼩)值=k。

⼆次函数顶点式⼆次函数顶点公式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开⼝⽅向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最⼤(⼩)值=k。

具体情况当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位得到; 当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位得到; 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象; 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象; 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象; 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。

⼆次函数顶点公式的求法⼆次函数的顶点式⽅程可以通过配⽅法求出假设这个⼆次函数的普通表达式是：y=ax²+bx+c，(a≠0)进⾏配⽅，⽅法如下： 1、提出系数a，y=a(x²+bx/a)+c; 2、配⽅，配⼀次项系数的⼀半的平⽅，y=a(x²+bx/a+b²/4a²)+c-b²/4a; 3、化简，y=a[x+b/(2a)]²-(b²-4ac)/(4a);，对称轴是c=-b/(2a)，顶点坐标是：(-b/(2a)，-(b²-4ac)/(4a)); ⼆次函数的基本表⽰形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。