概率论与数理统计第六章测试题

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

第6章 参数估计

选择题

1．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X 的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则

（A ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同 (B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同 （C ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同

(D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的

2．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ，

DX=σ2

，其中μ，σ2

均为未知参数，X =1ˆμ

，12ˆX =μ，下面结论哪个是错误的。

（A ）X =1ˆμ

是μ的无偏估计 (B) 12ˆX =μ是μ的无偏估计 （C ）X =1ˆμ

比12ˆX =μ 有效 (D) ∑=-n

i i X n 1

2)(1μ是σ2的最大似然估计量

3．设n X X X ,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2

)的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2

的最大似然估计量是

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

（A ）

∑=--n

i i X X n 1

2)(11 (B) ∑=-n

i i

X X

n

1

2

)(1

（C ） ∑=--n i i X n 12

)(11μ (D) ∑=-n i i X n 1

2)(1μ 4．已知总体X 在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设n X X X ,...,,21是来自X 的简单随机样本，X 是样本均值，

},...,max {1)(n n X X X = 是最大观测值，则下列选项错误的是

（A ）)(n X 是θ的最大似然估计量 (B) )(n X 是θ的无偏估计量

（C ）X 2是θ的矩估计量 (D) X 2是θ的无偏估计量

5． 设总体X~N(μ1,σ2

)，总体Y~N(μ2,σ2

)，m X X X ,...,,21和

n Y Y Y ,...,,21分别是来自总体

X 和Y 的简单随机样本，样本方差分

别为2X S 与2Y S ，则σ2

的无偏估计量是

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

（A ）22Y X S S + (B) 2

2)1()1(Y

X S n S m -+- （C ）222-++n m S S Y X (D) 2

)1()1(2

2

-+-+-n m S n S m Y X

6． 设X 是从总体X 中取出的简单随机样本n X X X ,...,,21的样本均值，则X 是μ的矩估计，如果

（A ）X~N(μ,σ2

) (B) X 服从参数为μ的指数分布

（C ）P （X=m ）=μ(1-μ)m-1

，m=1,2,… (D) X 服从[0,μ]上的均匀分布 填空题

1．假设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X X ,...,,21是取自总体X 的简单随机样本，其均值、方差分别为X ，S 2

，如果

2)32(ˆS a X a -+=λ

为λ的无偏估计，则a= 。

2．已知1ˆθ、2ˆθ为未知参数θ的两个无偏估计，且1ˆθ与2ˆθ不相关，

21ˆ4ˆθθD D =，如果2

13ˆˆˆθθθb a +=也是θ的无偏估计，且是1ˆθ、2ˆθ所有同类型线性组合无偏估计中有最小方差的，则a= ，b= 。 3．设总体X 的概率密度为

⎩

⎨

⎧<<-=-其它，,0,

10,)1()(1x x x f θθ 则θ的矩估

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

计量为 。

4．设n X X X ,...,,21是取自总体X 的简单随机样本，且EX=μ，DX=

σ2

，其均值、方差分别为

X

，S 2 ，则当c= 时，22)(cS X - 是μ2

的无偏估计。

5．设n X X X ,...,,21是取自总体X 的简单随机样本，且EX=μ，DX=

σ2

， 21

2)(X b X a n

i i +∑= 的

数学期望等于σ2

，则a= ，b= 。 解答题

1．设总体X 的概率密度为

⎩

⎨

⎧<<+=其它，,0,

10,)1()(x x x f θθ 其中θ>-1是未知参数，X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量。 2．设某种元件的使用寿命X 的概率密度为 ⎩⎨

⎧≥=--其它，,

0,

,2)()(2θθx e x f x 其中θ>0是未知参数，

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF

x 1,x 2,…,x n 是来自总体X 的一组样本观测值，求θ的最大似然估计量。

3. 设总体X 的概率分布为

其中θ（0<θ<1/2）是未知参数，利用总体X 的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值。

4．设某种元件的寿命X （单位：小时）服从双参数的指数分布，其概率密度为

⎪⎩⎪⎨⎧≥=--其它，,

0,,1),;(μθμθθμ

x e x f x 其中θ，μ(>0) 为未知参数。 自一批这种器件中随取n 件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为n X X X ,...,,21，求θ，μ的最大似然估计量。 5．设总体X 的概率密度为

⎩⎨

⎧≥=--其它，,

0,

,);()(θθθx e x f x θ为未知参数，n

X X X ,...,,21为取自X 的一个样本，证明：

1ˆ1-=X θ，

n

X X n

1

},...,min{ˆ12-=θ 是θ的两个无偏估计量，并比较哪个更有效。